Markowitz资产组合理论在我国A股市场的运用
摘要
Markowitz资产组合理论研究的是多种资产的组合问题。根据这个理论，我们可以在方差一定的情况下研究预期收益最大的投资组合问题；也可以研究预期收益一定情况下方差最小的投资组合问题。本文首先从Markowitz资产组合理论入手，介绍它的研究对象、理论意义、经典模型及其相关评价。其次用几何分析方法来具体研究我国A股市场沪市和深市能源、医药、金融三个行业指数的风险、收益率情况。最后运用MATLAB软件将求解有效组合的几何分析方法简化，在方差一定情况下求得预期收益最高的投资组合，在预期收益一定的情况下求得方差最小的投资组合。
【关键字】：Markowitz资产组合理论等均值线临界线有效组合
The use of Markowitz asset portfolio theory in China A
market share
Abstract
Markowitz portfolio theory is to study the combination problems of various assets. According to this theory, we can choose the portfolio with the same variance and the biggest expected outcome, and also can choose the portfolio with the same expected outcome and the minimum variance. Based on Markowitz asset portfolio theory, this thesis first introduces its studying object, theoretical meaning, typical model and relative evaluation. Then it specifically discusses the risk and income rate index of the field of energy, medic and finance using geometric analysis in shanghai stock market and Shenzhen stock market. Last, working with MATLAB software we simplify the geometric method that computes the effective portfolio, and get the portfolio with maximum expected outcome for the given risk or the portfolio with the minimum risk for the given expected outcome.
【Key words】: Markowitz asset portfolio theory average line critical line effective portfolio
1 绪论
从1611年在阿姆斯特丹成立的第一个股票交易所开始，到今天控制世界经济的美国华尔街。股票的产生和发展对于推动整个世界的发展和整个人类文明的进步起到了中流砥柱的作用。今天，股票已经走进了千家万户，据统计，到2011年底已经在沪市和深市开户的数量达到了七千万。如何在拥有两千支股票的股市中获利不单只依赖于技术分析而且还要考虑在多支股票中应该按怎样的比例进行投资。其实这一问题早就有了答案。1952年3月Markowitz在《金融杂志》发表了题为《资产组合的选择》的论文，将概率论和线性代数的方法应用于证券投资组合的研究，探讨了不同类别的、运动方向各异的证券之间的内在相关性，并于1959年出版了《证券组合选择》一书，详细论述了证券组合的基本原理，从而为现代西方证券投资理论奠定了基础。
1.1 Markowitz资产组合理论介绍
1.1.1 Markowitz资产组合理论的研究对象
Markowitz资产组合理论研究的是有关对多种资产进行选择和组合的问题。所谓资产组合，是指投资者把投资资金分配给若干种资产（比如：股票、债券、外汇、不动产和实业投资等），对各类资产的投资额占总投资额的某一比例，目的是使投资者持有的资产的总体收益尽可能高，同时使风险又尽可能的低。
Markowitz资产组合理论有时也被称作现代证券组合理论，因为：第一，证券是各种风险资产的最典型代表；第二，由于公开交易的证券特别是普通股票的收益和风险数据最容易获得；第三，在英文中，portfolio一词既是指证券，也是资产组合。所以，现代资产组合理论最主要的研究对象是股票投资。本文也将以Markowitz资产组合理论为理论基础以我国A股市场为研究对象。
1.1.2Markowitz资产组合理论的意义
Markowitz资产组合理论是现代投资理论的一个重要组成部分。传统的投资理论强调的是投资项目的期望收益与投资成本的比较。如果期望收益大于成本，就接受这一项目；反之，如果期望收益小于成本，就拒绝这一项目。但是，这种传统的投资理论无法用来指导证券股票风险资产的投资决策。其原因与证券投资收益的特点有关。证券投资收益的第一个突出特征就是不确定性。证券收益要受到一系列因素的强烈影响，其中包括市场的活跃水平、政治事件、国际关系、政策变动、气候状况以及上市企业经营管理的成功与失误等。各种经济因素的影响不可能事先被预测的非常准确；即使经济因素的结果被预测的完美无缺，各种非经济影响也可能改变降级运行的进程，从而影响一种或多种证券的股利和资本收益。我们不可能准确地预测某一种证券的价值在未来是上升还是下降，即使我们能够将所有的相关信息结合在一起，也只能得出一些附加条件的结论。证券投资
收益的第二个突出特征就是各种证券收益之间的相关关系。与绝大多数经济变量一样，证券收益倾向于同时上升或同时下降。但是，各种证券的收益之间并不存在完全的正相关关系，这是因为各种证券收益的影响因素总是有些差异的。有时单个证券甚至整个行业与整个商业周期逆向而动。如果证券收益之间是完全负相关，那么通过分散化的组合投资就完全可以消除风险。概率理论告诉我们，只要证券收益之间不存在完全的正相关，那么通过组合投资就可以使风险有所降低。而且，正相关的程度越低，分散化投资组合可以降低的投资风险的潜力也就越大。所以，为了降低投资风险，投资者应该避免在彼此之间高度相关的证券中进行投资。马克维茨指出，一个合意的资产组合绝不仅仅是一系列优秀的股票和债券的罗列，而是一个能够在各种可能的情况下为投资者提供保护和机遇的平衡整体。
综上所述，由于证券投资收益的不确定性和各种证券收益之间的相关关系；传统的投资理论已经失效，故而产生了证券组合投资理论。而Markowitz 资产组合理论是其中比较早比较经典的理论，在证券投资走向多元化的过程中有着重要的指导意义和实用意义。
1.1.3 Markowitz 经典资产组合理论模型
假设市场上仅有n 种风险资产（即无风险资产不存在），其收益率向量记为12(,,,)T n X X X X = ,投资者投资此n 种风险资产的资产组合向量记为12(,,,)T n w w w w = 。两种资产收益率的协方差记为 cov(,)
ij i j X X σ=,,1,2,,i j n = ，
其对应的协方差矩阵记为()ij n n σ?∑。特别地，记向量1(1,1,,1)T = ，并假定∑为非退化矩阵，()1E X k ≠。
相应地，该资产组合的收益率记为1n
p i i i X w X ==∑，
总风险记为2T p w w σ=∑。
记12()((),(),,())T n E X E X E X E X =
总收益率1n
T
i i i S w X w X ===∑。 则通过计算可以得到：
()()T E S w E X =，
2var()((()))T S E S E S w w =-=∑
在建立模型之前，Markowitz 对市场做了下面的假设：
（1） X 服从联合正态分布；
（2）信息成本为零，投资者都接受市场的价格，获得相同的信息；
（3）所有的投资者都是理性的投资者，或在一定收益水平下使风险最小化，或
在风险一定的水平上使收益最大化；
（4）市场无摩擦，无交易费用，无代理费和税收；
（5）市场是完全可分和充分流动的；
（6）投资者有无限信用额度，可以无限制向银行借贷，且存贷利率相同；
（7）投资者允许卖空。
基于上述记号和假设而建立如下的模型：
min 12
T w w ∑ s.t. ()T p w E X r ≥
1T w =1
该模型是一个优化问题，其含义是在给定的预期收益水平下，风险最小的投资策略为最优策略，其中的p r 表示预期收益，约束条件1T w =1表示所有的财富都用来投资证券，且无卖空限制。
1.1.4对Markowitz 资产组合理论的评价
Markowitz 资产组合理论的思路是：第一，力求在风险一定情况下收益率达到最高或者收益率确定情况下使风险降为最低。第二，让投资者认真选取最能够满足他需要的期望收益和不确定性的组合；第三，确定提供这种最佳收益和风险组合的资产构成。Markowitz 资产组合理论为投资者、股东及金融专家们提供了衡量不同的金融资产投资的风险和收益的工具，以估计预测股票、债券等证券的价格。对金融活动具有重要的指导意义，他个人也因此与夏普、米勒三位美国经济学家同时荣获了1990年的诺贝尔经济学奖。
但是，需要明确的是，这一理论是在一系列假设的前提下建立起来的，这些假设与现实经济情况有一定的差异。因此我们在使用Markowitz 资产组合理论作为投资实践的理论指导时，需要清醒地认识到这一理论本身所隐藏的不足，认识到理论模型与现实的差距。只有这样，我们才能在正确的基础上进行投资决策。
1.2 国内外研究状况
威廉·夏普（Sharpe ）在Markowitz 资产组合理论的基础上提出的单指数模型，并提出以对角线模式来简化方差－协方差矩阵中的非对角线元素。他据此建立了资本资产定价模型(CAPM)，指出无风险资产收益率与有效率风险资产组合收益率之间的连线代表了各种风险偏好的投资者组合。Young(1998)提出投资组合收益的最小顺序统计量作为风险度量的极大极小模型。近年来，我国的经济学界先后出版了几种介绍现代资产组合理论的著作，发表了不少讨论现在资产组合理论中构造有效资产组合理论方法的文章。徐绪松、杨小青和陈彦斌（2002）、赵贞玉和欧阳令南（2004）等将MAD 模型如同
均值—下半方差模型那样发展成为MSAD （均值—下半绝对离差）模型。张喜彬等人提出了E-SV测度，即风险测度是用下方方差减去上方方差，该测度很好的解决了偏向性的问题。
1.3 本文结构及内容
本文将从数学在股票中的经典运用——Markowitz资产组合理论谈起，结合中国股市的特点，研究Markowitz资产组合理论在A股市场的可行性。最后将考虑中小股民的知识和时间限制问题，给出Markowitz资产组合理论在A股市场运用的方法。正文内容大致如下：第一节，介绍Markowitz资产组合理论。主要介绍Markowitz资产组合理论的研究对象和研究意义并给出标准的Markowitz资产组合理论模型及其评价。第二节，研究Markowitz资产组合理论与中国证券市场。首先通过Markowitz资产组合理论研究我国沪市和深市能源、医药、金融三个行业的指数，运用几何方法计算出各自的有效组合。然后说明我国沪市和深市两个证券市场的投资机会有效边界各自具有什么样的特点和差异，我们应该采取怎样的投资策略。第三节，用实际例子说明我国普通股民在知识和时间有限的情况如何快速简单地运用Markowitz资产组合理论进行投资。
2 Markowitz资产组合理论与中国证券市场
2.1 Markowitz资产组合理论运用于中国证券市场的可能性
Markowitz资产组合理论在我国证券市场的实证研究目前基本上还是处于起步阶段。出现这种现象的一个重要原因是很多人认为我国目前的证券市场起步较晚，现在体制还不规范，存在着过度炒作和投机问题，各种股票收益率之间的相关程度比较高，因此运用投资组合理论来降低投资风险的潜力比较有限。但是，我们需要结合实际数据来检验这一假设；而且，发达国家的证券市场上的各种股票收益率之间的相关程度也是有一定水平的，我们没有必要也不可能等到我国证券市场上各种股票的相关程度降低到发达国家证券市场的水平时再来开始研究现代资产组合理论在我国的实际应用问题。何况根据证券市场的效率理论，应用现代资产组合理论的努力也是提高我国证券市场的定价效率，降低各种证券收益率之间的相关系数的一个重要前提。而且自从郭树清于2011年10月任中国证券监督管理委员会主席以来到今天的一百多天里，分别对分红机制、IPO定价制度、退市制度方面做出了明显的成绩，可以说中国证券市场正在朝着正确的方向前进。Markowitz资产组合理论运用于中国股市的条件是满足的。
2.2实例研究
2.2.1数据采集
为了研究Markowitz资产组合理论在我国证券市场上的作用空间，我们选取从11年7月到今年4月总共10个月时间的上证和深证在能源、医药和金融三方
面的指数月收益率进行实证研究。原因是：第一，Markowitz 资产组合理论演算复杂，计算量大，我们只选取三个行业进行举例研究；第二，这三个行业已经包含了我国A 股市场不少比例的股票，能够在一定程度上分别指示出上证和深证股市的运行情况；第三，由于各方面原因，A 股市场去年表现一直不佳，从7月份到过年期间都是熊市下跌，而从年后经过盘整后到今天有了小幅的反弹。研究的这段时间区间中既有上涨又有下跌和调整。故选择这个时间段拿来研究是比较合理的。我们通过方正证券泉友通软件中可以获得每个月的收盘值，导入Excel 软件可以算出月收益率。如表一所示：
表一 沪深两市能源、医药、金融三个行业的月收益率
其中市场指数收益率的计算公式为：11
t t it t I I R I ---= 式子中，it R 为i 指数在t 周期的收益率；t I 为指数在第t 年的收盘点数；1t I -为指数在第（t-1）年的收盘点数。在这里，我们设1t R 为上证指数的收益率，2t R 为深证综指的收益率。
设上证能源、上证医药、上证金融、深证能源、深证医药、深证金融的平均收益
率分别为：1μ、2μ、3μ、4μ、5μ、6μ。则通过平均收益率1
1n
i it t R n μ==∑的计算公式可以算得：1μ=-0.012、2μ=-0.021、3μ=0.001；
4μ=-0.020、5μ=-0.02、6μ=0.005。
然后计算个自的方差，即风险，计算公式为：21
1()1n
t it t t R n σμ==--∑
通过计算得到：1σ=0.004、2σ=0.007、3σ=0.004；
4σ=0.007、5σ=0.007、6σ=0.006。
用ij σ表示股票i 与股票j 之间的协方差，则其计算公式为：
1
1cov(,)()()n ij i j it i jt j t R R R R n σμμ===--∑ 通过计算可得：12σ=0.002、 13σ=0.003、 23σ=0.002；
45σ=0.005、 46σ=0.005、 56σ=0.004。
2.2.2 求解有效组合
我们先研究上证系列三个行业的有效组合，我们令1X 、2X 、3X 分别表示为投资于上证能源、上证医药、上证金融的比例。其中，1X +2X +3X =1，且X1、X2、X3都不小于零，即不允许卖空。
投资组合整体的预期收益E =1X 1μ+2X 2μ+3X 3μ，
因为1X +2X +3X =1，故E =1X 1μ+2X 2μ+（1-2X -3X ）3μ
=1X （1μ-3μ）+2X （2μ-3μ）+3μ。
代入数据可得：12(0.0120.001)(0.0210.001)0.001E X X =--+--+
120.0130.0220.001X X =--+
这里我们引入等均值线的概念，所谓等均值线就是具有相同的期望收益的资产组合的点的轨迹。
利用MATLAB 软件编程可以得到如下的图形（编程代码见附录1.1）：
图一中的箭头指示资产组合期望收益增加的方向。当我们沿着这一方向移动时，我们就可以得到不断上升的组合期望收益的等均值线。只要不存在123μμμ==，这些等均值线就是平行的。如果当123μμμ==时，说明所有资产组合都是有相同的期望收益，唯一有效的资产组合就是具有最小方差的组合，即哪个行业的风险最低就全部投入哪个行业。投资组合整体的方差设为V 。
则222111222333121213132323222V X X X X X X X X X σσσσσσ=+++++
因为1X +2X +3X =1，所以投资组合整体的方差V 可以整理为：
22111133322223331212132333(2)(2)2()V X X X X σσσσσσσσσσ=-++-++--+
11333223332()2()X X σσσσσ+-+-+。
代入数据得：221212120.0020.0070.0020.0020.0040.004V X X X X X X =++--+。
所有满足上述方程的点的轨迹我们称之为等方差曲线。
利用MATLAB 软件编程可得到如下图形（程序代码见附录1.2）：
很明显，每个等方差曲线都是椭圆，而且每个椭圆都具有相同的形状、倾斜方向和中心。中心点的方差最小，随着椭圆向外膨胀，方差逐渐增大。当且仅当以下一个或多个条件成立时，等方差曲线不会呈现出椭圆：
（1）11133320σσσ-+=时，随机变量13()r r -具有零方差；
（2）22233320σσσ-+=时，随机变量23()r r -具有零方差；
（3）随机变量13()r r -与23()r r -的相关系数等于1或-1时。 我们把等均值线和等方差线同时描述在一个图中，并找出直线和椭圆相切的线。
如下图所示（程序代码见附录1.3）：
假定从直线b的上端出发向下端移动，将依次与V=0.0042、V=0.0040、V=0.0038、V=0.0036、V=0.0034、V=0.0036、V=0.0038的方差曲线相交，即方差是先减少，再增加，当到达A点时达到最小值0.0034，同样的，在其他等均值线上具有最小方差的点一定也是该线与等方差曲线的切点。明显，直线e也与V=0.0034的椭圆相切，切点是D，其预期收益明显大于A点预期收益，所以在A 和D点中我们肯定选择D点代表投资组合。D点的资产组合是一个有效的资产组合。在MATLAB软件中我们可以轻松、准确地读出D点坐标的范围是（0.178-0.186,0.102-0.109），不妨取作（0.18,0.10），也就是投资于能源行业18%，投资于医药行业10%，投资于金融行业72%，此投资组合的预期收益是-0.354%，风险为0.34%。在这里，我们称等方差曲线与等均值线的切点的连线为临界线，如图三中的直线a。临界线a上的各点代表着各种水平的期望收益的资产组合中组合方差最小的资产组合。换言之，如果某一点能够使某一水平的期望收益的资产组合的方差最小化，它就一定处于临界线上。
同理分析可知C点，O点的资产组合也是有效组合。在MATLAB中读出C点坐标范围是（0.291-0.299,0.176-0.181），不妨取（0.30,0.18）。则C点对应的组合方式是：投资于能源行业30%，投资于医药行业18%，投资于金融行业52%，此种投资策略的预期收益是-0.69%，风险是0.32%；O点的组合方式是：100%的比例投资于金融行业，此种投资组合的预期收益是0.1%，冒的风险为0.4%。
同样的方法，深证三个行业中找出三组有效资产组合：
23%投资于深证能源行业、37%投资于深证医药行业、40%投资于深证金融行业；此投资组合的预期收益为：-0.78%，风险为0.3%。
17%投资于深证能源行业、29%投资于深证医药行业、54%投资于深证金融行业；此投资组合的预期收益为：-0.16%，风险为0.42%。
100%投资于深证金融行业，预期收益是：0.5%，风险是：0.6%。
2.2.3 研究结论
通过上面研究，可以得到以下结论：股市是存在风险，在行情不好的情况，即使是为不要亏损太多都要承受一定风险，但总体而言，上海股市的风险水平比深圳股市的风险水平要低。上海股市最小风险组合的标准差约为0.32%，而深圳股市的最小风险组合的标准差约为0.3%；上海股市最高风险组合的标准差约为0.4%，深圳股市的最高风险组合的标准差约为0.6%。说明在熊市中，沪市的股票比深市的股票更能抵抗风险，当然，其程度也是有限的。而深市的股票的高风险也代表着高收益，那些追求高收益又能承担住一定风险的投资者应该进入深市操作。而稍微谨慎型的投资者买沪市的股票理论上会比深市的好点，但程度是非常微小的。
3 简化Markowitz资产组合理论用于我国普通股民投资
由上一节的实例研究我们可以看到用Markowitz资产组合理论求解有效资产组合的复杂性和计算量的繁重性。尽管也有人用了其他方法求解，比如动态规划法、蒙特卡洛法、梯度法等。但这些同样复杂繁琐，而且建立在了更高水平的数学知识上。普通投资者由于知识和时间的限制因素，不可能按照标准的方法解出所有的有效组合进行选择后再去买入。在此，我们把模型的计算进行有条件的简化。
3.1 简化的前提
在股市这个不见硝烟的战场中，有的人失败，有的人成功。在中国的A股市场中，由于制度等各方面原因，上市公司给股民创造的投资回报有限，真正意义上的价值投资不复存在，基本上都是属于投机行为。所以你赚钱的同时必然有人亏欠，而你亏钱的同时也必然有人得到了你亏损的钱。要想在股市中多打胜仗，我们就需要看清股市、认识自己、了解对手。所谓知己知彼，百战不殆。在此，我们首先要认识自己，从性格上看，你是属于谨慎型还是风险型；从收入、支出方面看你自己的经济状况最大能承受多大的风险。也就是我们可以先根据自己的情况确定风险，这样我们只需算出满足你风险的一条等方差曲线，然后找到与该方差曲线相交的等均值线中预期收益最大的交点即可。当然，在此，我们也只是从三支股票中进行选择，因为对于我们普通投资者投资的范围不可能很广，投资的行业有限。我们肯定是投资于自己熟悉的行业，而每一行业中我们只需选出一
支自己熟悉的股票即可，因为同一行业的股票相关性强，其基本走势是基本相同的。即使是专业的投资的团队，他们从股票池中选出的股票也就是那么三四支。因此，我们只从选出的三支股票中进行组合投资是恰当的。
另外一种简单运用资产组合理论的方法就是先确定预期收益，也就是只画出一条等值均线，然后从与这条等值均线相交的等方差曲线中选择方差最小的点。我们普通投资者在进行一项投资买入前都应该设立一个目标价位和止损价，因为我们用来研究股票的知识和时间有限，对低位与高位的判断一般都来自于自己的主观判断，其正确与否都取决于运气。不可能每次都能在绝对低位抄底，在绝对高位卖出。所以应该在股价到达目标价位后果断卖出，而股价下跌到止损价说明我们买入前的判断失效，就应该忍痛割卖。对于理性的投资者都有事先设立预期收益和止损价的习惯，而只要设立了预期收益，我们就可以运用Markowitz 资产组合理论简单、快速的计算出投资组合的比例。
3.2 举例分析
我们首先应从自己熟悉的几支股票中选出三支。以我自己为例，通过各种技术指标分析，我将决定买入：万科A 、浦发银行、桂冠电力。然后运用Markowitz 资产组合理论求出符合自己预期收益或风险程度的最佳组合。在这里，我们将以年为周期计算收益率。一是因为一年为周期可以消除一些庄家的炒作行为，股票的收益率更加稳定；二是再次告诉投资者，不要频繁操作，判断股票长期的走势比较容易，进行中长期投资才是投资的王道。
3.2.1数据的采集
从方正证券泉友通软件中我们可以得到如下的收益率数据：
表二 万科A 、浦发银行、桂冠电力年收益率
设万科A 、浦发银行、桂冠电力的平均收益率分别记为：7μ、8μ、9μ；
方差分别记为：7σ、8σ、9σ。
通过计算得：7μ=0.494、8μ=0.343、9μ=0.087。
7σ=1.0569、8σ=0.7083、9σ=0.2256。 78σ=0.7899、79σ=0.4318、89σ=0.3513。
3.2.2 在风险已确定的情况下求收益率最高的组合
我们进入股市前都应该根据自己的性格、年龄、经济状况确定下自己能够接受的风险。在这里，我们假设组合方差V=0.3。将已知数据代入等方差曲线公式：
22177799928889991278798999(2)(2)2()V X X X X σσσσσσσσσσ=-++-++--+
17999289992()2()X X σσσσσ+-+-+。
得到：221212120.41890.23130.46480.41240.25140.2256V X X X X X X =+++++。
即画出了一个等方差曲线。
再将已知数据代入等均值线公式：
E =1X 1μ+2X 2μ+（1-2X -3X ）3μ=1X （1μ-3μ）+2X （2μ-3μ）+3μ。 得到：120.4070.2560.087E X X =++
不妨令E =0.3，即得到一条等均值线，然后利用MATLAB 的作图功能将其平行移动到与V=0.3的等方差曲线相切的位置。如图四所示(相关MATLAB 程序见附录
1.3)：
因为投资于万科和浦发的数额不能是负数，故由图四知，图中的交点即为
收益率最高的组合，虽然看上去不能准确读出交点的坐标，但在MATLAB的原图中用鼠标点在该处读出数据是：x：0.0921-0.0998；y：0.1025-0.1102。所以可以确定投资于万科A和浦发银行各占10%，投资于桂冠电力占80%，该投资组合的收益率是：15.33。
3.2.3 在确定收益率的情况下求最低风险的组合
我们永远不要因为不是在最高点卖出卖出股票而后悔，因为高收益的背后是高风险。每次买入股票前都应该确立一个目标价和止损价。现在假设我们的预期收益是0.15，也就是只要股价升了15%，不管什么原因都卖出股票，记住，巴菲特投资的平均年收益率也就20%多。
在此条件下运用Markowitz资产组合理论，我们先画出E=0.15的等均值曲线。然后不妨令V=0.2和0.4。也就得到了两个等方差曲线和一条等均值曲线，再将等均值线E=0.15分别平行移动到与等方差曲线V=0.2和V=0.4想切的位置。利用MATLAB编程在MATLAB作图窗口中进行相应操作就可以的如下的图形（相关MATLAB程序见附录1.4)：
由上一节介绍的等均值线知，每条等均值线都是平行的，故将等均值线E=0.15平行后还是等均值线，将它们与等方差线V=0.2和V=0.4的相切的交点B,C连接后得到的直线a。由上一章介绍的临界线知，直线a即为临界线，所以它与等均值线E=0.15的交点A即为风险最小的组合。在MATLAB的原图中用鼠标
点在该处读出数据是：x ：0.0869-0.0906；y ：0.0972-0.1042。分别取0.09和0.1。即在收益率为15%的情况下，9%投资万科A,10%投资于浦发银行，81%投资于桂冠电力，组合投资的方差最低，约为0.098。现另外选择一个投资组合以便比较，比如：投资于万科、浦发银行、桂冠电力各三分之一。则预期收益、方差分别为：
12110.4070.2560.0870.4070.2560.0870.30833
E X X =++=++= 111110.41890.23130.46480.41240.25140.22560.570899933
V =+++++= 虽然这种组合的收益率是上一种投资组合的两倍，但是这种投资组合的方差是上一种投资组合的5.8倍。理性的投资当然不会冒将近6倍的风险去追求只有两倍的利润。
4 结束语
Markowitz 资产组合理论虽然求解有效组合的过程复杂，但是在分散投资、降低风险或提高收益率方面的优势是非常明显的。，随着计算机技术的发展，我相信在未来Markowitz 资产组合理论会得到更广的应用。本文在引用了Markowitz 经典资产组合理论，运用了几何分析法并结合MATLAB 软件把理论简化，使普通股民也能理解、运用Markowitz 资产组合理论进行组合投资。
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附录
附录1.1：
>> axis([0 1 0 1]);
>> x1=0:0.001:1;
>> x2=0:0.001:1;
>> x2=-13/22*x1+6/22;
>> plot(x1,x2);
>> hold on
>> x2=-13/22*x1+12/22;
>> plot(x1,x2);
>> x2=-13/22*x1+9/22;
>> plot(x1,x2);
>> x2=-13/22*x1+15/22;
>> plot(x1,x2);
>> x2=-13/22*x1+18/22;
>> plot(x1,x2);
>> x2=-13/22*x1+21/22;
>> plot(x1,x2);
>>title('图一上证系列行业指数的等均值线')
>> xlabel('投资于上证能源的比例X1')
>> ylabel('投资于上证医药的比例X1')
附录1.2：
>> axis([0 1 0 1]);
>> hold on
>>ezplot('0.002*x1^2+0.007*x2^2+0.002*x1*x2-0.002*x1-0.004*x2+0.004=0.0032') >> gtext('V=0.0032')
>>ezplot('0.002*x1^2+0.007*x2^2+0.002*x1*x2-0.002*x1-0.004*x2+0.004=
0.0036')
>>ezplot('0.002*x1^2+0.007*x2^2+0.002*x1*x2-0.002*x1-0.004*x2+0.004=
0.004')
>>ezplot('0.002*x1^2+0.007*x2^2+0.002*x1*x2-0.002*x1-0.004*x2+0.004=
0.0038')
>>ezplot('0.002*x1^2+0.007*x2^2+0.002*x1*x2-0.002*x1-0.004*x2+0.004=
0.0034')
>>ezplot('0.002*x1^2+0.007*x2^2+0.002*x1*x2-0.002*x1-0.004*x2+0.004=
0.0044')
>> title ('图二上证系列行业指数的等方差曲线')
>> xlabel('投资于上证能源的比例X1')
>> ylabel('投资于上证医药的比例X2')
附录1.3：
>> axis([-2 1 -2 2])
>> hold on
>> ezplot('0.4189*x1^2+0.2313*x2^2+0.4648*x1*x2+0.4124*x1+0.2514*x2+0.2256=0.3') >> x2=0.3/0.256-0.407/0.256*x1-0.087/0.256;
>> plot(x1,x2)
附录1.4：
>> x1=-2:0.001:1;
>> x2=-2:0.001:2);
>> axis([-2 1 -2 2])
>> hold on
>> x2=(0.15-0.087-0.407*x1)/0.256;
>> plot(x1,x2)
>>ezplot('0.4189*x1^2+0.2313*x2^2+0.4648*x1*x2+0.4124*x1+0.2514*x2+0.2256=0.2' >>ezplot('0.4189*x1^2+0.2313*x2^2+0.4648*x1*x2+0.4124*x1+0.2514*x2+0.2256=0.4')
致谢
大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实。当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多。
感谢我的父母，谢谢你们对我的关心与支持。感谢我的指导老师杨建奇老师，他在忙碌的工作中挤出时间来审查、修改我的论文。感谢所有教过我的老师们，他们严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样。感谢四年中陪伴在我身边的同学们，感谢他们为我提出的有益建议和意见，他们的支持、鼓励和帮助，使我充实的度过了美好的四年大学时光。
马科维茨投资组合理论 马科维茨(Harry M.Markowitz, ) 1990年因其在1952年提出的投资组合选择 (Portfolio Selection)理论获得诺贝尔经济学奖。 主要贡献：发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选择资产组合理论：均值方差方法Mean-Variance methodology. 主要思想：Markowitz把投资组合的价格变化视为随机变量，以它的均值来衡量收益，以它的方差来衡量风险 (因此Markowitz理论又称为均值-方差分析)；把投资组合中各种证券之间的比例作为变量，那么求收益一定的 风险最小的投资组合问题就被归结为一个线性约束下的二次规划问题。再根据投资者的偏好，由此就可以进行投资决策。 基本假设： H1.所有投资都是完全可分的。每一个人可以根据自己的意愿(和支出能力)选择尽可能多的或尽可能少的投资。 H2. 一个投资者愿意仅在收益率的期望值和方差(标准差)这两个测度指标的基础上选择投资组合。 E p对一个投资组合的预期收益率 P对一个投资组合的收益的标准差(不确定性) H3.投资者事先知道投资收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。 H4. 一个投资者如何在不同的投资组合中选择遵循以下规则： 一，如果两个投资组合有相同的收益的标准差和不同的预期收益，高的预期收益的投资组合会更为可取； 二，如果两个投资组合有相同的收益的预期收益和不同的标准差，小的标准差的组合更为可取； 三，如果一个组合比另外一个有更小的收益标准差和更高的预期收益，它更为可取。 基本概念 1 ?单一证券的收益和风险： 对于单一证券而言，特定期限内的投资收益等于收到的红利加上相应的价格变化，因此特定期限内的投资收 益为： 价格变化+现金流(如果有) r 持有期开始时的价格 R-R 1+ CF 假定投资者在期初时已经假定或预测了该投资期限内的投资收益的概率分布；将投资收益看成是随机变量。 任何资产的预期收益率都是加权平均的收益率，用各个收益发生的概率p进行加权。预期收益率等于各个收 益率和对应的概率的乘积之和。 n E(r) P』PJ P2D ... P n「n i 1 p为第i个收益率的概率；n,r2,...,r n为可能的收益率。 资产的风险用资产收益率的方差( variance)和标准差(standard deviation)来度量。 风险来源：市场风险( market risk),利息率风险(interest-rate risk)，购买力风险(purchasing-power risk)，管理风险(management risk)，信用风险(credit risk )，流动性风险(liquidity risk )，保证金风险(margin risk )，可赎回风险(callability risk )，可转换风险(convertibility risk )，国内政治风险(domestic political risk )，行业风险(industry risk)。 2 ?投资组合： 通常说投资组合由证券构成，一种证券是一个影响未来的决策，这类决策的整体构成一个投资组合。 3?投资组合的收益和风险： (1) 投资组合的收益率 构成组合的证券收益率的加权平均数。以投资比例作为权数。
本科学生毕业论文（设计） 题目（中文）：Markowitz资产组合理论在我国A股市场 的运用 （英文）：The Application of Markowitz Asset Portfolio Theory to A Share Market in China 姓名孙先哲 学号200805001221 院（系）数学与计算科学系 专业、年级数学与应用数学专业2008级 指导教师杨建奇 2012年4月30日
目录 摘要.............................................................. I Abstract .......................................................... I I 1 绪论.. (1) 1.1 Markowitz资产组合理论介绍 (1) 1.1.1 Markowitz资产组合理论的研究对象 (1) 1.1.2 Markowitz资产组合理论的意义 (1) 1.1.3 Markowitz经典资产组合理论模型 (2) 1.1.4对Markowitz资产组合理论的评价 (3) 1.2 国内外研究状况 (3) 1.3 本文结构及内容 (4) 2 Markowitz资产组合理论与中国证券市场 (4) 2.1 Markowitz资产组合理论运用于中国证券市场的可能性 (4) 2.2实例研究 (4) 2.2.1数据采集 (4) 2.2.2 求解有效组合 (6) 2.2.3 研究结论 (9) 3 简化Markowitz资产组合理论用于我国普通股民投资 (9) 3.1 简化的前提 (9) 3.2 举例分析 (10) 3.2.1数据的采集 (10) 3.2.2 在风险已确定的情况下求收益率最高的组合 (11) 3.2.3 在确定收益率的情况下求最低风险的组合 (12) 4 结束语 (13) 参考文献 (14) 附录 (15) 致谢 (17)
第 1 页 共 7 页 马克维茨投资理论浅析 数学与应用数学（金融数学） 2011111029 陆文康 摘 要： 马克维茨投资祝贺理论是现代投资组合理论的开端，标志着投资1952年马克维茨发表了《投资组合选择理论》一文，标志着投资组合 关键词：马克维茨； 投资组合理论 一、马克维茨投资组合理论 马克维茨在1952年发表的《投资组合选择理论》打破了投资组合理论中只-方差模型。 R 表示证券i 在某一观测期的收益率，则(R )i E 与Var(R )i 为该证券的平时(R )i E 与Var(R )i 表示为： []221(R )(R ) m i it i i Var R E m σ==-∑ 1 1(R )m i i it i E R R m -===∑ 同时，我们知道投资组合理论就是要将资金分配到不同的证券以减少风险
第 2 页 共 7 页 所以除了单个证券的收益率和方程，还需要知道不同证券的相关性，用不 同证券之间的协方差来表示，设证券i 与另一证券j 的收益率之间的协方差为 Cov(R ,R )i j ，则协方差可表示为： []1 1Cov(R ,R )(R )(R )m i j it i jt J i R E R E m =??=--??∑ 当选定n 支股票；并对其进行投资，假定这n 支股票的投资比例是 12(x ,x ,,x )n X L ，该投资组合为p ，期望收益率p E 与收益率方差2p σ可以表示为： 1 n P i I i E x E ==∑ 2 2211 1 11 (R R )(R ,R )n n n n n P i j i j j j i j I J i j j j i j i x x Cov x x x Cov σσ=≠≠≠≠≠==+∑∑∑∑∑ 在用某一时间的收益率均值以及方程对实际的收益期望以及风险程度进行定量描述后，马克维茨设立了几点假设： （1）投资者都是理性的，也就是说他们都是尽量回避风险并且追逐利益。 （2）投资组合的确定与证券的收益与风险之外的因素无关。 （3）期望收益率的方差代表了证券的风险性。 （4）收益率的分布服从正态分布。 马克维茨其余以上假设，建立了资产配置的均值-方差模型，模型有两种，一是在收益率确定的情况下追求风险最小，二是在风险一定的情况下最求收益率最大，两种模型的表述如下： max p E - ..s t 1 1n i i x ==∑ 20p σσ≤ 0i x ≥ 0σ为事先确定的风险程度
投资组合 投资组合的选择过程可以分为两个阶段。第一个阶段以观察和经验开始以预计拥有证券的未来绩效结束。第二个阶段以未来绩效相关的信念开始以投资组合的选择结束。本文主要研究第二个阶段。首先，我们相信投资者会最大化其预期折现或期望的收益。这个准则我们既不作为一个假设去解释也不作为最大化指导投资者的行为。我们接下来考虑投资者应该思考预期的收益是合意的，收益的方差是不确定的。这个准则不论作为投资行为最大化或假设都有很多优点。我们通过预期收益-收益方差来解释投资组合的选择与预期之间的几何关系。 投资组合选择的一种类型是投资者应该最大化未来收益的折现（资本化）价值。因为未来是不确定的，我们必须预期未来的折现收益，可以提出这种类型的变化，根据hicks我们可以让预期的收益包含对未来风险的补贴。或者我们可以让资本化的利率虽不同证券组合的不同利率变化。 投资者应该最大化折现价值的假设或准则必须被拒绝。如果我们忽略了市场的缺陷上述的准则不会表明存在多样化的投资组合优于所有的非多元化的投资组合。多元化是可以观察也可以感觉到的。一个不包含多元化优越性的准则或假设必须被拒绝。 上述的准则没有解释多样化是如何形成的，是否不同的折现率被用于不同的投资组合，假设表明投资者将他所有的资金投资于折现价值最大的证券，如果两个或更多的证券有相同的价值那么所有这些组合都是一样好的。 我们可以看这个解析:假设有N种证券令r it为在时间t投资一美元证券i的预期收益， d it为证券组合i th在t时折现到当前的折现率。 X i为投资到证券i的相对数量。 我们排出了卖空，所以对于所有的证券i,X i>=0 那么证券组合的预期回报为: 为证券组合i th的折现回报。所以 相互独立，对于所有的证券i X i》=0 R为X i非负权重条件下R i的加权平均。
10—1 马克维茨的资产组合理论 本文由仁_忍_韧贡献 ppt文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 第10章—1 10章马克维茨的资产组合理论 一、基本假设投资者的厌恶风险性和不满足性：投资者的厌恶风险性和不满足性：厌恶风险性 1、厌恶风险、 2、不满足性、 2 “不要把所有的鸡蛋都放在同一只篮子里。” ——1981年诺贝尔经济学奖公布后，记者要求获奖人、耶鲁大学的 James Tobin教授尽可能简单、通俗地概括他的研究成果，教授即回答了这句话。 问题：如何进行证券组合，即（1）将鸡蛋放在多少个篮子里？（2）这些篮子有什么特点？3 二、证券组合与分散风险? n E(Rp ) = n 2 p n ∑ E ( R )W i =1 i n i =1 i ? = ∑ Wi 2σ i2 + 2 ∑ Cov ijWiW j σ = ∑∑ CovijWiW j i =1 j =1 * ? 由上式可知，证券组合的风险不仅决定于单个证券的风险和投资比重，还决定于每个证券收益的协方差或相关系数。 4 1、不管组合中证券的数量是多少，证券组合的收益率只是单个证券收益率的加权平均数。分散投资不会影响到组合的收益率，但是分散投资可以降低收益率变动的波动性。各个证券之间收益率变化的相关关系越弱，分散投资降低风险的效果就越明显。 分散投资可以消除证券组合的非系统性风险，但是并不能消除性统性风险。 5 2、在现实的证券市场上，大多数情况是各个证、在现实的证券市场上， 券收益之间存在一定的正相关关系。券收益之间存在一定的正相关关系。正相关关系有效证券组合的任务就是要找出相关关系较弱有效证券组合的任务就是要找出相关关系较弱的证券组合，的证券组合，以保证在一定的预期收益下尽可能地降低风险。地降低风险。6 3、证券组合的风险随着股票只数的增加而减少、 σP 非系统性风险 总风险系统性风险 0 组合中证券的数量(n) 组合中证券的数量 证券的数量和组合的系统性、证券的数量和组合的系统性、非系统性风险之间的关系
马克维茨投资理论浅析 Prepared on 24 November 2020
马克维茨投资理论浅析 数学与应用数学（金融数学） 陆文康 摘 要： 马克维茨投资祝贺理论是现代投资组合理论的开端，标志着投资组合理论1952年马 关键词：马克维茨； 投资组合理论 一、马克维茨投资组合理论 马克维茨在1952年发表的《投资组合选择理论》打破了投资组合理论中只有定性-方差模型。 R 表示证券i 在某一观测期的收益率，则(R )i E 与Var(R )i 为该证券的平时收益率的 (R )i E 与Var(R )i 表示为： 同时，我们知道投资组合理论就是要将资金分配到不同的证券以减少风险所以除了 同证券之间的协方差i 与另一证券j 的收益率之间的协方差为Cov(R ,R )i j ，则协方差可表示
当选定n 支股票；并对其进行投资，假定这n 支股票的投资比例是 12(x ,x , ,x )n X ，该投资组合为p ，期望收益率p E 与收益率方差2 p σ可以表示为： 在用某一时间内的收益率均值以及方程对实际的收益期望以及风险程度进行定量描述后，马克维茨设立了几点假设： （1）投资者都是理性的，也就是说他们都是尽量回避风险并且追逐利益。 （2）投资组合的确定与证券的收益与风险之外的因素无关。 （3）期望收益率的方差代表了证券的风险性。 （4）收益率的分布服从正态分布。 马克维茨其余以上假设，建立了资产配置的均值-方差模型，模型有两种，一是在收益率确定的情况下追求风险最小，二是在风险一定的情况下最求收益率最大，两种模型的表述如下： 0σ为事先确定的风险程度 0E 为事先确定的收益 均值-方差模型的求解本质上是一个二次规划问题的求解，但是如果证券的数量增多，计算量将会非常之大，这也是为什么投资组合理论长期以来经常被实际的投资者所冷落，因为对于个人投资者，选择证券较小的情况下还能够计算竟是十分复杂的，目前已经有一些软件进行相关的计算，但是在多个行业进行证券跟踪仍然是比较艰难的，下文将对中国股票市场中选择6支股票进行分析。 二、中国股票市场的实例分析 1、由下表，可知①出各股票的方差，②对A 、B 进行等权重投资时组合P 的p β非 系统风险(e )p Var 和总风险2 p σ；③当C 加入组合P 中，对A 、B 、C 实行等额投资是，新的组合'P 的'p β、非系统性风险'(e )p Var 和总风险'2p σ；④组合P 和'P 的风险变化。
投资组合理论简介 投资组合理论有狭义和广义之分。狭义的投资组合理论指的是马柯维茨投资组合理论；而广义的投资组合理论除了经典的投资组合理论以及该理论的各种替代投资组合理论外，还包括由资本资产定价模型和证券市场有效理论构成的资本市场理论。同时,由于传统的EMH 不能解释市场异常现象，在投资组合理论又受到行为金融理论的挑战。 投资组合理论的提出[1] 美国经济学家马考维茨(Markowitz)1952年首次提出投资组合理论（Portfolio Theory)，并进行了系统、深入和卓有成效的研究，他因此获得了诺贝尔经济学奖。 该理论包含两个重要内容：均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。 在发达的证券市场中，马科维茨投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。但是，我国的证券理论界和实务界对于该理论是否适合于我国股票市场一直存有较大争议。 从狭义的角度来说，投资组合是规定了投资比例的一揽子有价证券，当然，单只证券也可以当作特殊的投资组合。 人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因素。所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。当然，股票的收益包括分红派息和资本增值两部分。所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。 人们在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢？这正是投资组合理论研究 的中心问题。投资组合理论研究―理性投资者‖如何选择优化投资组合。所谓理性投资者，是指这样的投资者：他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化，或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。 因此把上述优化投资组合在以波动率为横坐标，收益率为纵坐标的二维平面中描绘出来，形成一条曲线。这条曲线上有一个点，其波动率最低，称之为最小方差点（英文缩写是MVP）。这条曲线在最小方差点以上的部分就是著名的（马考维茨）投资组合有效边界，对应的投资组合称为有效投资组合。投资组合有效边界一条单调递增的凹曲线。 如果投资范围中不包含无风险资产（无风险资产的波动率为零），曲线AMB是一条典型的有效边界。A点对应于投资范围中收益率最高的证券。 如果在投资范围中加入无风险资产，那么投资组合有效边界是曲线AMC。C点表示无风险资产，线段CM是曲线AMB的切线，M是切点。M点对应的投资组合被称为―市场组合‖。 如果市场允许卖空，那么AMB是二次曲线；如果限制卖空，那么AMB是分段二次曲线。在实际应用中，限制卖空的投资组合有效边界要比允许卖空的情形复杂得多，计算量也要大得多。 在波动率－收益率二维平面上，任意一个投资组合要么落在有效边界上，要么处于有效边界之下。因此，有效边界包含了全部（帕雷托）最优投资组合，理性投资者只需在有效边界上选择投资组合。
Markowitz资产组合理论在我国A股市场的运用 摘要 Markowitz资产组合理论研究的是多种资产的组合问题。根据这个理论，我们可以在方差一定的情况下研究预期收益最大的投资组合问题；也可以研究预期收益一定情况下方差最小的投资组合问题。本文首先从Markowitz资产组合理论入手，介绍它的研究对象、理论意义、经典模型及其相关评价。其次用几何分析方法来具体研究我国A股市场沪市和深市能源、医药、金融三个行业指数的风险、收益率情况。最后运用MATLAB软件将求解有效组合的几何分析方法简化，在方差一定情况下求得预期收益最高的投资组合，在预期收益一定的情况下求得方差最小的投资组合。 【关键字】：Markowitz资产组合理论等均值线临界线有效组合
The use of Markowitz asset portfolio theory in China A market share Abstract Markowitz portfolio theory is to study the bination problems of various assets. According to this theory, we can choose the portfolio with the same variance and the biggest expected oute, and also can choose the portfolio with the same expected oute and the minimum variance. Based on Markowitz asset portfolio theory, this thesis first introduces its studying object, theoretical meaning, typical model and relative evaluation. Then it specifically discusses the risk and ine rate index of the field of energy, medic and finance using geometric analysis in shanghai stock market and Shenzhen stock market. Last, working with MATLAB software we simplify the geometric method that putes the effective portfolio, and get the portfolio with maximum expected oute for the given risk or the portfolio with the minimum risk for the given expected oute. 【Key words】: Markowitz asset portfolio theory average line critical line effective portfolio
马克维茨投资理论浅析 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
马克维茨投资理论浅析 数学与应用数学（金融数学） 陆文康 摘 要： 马克维茨投资祝贺理论是现代投资组合理论的开端，标志着投资组1952年马克维茨发表了《投资组合选择理论》一文，标志着投资组合理论由 关键词：马克维茨； 投资组合理论 一、马克维茨投资组合理论 马克维茨在1952年发表的《投资组合选择理论》打破了投资组合理论中只-方差模型。 表示证券i 在某一观测期的收益率，则(R )i E 与Var(R )i 为该证券的平时收益(R )i E 与Var(R )i 表示为： 同时，我们知道投资组合理论就是要将资金分配到不同的证券以减少风险所 同证券i 与另一证券j 的收益率之间的协方差为 ,R )i j ，则协方差可表示为：
当选定n 支股票；并对其进行投资，假定这n 支股票的投资比例是 12(x ,x , ,x )n X ，该投资组合为p ，期望收益率p E 与收益率方差2 p σ可以表示为： 在用某一时间内的收益率均值以及方程对实际的收益期望以及风险程度进行定量描述后，马克维茨设立了几点假设： （1）投资者都是理性的，也就是说他们都是尽量回避风险并且追逐利益。 （2）投资组合的确定与证券的收益与风险之外的因素无关。 （3）期望收益率的方差代表了证券的风险性。 （4）收益率的分布服从正态分布。 马克维茨其余以上假设，建立了资产配置的均值-方差模型，模型有两种，一是在收益率确定的情况下追求风险最小，二是在风险一定的情况下最求收益率最大，两种模型的表述如下： 0σ为事先确定的风险程度 0E 为事先确定的收益 均值-方差模型的求解本质上是一个二次规划问题的求解，但是如果证券的数量增多，计算量将会非常之大，这也是为什么投资组合理论长期以来经常被实际的投资者所冷落，因为对于个人投资者，选择证券较小的情况下还能够计算竟是十分复杂的，目前已经有一些软件进行相关的计算，但是在多个行业进行证券跟踪仍然是比较艰难的，下文将对中国股票市场中选择6支股票进行分析。 二、中国股票市场的实例分析 1、由下表，可知①出各股票的方差，②对A 、B 进行等权重投资时组合P 的 p β非系统风险(e )p Var 和总风险2 p σ；③当C 加入组合P 中，对A 、B 、C 实行等额
第四章马科维茨投资组合理论 马科维茨(Harry M.Markowitz,）1927年生于美国，1952年获芝加哥大学博士学位。他曾任职于兰德公司，后为纽约市立大学巴鲁齐学院教授。1990年因其在1952年提出的投资组合选择（Portfolio Selection)理论获得诺贝尔经济学奖。 Markowitz 诺贝尔奖演说结语 “Finally, I would like to add a comment concerning portfolio theory as a part of the micr oeconomics of action under uncertainty. It has not always been considered so. For example, when I defended my dissertation as a student in the Economics Department of the University of Chicago, Professor Milton Friedman argued that portfolio theory was not Economics, and that they could not award me a Ph.D. degree in Economics for a dissertation which was not in Economics. I assume that he was only half serious, since they did award me the degree without long debate. As to the merits of his arguments, at this point I am quite willing to concede: at the time I defended my dissertation, portfolio theory was not part of Economics. But now it is.” “当我作为芝加哥大学经济系的学生为我的博士论文答辩时，米尔顿·弗里德曼教授认为证券组合理论不是经济学，因而他们不能为一篇不是经济学的论文授予经济学的博士学位。我设想他并非十分认真，因为他们没有经过长时间的争论就已经同意授予我学位。至于他的论点的是非，在此我相当乐意让步：在我答辩我的博士论文的时候，证券组合理论不是经济学的一部分。但是它现在是了(But Now It Is.)” 主要贡献： 1.发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选择资产组合理论：均值方差方法Mean-Variance methodology. 2.这个理论演变成进一步研究金融经济学的基础，这一理论通常被认为是现代金融学的发端。 3.这一理论的问世，使金融学开始摆脱了纯粹的描述性研究和单凭经验操作的状态, 标志着数量化方法进入金融领域。马科维茨的工作所开始的数量化分析和MM理论中的无套利均衡思想相结合,酝酿了一系列金融学理论的重大突破。 主要思想： Markowitz 在投资组合选择理论中考虑的是这样一个问题： 如果一名投资者为减少风险而同时对多种股票进行投资，怎样的投资组合将是最好的？ 为此，Markowitz把投资组合的价格变化视为随机变量，以它的均值来衡量收益，以它的方差来衡量风险（因此Markowitz理论又称为均值－方差分析）；把投资组合中各种证券之间的比例作为变量，那么求收益一定的风险最小的投资组合问题就被归结为一个线性约束下的二次规划问题。再根据投资者的偏好，由此就可以进行投资决策。 基本假设： H1. 单期模型（A single period model），假设时间被分为两个（只有两个时期，本年＆下年）。 假定某一个人选择：本年消费和下年消费。 存在着一个交易本年消费和下年消费的市场。交易价格取决于市场供求力量。 H2. 所有投资都是完全可分的。每一个人可以根据自己的意愿（和支出能力）选择尽可能多的或尽可能少的投资。 H3. 一个投资者愿意仅在收益率的期望值和方差（标准差）这两个测度指标的基础上选择投资组合。 E=对一个投资组合的预期收益率 p σ=对一个投资组合的收益的标准差（不确定性） p H4. 投资者事先知道投资收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。 Return of S&P Index
马克维茨投资理论浅析 数学与应用数学（金融数学） 陆文康 摘 要： 马克维茨投资祝贺理论是现代投资组合理论的开端，标志着投资组合理论1952年马 关键词：马克维茨； 投资组合理论 一、马克维茨投资组合理论 马克维茨在1952年发表的《投资组合选择理论》打破了投资组合理论中只有定性描-方差模型。 R 表示证券i 在某一观测期的收益率，则(R )i E 与Var(R )i 为该证券的平时收益率的(R )i E 与Var(R )i 表示为： 同时，我们知道投资组合理论就是要将资金分配到不同的证券以减少风险所以除了 同证券之间的协方差来i 与另一证券j 的收益率之间的协方差为Cov(R ,R )i j ，则协方差可表示为： 当选定n 支股票；并对其进行投资，假定这n 支股票的投资比例是12(x ,x ,,x )n X ，p ，期望收益率p E 与收益率方差2 p 可以表示为： 在用某一时间内的收益率均值以及方程对实际的收益期望以及风险程度进行定量描 （1）投资者都是理性的，也就是说他们都是尽量回避风险并且追逐利益。 （2）投资组合的确定与证券的收益与风险之外的因素无关。
（3）期望收益率的方差代表了证券的风险性。 （4）收益率的分布服从正态分布。 马克维茨其余以上假设，建立了资产配置的均值-方差模型，模型有两种，一是在收益率确定的情况下追求风险最小，二是在风险一定的情况下最求收益率最大，两种模型的表述如下： 0σ为事先确定的风险程度 0E 为事先确定的收益 均值-方差模型的求解本质上是一个二次规划问题的求解，但是如果证券的数量增多，计算量将会非常之大，这也是为什么投资组合理论长期以来经常被实际的投资者所冷落，因为对于个人投资者，选择证券较小的情况下还能够计算竟是十分复杂的，目前已经有一些软件进行相关的计算，但是在多个行业进行证券跟踪仍然是比较艰难的，下文将对中国股票市场中选择6支股票进行分析。 二、中国股票市场的实例分析 1、由下表，可知①出各股票的方差，②对A 、B 进行等权重投资时组合P 的p β非系 统风险(e )p Var 和总风险2 p σ；③当C 加入组合P 中，对A 、B 、C 实行等额投资是，新的组合'P 的'p β、非系统性风险'(e )p Var 和总风险'2p σ；④组合P 和'P 的风险变化。 ①由公式()i i i e 22 22σσβσ+=M 得： ②对A 、B 等权重投资时组合p 的 由公式()()()i n i i n i i e n e 22 1212p 21e σσχσ∑∑==?? ? ??==得： 由公式()222 2p p M p e σβσσ=+得： ③因为ABC 是等比例投资的，
投资组合理论简析：美国经济学家马考维茨(Markowitz)1952年首次提出投资组合理论（Portfolio Theory)，并进行了系统、深入和卓有成效的研究，他因此获得了诺贝尔经济学奖。该理论也称证券投资组合理论或资产组合理论。 马克维茨投资组合理论的基本假设为：(1)投资者是风险规避的，追求期望效用最大化；(2)投资者根据收益率的期望值与方差来选择投资组合；(3)所有投资者处于同一单期投资期。马克维茨提出了以期望收益及其方差(E，δ2)确定有效投资组合。 以期望收益E来衡量证券收益，以收益的方差δ2表示投资风险。资产组合的总收益用各个资产预期收益的加权平均值表示，组合资产的风险用收益的方差或标准差表示，则马克维茨优化模型如下： 式中：rp——组合收益； ri、rj——第i种、第j种资产的收益； wi、wj——资产i和资产j在组合中的权重； δ2(rp)——组合收益的方差即组合的总体风险； cov(r,rj)——两种资产之间的协方差。 马克维茨模型是以资产权重为变量的二次规划问题，采用微分中的拉格朗日方法求解，在限制条件下，使得组合风险铲δ2(rp)最小时的最优的投资比例Wi。从经济学的角度分析， 就是说投资者预先确定一个期望收益率，然后通过确定投资组合中每种资产的权重，使其总体投资风险最小，所以在不同的期望收益水平下，得到相应的使方差最小的资产组合解，这些解构成了最小方差组合，也就是我们通常所说的有效组合。有效组合的收益率期望和相应的最小方差之间所形成的曲线，就是有效组合投资的前沿。投资者根据自身的收益目标和风险偏好，在有效组合前沿上选择最优的投资组合方案。 根据马克维茨模型，构建投资组合的合理目标是在给定的风险水平下，形成具有最高收益率的投资组合，即有效投资组合。此外，马克维茨模型为实现最有效目标投资组合的构建提供了最优化的过程，这种最优化的过程被广泛地应用于保险投资组合管理中。在马可维茨的理论基础上又出现了致力于寻求新的度量标准和新的投资准则的现代投资组合理论：均值-V aR投资组合模型 最早应用V aR风险测量方法的是Jm Morgan公司，1994年10月JP Morgan公司开发 的“风险度量"(Riskmetrics)系统中提出了V aR风险测量方法；1995年4月，巴塞尔银 行监管委员会宣布商业银行的资本充足性要求必须建立在V aR基础上；1995年6月，美联储提出相似的预案；1995年12月，美国证券交易委员会建议上市交易的美国公司将V aR 值作为信息披露的一项指标。1996年8月，美国银行业监督管理委员会采用1988年巴塞 尔协议中提出的市场风险修正案(MAR)，市场风险修正案于1998年1月生效。该修正案 规定商业银行进行大宗交易时，其备用资本要超过其面临的市场风险，而市场风险资本备 用额根据V aR方法予以估计。2001年巴塞尔委员会进一步利用V aR对资本充足性作出了三项规定，此外，在美国，评估机构如穆迪与标准普尔、金融会计标准委员会及证券与交易委员会都采纳V aR方法，可见，迄今为止，V aR风险测量方法己经得到广泛的应用。 V aR英文为V alue-at-Risk，通常称为风险价值，其含义是“处于风险中的价值’’，指 在市场正常波动下，某一金融资产或证券组合的最大可能损失，更为精确的讲就是：在一定的概率水平下(置信度)，某一金融资产或证券组合在未来特定时间内的最大可能损失，
马科维茨的均值一方差组合模型 (重定向自均值方差模型) 马科维茨的均值一方差组合模型(Markowitz Mean-Variance Model，Markowitz Model简称MM) [编辑] 马科维茨的均值一方差组合模型简介 证券及其它风险资产的投资首先需要解决的是两个核心问题：即预期收益与风险。那么如何测定组合投资的风险与收益和如何平衡这两项指标进行资产分配是市场投资者迫切需要解决的问题。正是在这样的背景下，在50年代和60年代初，马可维兹理论应运而生。 [编辑] 马科维茨模型的假设条件 该理论依据以下几个假设： 1、投资者在考虑每一次投资选择时，其依据是某一持仓时间内的证券收益的概率分布。 2、投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险。 3、投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收益。 4、在一定的风险水平上，投资者期望收益最大；相对应的是在一定的收益水平上，投资者希望风险最小。
根据以上假设，马可维兹确立了证券组合预期收益、风险的计算方法和有效边界理论，建立了资产优化配置的均值－方差模型： 目标函数：minб2(rp)=∑ ∑xixjCov(ri-rj) rp= ∑ xiri 限制条件：1=∑Xi （允许卖空） 或1=∑Xi xi>≥0（不允许卖空） 其中rp为组合收益，ri为第i只股票的收益，xi、xj为证券i、j的投资比例，б2(rp)为组合投资方差(组合总风险)，Cov (ri 、rj ) 为两个证券之间的协方差。该模型为现代证券投资理论奠定了基础。上式表明，在限制条件下求解Xi 证券收益率使组合风险б2(rp )最小，可通过朗格朗日目标函数求得。其经济学意义是，投资者可预先确定一个期望收益，通过上式可确定投资者在每个投资项目（如股票）上的投资比例（项目资金分配），使其总投资风险最小。不同的期望收益就有不同的最小方差组合，这就构成了最小方差集合。 [编辑] 马科维茨模型的意义 马科维茨的投资组合理论不仅揭示了组合资产风险的决定因素，而且更为重要的是还揭示了“资产的期望收益由其自身的风险的大小来决定”这一重要结论，即资产（单个资产和组合资产）由其风险大小来定价，单个资产价格由其方差或标准差来决定，组合资产价格由其协方差来决定。马可维茨的风险定价思想在他创建的“均值－方差”或“均值－标准差”二维空间中投资机会集的有效边界上表现得最清楚。下文在“均值－标准差”二维空间中给出投资机会集的有效边界，图形如下：
马克维茨投资组合选择
Portfolio Selection Harry Markowitz The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1. (Mar., 1952), pp. 77-91. Stable URL: https://www.doczj.com/doc/7613983564.html,/sici?sici=0022-1082%28195203 %297%3A1%3C77%3APS%3E2.0.CO%3B2-1 The Journal of Finance is currently published by American Finance Association. Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of JSTOR's Terms and Conditions of Use, available at https://www.doczj.com/doc/7613983564.html,/about/terms.html. JSTOR's Terms and Conditions of Use provides, in part, that unless you have obtained prior permission, you may not download an entire issue of a journal or multiple copies of articles, and you may use content in the JSTOR archive only for your personal, non-commercial use. Please contact the publisher regarding any further use of this work. Publisher contact information may be obtained at