行知中学高三数学开学考试卷
2020.09
一. 填空题
1. 集合{|14,}A x x x Z =≤<∈，2{|230}B y y y =--≤，则A
B =
2. 函数2()21f x x x =--，(0,3)x ∈，则函数值域为
3. 已知复数z 满足i 34i z ?=-（i 是虚数单位），则||z =
4. 行列式1
12
211001
x y x y =
5. 对于集合A 、B ，定义：{|A B x x A -=∈且}x B ?，则()A B A --=
6. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =
7. 关于x
23
0≥的解集为 8. 若{|2132}A x a x a =+≤<-，2{|11100}B x x x =-+<，且A B ?，则实数a 的取
值范围是
9. 函数1()sin 4f x x x x
π=--的零点为 10. 已知实数a 、b 、c 满足2a b >，3b c >，则32()(6)23a c a b b c
+---的最小值为 11. 定义：若对非空数集P 中任意两个元素a 、b 实施“加减乘除”运算（如a b +、a b -、 a b ?、a b ÷(0)b ≠），其结果仍然是P 中的元素，则称数集P 是一个“数域”. 下列四个命题：① 有理数集Q 是数域；② 若有理数集Q M ?，则数集M 是数域；③ 数域必是无限集；④ 存在无穷多个数域；上述命题错误的序号是
12. 设集合{1,2,3,4,5,6}M =，1S 、2S 、3S 、???k S 都是M 的含两个元素的子集，
且满足对任意的{,}i i i S a b =，{,}j j j S a b =（i j ≠，i 、j {1,2,,}k ∈???），都有
min{,}min{,}j j i i i i j j
a b a b b a b a ≠（其中min{,}x y 表示两数x 、y 中较小的数），则k 的 最大值是
二. 选择题
13. 抛物线2:4x y Γ=的准线方程是（ ）
A. 1x =
B. 1y =-
C. 1y =
D. 1x =-
14. 给定条件a 、b 、c 、d ，若满足：① b 是d 的充分非必要条件；② a b ?；③ c d ?； 则c 是a 的（ ）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 既非充分也非必要
15. 已知平面上点O 与线段AB ，若线段AB 上有n (1)n >个异于端点A 、B 的互异动点
1P 、2P 、???、n P ，且满足k k k OP OA OB λμ=+，k λ、k μ∈R ，1k n ≤≤，k ∈Z ，则
1212()()n n λλλμμμ??????的取值范围是（ ）
A. 1(0,)2n
B. 1(0,)4n
C. 1(0,]4n
D. 1[,)4n
+∞ 16. 若x 、y ∈R ，点集{(,)|||||1}M x y x y =+<，{(,)|||1,||1,||1}N x y x y x y =+<<<， 2222{(,)|(0.5)(0.5)(0.5)(0.5)22}P x y x y x y =-+++++-<，则（ ）
A. M N P ??
B. N M P ??
C. M P N ??
D. 以上皆错
三. 解答题
17.（1）一个正方体纸盒展开后如图1所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB EF ⊥；②MC ∥AB ；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD ；
以上四个结论中，正确结论的序号是哪些？（无需说明理由，只要写出正确结论的序号即可）
（2）如图2，四面体ABCD 中，AB CD =，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，求异面直线AB 和MN 所成角的大小.
18. 在实数范围内，已知等式2(2)3y x m x m =--+-.
（1）若存在实数[0,3]x ∈，使得{0}y ∈，求实数m 的取值范围；
（2）若对任意实数[0,3]m ∈，使得[0,)y ∈+∞，求实数x 的取值范围.
19.（1）设1x ≥，求点11(,)P x x x x
+-与点(1,0)Q 间距离的最小值； （2）如图所示，一圆锥的底面半径与高都是6（cm ），在圆锥内部有一个内接的倒置小圆锥（小圆锥的底面平行于大圆锥的底面，小圆锥的顶点位于大圆锥的底面中心），其中小圆锥的底面半径为r （cm ），高为h （cm ），求小圆锥体积的最大值.
20. 已知椭圆方程：22
221x y a b
+=（0a b >>）. （1）若椭圆的一个焦点为(1,0)F ，短轴的两个三等分点与焦点构成正三角形，求椭圆方程；
（2）定义：椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）上任意一点(,)P x y 到左、右两焦点1F 、2F 的 距离1|PF 、2||PF 称为椭圆的两个“焦半径”，证明：焦半径1||c PF a x a =+、2||c PF a x a
=-； （3）半椭圆22
22:1x y a b
Γ+=（0y ≥）的左焦点为F ，在x 轴上点F 的右侧有一点A ，以 线段FA 为直径作半径为R （0>）的圆C ，且与半椭圆Γ交于M 、N 两点，试求
||||2FM FN R
+的值.
21. 定义：有限非空数集Ω的所有元素的“乘积”称为数集Ω的“积数”，例如：集合{1,2,3}Ω=，其“积数”1236=??=.
（1）若有限数集123{,,}A a a a =，求证：集合A 的所有非空子集的“积数”之和A S 满足
123(1)(1)(1)1A S a a a =+++-；
（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集12{,,,}n A a a a =???（*n ∈N ，2n ≥），记集
合A 的所有非空子集的“积数”之和n S ，试写出n S 的表达式，并利用“数学归纳法”给
予证明；
（3）若有限集111
1{,,,,}234100
Ω=???， 1）试求由Ω中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和S 奇数；
2）试求由Ω中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和S 偶数.
参考答案