初二数学上册教材解读
初二数学上册教材有五章内容，分别为“三角形”、“全等三角形”、“轴对称”、“整式的乘法与因式分解”、“分式”。其中前三章为我们通常所说的几何部分，侧重推理、证明；后两章为代数部分，侧重运算、应用。下面我就按自己的理解对于这两部分予以说明，如有不当之处，敬请各位批评指正。
第一部分：“三角形”、“全等三角形”、“轴对称”
本部分内容是在前面学习了几何初步认识、相交线与平行线、平移之后展开的，又为后面学习四边形、圆、旋转、相似三角形等奠定了基础，其意义是不言而喻的。尤其是三角形作为基本的几何图形之一，很多图形的研究都需要转化为三角形进行研究，而且就这三章的内容来看其重点也为三角形的边角线、两个三角形的全等关系、特殊三角形，都与三角形有关。
（一）、课程标准要求：
1、三角形：
（1）理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。
（2）探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。
（3）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。
（4）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
（5）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
（6）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。
（7）证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。
（8）探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
（9）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
（10）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
（11）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
（12）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
（13）了解三角形重心的概念。
2．尺规作图
（1）能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。
（2）会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。
（3）在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。
3．图形的轴对称
（1）通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分（参见例65）。
（2）能画出简单平面图形（点，线段，直线，三角形等）关于给定对称轴的对称图形。
（3）了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。
（4）认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。
（5）在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。
4.推理与证明
（1）知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，
知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。
（2）了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
（二）知识点、考点分析：
1、三角形：（1）定义（不在同一条直线上）、查三角形的个数；（2）注意对边、对角与对应边、对应角的区别；（3）三角形的分类：了解按边分类、按角分类两种形式；（4）了解三角形的稳定性。
2、三角形的三边关系：两边之差﹤第三边﹤两边之和
（1）、识别：给出三边长，判断是否构成三角形。
（2）、确定范围：给出两边长，求第三边长或周长的取值范围，可以结合奇、偶性确定固定值。
（3）、等腰三角形中的三边关系——见《等腰三角形》
3、三角形的三条重要线段——中线、高线、角平分线
（1）中线：①、定义、画法（会尺规作图）、重心；②、平分面积；③、一边上的中线将三角形分为两个三角形周长之差。
（2）高线：①、定义、画法（识别、了解尺规作图）；②、位置——分类讨论（内部、外部、边上）；③、涉及角的运算时，直角三角形的两个锐角互余；④、涉及边的运算时，面积法。
（3）角平分线：①、定义、画法（会尺规作图）；②、角平分线的性质与判定——见《垂直平分线与角平分线》；③“组合推理”：两个角平分线、角平分线与高、角平分线与平行。注意延伸变形。
4、三角形的角
（1）三角形的内角：①、理解三角形的内角和定理，体会添加辅助线的必要性；②、给出两个角求第三个角，等腰三角形的角——见《等腰三角形》；③、给出角的关系，判断三角形的形状（尤其是直角三角形、等腰三角形）。
（2）、三角形的外角：①、定义，外角和；②、外角的性质（相邻的、不相邻的）；③、计算角的数，已知三个角的度数求其他角的度数；④、不规则图形中角的转化，与方位角的结合。
5、多边形：
（1）、多边形、正多边形的定义
（2）、公式：①、内角和；②、外角和；③、对角线；④、正多边形的每个内角、每个外角。
（3）、题型：①、角的度数与边数；②、多一个内角或少一个外角；③、围绕一个多边形转一圈回到起点的问题等。
6、镶嵌：（1）、条件每个顶点处各内角的和为360°；（2）、单独一种图形可以进行镶嵌的有：任意三角形、四边形，正六边形等；（3）、两种边长相等的正多边形图形可以进行镶嵌的有哪些？
7、全等三角形：
（1）、定义；查找全等三角形的个数；书写格式要求。
（2）、性质：对应边、对应角、周长、面积；能识别全等三角形中的对应边、对应角
（3）、判定：①其中SSS 、SAS、ASA、HL是通过作图验证的，而AAS是通过ASA推理验证的。
②会合理选择判定方法
③三角对应相等两个三角形不一定全等，两边及一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
④添加一个条件使两个三角形全等，（注意挖掘图形中的隐含条件）
（4）、应用：会推理证明边相等、角相等、三角形全等。
8、作图问题：
（1）、尺规作图：
①、依据：作一个角等于已知角，作已知角的平分线——SSS
②、会灵活选择尺规作图，尤其是作已知角的平分线、作已知线段的垂直平分线。
③、作图要求
（2）、在已知线上找一个点，使线段之和最短。
（3）、能画出简单平面图形（点，线段，直线，三角形等）关于给定对称轴的对称图形。
9、轴对称
（1）、两个图形成轴对称与轴对称图形的区别与联系；会识别轴对称图形。
（2）、对称轴：①、直线；②常见几何图形的对称轴的条数、描述。
（3）、在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的
关系。
（4）、应用：台球入袋；剪纸；镜面等
10、角的角平分线与线段的垂直平分线：整理表格
11、等腰三角形——分类讨论
（1）边：①已知两边长，求周长；②已知周长、一边长，求另两边长；③一腰上的中线将等腰三角形分为15、12两部分，求三边长。
（2）角：①已知一个角的度数，求另两个角的度数；②已知一个外角的度数，求顶角或底角的度数；③已知一腰上的高与另一腰的夹角的度数，求顶角或底角的度数；④已知一腰上的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角的度数，求顶角或底角的度数。
（3）性质：①轴对称性；②边；③角；④三线合一
（4）判定：①边；②角。
（5）思路：在一个三角形中，等边对等角；在一个三角形中，
等角对等边。
12、等边三角形
（1）定义
（2）性质：①轴对称性；②边；③角；④三线合一
（3）判定：①边；②角；③边和角
13、等腰直角三角形
特性：等腰直角三角形底边上的高将三角形分成了两个全等的等腰直角三角形。
（三）、重难点、易错点及解决策略：
1、三角形的高
（1）画三角形的高时容易出错
（2）考虑高的问题，未分类讨论。如：①已知一腰上的高与另一腰的夹角的度数，求顶角或底角的度数；②已知一腰上的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角的度数，求顶角或底角的度数。
解决策略：引导学生分析高的画法（一个端点是三角形的顶点，另一个端点是垂足），掌握其不确定因素——位置不唯一（内部、外部、边上）。
2、等腰三角形
（1）边角计算考虑不全面。如：①已知两边长，求周长；②已知周长、一边长，求另两边长；③一腰上的中线将等腰三角形分为15、12两部分，求三边长；④已知一个角的度数，求另两个角的度数；⑤已知一个外角的度数，求顶角或底角的度数。
（2）在推理、运算时，不能有效的进行边角转化。
解决策略：引导学生分析等腰三角形的不确定因素——边角不明确（即给出的边和角，不确定是腰和底边、顶角和底角）。在推理、运算时，培养学生的思维习惯：在一个三角形中，体会等边和等角的相互转化。
3、外角：
（1）性质：不能将内外角进行相应的转化。
（2）推理、运算：考虑不到运用外角来解决问题。
解决策略：引导学生加深对于外角概念的理解，将外角作为图形分析的有效工具之一，让学生体会运用外角分析的优越性。
4、多边形：
（1）正多边形的概念。
（2）角的运算
解决策略：运用举反例的方法引导学生理解只满足其中的一个条件的多边形不一定是正多边形。角的运算中，引导学生将多边形通过添加辅助线将其转化为三角形来解决，注意内外角的转化和方程、不等式的运用。
5、全等三角形的判定：
（1）错把“三角对应相等”、“两边及一边的对角对应相等”当成判定三角形全等的方法。
（2）不会合理的选择判定方法
（3）书写格式不规范
解决策略：通过举反例加深学生对于“三角对应相等”、“两边及一边的对角对应相等”的理解，引导学生学会分析。对于判定方法的选择：有两组等边时，考虑SSS、SAS；有两组等边时，考虑ASA、AAS；有一组等边和一组等角时，考虑SAS、ASA、AAS，注意挖掘图形的隐含条件（公共边、角，公共部分的边、角，对顶角）。在过程教学中，一定要注意细节。
6、角平分线与垂直平分线
（1）、在运用角平分线与垂直平分线性质和判定时易混。
（2）、作图时选择角平分线与垂直平分线时易错。
解决策略：整理表格，系统条理掌握两者的区别，把握好关键词：角平分线——到边，垂直平分线——到点。
（四）、教学建议：
1、培养学生的动手能力。几何教学应回归其本质，尤其平面几何教学很多来自于直观教学，对于初二学生而言，要多设计教学活动，动手操作，观察猜想，有利于学生对于知识的理解。例如：在三角形的三条重要线段中，让学生通过折纸的方法去找出角平分线、中线，更能让学生理解其特点，体会数学与生活的紧密联系；在轴对称的教学中，通过折叠的方式，让学生体会完全重合的感觉，也有利于学生对于对称轴的理解等等。
2、加强对几何图形认识。图形是几何的灵魂，只有把握好图形，才能更好地利用图形，分析问题，解决问题。引导学生将文字语言转化为图形语言，学会分析图形中的隐含条件，体会图形的变化特点。
例如：在全等三角形的教学中，善于挖掘图形的隐含条件（公共边、角，公共部分的边、角，对顶角），便于题目的分析、解决；在轴对称的教学中，通过将原图形折叠，会得到一些新的图形，而对于图形的分析往往需要还原为原有图形，其中2012年德州市数学中考题的压轴题就是以正方形翻折为原型改编的。
3、教会学生分析，比教会学生说过程重要得多。在课堂教学中，我不知道大家有没有这样的感触，学生站起来回答问题，一上来就是因为、所以，缺乏思路分析，基本上都是就题论题，我的课堂也是如此。新课标目标中有一条就是关注解决问题，而解决问题是以分析问题为前提的，缺乏分析的环节，就如同没头的苍蝇一样乱撞，没有次序。在平时的教学中，要注重学生分析能力的培养，引导学生分析知识之间的联系：“从条件中可以得到什么？要想得出结论还需要什么？如何建立两者之间的联系？”这才是解决问题的关键。
4、引导学生善于反思、总结。任何学习都离不开反思、总结，尤其对于逻辑性非常严密的几何显得尤为重要。在平时的教学中，要培养学生善于反思、归纳的习惯。例如：现在几何问题多以边相等或角相等的问题形式出现的，我们就可以引导学生归纳得到角相等、边相等的方法；遇到倍数关系、和差关系的问题，可以引导学生运用截长补短等思考方式来解决。如果我们希望学生作为一个有心人，那我们也要善于反思总结，我想各位老师也是这么做的！
5、感悟数学思想，积累数学活动经验。在这一部分中主要体现了①转化思想：内外角的相互转化，多边形转化为三角形，轴对称图
形与成轴对称的相互转化，等边等角间的相互转化，不规则图形向规则图形的转化等等；②方程、不等式：三角形的边角运算，多边形的边角运算等等；③面积法：三角形，等腰三角形，在整式的乘法中也有所体现；④分类讨论：等腰三角形，高，垂直平分线，以及完全平方式等等，我在这儿总结的不全，相信各位老师比我考虑的还全面。
6、善于变换，一题多解，一题多变，培养学生的创新意识,发展学生的合情推理能力。将问题变形拓展,我也一直在思考，总感觉自己挖掘的不够深。现在就我的几点不成形做法，和大家一起交流一下。
①就题论题：将题目中条件与结论互换，能不能成立。②把握图形的变化特点：由内及外，全面思考。如：三角形的角平分线问题：两内角——一内一外——两外角；探索多边形的内角和：在内部取一点——顶点——边上——外部；全等三角形推理证明中：点在线上移动，图形变化；有的变化腰把握图形运动的本质，将图形平移、旋转、轴对称等等；③发展合情推理：从特殊到特殊，从特殊到一般。如从我们熟知的两个等边三角形具有公共端点的问题可以变为等腰直角三角形、正方形、正五边形……，还可以变为一般的等腰三角形，还可以变换位置（从共线旋转等）把握不变的内在规律等等④合理把握“综合与实践”的实施，近年来中考题一直奉行的原则就是源于课本，很多复杂的问题在课本中都能找到其原型，尤其是实践活动部分与生活及今后后续学习有的部分。如：2010年的青岛市中考题最后一个题对应的内容就是镶嵌，最短距离的问题与高中平面直角坐标系两点间的距离公式相结合也曾出过一个中考题。
第二部分: “整式的乘法与因式分解”、“分式”
本部分主要内容有幂的运算、整式的乘除、分式的运算以及分式方程，是在学习了实数的运算、整式加减的基础上进行的，又是以后进一步学习根式、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要的意义。
（一）、课程标准要求：
1、整式与分式：
（1）了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。
（2）能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）。
（3）能推导乘法公式：(a+b)( a- b) = a2- b2；(a±b)2 = a 2±2ab + b 2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。
（4）能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
（5）了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算。
2、方程：
（1）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
（2）经历估计方程解的过程。
（3）能解可化为一元一次方程的分式方程。
（4）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
（二）知识点、考点分析：
1、幂的运算
（1）同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、分式的乘方、幂的乘方。①法则；②负指数次幂、零指数次幂；③运算。
（2）科学记数法：①比较大的数；②比较小的数
2、整式的乘除
（1）单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、单项式除以单项式、多项式除以单项式。①推导过程；②法则；
③运算。
（2）乘法公式：(a+b)( a- b) = a2- b2；(a±b)2 = a 2±2ab + b 2。
①几何意义；②公式特点；③运算；④应用。
3、因式分解
（1）概念：①形式要求；②因式分解与整式乘法的关系
（2）常用的因式分解方法：①提取公因式法：②运用公式法：平方差公式、完全平方公式
（3）因式分解的一般步骤①一提：如果多项式即各项有公因式，那么先提公因式；②二用：如果多项没有公因式，再尝试运用公式法来分解；③三查：分解因式必须进行到每一个因式都解因为止。
4、分式：
（1）概念：①分式与整式的区别；②有无意义的条件；③分式值为0
（2）分式的基本性质：①分式的基本性质；②分式的符号法则。
（3）分式的运算：①分式的乘、除法；②分式的加、减法（同分母分式、异分母分式）；③分式的乘方；④分式的混合运算。
5、分式方程
（1）概念：①分式方程；②分式方程与整式方程的区别与联系；
③分式方程的解（根）；④增根
（2）解分式方程：①步骤；②注意事项。
（3）应用：①步骤；②注意事项。
（三）、重难点、易错点及解决策略：
1、幂的运算
（1）混合运算易出错，尤其是负指数幂的运算。
（2）法则公式的逆用出错较多。
（3）底数互为相反数、互为倒数时，易混。
解决策略：①注重法则公式的推导过程，理解其成立的条件，加深对公式中的a、b的理解。②对于负指数幂的运算，把握两个原则：
一、在运算中负指数幂与正指数幂相同，只是指数的符号发生了改变；
二、运算结果中负指数幂一定要转化为正指数幂。③幂的运算法则及其逆用，其实质是底数运算与指数运算的相互转化，底数运算向指数运算转化时为降级运算，而指数运算向底数运算转化时为升级运算。
④互为相反数、互为倒数是幂的运算，乃至整个数的运算的两个典型代表，尤其是互为相反数的式子运算是这两章的难点，应注意引导学生掌握其特点，理解其相互转化的规律：(-a)n =-a n（n为奇数），(-a)n
= a n（n为偶数）。
2、整式乘法
（1）运算时易出错
（2）乘法公式：①易混；②不能合理运用；③对于完全平方公式考虑不全面；
解决策略：①注重法则公式的推导过程，理解其成立的条件，加深对公式中的a、b的理解。②在多项式的乘法中引导学生注意三点：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要合并。③对于乘法公式，要多分析公式的特点（运算符号、性质符号），将公式适当的变形，加深学生对于公式的理解，也可以运用一些比较通俗易懂的口诀帮助学生记忆。同时要加深面积法的运用，了解其几何意义。④对于完全平方公式要进行适当的拓展，如：分类讨论、知二求二（(a+b)2、(a-b)2、a 2 + b 2、ab）、配方法等等。
3、因式分解：
（1）形式不符合要求
（2）因式分解与整式乘法混淆
（3）分解不彻底
解决策略：①引导学生理解因式分解的概念中的“整式”、“乘积”，先满足形式，再考虑运算，提醒学生分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验。②因式分解与整式乘法互为逆变形，引导学生认真审题，一般情况下，题目要求用因式分解、进行分式运算或运用因式
分解可以简化运算的过程时运用因式分解，其余情况运用整式乘法。
③分解不彻底是最常见的问题，引导学生坚持步骤分解，分解得到的新式子也要要考虑是否可以再分解，培养良好的做题习惯。
4、分式
（1）取值范围考虑不全
（2）混合运算易出错
解决策略：①引导学生分析分式与整式的区别，强调“分母不为0”，可以与算术平方根（二次根式）相结合。同时注意分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0。②分式的混合运算是中考中的常见题型，属中等偏下难度。要求学生理解算理，掌握法则，严格按照步骤进行运算，尤其要注意因式分解、通分、约分等各环节的掌握。
5、分式方程：
（1）不理解分式方程增根产生的原因。
（2）解分式方程易出错。
（3）不会分析实际问题的数量关系。
解决策略：①对于分式方程增根产生的原因，可以从分式的值为
0入手，如：
1
x
x
-
=和
2
1
1
x
x
-
=
-
，让学生体会第二个式子中x=1
可以使分子为0，同时也使分母为0，因此不存在x使分式的值为0，也就是此方程无解。再利用化归思想，让学生体会分式方程与整式方程的区别和联系，这样有利于学生对于增根的理解。②和分式运算要求一样，培养学生良好的解题习惯和检验习惯。③类比整式方程的做法，引导学生学会读题、审题，寻找等量关系，列出方程，体会方程
是刻画现实世界数量关系的有效模型。并能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
（四）教学建议：
1、“加强四基教学”。对于数学知识的掌握，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在应用中不断巩固和深化。在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。例如，对于整式、分式的运算，要求学生不仅要掌握如何进行计算，而且要知道相应的算理；需要一定量的训练，但要适度，不能依赖机械的重复操作，要注重训练的实效性。我们应把握技能形成的阶段性，根据内容的要求和学生的实际，分层次地落实。
2、加强学生解题习惯的培养。我感觉数学学习就像旅行，几何的特点是知道起点和终点，要探索路如何走——缺乏的思路；而代数的特点是知道起点，也知道大体的路，但不一定走到终点——会做但做不对。这就要求我们在平时教学中，要求学生理解算理，掌握法则，严格按照步骤进行运算，注重良好习惯的培养。如：分子作为一个整体添括号，运算时注意符号，分子分母是多项式时因式分解，约分要彻底，学会检验等等。
3、注重做题方法、技巧的应用。初中代数实现了由数到式的改变，但还没有完全脱离开数的运算，因此特殊值法在选择填空中仍是比较简练有效的方法之一。在涉及分式求值运算中，将条件变形整体代入或将问题变形去凑条件，都能较好的解决问题。同时，代数中常用的换元法，配方法、面积法等等，可以在平时的教学中不断渗透。
4、思想方法的有效渗透可以是教学事半功倍。本部分教学中主要体现了以下思想方法：①化归思想：将分式方程转化为整式方程；幂的运算中，互为相反数的转化；多项式乘以多项式转化为单项式乘以多项式最后转化为单项式乘以单项式；多项式除以单项式转化为单项式除以单项式等等。②类比思想：幂的运算中，同底数幂的除法类比同底数幂的乘法，分式的乘方类比积的乘方；分式的认识、运算类比分数；分式方程类比整式方程等等。③数形结合——面积法：在探索单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、乘法公式都有所体现。④分类讨论：完全平方公式①给出首项、尾项确定中间项；②给出两项，添加一项使其成为完全平方式等等。
5、适当延伸，有利学生的发展。在我们平时的教学中要注重挖掘教材的内涵，多引导学生提出问题，如法则公式中的a、b还可以表示什么？（ab）n还可以拓展为什么式子？你还发现了什么规律？等等，这都有利于加深学生的理解。另外我认为我们也要重视教材中的阅读材料如杨辉三角、十字相乘法、等比性质、合比性质等等，以及做题需要的面积法、配方法、作差比较大小法、作商比较大小法等等，虽然现在不一定对于提高成绩有多大帮助，但对于学生的后续学习以及思维的培养有很大帮助，甚至有的中考题就来自于这些知识，如2013年滨州市中考题的第18题来自于教材的122页规律探索题，2011年青岛市中考题的第23题，就是对于教材137页作差比较大小法的考察。
最后我想对于复习提两点建议：一、利用好思维导图，构建知识
体系；二、新授课应该是将课本变厚，而复习课应该是将课本变薄，把握好重难点，典型问题。