直线倒立摆的稳定控制算法设计
摘要
本文首先利用牛顿力学分析的方法和拉格朗日法建立了直线一级、二级、三级倒立摆实物系统的线性状态方程，并在此基础上分析了该系统是不稳定的，同时又是能控的和能观的。基于此本文设计了直线倒立摆系统的机械本体部分，研究了直线一级、二级、三级倒立摆系统的PID、LQR和状态空间极点配置控制算法，同时利用MATLAB/Simulink对各个算法进行分析，由仿真结果表明：对于像倒立摆这样的非线性模型，通过对其数学模型的建立，设计相应的控制器,并对其实现控制是可行的。
关键词：直线倒立摆；PID；LQR；状态空间极点配置；仿真
The stability of linear inverted pendulum control algorithm
design
Abstract
In this paper，we firstly use the Newton mechanics analysis method and the Lagrange method to establish the linear level 1，level 2，level 3 inverted pendulum linear state equation of real system.In the meantime，the system is unstable by analyzing the linear state equation，but it is also controllable and observable.And then we describe on the physical system of the linear inverted pendulum.This paper studied the linear level 1，level 2，level 3 of the inverted pendulum system PID，LQR and state space pole assignment control algorithm，at the same time analyze various algorithms with MATLAB/Simulink.By the simulation results show that：Be similary to inverted pendulum is for the non-linear model，through its mathematical model，the appropriate design of controller，and in its implementation control is feasiblly.
Key words：linear inverted pendulum；PID；LQR；s tate space pole configuration；
simulation
目录
1 绪论 (1)
1.1前言 (1)
1.2倒立摆系统研究背景及意义 (1)
1.3国内外倒立摆控制研究发展及现状 (2)
1.4本文主要工作 (4)
2 倒立摆机械系统设计及实现 (5)
2.1 倒立摆简介 (5)
2.2 倒立摆工作特性和工作原理 (5)
2.2.1工作特性 (5)
2.2.2系统工作原理 (5)
2.3系统机械结构设计 (6)
2.3.1底座设计 (6)
2.3.2小车部分设计 (6)
2.3.3 传动部分设计 (7)
2.3.4 步进电机选择 (7)
3 一级直线倒立摆系统的建模分析与仿真 (10)
3.1一级倒立摆模型分析 (10)
3.1.1系统可观可控性分析 (13)
3.1.2系统阶跃响应分析 (14)
3.2一级直线倒立摆控制器设计与仿真 (15)
3.2.1PID控制器设计及算法仿真 (15)
3.2.2 LQR控制器设计及算法仿真 (18)
3.2.3状态空间极点配置控制设计及仿真 (20)
3.2.4小结 (22)
4 二级直线倒立摆系统的建模分析与仿真 (24)
4.1二级倒立摆模型的分析 (24)
4.1.1二级倒立摆稳定性分析 (29)
4.1.2能控性能观性分析 (29)
4.2二级直线倒立摆控制器设计与仿真 (30)
4.2.1LQR控制器设计及算法仿真 (30)
4.2.2状态空间极点配置控制设计及仿真 (31)
4.2.3小结 (32)
5 三级直线倒立摆系统建模分析与仿真 (34)
5.1二级倒立摆模型分析 (34)
5.1.1三级倒立摆稳定性分析 (39)
5.1.2能控性能观性分析 (39)
5.2三级直线倒立摆控制器设计与仿真 (40)
5.2.1LQR控制器设计及算法仿真 (40)
5.2.2状态空间极点配置控制设计及仿真 (41)
5.2.3小结 (43)
6 总结与展望 (44)
参考文献 (45)
致谢 (46)
毕业设计（论文）知识产权声明.................................... 错误！未定义书签。毕业设计（论文）独创性声明. (47)
附录 (48)
1 绪论
1.1前言
倒立摆系统是一个非线性自然不稳定系统，是进行控制理论教学及开展各种控制策略的理想验证平台。倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强藕合等特性，使得许多现代控制理论研究人员一直将它视为最佳的理论方法验证试验研究对象，不断从研究倒立摆控制中发掘出新的控制方法，并将其应用于航天科技、机器人学、海上钻井平台、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制、太空探测器着陆控制和测量仪器展开稳定控制等各种高新科技领域[1]。倒立摆系统在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题、镇定问题及跟踪问题等。作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉。
倒立摆系统的控制效果可以通过其稳定性直观地体现，也可以通过摆杆角度、小车位移和稳定时间直接度量，其实验效果直观、显著。
1.2倒立摆系统研究背景及意义
对倒立摆系统的研究不仅仅在其结构简单、原理清晰、易于实现等特点，而且作为典型的多变量系统，可采用实验来研究控制理论中许多方面的问题。在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆的典型性在于，倒立摆系统作为一个控制装置，它结构简单、价格低廉，便于模拟和数字多种不同的方式控制，通过引入适当的控制方式使之成为一个稳定的系统，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。另一方面对系统的研究也比较有实用价值，从日常生活中所见的任何重心在上、支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相似性。倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。它的工程背景如下：
(1)机器人的站立与行走类似双倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问
世至今已有三十年的历史，机器人的关键技术——机器人的行走控制至今仍未能很好解决。
(2)在火箭等飞行器的飞行过程中，为了保持其正确的姿态，要不断进行
实时控制。
(3)通信卫星中在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持
其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板直指向太阳。
(4)为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭（多级火箭），其飞
行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。
(5)侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图象质量产生很大的影响，
为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定，消除震动。
1.3国内外倒立摆控制研究发展及现状
在国外，倒立摆系统研究最早始于上世纪50 年代，麻省理工学院机电工程系的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验装置。但是正式提出倒立摆概念的是在60 年代后期。在此基础上，世界各国专家和学者对倒立摆进行了拓展，产生了直线二级倒立摆、三级倒立摆、多级倒立摆、柔性直线倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆、环形并联多级倒立摆以及斜坡倒立摆等实验设备，并用不同的控制方法对其进行了控制。1976 年Morietc 首先把倒立摆系统在平衡点附近线性化，利用状态空间方法设计比例微分控制器实现了一级倒立摆的稳定控制[2]。1992 年，Furuta 等人应用最优状态调节器理论首次实现双电机三级倒立摆实物控制[3]。80 年代后期开始，较多的研究了倒立摆系统中的非线性特性，提出了一系列的基于非线性分析的控制策略，1993 年，Wiklund 等人应用基于李亚普诺夫的方法控制了环形一级倒立摆[4]。
国内对倒立摆的研究始于80 年代，三级倒立摆及多级倒立摆的研究也取得了很大进展，不仅在系统仿真方面，而且在实物实验中，都出现了控制成功的范例。尹征琦等成功的以模拟的降维观测器实现了二级倒立摆的控制[5]。梁任秋等针对二级倒立摆系统给出了三种实用的数字控制器和降维观测器[6]。1994 年，北京航空航天大学教授张明廉将人工智能与自动控制理论相结合，提出“拟人智能控制理论”，实现了用单电动机控制三级倒立摆实物以及后来实现对二维单倒立摆控制[7]。2005 年，罗成等人实现了五级倒立摆的控制[8]。
对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，它在理论上和方法上都具有重要意义。不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法、探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。各种控制理论和方法都可以在这里得以充分实践，并且可以促成相互间的有机结合。当前倒立摆的控制方法可分为以下几类：
(1)线性理论控制方法将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法得到期望的控制器。PID控制、状态反馈控制、LQR控制算法是其典型代表。这类
方法对一二级的倒立摆(线性化后误差较小模型较简单)控制时，可以解决常规倒立摆的稳定控制问题。但对于像非线性较强、模型较复杂的多变量系统(三四级以及多级倒立摆)线性系统设计方法的局限性就十分明显，这就要求采用更有效的方法来进行合理的设计。
(2)预测控制和变结构控制方法由于线性控制理论在倒立摆控制中的局限性，使得研究者不得不去寻求更加有效的控制方法，于是先后开展了预测控制、变结构控制和自适应控制的研究。预测控制是一种优化控制方法，强调的是模型的功能而不是结构。变结构控制是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上仍然保持系统的稳定性和鲁棒性,但是系统存在颤抖。预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂、成本也高，不易在快速变化的系统上实时实现[9]。
(3)智能控制方法在倒立摆系统中用到的智能控制方法主要有神经网络控制、模糊控制、仿人智能控制、拟人智能控制和云模型控制等。
①神经网络控制神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，NN能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性；也可将Q学习算法和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。但是神经网络控制方法存在的主要问题是：缺乏一种专门适合于控制问题的动态神经网络，而且多层网络的层数、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择缺乏指导性原则等。
②模糊控制经典的模糊控制器利用模糊集合理论将专家知识或操作人员经验形成的语言规则直接转化为自动控制策略(通常是专家模糊规则查询标)，其设计不依靠对象精确的数学模型，而是利用其语言知识模型进行设计和修正控制算法。常规的模糊控制器的设计方法有很大的局限性，首先，难以建立一组比较完善的多维模糊控制规则，即使能凑成这样一组不完整的粗糙的模糊控制规则，其控制效果也是难以保证的。但是模糊控制结合其他控制方法就可能产生比较理想的效果。
③拟人智能控制模糊控制、神经网络控制等智能控制理论的问世促进了当代自动控制理论的发展。然而，基于这些智能控制理论所设计的系统往往需要庞大的知识库和相应的推理机，不利于实现实时控制。这又阻碍了智能控制理论的发展，因此，又有学者提出了一种新的理论——拟人控制理论。拟人智能控制的核心是“广义归约”和“拟人”。“归约”是人工智能中的一种问题求解方法。这种方法是将等求解的复杂问题分解成复杂程度较低的若干问题集合，再将这些集合分解成更简单的集合，依此类推，最终得到一个本原问题集合，即可以直接求
解的问题。另一核心概念是“拟人”，其含义是在控制规律形成过程中直接利用人的控制经验直觉推理分析。
④仿人智能控制仿人智能控制的基本思想是通过对人运动控制的宏观结构和手动控制行为的综合模仿，把人在控制中的“动觉智能”模型化，提出了仿人智能控制方法。研究结果表明，仿人智能控制方法解决复杂、强非线性系统的控制具有很强的实用性。
⑤云模型控制利用云模型实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题[10]。
1.4本文主要工作
本论文的主要工作是设计了直线倒立摆系统的机械本体部分，并分别进行PID，线性二次最优控制，状态空间极点配置控制算法的设计，用MATLAB 对一级、二级、三级倒立摆控制系统进行了仿真，验证了设计的可行性。具体内容如下:
(1)详细论述了一级、二级、三级直线倒立摆数学建模方法，推导出它们的微分方程，以及线性化后的状态方程。
(2)分析了倒立摆系统的控制方法。分别用现代控制理论及经典控制理论对直线倒立摆的位置控制和角度控制进行分析。利用MATLAB仿真系统，讨论出现的问题及解决方法。
(3)设计绘制了直线倒立摆的装配图。
(4)对论文工作进行总结和展望。
2 倒立摆机械系统设计及实现
2.1 倒立摆简介
倒立摆系统包含倒立摆本体、电控箱及由运动控制卡和普通PC 机组成的控制平台等三大部分。
直线倒立摆本体由底座、电机、同步带、带轮、滑竿、小车、摆杆、角编码器等组成。小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动控制卡反馈小车和摆杆位置(线位移和角位移)。
电气控制箱由电机驱动器、I/O接口板、开关电源、开关和指示灯等电气元件组成。
控制平台由PC机、运动控制卡、运动控制卡用户接口软件等组成。
2.2 倒立摆工作特性和工作原理
2.2.1工作特性
倒立摆从形式和结构上来看是多种多样的，但是所有的倒立摆都具有以下的特性：
(1)非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近模型，线性化处理后再控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。
(2)不确定性主要的模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。
(3)耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。
(4)开环不稳定性
2.2.2系统工作原理
倒立摆系统是由上位机作为控制界面的输出，通过上位机对倒立摆系统的仿真过程进行参数的选改，运动控制卡进行电机反馈和角度编码器的反馈计算，并将参数的反馈发送到电机驱动器，进而控制电机输出。其工作原理如下图2.1所示：
图2.1 直线倒立摆控制系统硬件框图
由图可以看出倒立摆系统是一个闭环系统，图中光电码盘l由伺服电机自带，可以根据该码盘的反馈通过换算获得小车的位移，小车的速度信号可以通过差分得到。摆杆的角度由光电码盘测量出来并直接反馈到控制卡，角度的变化率信号可以通过差分得到。计算机从运动控制卡中实时读取数据，确定控制决策(电机的输出力矩)，并发送给运动控制卡。运动控制卡经过DSP 内部的控制算法实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。
2.3系统机械结构设计
2.3.1底座设计
对于底座的设计，选用的是固定式的底座,如图2.2所示：
图2.2 固定式底座
它的机构稳固，不会因为机器长时间运行而改变其水平条件，加工也简单，可以直接铸造得到。
2.3.2小车部分设计
为了实现倒立摆摆杆的自由摆动，同时测量摆杆转动角度，需要设计一个铰链来实现。铰链由转轴、深沟球轴承和轴承座构成，转轴安装在滚动轴承上用来连接摆杆和光电编码器。为使铰链转动灵活，必须保证轴承座中的两个深沟球轴承同心。因此，轴承座安装轴承的孔应设计为通孔，并在车床上一次装夹加工完成，以避免产生二次装夹误差。同时，光电编码器的安装没有选择现有倒立摆实验装置的安装方法即把编码器安装在支架上，而是直接把编码器固定在轴承座的一端，这样可以避免产生新的装配误差。而且选择此方法还在轴承座加工中增加了一道加工工序，即车完轴承装配孔后将编码器安装面重车一刀，保证编码器安
单级倒立摆系统的分析与设计 小组成员：武锦张东瀛杨姣 李邦志胡友辉 一．倒立摆系统简介 倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。 单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。 倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。 二．系统建模 1．单级倒立摆系统的物理模型 图1：单级倒立摆系统的物理模型
单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，单级倒立摆系统是一个非线性系统。 各个参数的物理意义为： M — 小车的质量 m — 倒立摆的质量 F — 作用到小车上的水平驱动力 L — 倒立摆的长度 x — 小车的位置 θ— 某一时刻摆角 整个倒立摆系统就受到重力、驱动力和摩擦阻力的三个外力的共同作用。这里，驱动力F 是由连接小车的传动装置提供，控制倒立摆的稳定实际上就是依靠控制驱动力F 使小车在水平面上做与倒立摆运动相关的特定运动。为了简化模型以利于仿真，假设小车与导轨以及摆杆与小车铰链之间的摩擦均为0。 2．单级倒立摆系统的数学模型 令小车的水平位移为x ，运动速度为v ，加速度a 。 小车的动能为212kc E Mx =，选择特定的参考平面使得小车的势能为0。 摆杆的长度为L ，某时刻摆角为θ，在摆杆上与固定连接点距离为q （0 一级倒立摆控制方法比较 摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。针对一级倒立摆系统，首先利用牛顿力学的知识建立了数学模型，然后利用Simulink 及其封装功能建立倒立摆的仿真模型，使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。根据状态方程判断系统的能控、能观性。通过LQR控制算法和极点配置设计控制器使系统达到稳定状态，分析两种方法的优缺点，并利用Matlab仿真加以证实。 关键词：倒立摆; LQR ;极点配置 ;Matlab DISCUSSION ON CONTROLOF INVERTED PENDULUM Abstract：the inverted pendulum system is a typical multi-variable, nonlinear, strong coupling and rapid movement of the natural unstable system. According to the level of inverted pendulum system, firstI make use of Newtonian mechanics knowledge to establishthe mathematical model, and use the Simulink and packaging function to establish inverted pendulum simulation model.The model is more flexibility, bringing a lot of convenience for simulation. By the equation of state, controllability and observablityof system can be sure. Designing the LQR control algorithm and pole-place makes the system stable state, analyzes the advantages and disadvantages of two methods confirmed through the simulation of MATLAB. Key words：Inverted pendulum ;LQR ;pole-place ;Matlab 0引言 倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点。研究倒立摆系统具有很强的理论意义，同时也具有深远的实践意义。许多抽象的控制概念如稳定性、能控性和能观性，都可以通过倒立摆系统直观地表现出来。希望对倒立摆的研究能够加深对控制理论的了解，为后面学习奠定坚实的基础。 倒立摆[1]的稳定控制主要可分为线性控制和智能控制两大类，下面分别对其归纳介绍。 1）线性理论控制方法 应用线性控制方法的基本前提是倒立摆处在平衡点附近，偏移很小时，系统可以用 倒立摆 倒立摆百度文库解释： 倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。 倒立摆系统简介 倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。 倒立摆分类 单级倒立摆控制系统设计及simulink仿真 摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强藕合和快速运动的自然不稳定系统。因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。单级倒立摆系统是一种广泛应用的物理模型。控制单级倒立摆载体的运动是保证倒立摆稳定性的关键因素。为了避免常用的物理反馈分析方法和运动轨迹摄像制导控制方法的某些缺点，本文从力学的角度提出对倒立摆的运动进行纯角度制导分析，完成了对倒立摆载体的角度制导运动微分方程的数学建模，设计了该模型的模糊控制系统，并利用Matlab\simulink软件工具对倒立摆的运动进行了计算机仿真。实验表明，这种模糊控制配合代数解析方法的运算速度和计算机仿真的效果均较物理反馈制导控制方法有了一定的提高。该方法可以有效地改善单级倒立摆控制系统的性能。本论文的主要工作是研究了直线一级倒立摆系统的模糊控制问题，用Matlab和Simulink对一级倒立摆模糊控制系统进行了仿真，验证了设计的可行性。本文论述了一级倒立摆数学建模方法，推导出他们的微分方程，以及线性化后的状态方程。讨论了单级倒立摆系统的模糊控制方法和操作步骤。用Simulink实现了单级倒立摆模糊控制仿真系统，分别给出一级倒立摆系统控制量的响应曲线。通过仿真说明控制器的有效性和实现性。关键词：单级倒立摆；仿真；模糊控制；运动；建模；Simulink Design of single stage inverted pendulum control system and Simulink simulation Abstract: inverted pendulum system is unstable system with a typical multi variable, nonlinear, strong coupled and fast motion. So the research on the attitude adjustment of the double foot robot and the attitude adjustment of the rocket launching process and the helicopter flight control field have practical,significance. The related scientific research achievements have been applied to many fields such as aerospace science and robotics. Single inverted pendulum system is a widely used physical model. Controlling the movement of the single inverted pendulum is the key factor to guarantee the stability of the inverted pendulum. In order to avoid some shortings of mon physical feedback analysis method and motion trajectory camera guidance control method, this paper presents a pure angle guidance analysis on the motion of the inverted pendulum, and designs the 控制系统综合设计 倒立摆控制系统 院（系、部）： 组长： 组员 班级： 指导教师： 2014年1月2日星期四 目录 摘要----------------------------------------------------------------------------------3 引言----------------------------------------------------------------------------------3 一、整体方案设计--------------------------------------------------------------3 1、需求-----------------------------------------------------------------------------3 2、目标-----------------------------------------------------------------------------3 3、概念设计----------------------------------------------------------------------3 4、整体开发方案设计---------------------------------------------------------3 5、评估----------------------------------------------------------------------------4 二、系统设计--------------------------------------------------------------------4 （一）系统设计-----------------------------------------------------------------4 1、功能分析----------------------------------------------------------------------4 2、设计规范和约束------------------------------------------------------------6 3、详细设计----------------------------------------------------------------------7 （二）机械系统设计-----------------------------------------------------------8 三、理论分析---------------------------------------------------------------------9 1、控制系统建模----------------------------------------------------------------9 2、时域和频域分析------------------------------------------------------------13 3、设计PID或其他控制器---------------------------------------------------21 四、元器件、设备选型--------------------------------------------------------30 一阶直线倒立摆系统 姓名： 班级： 学号： 目录 摘要 (3) 第一部分单阶倒立摆系统建模 (4) （一）对象模型 (4) （二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6) 第二部分单阶倒立摆系统分析 (7) 第三部分单阶倒立摆系统控制 (11) （一）内环控制器的设计 (11) （二）外环控制器的设计 (14) 第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16) 系统的simulink仿真 (16) 摘要： 该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”的控制，实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究，有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制。 控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。 实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤，最终得出实验结果。仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性。 第一部分单阶倒立摆系统建模 （一） 对象模型 由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。 如图1.1所示，设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ，摆长为2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ，1O 为摆杆的质心。 图1.1 一阶倒立摆的物理模型 根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则 1）摆杆绕其重心的转动方程为 sin cos y x l F J F l θθθ=-&& （1-1） 2）摆杆重心的水平运动可描述为 2 2(sin )x d F m x l dt θ=+ （1-2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为 2 2(cos )y d F mg m l dt θ-= （1-3） 4）小车水平方向运动可描述为 202x d x F F m dt -= （1-4） 《现代控制理论》课程综合设计 单级旋转倒立摆系统 1 引言 单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。其中摆的长度1l =1m ，质量1m =0.1kg ，横杆的长度2l =1 m ，质量2m =0.1kg ，重力加速度20.98/g m s =。以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出。控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。 图1 单级旋转倒立摆系统模型 单级旋转倒立摆可以在平行于纸面3600的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位，这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。 本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。 2 模型建立 本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆 分别进行受力分析，定义以下物理量：M 为加在横杆上的力矩；1m 为摆杆质量； 1l 为摆杆长度；1I 为摆杆的转动惯量；2m 为横杆的质量；2l 为横杆的长度；2I 为横杆的转动惯量；1θ为横杆在力矩作用下转动的角度；2θ为摆杆与垂直方向的夹角；N 和H 分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。倒立摆模型受力分析如图2所示。 图2 倒立摆模型受力分析 摆杆水平方向受力平衡方程： 2 111222(0sin )2 l d N m l dt θθ=++ （1θ2l —横杆的转动弧长即位移） 摆杆垂直方向受力平衡方程： 211 1122(cos )22 l l d H m g m dt θ-=- 摆杆转矩平衡方程： 22111222sin cos 22 d l l J H N dt θθθ=- 横杆转矩平衡方程： 21 222 d M Nl J dt θ-= N 自动控制原理课程设计报告 倒立摆系统的控制器设计 指导教师：谢昭莉 学生：冯莉 学号： 20095099 专业：自动化 班级： 2009 级 3 班 设计日期： 2011.12.12—2011.12.23 重庆大学自动化学院 2011年12月 重庆大学本科学生课程设计任务书 目录 1倒立摆系统的研究背景和意义 (1) 2小车倒立摆系统模型的假设 (1) 3符号说明 (2) 4模型的建立 (2) 4.1牛顿力学法系统分析 (2) 4.2拉氏变换后实际系统的模型 (6) 5开环响应分析 (7) 6根轨迹法设计超前校正装置函数 (9) 6.1校正前倒立摆系统的闭环传递函数的析 (9) 6.2系统稳定性分析 (9) 6.3期望闭环极点的确定 (10) 6.4 超前校正装置传递函数的设计 (11) 6.4.1校正参数计算 (11) 6.4.2控制器的确定 (13) 6.4.3校正装置的改进 (13) 6.4.4Simulink仿真 (15) 7直线一级倒立摆频域法设计 (17) 7.1系统频域响应分析 (17) 7.2频域法控制器设计 (19) 7.2.1控制器的选择 (19) 7.2.2系统开环增益的计算 (19) 7.2.3校正装置的频率分析 (20) 7.2.4控制器转折频域和截止频域的求解 (22) 7.2.5校正装置的确定 (22) 7.2.6Simulink仿真 (24) 8直线一级倒立摆的PID控制设计 (25) 8.1PID简介 (25) 8.2PID控制设计分析 (25) 8.3PID控制器的参数测定 (26) 9总结与体会 (29) 9.1总结 (29) 9.2体会 (29) 10参考文献 (30) 单级倒立摆稳定控制实验 一．实验目的 1.了解单级倒立摆的原理与数学模型的建立； 2.掌握LQR控制器的设计方法； 3.掌握基于LQR控制器的单级倒立摆稳定控制系统的仿真方法。 二．实验内容 图1 一级倒立摆原理图 一级倒立摆系统的原理框图如上所示。系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。光电码盘1将连杆的角度、角速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策，并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，驱动电机转动，带动连杆运动，保持摆杆的平衡。 在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图2所示。 图2 直线一级倒立摆系 统 其中： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。 图3 （a ）小车隔离受力图； （b ） 摆杆隔离受力图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： Mx F bx N =--&&& (1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： ()2 2sin d N m x l dt θ=+ (2) 即：2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-&&&&& 引言 近三十年来，随着控制理论技术和航空航天技术的迅猛发展，一种典型的系统在控制理论的领域中一直成为被关注的焦点，即倒立摆系统。 倒立摆的特点为支点在下，重心在上，是一种非常快速并且不稳定的系统。但正由于它本身所具有的这种特性，许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。因此在欧美等许多发达国家的高等院校中，倒立摆系统已经成为必备的控制理论教学实验设备。学生们可以通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，更容易对课程加深理解。 倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备，也是控制理论教学中不可多得的典型物理模型。它深刻揭示了自然界的一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，运用控制手段可使之具有良好的稳定性。由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象[1-4]。通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。在多种控制理论与方法的研究与应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，将其理论和方法得到有效的经验，倒立摆为此提供了一个从控制理论通往实践的桥梁。所以，研究倒立摆系统对以后的教育研究领域具有非常深远的影响。 本文为建立倒立摆系统的数学研究模型，在熟悉线性系统的基本理论和非线性系统线性化的基本方法的基础上确定研究的系统方案和实施的控制方法，通过MATLAB软件对其进行编程，以达到完成倒立摆的仿真实验，实现了倒立摆的平衡控制。 单级倒立摆经典控制系统 摘要：倒立摆控制系统虽然作为热门研究课题之一，但见于资料上的大多采用现代控制方法，本课题的目的就是要用经典的方法对单级倒立摆设计控制器进行探索。本文以经典控制理论为基础，建立小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数(摆长和摆杆质量)下的控制器使系统稳定，并利用MATLAB软件进行仿真。 关键词：单级倒立摆；经典控制；数学模型；PID控制器；MATLAB 1绪论 自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。 控制理论在几十年中，迅速经历了从经典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。 1.1经典控制理论 控制理论的发展，起于“经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20世纪起，应用范围扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。 至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析问题。经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。这些方法现在仍是人们学习控制理论的入门之道。 1.2倒立摆 1.2.1倒立摆的概念 图1 一级倒立摆装置 倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定系统。 2011级自动化1班 杨辉云 P111813841 一级倒立摆的模糊控制 一．倒立摆的模型搭建 1. 单级倒立摆系统的数学模型 对于单级倒立摆，如果忽略了空气阻力和各种摩擦阻力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成沿着光滑导轨运动的小车和通过轴承链接的均质摆杆组成，如图所示，其中小车的质量M=1.40kg ，摆杆质量m=0.08kg ，摆杆质心到转动轴心距离L=0,.2m ，摆杆与垂直向下方向的夹角为，小车华东摩擦系数 f c =0.1。 摆杆 θ 传送带 导轨 直线单级倒立摆 2. 倒立摆控制系统数学模型的建立方法利用PID 控制和拉格朗日方程两种建模。 一级倒立摆系统的拉格朗日方程应为 L （q ，。 .q ）=V （q ，。 q ）—G （q ，。 q ） （1） 式中：L 是拉格朗日算子，V 是系统功能；G 系统势能。 dt d x ??L — x ??L + x ??D = fi （2） 式中：D 是系统耗散能， f c 为系统的第i 个广义坐标上的外力。 一级倒立摆系统的总动能为： V=θθcos x ml ml 3 2)(212 22。。。+++x m M （3） 一级倒立摆系统的势能为： G=θcos mgl θ （4） 一级倒立摆系统的耗散能为： D= 2 2 1 。x f c （5） 一级倒立摆系统的拉格朗日方程为： 0=??+??-??θ θθD L L dt d (6) F X D X L X L dt d =??+??-?? (7) 将（1）到（5）式带入（6）式得到如下： 0sin sin sin cos m 3 422=-+。。。。。。 ——θθθθθθθθmgl x ml x ml x l ml （8） （M+m ）F x ml ml x f c =+ +θθθθsin cos 2。 。 — （9） 一级倒立摆系统有四个变量：。 。，，， θθx x 根据（7）式中的方程写出系统的状态方程，并在平衡点进行线性化处理，得 到系统的状态空间模型如下： =。X ? ?????0 000 0189.000748 .01-- 579.20 386.00 ??????0100+x ? ???? ? ??? ???-8173.007467 .00 控制系统课程设计---直线一级倒立摆控制器设计 H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计说明书（论文） 课程名称：控制系统设计课程设计 设计题目：直线一级倒立摆控制器设计 院系： 班级： 设计者： 学号： 指导教师：罗晶周乃馨 设计时间：2013.9.2——2013.9.13 哈尔滨工业大学课程设计任务书 姓名：院（系）：英才学院 专业：班号： 任务起至日期：2013 年9 月 2 日至2013 年9 月13 日 课程设计题目：直线一级倒立摆控制器设计 已知技术参数和设计要求： 本课程设计的被控对象采用固高公司的直线一级倒立摆系统GIP-100-L。 系统内部各相关参数为： M小车质量0.5 Kg ；m摆杆质量0.2 Kg ；b小车摩擦系数0.1 N/m/sec ；l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；I摆杆惯量0.006 kg*m*m ；T采样时间0.005 秒。 设计要求： 1．推导出系统的传递函数和状态空间方程。用Matlab 进行阶跃输入仿真，验证系统的稳定性。 2．设计PID控制器，使得当在小车上施加0.1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为： （1）稳定时间小于5秒； （2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度。 3．设计状态空间极点配置控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：（1）摆杆角度θ和小车位移x的稳定时间小于3秒 （2）x的上升时间小于1秒 （3）θ的超调量小于20度（0.35弧度） （4）稳态误差小于2%。 工作量： 1. 建立直线一级倒立摆的线性化数学模型； 2. 倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真及 实物调试； 3. 倒立摆系统的极点配置控制器设计、MATLAB仿 真及实物调试。 摘要 倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统，是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置。倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例，一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的。 本文主要研究的是二级倒立摆的极点配置方法，首先用Lagrange方程建立了二级倒立摆的数学模型，然后对二级倒立摆系统的稳定性进行了分析和研究，并给出了系统能控能观性的判别。基于现代控制理论中的极点配置理论，根据超调量和调整时间来配置极点，求出反馈矩阵并利用Simulink对其进行仿真，得到二级倒立摆的变化曲线，实现了对闭环系统的稳定控制。 关键词：二级倒立摆；极点配置；Simulink 目录 1.绪论.............................................................. 2 数学模型的建立和分析.............................................. 2.1 数学建模的方法.................................................. 2.2 二级倒立摆的结构和工作原理...................................... 2.3 拉格朗日运动方程................................................ 2.4推导建立数学模型................................................. 3 二级倒立摆系统性能分析............................................ 3.1 稳定性分析.................................................... 3.2 能控性能观性分析.............................................. 4 状态反馈极点配置.................................................. 4.1 二级倒立摆的最优极点配置1..................................... 4.2 二级倒立摆最优极点配置2......................................... 5. 二级倒立摆matlab仿真............................................ 5.1 Simulink搭建开环系统............................................ 5.2 开环系统Simulink仿真结果....................................... 5.3 Simulink搭建极点配置后的闭环系统................................ 5.4极点配置Simulink仿真结果........................................ 5.4.1 第一组极点配置仿真结果........................................ 5.4.2 第二组极点配置仿真结果........................................ 6.结论.............................................................. 7.参考文献.......................................................... 附录一.............................................................. 开题报告填表说明 1.开题报告是毕业设计（论文）过程规范管理的重要环节，是培养学生严谨务实工作作风的重要手段，是学生进行毕业设计（论文）的工作方案，是学生进行毕业设计（论文）工作的依据。 2.学生选定毕业设计（论文）题目后，与指导教师进行充分讨论协商，对题意进行较为深入的了解，基本确定工作过程思路，并根据课题要求查阅、收集文献资料，进行毕业实习（社会调查、现场考察、实验室试验等），在此基础上进行开题报告。 3.课题的目的意义，应说明对某一学科发展的意义以及某些理论研究所带来的经济、社会效益等。 4.文献综述是开题报告的重要组成部分，是在广泛查阅国内外有关文献资料后，对与本人所承担课题研究有关方面已取得的成就及尚存的问题进行简要综述，并提出自己对一些问题的看法。 5.研究的内容，要具体写出在哪些方面开展研究，要突出重点，实事求是，所规定的内容经过努力在规定的时间内可以完成。 6.在开始工作前，学生应在指导教师帮助下确定并熟悉研究方法。 7.在研究过程中如要做社会调查、实验或在计算机上进行工作，应详细说明使用的仪器设备、耗材及使用的时间及数量。 8.课题分阶段进度计划，应按研究内容分阶段落实具体时间、地点、工作内容和阶段成果等，以便于有计划地开展工作。 9.开题报告应在指导教师指导下进行填写，指导教师不能包办代替。 10.开题报告要按学生所在系规定的方式进行报告，经系主任批准后方可进行下一步的研究（或设计）工作。 一、课题的目的意义： 倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉；作为一个被控对象，它又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。 理论是工程的先导，倒立摆的研究具有重要的工程背景。机器人行走类似倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世以来已有几十年的历史，但机器人的关键技术至今仍未很好解决。由于倒立摆系统的稳定与空间飞行器控制和各类伺服云台的稳定有很大相似性，也是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象。因此，倒立摆机理的研究又具有重要的应用价值，成为控制理论中经久不衰的研究课题。 文献综述（分析国内外研究现状、提出问题，找到研究课题的切入点，附主要参考文献，约2000字）： 倒立摆系统的最初分析开始于二十世纪五十年代，是一个比较复杂的不稳定，多变量，带有强耦合特性的高阶机械系统。倒立摆系统存在严重的不确定性，一方面是系统的参数的不确定性，一方面是系统受到不确定因素的干扰。其控制方法和思路在处理一般工业过程中有很广泛的用途，此外，其相关的研究成果也在航天科技和机器人学习方面得到了大量的应用，如机器人行走过程中平衡控制，火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等，因此，倒立摆系统是进行控制理论研究的理想平台。 倒立摆是机器人技术﹑控制理论﹑计算机控制等多个领域﹑多种技术的有机结合，其被控 一级倒立摆控制的极点配置方法 摘要 倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。 本文通过极点配置, 实现了用现代控制理论对一级倒立摆的控制。利用牛顿第二定律及相关的动力学原理等建立数学模型，对小车和摆分别进行受力分析，并采用等效小车的概念，列举状态方程，进行线性化处理想, 最后通过极点配置，得到变量系数阵。利用Simulink建立倒立摆系统模型，特别是利用Mask封装功能, 使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。实现了倒立摆控制系统的仿真。仿真结果证明控制器不仅可以稳定倒立摆系统，还可以使小车定位在特定位置。 关键词:倒立摆，数学建模，极点配置 THE POLE PLACEMENT CONTROL TO A SINGLE INVERTED PENDULUM Abstract Inverted pendulum system is multivariable, nonlinear, strong-coupling and instability naturally. The research of inverted pendulum has many important realistic meaning in the research such as, the walking of biped robot, the lunching process of rocket and flying control of helicopter, and many correlative productions has applications in the field of technology of space flight and subject of robot. Through the pole placement method, the control of the inverted pendulum is realized. We get the mathematic model according to the second law of Newton and the foundation of the dynamics, analysis the force of the cart and pendulum, and adopt the concept of "the equivalent cart”. During writing the equitation of the system, the equitation has been processed by linear. At last，we get coefficient of the variability. The simulation of inverted pendulum system is done by the SIMULINK Tool box. Specially Mask function is applied, it makes simulation model more agility, the simulation work become more convenient. The result shows that it not only has quite goods ability, but also is able to make the cart of the pendulum moving to the place where it is appointed by us in advance along the orbit. Key words: inverted pendulum, mathematic model, pole placement 自动控制原理课程设计说明书 基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控 制系统设计 姓名： 学号： 学院： 专业： 指导教师： 2018年 1月 目录 1 任务概述 (3) 1.1设计概述 (3) 1.2 要完成的设计任务： (3) 2系统建模 (4) 2.1 对象模型 (4) 2.2 模型建立及封装 (4) 3仿真验证 (9) 3.1 实验设计 (9) 3.2 建立M文件编制绘图子程序 (9) 4 双闭环PID控制器设计 (12) 4.1内环控制器的设计 (13) 4.2外环控制器的设计 (14) 5 仿真实验 (15) 5.1简化模型 (15) 5.2 仿真实验 (17) 6 检验系统的鲁棒性 (18) 6．1 编写程序求系统性能指标 (18) 6.2 改变参数验证控制系统的鲁棒性 (19) 7 结论 (22) 附录 (22) 1 任务概述 1.1设计概述 如图1 所示的“一阶倒立摆控制系统”中，通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机(IPC)完成。 图1 一阶倒立摆控制系统 这是一个借助于“SIMULINK封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。 1.2 要完成的设计任务： (1)通过理论分析建立对象模型（实际模型），并在原点进行线性化，得到线性化模型；将实际模型和线性化模型作为子系统，并进行封装，将倒立摆的振子质量 m和倒摆长度L作为子系统的参数，可以由用户根据需要输入； (2)设计实验，进行模型验证； (3)一阶倒立摆系统为“自不稳定的非最小相位系统”。将系统小车位置作为“外环”，而将摆杆摆角作为“内环”，设计内化与外环的PID控制器； (4)在单位阶跃输入下，进行SIMULINK仿真; (5)编写绘图程序，绘制阶跃响应曲线，并编程求解系统性能指标：最大超调量、调节时间、上升时间； (6)检验系统的鲁棒性：将对象的特性做如下变化后，同样在单位阶跃输入下，检验所设计控制系统的鲁棒性能，列表比较系统的性能指标（最大超调量、调节时间、上升时间）。 倒摆长度L不变，倒立摆的振子质量m从1kg分别改变为1.5kg、2kg、2.5kg、0.8kg、0.5kg； 倒立摆的振子质量m不变，倒摆长度L从0.3m分别改变为0.5m、0.6m、0.2m、0.1m。 2系统建模 2.1 对象模型 一阶倒立摆的精确模型的状态方程为： 若只考虑θ在其工作点 = 0附近的细微变化，这时可以将模型线性化，这时可以近似认为： 一阶倒立摆的简化模型的状态方程为： 2.2 模型建立及封装 上边的图是精确模型，下边的是简化模型。一级倒立摆控制方法比较
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