第一章 复数与复变函数（1）
1.计算
)(1)2;
i i i i i --
=
--
=-()122(12)(34)(2)5102122.
;
345(34)(34)59165
5
i i i i i i i i i
i i i +-++--+++
=
+
=-
=-
--+-+5
5
51(3).
;
(1)(2)(3)
(13)(3)
102i i i i i i i
=
=
=
------
4
2
2
2
(4).(1)[(1)](2)4;
i i i -=-=-=-
1
1
22
())]a b a b i =+=
1
1
2
2
24s sin )]()(co s
sin
);
2
2
i a b i θθθθ=+=++
3.
设
1z
=
2;z i =
试用三角形式表示12z z 及1
2z z 。
解：
121co s
sin
;(co s
sin
);
4
4
2
6
6
z i z i ππππ=+=
+
121155[co s(
)sin (
)](co s
sin
);
2
4
6
4
6
2
12
12
z z i i π
π
π
π
ππ=
+
++
=
+
12
2[co s(
)sin (
)]2(co s
sin
);
4
6
4
6
12
12
z i i z ππππππ=-
+-
=+
11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;
z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆
z =1
的正三角形的顶点。
证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--
122331;z z z z z z ∴-=-=-123
,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z === 123
,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。
即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
.
17.证明：三角形内角和等于π
。
证明：有复数的性质得：
32132131
12
23
arg
;arg
;arg
;
z z z z z z z z z z z z αβγ---===---
13322131
12
23
1;
z z z z z z z z z z z z ---?
?
=----
arg(1)2;
k αβγπ∴++=-+
(0,);(0,);(0,);
απβπγπ∈∈∈
(0,3);
αββπ∴++∈
0;k ∴=;
αβγπ∴++=
第一章 复数与复变函数（2）
7.试解方程
()
4
4
00z a a +=>。
解:由题意44
z a =-,所以有()4
10z a a ??
=-> ???;
4
co s sin i z i e
a π
ππ??=+= ???;所以24(0,1,2,3)k i z e k a θπ
+==;
4
1i z a e
π=;34
2i
z a e
π=;54
3i
z a e
π=;74
4i
z a e
π=.
12．下列关系表示的z 点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？
1212(1).()
z z z z z z -=-≠
解：此图形表示一条直线，它不是区域。
(2).4;
z z ≤-
≤
816;2;x x ≤≤此图形为≤x 2的区域。
1(3).
1;
1
z z -<+
解：2
2
2
2
11(1)(1);z z x y x y -<+-+<++；22;0;x x x -<>此图形为x>0的区域。
(4).0arg (1)2R e()3;
4
z z π<-<
≤≤且
解：此图形表示[2,3]区间辐角在
[0,
]
4π
的部分。
(5).1Im 0;
z z ≥>且
解：1
z ≥表示半径为1的圆的外上半部分及边界，它是区域。
12(6).Im ;y z y <≤
解：它表示虚部大于1y 小于等于2y 的一个带形区域。
(7).231;
z z >->且
解：此图形表示两圆的外部。
131
(8).;2
2
2
2i i z z ->->
且
解：
2
11()2
2y +-
>
2
x ，
2
2
31()2
2x y +-
>
，它表示两相切圆半径为1
2的外部区域。
(9).Im 12;
z z ><且
解：此图形表示半径为2的圆的内部，且Im 1z >的部分，它是区域。
(10).20arg ;
4
z z π<<<
且）
解：此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在4π????
?
?0,的部分，它是区域。
第二章 解析函数（1）
4.若函数
()f
z 在区域D 上解析，并满足下列的条件，证明()f z 必为常数.
()()
0f z z D '=∈
证明：因为
()f
z 在区域上解析，所以,u
v u v
x
y y x ????=
=-????。
令()()(),,f
z u x y iv x y =+，即()0
u v f z i x y
??'=
+=??。 由复数相等的定义得：0
u
v x
y
??=
=??，0
u
v y
x
??=-
=??。
所以，(
)1,u x y C
=(常数) ，()2,v x y C
=(常数)，即()12f
z C iC =+为常数。
5 .证明函数在z 平面上解析，并求出其导数。
（1）(cos sin )(cos sin ).x x
e x y y y ie y y x y -++ 证明：设()()(),,f
z u x y iv x y =+=(cos sin )(cos sin ).x x
e x y y y ie y y x y -
++
则
(),(cos sin )
x
u x y e x y y y =-，
(),(cos sin )
x
v x y e y y x y =+
(co s sin )co s x
x
u e x y y y e y
x
?=-+?；co s sin co s x
x
x
v
e y y ye x ye
y
?=-+?
(sin sin co s )x
u e x y y y y y
?=-++?； (co s sin sin )
x
v
e y y x y y x
?=++?
满足;u
v u v x
y y x ????=
=-????。
即函数在z 平面上(
)
,x y 可微且满足C R -条件，故函数在z 平面上解析。
()(co s sin co s )(co s sin sin )
x
x
u v f z i
e x y y y y ie y y x y y x
x
??'=
+=-++++??
8．由已知条件求解析函数()f
z u iv =+，
22
u x y xy =-+，()1f i i =-+。
解：2,2x y u x y u y x =+=-+，
2,2
xx yy u u ==-。
所以
xx yy u u +=即u 是平面上调和函数。由于函数解析，根据C R -条件得2x y u v x y
==+，于是，
2
2()
2
y
v xy x ψ=+
+,其中()x ψ是x 的待定函数，再由C —R 条件的另一个方程得
2'()x v y x ψ=+=2y u y x -=-，
所以'()x x ψ=-，即2
()2x
x c ψ=-+。于是2
2
222y
x
v xy c
=+-+
又因为()1f i i =-+，所以当0,1x y ==，时1u =，11
2
v c =
+=得
12c =
所以
()2
2
22
1
(2)
2
2
2y
x
f
z x y xy i xy =
-+++
-
+
。
第二章 解析函数（2）
12.设ω是z 的解析函数，证明x
y u
v ??=
??，x
y
v
u ??=-
?? (,)u i v z x i y ω=+=
+。
证明：ω是z 上的解析函数，所以，ω在(
)
,x y 上处处可微，即u
v x
y ??=
??，u
v y
x ??=-
??，
所以，u v y v u x x y v y x u ??????=?????? ，所以x y
u v ??=
??，
同理，u v y v u x y y v
x x u ??????=-?????? ，所以，x y v v ??=-
?? 即得所证。
14.若z x iy =+，试证：（1）sin sin cos z xchy i xshy =+。 证：sin sin()sin cos cos sin z x iy x iy x iy =+=+ =()
sin co s 2
2iiy
i iy iiy
iiy
e
e e
e x
x
i
--+-+
=
()
sin co s 2
2
y y i iy y
e e
e
e x
i x
--+-+
sin cos xchy i xshy =+ 18.解方程
ln 2i z π=
。 解：ln ln arg 02i z z i z π=+=+
，
即
1,arg 2z z π
==
，设z x iy =+
1=，
()arg 2x iy π
+=
得0,1x y ==，即z i =。
20.试求2(1),3,,i
i
i
i
i i e ++及(1)L n i +。
解：(
2)22
2
,0,1,2,i k i k i iL n i
i e
e
e
k ππππ
+-
-====±±???
(2)
(1)
24
4(1)(co s ln sin ln i k i
iL n i k i e
e
i e e
ππ
ππ
+++===+，
0,1,2,k =±±???
(1)ln (1)2ln 2ln (
2)
4
4
L n i i i k i
i k i k π
π
πππ+=++=+=+
0,1,2,k =±±??? 3
(ln 32)
3cos ln 3sin ln 3i
iL n i k e
e
i π+===+
222
(cos 1sin 1)i i
e
e e e i +==+ 22，求证0sin lim 1z z z →=
证: z x iy =+(x,y,均为实数)，所以
,sin sin ()lim
lim
z x y z x iy z
x iy
→∞
→∞
+=+
当0x →则极限趋近于z 轴，有
sin lim
1
iy
iy
i
y iy e
e iy
iyz
-→∞
-=
=
当0y →时，则极限趋于z 轴，有sin lim
1
x x x
→∞=，
故
sin lim
1
z z z
→∞
=。
第三章 柯西定理 柯西积分（1）
1.计算积分12
),
i
x y ix d z +-+?（积分路径是直线段。
解：令z=(1+i)dz ， dz=(1+i)dt ，则：
1
2
(1)it i d z
=
+?
?
1+i
2
(x -y +i x )d z 3
1
2
1
1(1)(1)
33
t
i i t d t i -=-=-=
?。
2.计算积分路径是（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。
解：
1(11)z it t dz idt z t
=-≤≤==（）令，， ， 111
1
1
()i i
z dz t idt i t dt i tdt i
---=
=-+=?
?
??所以
(2).co s sin ()(sin co s )1
2
2
z i d z d z π
π
θθθθθθ=+-
≤≤
=-+=令：，， ，则
222
2
sin co s 022i
i
z i d i d i i
ππ
ππθθθθ---=-+=+=?
??
3(3).co s sin ((sin co s )1
2
2
z i d z i d z ππ
θθθθθθ=+=-+=令 从
到
），， ，
2
2
332
2
sin co s 022i
i
z d i d i i
ππ
ππθθθθ-=-+=+=?
??
5.不用计算，证明下列分之值为零，其中C 为单位圆。
（1）
co s c
d z
z
?，（2）
2
22c
d z z
z ++?，（3）
2
56
z
c
e
d z
z z ++?，
解：（1）因为函数θ
1f (z )=
c o s 在单位圆所围的区域内解析，所以
co s c
d z
z
=?。
（2）因为函数()f z =
2
1
z +2z +2在单位圆内解析，所以
=?
2
c
d z
z +2z +2
。
（3）
D z
z
2
e
e
因为函数f (z )=
=
的解析区域包含拉单位围线
z +5z +6
(z +2)(z +3)
d z =?
z
2
c
e
所以由哥西积分定理有z +5z +6
6.计算
1
z d z
z =?
，
1
z d z
z
=?
，
1
z d z
z =?
，
1
z d z
z =?
。
解：
1
1
12(1)21
z z d z
d z
if i
z
z ππ===
==-?
?
（）。
21
1
(2)0
i i z z d z
ie d d e
z
πθ
θ
θ===
=
=?
?
?
。
()21
0co s sin (3)0
co s sin z i d d z
z
i πθθθ
θθ
=+=
=+?
?
。
21
(4)2z d z
d z
πθπ
==
=?
?
。
7.由积分
2c
d z
z +?之值，证明
20
12co s 0
54co s d πθθθ
+=+?
，其中取单位圆。
证明：因为被积函数的奇点2z =-在积分围道
1
z =外，故
2
c
d z
z =+?，现令i z re θ=，则在1
z =上
cos sin i z e
i θ
θθ==+，
()cos sin i dz ie d i i d θ
θθθθ
==+，
2
c
d z
z =
+?
()
20
co s sin 2co s sin i i d i πθθθθθ+++?
()()
()()co s sin 2co s sin 2co s sin 2co s sin i i d i i π
θ
θ
θθθ
θθθθ++-+++-?20
-=
()
20
2sin 2co s 154co s i d πθθθ
θ
-++=
+?
， 比较可得：20
2sin 0
54co s d πθθθ=+?，
20
2co s 10
54co s d πθθθ
+=+?
。
第三章 柯西定理 柯西积分（2）
8.计算：
（1）()
2
21
:
21
c
z z d z C z z -+=-?，
。
解：
2
2
21
221
12(2)1
11
c
c
c
z z z z z z d z d z z d z
z z z -+-++-+=
=
+
---??
?
1
1
(21)(2)1
1
c
c
c
c
z d z z d z d z d z
z z =
++
=
+
+
--?
?
?
?
002(1)2if i ππ=++=。
10.设C 表圆周2
3y +=2x ，()2
371
c
f
z d z
ζζζ
ζ++=-?，求
()
f '1+i 。
解：设
()2
371ζζ
ζ=++g ，它在复平面内解析，故当z C ∈时，则由哥西积分公式有
()()
()2
2
371
22371c
c
g f d d z ig z i z z Z
z
ζζζζππζζ++??=
=
==++??--?
?
z ，所以
()()2
1123712671226z i z i
f i z z i z i
ππππ=+=+'
'??=++=+=-+??
1+i 。
11.求积分
()
,:1,z
c
e
d z C z z
=?从而证明：co s co s(sin )e
d πθ
θθπ
=?
。
解：由于
:1
C z =，函数
()z
e
f
z z =
在0z =处不解析，
0(2)2z
z
z c
e
d z i
e i
z
ππ===?
。
令,i i z e dz ie d θ
θ
θ==，则
[]co s sin 22co s 0
co s(sin )sin (sin )2z
i i i c
e
e
d i
e d i e
i d i
z
e
θθ
ππθ
θ
θ
θθθθθ
π+=
=+=?
?
?
，故
22co s co s 0
co s(sin )sin (sin )2e d e
i d ππθ
θ
θθθθπ
+
=?
?
，所以
co s 0
2co s(sin )2e
d π
θ
θθπ
=?，即
co s co s(sin )e
d πθ
θθπ
=?
。
13.设
()2
f
z z
=
，利用本章例5验证哥西积分公式
()()c
f d f
z z
ζζ
πζ-?
1=
2i
以及哥西求导公式
()
()()
()
1
!
2n n c
f n f
z d i
z ζζ
πζ+=
-?
。提示：把
()f ζ
写成()()2
2
2z z z z
ζ
ζ-+-+。
证明：设
()()()2
2
2
2f z z z z
ζζ
ζζ==-+-+，则式的右边为可写为：
()()()2
2
212c
c
f d z z z z
d z
z
i
z
ζζ
ζζπζπζ-+-+=
--?
?
12i
()2
122c
c
z
z z d d i
z
ζζζ
ππζ-++
?
???-??
1=
2i 由哥西积分定理有：
()1
202c z z d i
ζζπ-+=?
???? ，所以右边
2
22
11222c
z
d z i z
i
z
i
ζππζπ=
=
=-?
，
即 左边=右边。
再由式子可知当1n =时，
()()()
()
2
1
1
22c c
f f f z d d i z i z ζζ
ζζ
πζπζ'
??'==??--????
，成立。
假设当n k =时，
1
!()()2()
k
k c
k f d f z i
z ζζ
πζ+=
-?
等式成立。则
当1n k =+时，
()1
2
1!
()()2()
k k c
k f d f
z i
z ξξ
πξ+++=
-?
成立。
所以
()
()()
()1
!2n n c
f n f
z d i
z ζζ
πζ+=
-?
。
14.求积分（1）(
)5
co s 1c
z
d z z π-?
，（2）
2
2
(1)
z
c
e
d z
z +?
，其中
():1.
C z a a =>
解：（1）被积函数有奇点1z =，该奇点在积分围道内，由哥西积分求导公式有：
()
5
co s 1c
z
d z z π-?
[]()
45
2
4
4
1
22co s 1co s 4!4!
12
z i d
i z i
d z
πππ
ππ
π==
=
-=-
'
'
2
2
2
2
2
2
221
2
()
()
(2):
22(1)
()
()
()()z
z
z
z
z
c
c c z i z i
e
e
e
e e z i z i d z d z d z i i z z i z i z i z i ππ==-??
??
+-=
+
=+??
??+-++-?????
?
?
(1)(1)(1)2
2
4i
i
i e i e i π
π
π
π-=
--
+=-
第四章 解析函数的幂级数表示（1）
2.将下列函数展为含z 的幂级数，并指明展式成立的范围：
（1）1
(,a b a z b
≠+为复数，b 0)
，（2）2
z
e d z
π
?，
（3）
sin z z d z
z
?，（4）2cos z , (5)2
sin
.z (6)()2
1
1z -，
（1）解：原式=
1
111()
1
n n a
z a
b b
b
z b
-∞
==
-+∑
|||
|
b
z a <
（2）解：原式=
∑
?∑
∞
=+∞
=+=0
1
20
2
)12(!!
)(n n z
n n
n n z
dz n z |z|<∞
（3）解：原式=
∑
?∑
∞
=+∞
=++-=+-01
20
2)12()!12()1()!
12()1(n n n z
n n n n n z
dz n z
|z|<∞ （4）解：原式=
∑
∞
=-+
=+02)!2()
2()1(212122cos 1n n
n
n z z
|z|<∞
（5）解：原式=
∑
∞
=--
=
-0
2)!
2()
2()1(2
12
12
2cos 1n n
n
n z z
|z|<∞
（6）解；原式=∑
∑∞
=-∞
==
'='-01
)()11
(n n n n
nz
z z |z|<1
4．写出
()
ln 1z
e z +的幂级数至少含5
z 项为止，其中
()0ln 10
z z =+=。 解：
2
2
1,||2!
z
e z z =++
+<∞
，
()2
3
ln 1,||1
23z
z
z z z +=-
+
-<
两式相乘得
2
3
4
111111111ln (1)1(1)()()2
2
3
2!
4
3
22!
3!
z
e z z z z z
+=++-
+-
+
+
+-
+-
+
5
1111111
()||1
5432!
23!
4!
z z +-+-+
<
5．将下列函数按(
)
1z -的幂展开，并指明收敛范围：
（1）cos z ， （2）sin z ，
（3）2z
z +， （4）2
25z
z z -+，
解：（1）原式=cos(11)cos(1)cos 1sin(1)sin 1z z z -+=-+-
22120
(1)(1)
(1)(1)
(1)(1)
1co s 1sin 1(co s 1sin 1)
2!
(21)!
2!
21
n n n n n n
n n n z z z z n n n n +∞
∞
∞
===-------=
+=
+
++∑
∑
∑
|1|z -<∞
（2）原式=sin(11)sin(1)cos 1cos(1)sin 1z z z -+=-+-
22120
(1)(1)
(1)(1)
(1)(1)
1co s 1sin 1(sin 1co s 1)
2!
(21)!
2!
21
n n n n n n
n n n z z z z n n n n +∞
∞
∞
===-------=
+=
+
++∑
∑
∑
|1|z -<∞
（3）
2
11111(1)()(112
3
3
3
3
13
z z z z --=
=
-
+
--++
1()
2
3
3
n
n z z z z ∞
=-∴
=
-
+∑
|1|3
z -<
（4）解：原式
22
11()[(
)]
142
1(
)
2
n
n z z z ∞
=-==--+∑
|1|z -<
6．设2
1
1n
n
n c
z
z z
∞
==
--∑，证明
()122n n n c c c n --=+≥，指出此级数展式之前5项，并指出收敛范围。
解：
1
1
]
2
2
n n n c ++=
- （0n ≥），
1
]
22
n n
n
c
-
=-
11
2
]
22
n n
n
c--
-
=-
12
n n n
c c c
--
∴=+）
原式
=
234
125
55
z z z z
+++++
1
||
2
z
-
<
第四章解析函数的幂级数表示（2）9．将下列函数在指定环域内展成罗朗级数：
（1）
()
2
1
,01,1.
1
z
z z
z z
+
<<<<+∞
-
解：原式2
212
1
z
z z
--
=+
-
在01
z
<<内，上式22
21221
2
1
n
n
z z
z
z z z
∞
=
--+
=-=--
-
∑
在1z
<<+∞内，上式
22
21212121
()
1
1
n
n
z z
z z z z z
z
∞
=
++
=-+=-+
-
∑
(2)
()()
2
2
25
,12
21
z z
z
z z
-+
<<
-+
，
解：原式
2
200
12111111
()()() 21222222
(1)1()
22
n n
n n
z z
z z
z z
∞∞
==
-
=+=-=---+
-+
∑∑0
1
()[1(1)]1||2
22
n
n
n
z
z
∞
=
=--<<
∑
（3）
()
2
,01
1
z
e
z
z z
<<
+
解：原式
2
2
00
11
()[()]0||1
21!2
n
n
z
n n
z z
e z z z
z n
∞∞
==
-
=+=--<<
+
∑∑
（4）
()()
5
1
13
z z
--
，03
z
<<
解：当1||3
z
<<时，原式=
55(1)1
00
5
11111
()()()
133
11
3
n
n n
n n
z
z
z z
z
∞∞
++
==
-=-
--
∑∑
当0||1
z
<<时，原式=
5
51
00
111
()()
133
1
3
n
n
n
n n
z
z
z
z
∞∞
+
==
-=
-
-
∑∑
（5）
sin
1
z
z-，011
z
<-<。
解：
1111sin
sin
sin 1co s
co s 1sin
1
1
1
1z z z z z z -+==+----
221
1
1
(1)(
)
(1)(
)
11sin 1co s 1(2)!
(21)!
n
n
n
n n n z z n n +∞
∞
==----=++∑
∑
221
(1)(1)
sin 1co s 1(1)(2)!
(1)
(21)!n n
n
n n n z n z n ∞
∞
+==--=+--+∑
∑
。
10．将下列各函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数，并指出成立的范围：
（1） ()
2
2
1
1z
+，其中z i =。
解
：
()
2
2
2
2
1
1
1
11
1
1
1(
)
4()
4()
41z i z i i z i
z i
z
=-
-
+
-
-+-++1
2
1
1
(4(
n
n z z i
z i
i
i
i
i
∞
∞
∞
-==
=
---=-
+
-
-
+
--
-∑
∑
∑
2
2
11
1
1
11
[(1)(
)](1)(
)
4()
4()
16
28
2n
n
n
n
n n z i z i z i z i i
i
∞
∞
==--=-
+-
+
-+
---∑∑ 0||2z i <-<
（2） ()1
2
11z
z e --，1z =
解：()
1
2
2
2
11
2
1
1
1(1)
1(1)
(1)
!(1)
!(1)
n z n
n n n z z e z z n z n z e
∞
∞
--==---=-=-=
--∑
∑
，|1|0z ->
11．把
()1
1f
z z =
-展成下列级数：
（1）在
1
z <上展成z 的泰勒级数。
解：()0
1
1n
n f
z z
z
∞
==
=
-∑
，
1
z <。
(2)在
1z >上展成z 的泰勒级数。
解；()0
111111
()()
111
1n
n f
z z
z z z
z z ∞
==
=-
=-
=-
---
∑， ||1z >
(3)在
12
z +<上展成(
)1z +的泰勒级数。
解：原式0
111
1()
122
212
n
n z z ∞
=+==
+-
∑， |1
2
z +|<1
(4)在
12
z +>上展成(
)1z +的泰勒级数。
解：原式
1
2(1)
(1)(
)
21
11
n
n z z z z ∞
==-+=-++-
+∑
2|
|1
1
z ?+
12．把()()
11f
z z z =
-展成在下列区域收敛的罗朗或泰勒级数：
（1）
01
z <<，
解：原式0
1111n
n z
z z
z
∞
==+
=+
-∑
，
（2）
1z >
解：原式0
111111
()
11n
n z z
z z
z z ∞
==
-=--
∑，
（3）
011
z <-<
解：原式1
1
1
11(1)
(1)
(1)
1(1)
11n
n n n n z z z z
z
-∞
∞
-===
+
=
-+
==
---+--∑∑，
（4）
11z ->
解：
原式0
1
11
1(1)(
)11
1
1
11
n
n
n z z z z ∞
==
+
-+
---+
-∑1
1(1)
(
)
1
n
n
n z ∞
==
--∑，
（5）
11z +<
解：原式
1
11(1)1(1)
1
1n
n z z z z ∞
==-
+
=-++
-+--∑
1
1(1)()
2
2
n
n
n n z z ∈
∞
==+=-++
∑∑，
（6）
112
z <+<
解：原式
11
111
11
1
()()1121
2
2
11
112
1
n
n
n n z z z z z z ∞
∞
==+=+
=+
++++-
-
+∑∑
1
1(
1)(1)
2
n
n n z ∞
+==
-+∑
。 （7）
12z +>
解：原式
1
111
2
1
1
()()21111
11
(1)(1)
111n
n
n n z
z z z z z z
z
∞
∞
===-
+=-
+
++++++-
-
++∑∑
1
1(1)
(1)
n
n
n z z ∞
==
-+∑
|1|2z +>
第四章 解析函数的幂级数表示（3）
13．确定下列各函数的孤立奇点，并指出他们是什么样的类型，对于无穷远点也要加以讨论：
（1） ()
2
2
11z z z -+
解：孤立奇点为：0,,z z i z i ===-，
对于0,z =原式=
1
()1()
z X z z z i z
-=∴
-Z 为一阶极点
z i =，原式=
2
2
2
2
111()()
()
(1)
z z z z i z i z z i z --=
∴
-++-z i =为二阶极点，
同理：z i =-也为二阶极点。
对z =∞，原式=42
2
2
2
11
(1)1
1
(1)
(
1)
z z z z z z
--=++，由于
42
2
(1)lim
(1)
n z z z →-=+，即为可去奇点。
（2）
22
1
()z i +
解：2
0z i += ，3()
4
i k z e
ππ+
=为二阶极点。
42
2
2
2
2
2
2
2
2111lim
lim
lim
lim 0
11()
(1)
()
()
z z z z z
z i z i z i i z
z
→∞
→∞
→∞
→∞
====++++即为可去极点。
(3)3
1co s z
z
-
解；
23
3
1co s 1
22z
z
z
z
z -=
=
，0z =为一阶极点。
33
03
1
1co s 1co s 1lim
lim
lim (1co s )0
1z z z z
z z z
z
z
→∞
→→--==-=即为可去极点。
(4)
1
co s
z i + 解：z i =-为本性极点。
11lim co s
lim co s
lim co s(
)1
11()
z z o
z z z i
zi
i z →∞
→→===+++即在无穷远点为可去极点。
(5)1z
z
e
e -
解：z=0，1
1
z
z z m e
e e m z
-=-即z=0时，有(m-1)阶极点，
1
1
1
1lim
lim
lim (1)0
1
()z
m
z z z z m
e e z z e zm
z
→∞
→→--==-=即无穷远点为可去极点。
(6)1z
z
e
e -
解：0z =，
1
1lim
1
1
1
1z
z
z z
e
e e →=--
即无穷远点为可去极点。
(7)1
sin co s z z +
解：
sin co s ()4z z z π
+=
+
，
4
z k π
π
+
=，
4z k π
π=-
(k=0,1±, )一阶极点，
111lim
lim
lim
111sin co s sin
co s
(
)
4
z z z z z
z z
z π→∞
→→===+++
不存在，为本性极点。
(8)11z z
e
e -+
解：1z e =-，z i θ=，1i e θ
=- (21)z i k π=+(0k =,1)± 一阶极点。
1
1
1
2
1
1
1
21()11(1)lim
lim
lim
lim
1
11
1()()
z z z
z z
z z z z z
z z e e e e z e
e i e e z
→∞
→∞
→→--'
---===-+'++-
即可去极点。
(9)2
2
3
(32)z z -+
解：1,2z z ==，三阶极点，
2
2
2
2
333
2
1111lim (32)lim (
3
2)lim [(
1)(
2)]z z z z z z
z
z
z
→∞
→→-+=-+=--2
2
3
4
(132)lim
3
z z z z
→-+==∞
(10)tg z
解：2z k π
π=+
(0k =,1±,) 一阶极点，
1sin
lim lim
1co s
z z z tg z z
→∞
→==>不存在
(11)
1sin
1z -
解：1z =，为本性奇点，
11lim sin
lim sin
lim sin
111
1z z z z z
z z
→∞
→→∴===---
即为可去奇点。
(12)1
1
1
z z e e
--
解：0,1z z ==，一阶极点，
1
1
1
1
111
1
1
lim
lim
lim
11
z
z z
z
z z z z z z e e
e e
e e ----→∞
→→===--可去奇点。
14.设
()(),f
z g z 分别以z
a =为m 阶极点，试问z a =为
,,
f
f g f g g +?的什么样的特点。
解；设n
m
a z z z g a z z z f )
()()(,)
()()(-?=
-λ=
??
?
???
???=-φ+λ<-φ+λ->-φ-+λ=+--)()()()()()()()()
()()
()
()()(n m a z z z n m a z z z a z n m a z z a z z g f n n
m
n m
n m （1） ()().()
m n
z z f g z a λφ+=
- (m+n)阶极点 （2）
可去奇点
级零点）级极点（）（)()
()()()()
()()()()()(1)()(n m n m n m z z n m z z a z n m z z a z z g z f m n n
m --??
??
??
???
=φλ<φλ->φλ-=-- (3)
所以
当m ≠n 时 z=a 为f+g 的max{m,n}阶极点
当m=n 时 阶的极点或可去极点
低于阶极点n n a a a a _____0)()(0
)()(??
?=φ+λ≠φ+λ
15.设
()0f
z ≠，且以z a =为解析点或极点，而()z ?以z
a =为本性奇点，证明z a =是()
()z f z ?±，
()()z f z ? ，()
()z f z ?的本性奇点。
证明：设
∑
∞
=-?=
?-λ=
)
()()(,)
()()(n n
m
a z z z a z z z f
m
n n
a z z a z z z f z )
()()
()()()(0
-λ±
-?=
±?∑
∞
=显然其中主要部分有无限项。
所以z=a 是±f(z)+ φ(z)的本性奇点。
n
m n m
n n n n
m
a z z z a z z a z z z f z a z z a z z z f z -∞
=∞
=∞
=-λ?=
-λ-?=
?-?-λ=
?∑
∑
∑
)
()
()()
()
()()
()
()()
()()()()().(0
所以z=a 是f(z)φ(z)及)()
(z f z ?的本性奇点。
16．讨论下列函数在无穷远点的性质。
(1)2
z
解：
∞
==∞
→∞
→2
2
1
lim lim z
z
z z 二阶极点。
(2)1z
z +
解：?
=+=+=+∞
→∞
→∞
→111lim
1
11
lim
1lim
z
z
z z z z
z z z z 可去极点。
(3)()1
2
1z +
解：
1
21
...
11)1(...
11)
1(102
22
1
01
2
2101
==∴+++=+∴+++=+c c c z
c z
c c z z c z c c z z
z
令
由上得：0c =±1 211±
=c
从而得：z=∞为本性奇点。 (4)
1sin
z z
解：1
sin 1lim
1sin
lim ==∞
→∞
→z z
z z z z 可去奇点。
第五章 残数及其应用（1）
1. 求下列函数在指定点处的残数.
()1()()2
11z
z z -+在1,z
=±∞
解:当1z =时，()2
11
1R e ()lim 1z z z z
s f z z →→=??
= ? ?
+??=14,
当1z =-时，
()()1
1111R e lim 4
z z z z d z s f z d z =-→-→-???
?-??==-
?
?????
.
求z →∞时的残数，用残数和定理，即,
()()1
1
R e R e R e 0
z z z s f
z s f
z s
→∞
→→-=
+=,
()
1
2sin z 在()0,1,2z n n π==±±
解:由题可知,z n π=是本题的极点，将sin z 用罗朗展开得:
sin
z =()()21
121!n
n z n +-+∑，求()
R e z n s f
z π
=，
()R e 1
z n s f
z π
==。
(3)
24
1z
e
z
-在0,z =∞.
解:将原式用罗朗展开得：24
1z
e
z
-=
()()
2
4
222
z z z
--
，()()3
40024
321R e R e 3
z z z s f z s z ==????
-????==-
????????,根据残数
和定理，
()4R e 3z s f
z →∞
=
.
(4)1
1z e -在1,z =∞, 解:
()f
z 的奇点为1，将1
1z e -用罗朗展开式展开得：
2
1111
21(1)
z z +
+
+-??-
所以,
()1
1
1R e R e 11z z s f
z s z ==??
=
= ?-??,
根据残数和定理得：1
1R e 1z z s e -→∞
??
=- ???
2.求下列函数在其孤立奇点(包括无穷远点)处的残数(m 是自然数).
()11sin
m
z
z
解:将式子用罗朗展开
()()
()2111sin
21!n
n m
m
z z
z z
n -+-=
+∑
，当1211,2
m
n n m
--=-=
.
当m 为奇数时，残数为0，当m 为偶数时,
()()2
1R e (1)!m
z s f
z m =-=
+,根据残数和定理,
()()()211!m
z R es f
z m →∞
-=
-
+
(2) 21m
m
z
z +
解：2(0,1,2(1))k i m
z e
k m ππ+==- 是函数的一阶极点。
当1m =时，
()2R e 1
k i
m
z e
s
f
z ππ+==
-，
()
()
()
1
3()
m
Z z α
β
αβ≠--
解:本题是以z α=为m 阶极点，以z β=为其一阶极点.
(1)
1
1R e ()lim (1)!m z z s f z m z ααβ-→=??
==
?--??
-(
)1
m
β
α
-
()()1
R e m
z s f
z β
β
α
==
-
根据残数和定理得:
()R e z s f
z →∞
=-()1m
β
α
-+()1
m
β
α
-=0
(4)
()
2
1
z
e
z -
解:
()()2
1z
e
f
z z =
-是以1z
=为二阶极点，
()()
()
()2
2
1
1
1
(
1)
1R e lim
lim z
z
x z z e
d z z s f
z e
e
d z
→→=--=
==
根据残数定理和得:
()R e z s f
z e
→∞
=
-.
()
51co s z z
-
解:用罗朗展开式展开得：本题以z n π=为一阶极点.
()()()20
112!n
n
n z f
z z
n ∞
==
--∑
=()()2112!n
n
n z
z
n ∞
=-∑ 当1n =时有解,则，
()R e 2
z k s f z π
==，所以,根据残数和定理得：
()R e z s f
z →∞
=
-
()R e 2
z k s f
z π
==
-
1(7)z z
e
+
解:本题以0z =为其孤立齐点.
1
1
2
12z z
z
z
z e e e z +
??=?=+++ ??? 21112z z ???+++????
()()01111
R e 122!3!!1!
z n s f z n n ∞
===+++=-∑
()R e z s f
z →∞
=
-
()()0
1
111R e (1)2
2!3!
!1!
z n s f
z n n ∞
===
-+
+
+=--∑
()
9co s z z
解：本题以z n π=为奇点。
用罗朗展开式得：
()22
4
(1)co s 12!
2!
4!
n n
n z
z
z
z n ∞
=-=
=-
+
-∑
原式得：
2
4
1
3
1112!
4!
2!
4!
z z
z
z
z
z
=-
+
--
+
-
，所以
()R e 2
z n s f
z π
==
()
()2101m
m
z
z +
解：本题以1z =-为m 阶极点。所以
()()()
2(1)1
1
1
R e lim [1]
1!(1)m
m
m m z z z
s f
z z m z -→-=-??=
+ ?-+?
?=1
12(21)(2)(1)(1)!m m m m m +?-+--
第五章 残数及其应用（2）
3．计算下列积分。
1
(1)
sin z d z z z
=?
解：用残数方法求，用罗朗展式展开，
3
5
11
sin 3!5!z z
z z z z =
??-+- ?
??
由上式可已看出没有符合残数要求的项，所以，即
1
sin z d z z z
=?
=0。
()()
()
()
22
2
2
2,:211c
d z
c x y x y z z
+=+-+?
解：用残数方法求解，
()
()2
2
1
11z z
-+在1z =有 二阶极点，z =±i 有一阶极点.
()
()2
2
1
1
1
R e lim
11z z s
z z
→==-+(z+i) (
)()2
1
14
1()
z z i z i =
-+-
(3)
()()1
n
n
z d z
z a z b =--?
,
1,1,a b a b
<<≠,n 为自然数。
解：
()1
()
n
n
z a z b --分别以,z
a z
b ==为其n 阶极点。
R e z a
s =()1
()n n z a z b --=()1
n
a b -，R e z b
s =()1
()
n
n
z a z b --=()1
n
a b -+
当n 为偶数时，
()()1
n
n
z d z
z a z b =--?
=()22n
i
a b π?-
当n 为奇数时，
()()1
n n
z d z
z a z b =--?
=0
（4）
22
2
1
21z
z e d z z
π
=+?
解：在围线内，有,z i z i ==-两个不解析点，
()22
R e lim
2z
i z i
z i
e
e
s f
z z i
i →==
=
-，
()22
R e lim
2z
i z i
z i
e
e
s f
z z i
i -→-=-=
=
+-
即222121z
z e d z
z π=+?=22
1
2sin 2222i
i e e
i i i i ππ-???-=????
（5）7
11co s z z d z
z
=+-?
（6）
1
32
1z
z z
e z
=+?
解：本题以1,0z z =-=为其一阶极点。
31z z +1z e =31z z +21112!z z ?? ?+++ ? ??
? ， R e z s
→∞3
1z z +1z e =16。 即711co s z z d z
z
=+-?
=-R e z s
→∞
3
1z
z +1
z e 2i π?=-1
62i π?=
13
i
π-
4．求下列积分值。 (1)20
co s d a πθ
θ+?
(a>1)
解:
20
co s d a πθθ+?
=
2
1
(21)z d z
iz z a z =++?
由于分母有两个一阶极点
:1z a =-+
2z a =--
,很明显只有11z <
所以只有1z a =-+,
()()(
)1
1
121R e lim x z z z s f
z z z f
z i
→==-=
?即
20
co s d a πθθ+?
2i π?
(2)
22
co s 1d π
θθ+?
解：原式等于2
1
1[1]2z d z
z z iz =??+ ?+ ? ????
=()
24
2
1
261z d z
i
z z =++?
在
1
z =时,
只有13z =-+.
()()(
)1
1
11R e lim x z z z s f
z z z f
z →==
-=
,
22
co s 1d πθθ+?
=2
212
i π=
(3)
1
22
sin d a π
θ
θ+?
(a >0)
解:原式=1
422
sin d a πθ
θ+?
=1
4
2
1
1
12z d z
iz
z z
a =-?
??
-+
??
?
?
=-
()42
1
1
421
z zd z
i
z a z =-++?
令2
z
w =
，则121z a =+-.所以
(
)1
2
1
1
R e 421
z z s
w w a ==
-++即
122
sin d a π
θθ+?
=22i i π-??-= ???
第七章：微分方程 一、微分方程的相关概念 1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解. 通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解. 特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解. 3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解； 也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中. 二、微分方程的常见类型及其解法 1. 可分离变量的微分方程及其解法 (1).方程的形式：dx x f dy y g )()(= . (2). 方程的解法：分离变量法 (3). 求解步骤 ①. 分离变量，将方程写成dx x f dy y g )()(=的形式； ②. 两端积分： ??=dx x f dy y g )()(，得隐式通解C x F y G +=)()(； ③. 将隐函数显化. 2. 齐次方程及其解法 (1).方程的形式： ?? ? ??=x y dx dy ?. (2).方程的解法：变量替换法 (3). 求解步骤 ①．引进新变量x y u = ，有ux y =及dx du x u dx dy +=； ②．代入原方程得：)(u dx du x u ?=+； ③．分离变量后求解，即解方程x dx u u du =-)(?； ④．变量还原，即再用 x y 代替u . 3. 一阶线性微分方程及其解法 (1).方程的形式： )()(x Q y x P dx dy =+. 一阶齐次线性微分方程:0)(=+y x P dx dy . 一阶非齐次线性微分方程: 0)()(≠=+x Q y x P dx dy .
第三章答案 1. (6分)已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其逆矩阵)(1 t -Φ和系统矩阵A 。 ??? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解： ??????+-+---=-Φ=Φ-2t t 2t t 2t t 2t t 1 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t ()t ( （3分） ? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 2. (8分)求定常控制系统的状态响应。 ()()()()()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ??????=+≥== ? ? ?--?????? & 解：11t t t At t t t t t t e te te e e t t te e te -------+??+??== ? ?----?? ?? （4分） 0()()(0)()()10t t t t t x t t x Bu t d e te e d te e e ττττττ τττ------=Φ+Φ-????+??=+=??????--?????? ?? （4分） 3．(3分) 已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其系统矩阵A 。 ?? ? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解：? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 4．(8分)已知系统的状态方程为： u x x ?? ????+??????=111101&， 初始条件为1)0(1=x ，0)0(2=x 。求系统在单位阶跃输入作用下的响应。 解：解法1：?? ? ???=??? ? ????????---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(1 1； （4分） ?? ????-=??????-+??????=??? ?????????-+????????????=?---t t t t t t t t t t t t t te e te e te e d e e t e e te e x 212111)(00100τττττ。 （4分） 解法2： ?? ????--=??????--+??????--=+-=-s s s s s s s s s s x s Bu A s s x 21)1(1 11)1(11)1(1)}0()({)I ()(22221 ；
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 数学物理方法习题答案： 第二章： 1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。 （2）左半平面0,x <但是除去圆22(1)2x y ++=及其内部；圆2211()416x y -+= 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+； 32,2[cos(sin(3)i e i π ππ+； ,(cos1sin1)i e e e i ?+ 3、22k e ππ--； (623)i k e ππ+； 42355cos sin 10cos sin sin ?????-+； 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()cos 2 y y ay b e e x e ---- 4、（1） 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。 （2）u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1) 2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()2 2 u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章： 1、 （1） i π （2）、 i ie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π 2、 设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数，则 () 1 220 1 1 () 1(0)2!2! 1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξξξξξξξπξξπξ ξ +=== ====? ? 第四章： 1、（1） 23 23 ()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- （2）23313 (1) 2!3!e z z z ++++ （3） 211111()()[(1)(1)](1)11222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑ 2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =--- ①3z <时 11011()34k k k k z ∞ ++=-∑ ， 34z <<时 1.设 u =a -b +2c ， v =-a +3b -c .试用 a ， b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（ -a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形 . 证 如图 8-1，设四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ，已知 AM =MC ， DM MB . 故 AB AM MB MC DM DC . 即 AB// DC AB |=| DC |，因此四边形 ABCD 3.把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1， D 2， D 3， D 4 ，再把各 分点与点 A 连接 .试以 AB =c, BC=a 表向量 D 1A , D 2A , D 3A , D A . 4 证 如图 8-2，根据题意知 1 5 1 5 1 5 BD 1 D 1D 2 D 2D 3 a, a, a, 1 5 D 3D 4 a, 1 故 D 1A =-（ 1） =- a- c AB BD 5 2 D 2A =-（ AB BD 2）D 3A =-（ AB BD 3）=- a- c 5 3 =- a- c 5 4 D A =-（ AB BD 4） =- a- c. 4 5 4.已知两点 M 1（ 0， 1， 2）和 M 2（ 1， -1， 0） . 试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2及 -2M 1M 2 . M 1M 2 =（ 1-0， -1-1， 0-2） =（ 1， -2， -2） . 解 -2M 1M 2 =-2（ 1， -2， -2） =（ -2， 4， 4） . 5.求平行于向量 a =（ 6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 6 7 6 , , 11 11 11 （ 6， 7， -6）= ， = a 11 其中 a 62 72 ( 6)2 11. 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （ 1， -2， 3）， B （ 2， 3， -4）， C （ 2， -3， -4） ， D （ -2， -3， 1） . 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点 在第三卦限 . 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各 点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4， 3）， C （ 3， 0， 0）， D （ 0， 1、已知函数2,02 ()2,24x f x x ≤≤?=?-<≤? ，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。 2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3 ()f x 的定义域。 3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。 (1)(1)f x + (2)()(0)f ax a ≠ (3)(sin )f x (4)(sin 1)f x + 4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件？ 1 (1)() y f x = (2)y = (3)log ()(0a 1)a y f x a =>≠且 (4)arccos ()y f x = 5、求下列函数的定义域。 22(1)16x y x = +- 2 (2)arcsin 3x y -= (3)y =+ 6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。 211(1)()ln ;()2ln f x x g x x ==g 2222(2)()1;()sin cos f x g x x x ==+ 33(2)(3) (3)()3;()2 x x f x x g x x -+=+= - 44(4)()()1f x g x x ==- 7、设函数()2,()55x f x g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x +-的表达式。 8、设2 ()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。 9、设2 2 11 (),()f x x f x x x +=+ 求。 10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。 11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数。 (1)()sin f x x x =g (2)()sin f x x tgx =+ (3)()f x = (4)()ln(f x x = 2(5)()f x x x =- 12、判断下列函数的奇偶性。 3(1)()f x x x =+ (2)()cos f x x x =? (3)()(0)tgx f x x x = ≠ (4)()ln(f x x x =- 13、求下列函数的周期。 单项选择题 1、设则在处( ) A．不连续B．连续，但不可导 C．连续，且有一阶导数D．有任意阶导数 1 C 2A 3D 4B 2、已知在上连续，在内可导，且当时，有，又已知，则( ) A．在上单调增加，且 B．在上单调减少，且 C．在上单调增加，且 D．在上单调增加，但正负号无法确定 5 D. D 6C 7B 8A 3、已知，在处可导，则( ) A．，都必须可导B．必须可导 C．必须可导D．和都不一定可导 9B 10 A 11D 12C 4、函数在上有( ) A．四个极值点；B．三个极值点C．二个极值点D．一个极值点 13 C 14A 15B 16D 5、函数在某点处有增量，对应的函数增量的主部等于0.8，则( ) A．4 B．0.16 C．4 D．1.6 17 C 18D 19A 20B 6、若为内的可导奇函数，则( ) A．必有内的奇函数B．必为内的偶函数 C．必为内的非奇非偶函数D．可能为奇函数，也可能为偶函数 21 B 22A 23C 24D 7、按给定的的变化趋势，下列函数为无穷小量的是( ) A．() B．() C．() D．() 25D 26B 27 C 28A 8、设，若在上是连续函数，则( ) A．0 B．1 C．D．3 29D 30B 31 C 32A 9、设函数，则( ) A．当时，是无穷大B．当时，是无穷小 C．当时，是无穷大D．当时，是无穷小 33A 34D 35 B 36C 10、若，则方程( ) A．无实根B．有唯一的实根C．有三个实根D．有重实根 37A 38 B 39D 40C 11、下列各式中的极限存在的是( ) 高等数学上册 第一章 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定 理、介值定理及其推论。 （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 δδε-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷 大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无 穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x - 第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ ( A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n " 9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，，A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的W K域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为 0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 高等数学上册知识点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数 )(x f 在0x 连续 ) ()(lim 00 x f x f x x =→ 间断点 第一类：左右极限均存在. ( 可去间断点、跳跃间断点) 第二类：左右极限、至少有一个不存在. (无穷间断点、振荡间断点) 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 : εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 :εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 +-→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2）a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n =∞ → 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' '=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1)单调有界准则； 2)夹逼准则； 3)极限运算准则及函数连续性； 4) 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)1 1(lim )1(lim 1 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 221 ~cos 1x x - c) x e x ~1-,（a x a x ln ~1-） d)x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~ )1(log +） e) x x αα ~1)1(-+ 二、 导数与微分数学物理方法习题答案[1]
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