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数值分析习题

习题 1

1. 填空题

(1) 为便于算法在计算机上实现, 必须将一个数学问题分解为

(2) 在数值计算中为避免损失有效数字,尽量避免两个 数作减法运算;为避免 误差的扩大,也尽量避免分母的绝对值 分子的绝对值;

(3) 误差有四大来源 , 数值分析主要处理其中的 ;

(4) 有效数字越多 , 相对误差越

2. 用例 1.4的算法计算 , 迭代 3次 , 计算结果保留 4位有效数字 .

3. 推导开平方运算的误差限公式 , 并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差 .

4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数 , 指出它们的有效数位、误差限和相对 误差限 .

95123450304051104000003346087510. , . , , . , . x x x x x -==⨯===⨯

5. 证明 1.2.3之定理 1.1.

6. 若钢珠的的直径 d 的相对误差为 1.0%,则它的体积 V 的相对误差将为多少。 (假定钢珠为 标准的球形)

7. 若跑道长的测量有 0.1%的误差 , 对 400m 成绩为 60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差 和相对误差 .

8. 为使 20的近似数相对误差小于 0.05%,试问该保
留几位有效数字 .

8. 为使 20的近似数相对误差小于 0.05%,试问该保留几位有效数字 .

9. 一个园柱体的工件 , 直径 d 为 10.25±0.25mm, 高 h 为 40.00±1.00mm, 则它的体积 V 的近似值、 误差和相对误差为多少.

10 证明对一元函数运算有

r r xf x f x k x k f x εε'≈=() (()) (), ()

其中 并求出 157f x x x ==() tan , . 时的 k 值,从而说明 f x x =() tan 在 2x π≈

时是病态问题.

11. 定义多元函数运算 11 1, , () , n n

i i i i i i S c x c x εε====≤∑∑其中

求出 S ε() 的表达式, 并说明 i c 全为正数时, 计算是稳定的, i c 有正有负时, 误差难以控制.

12. 下列各式应如何改进 , 使计算更准确:

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