第一章命题逻辑的基本概念
1.1命题
*数理逻辑是研究推理的数学分支, 推理由一系列陈述句组成. 例如: 因为3>2, 所以3≠2. 3>2和3≠2是两个可以判断真或假的陈述句, 称为命题.
命题: 可以判断真假的陈述句称为命题.
例1.1:
1. 中国的首都是北京.
2. 英国的首都是北京.
3. 5―3=2.
4. 如果你是人, 你就要呼吸.
5. 广东省的人口比黑龙江省多.
6. 起步走!
7. 你好吗?
8. 这幅画真美呀!
9. x ≤y.
1, 2, 3, 4, 5是命题, 6, 7, 8, 9不是命题.
命题的真值: 作为命题陈述句所表达的判断结果称为命题的真值.
真值只有两个取值: 真(T)或假(F). 我们用1表示真, 用0表
示假.
真命题: 真值为真的命题称为真命题.
假命题: 真值为假的命题称为假命题.
例子: 上例中1, 3, 4, 5为真命题, 2为假命题.
命题“因为3>2, 所以3≠2”中3>2和3≠2不能分解成更简单的命题了.
简单命题(原子命题): 不能分解成更简单的命题的命题称为简单命题(原子命题).
复合命题: 由简单命题通过联结词联结而成的命题称为复合命题.
例1.2:
1. 因为3>2, 所以3≠
2.
2. 如果你是人, 你就要呼吸.
3. 2是素数当且仅当3也是素数.
4. 吴颖既用功又聪明.
*悖论: 由真能推出假, 由假又能推出真, 从而既不能为真又不能为假的陈述句称为悖论.
例1.3:
1. 我这句话是假话.
1.2 联结词
*命题逻辑有5个联结词:
如果……, 则……
……并且……
……或……
并非……
……当且仅当……
设p和q为两个命题:
(1) p∧q 表示p并且q
(2) p∨q 表示p或q
(3) ┐p 表示并非p
(4) p→q 表示如果p, 则q .
(5) p q 表示p当且仅当q
联结词的真值表:(1表示T, 0表示F)
p q p∧q p q p∨q 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 p ┐p
0 1
10
p q p→q p q p q 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1
*解释真值表
*下面举例说明如何将复合命题用命题公式表示. 例1.4:
(1) 吴颖既用功又聪明.
(2) 吴颖不但用功而且聪明.
(3) 吴颖虽然聪明但不用功.
(4) 张辉与王丽都是三好学生.
(5) 张辉与王丽是同学.
解: 设
p: 吴颖用功.
q: 吴颖聪明.
r: 张辉是三好学生.
s: 王丽是三好学生.
(1) p∧q; (2) p∧q; (3) q∧┐p; (4) r∧s; (5) 设t: 张辉与王丽是同学. t是简单命题.
例1.5:
(1) 张晓静爱唱歌或爱听音乐.
(2) 张晓静只能挑选202或203房间.
(3) 张晓静是江西人或安徽人.
解: (1) 设p: 张晓静爱唱歌; q: 张晓静爱听音乐.
公式为: p∨q .
(2) 设p: 张晓静挑选202房间.
q: 张晓静挑选203房间.
公式为: (p∧┐q)∨(q∧┐p)
(3) 设p: 张晓静是江西人. q: 张晓静是安徽人.
公式为: (p∧┐q)∨(q∧┐p).
例1.6:
(1) 只要a能被4整除, 则a一定能被2整除.
(2) 除非a能被2整除, 则a才能被4整除.
(3) 除非a能被2整除, 否则a不能被4整除.
(4) 只有a能被2整除, a才能被4整除.
(5) 只有a能被4整除, a才能被2整除.
解: 设p: a能被4整除; q: a能被2整除.
(1)至(4), 公式均为: p→q , 为一真命题.
(5) 公式为: q→p, 为一假命题. a=8时为真, a=6时为假.
例1.7:
(1) 3是无理数当且仅当加拿大为于亚洲.
(2) 2+3 = 5的充要条件是3是无理数.
(3) 若两圆O1, O2的面积相等, 则它们的半径相等; 反之亦
然.
解: (1) 设p: 3是无理数; 真值为1.
q: 加拿大为于亚洲; 真值为0.
公式为: p?q , 真值为0.
(2) 设p: 2+3 = 5 ; 真值为1.
q: 3是无理数; 真值为1.
公式为: p?q , 真值为1.
(3) 设p: 两圆O1, O2的面积相等;
q: 两圆O1, O2的半径相等;
公式为: p?q ; 因为p→q和q→p真值都为1,
故p?q真值也为1.
1.3 命题公式及其赋值
命题常项(命题常元): 即真值确定的简单命题.
命题变项
命
题
变
元
):
取
值
(
真
)
或
(
假
)
的
变
元
. *可以用命题变项表示真值可以变化的陈述句. 命题变项不是命题. 命题变项与命题常项的关系如同初等数学中变量与常量的关系.
合式公式:
定义1.1:
(1) 单个
和
命
题
项
是
合
式
公
式
,
并
称
为
原
子
命
题
公
式
;
(2) 若A是则(┐A)是合式公式;
(3) 若A, B是合式公式, 则(A∧B), (A∨B),(A→B),(A B)是合式公式.
(4)有限次地应用(1)―(3)形成的符号串是合式公式.
合式公式也称为命题公式或命题形式, 简称为公式.
子公式: 设A为合式公式, B为A中的一部分, 若B也是合式公式, 则B称为A的子公式.
例1.8:
((p→q)∧(q?r)), ((p∧q)∧(┐r)), (p∧(q∨(┐r)))都是合式公式.
而 pq→r, p→(r→q 不是合式公式.
((p→q)∧(q?r)), ((p∧q)∧(┐r))中
(p→q), (┐r)是子公式.
*1.归纳定义(递归定义)
2.(┐A),(A∧B)等公式单独出现时, 外层的括号可以省去.写成┐A, A∧B 等.规定┐的优先级高于其它算符.
例如: (p→q)∧(q?r), (p∧q)∧┐r, p∧(q∨┐r)
定义1.2: 设p1, p2, …, p n是出现在公式A中的全部命题变项, 给p1, p2, …, p n各指定一个真值, 称为对A的一个赋值或解释. 若指定的一组值使A为1, 则称这组值为A的成真赋值, 若使A为0, 则称这组值为A的成假赋值.
*n个变元各有0和1两个不同的值, 共有2n组不同赋值.
定义1.3: 将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表, 称为A的真值表.
*列真值表时, 对p1, p2, …, p n的每一组赋值列一行, 对A的
每个子公式列出它在该组赋值下的真值.
例1.9: (1) (┐p∧q)→┐r的真值表.
p q r ┐p ┐r ┐p∧q (┐p∧q)→┐r
0 0 0 1 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1
0 1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1 0
1 0 0 0 1 0 1
1 0 1 0 0 0 1
1 1 0 0 1 0 1
1 1 1 0 0 0 1
(2) (p∧┐p)?(q∧┐q)的真值表
p q ┐p ┐q p∧┐p q∧┐q (p∧┐p)?(q∧┐q) 0 0 1 1 0 0 1
0 1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0 1
(3) ┐(p→q)∧q∧r的真值表
p q r p→q ┐(p→q) ┐(p→q)∧r ┐(p→q)∧q∧r 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0 0
1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0
定义1.4: 设A为任一公式.
(1) 若A在它的各种赋值下取值均为真, 则称A是重言式或永真式.
(2) 若A在它的各种赋值下取值均为假, 则称A是矛盾式或永假式.
(3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
*上例中, (1)和(2)是可满足式, (2)式是重言式, (3)式是矛盾式. 例1.10: 重言式的例子: p∧(p→q)→q
p q p→q p∧(p→q) p∧(p→q)→q
0 0 1 0 1
0 1 1 0 1
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1
*n 个命题变项可以有无穷多种形式各异的公式.这些公式是否有无穷多种不同的真值表呢? 答案是否定的. n 个命题变项共有2n 个不同的赋值, 而任何公式, 在每一种赋值下只能取两个值:0或1. 于是n 个命题变项的公式的真值表只有
n
2222???=n
22 种不同的情况.
故只有n
22个不同的真值表, 因而必有无穷多个公式具有相
同的真值表.
例1.11: 下列各公式均含两个命题变项p 与q, 它们中哪些具有相同的真值表?
(1) p →q; (2) p ?q; (3) ┐(p ∧┐q); (4) (p →q)∧(q →p); (5) ┐q ∨p .
p q p →q p ?q ┐(p ∧┐q) (p →q)∧(q →p) ┐q ∨p 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 作业:
1. 下列句子中,哪些是命题?在是命题的句子中, 哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道?
(1) 中国有四大发明.
(2) 5是无理数.
(3) 3是素数或4是素数.
(4) 2x + 3 < 5 (其中x是任意实数).
(5) 你去图书馆吗?
(6) 刘红与魏新是同学.
(7) 这朵玫瑰花多美丽呀!
(8) 不许吸烟!
(9) 圆的面积等于其半径的平方乘 .
(10) 只有6是偶数, 3才能是2的倍数.
(11) 8是偶数的充分必要条件是8能被3整除
(12) 2025年北京下大雪.
2. 将下列命题符号化, 并指出其真值.
(1) 只要2<1, 就有3<2.
(2) 如果2<1, 则3≥2.
(3) 只有2<1, 才有3≥2.
(4) 除非2<1, 才有3≥2.
(5) 除非2<1, 否则3<2.
(6) 2<1仅当3<2.
3. 写出下列公式的真值表, 哪些公式是可满足式?或重言式?或矛盾式?
(1) p→(p∨q∨r)
(2) ┐(q→r)∧r
(3) ((p→q)∧(q→r))→(p→r)
(4) (p→q)?(r?s)
4. 设p: 2+3 = 5, q: 大熊猫产在中国, r: 2是有理数. 求下列复合命题的真值:
(1) (p?q)→r
(2) (r→(p∧q))?┐p
(3) ┐r→(┐p∨┐q∨r)
(4) (p∧q∧┐r)?((┐p∨┐q)→r)
该笔记适用于任何版本的数理逻辑！ 绪论 一、数理逻辑研究什么？ ★研究前提和结论的可推导性关系，它是由命题的逻辑形式而非内容所决定的 二、数理逻辑如何研究？ ★形式语言 第一章预备知识 第一节集合 一、集合 1、集合的内涵和外延（所有元素的共同性质/构成集合的所有元素） 2、有序偶和笛卡儿集 二、关系 1、概念：集合S上的n元关系R 2、特殊情况：集合S上的一元关系R（集合S上的性质R） 三、函数（映射） 1、概念：函数（集合＋有序偶＋性质）、定义域dom（f）、值域ran（f） 2、概念：f（x）（函数f在x处的值） 3、概念：f：S－>T（函数f是由S到T的映射）、满射、一一映射 四、等价 1、概念：关系R是集合S上的等价关系（自反＋对称＋传递） 2、概念：元素x的R等价类 3、性质：R等价类对集合S的一个划分（两两不相交，且并为S） 五、基数 1、概念：S～T（两个集合S和T是等势的） 2、概念：集合S的基数|S|（集合中的元素个数） 3、概念：可数无限集
第二节归纳定义和归纳证明 一、归纳定义 1、集合的归纳定义 ⑴、直接生成某些元素 ⑵、给出运算，将其作用在已有元素上，以产生新的元素 ⑶、只有这样才是集合中的元素，除此之外，再也没有了 2、典例：自然数集N的两个归纳定义 二、归纳证明 1、归纳定理：设R是一个性质，如果 ⑴、R（0） ⑵、对于任何n∈N，如果R（n），则R（n’） 那么，对于任何n∈N，都有R（n） 2、概念：归纳基础、归纳步骤（包括归纳变元和归纳假设）、归纳命题、归纳证明 3、概念：串值归纳法及其变形 三、递归定义 1、递归定义（在归纳定义的集合上，定义函数） 在自然数集N上定义一个这样的函数f：g，h是N上的已知函数 f（0）＝g（0） f（n’）＝h（f（n）） 2、递归定义原理（这样的函数是存在而且唯一的）
一、选择题 1、永真式的否定是（2） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 2、设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，则下列真命题为(1) (1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。 3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵ ⑴ P Q → ⑵Q P ?→(3) Q P →? ⑷ P Q ?→?()P Q ?∧ 提示：()R P Q P Q ??∧?→? 4、下列表达式错误的有⑷ ⑴()P P Q P ∨∧? ⑵()P P Q P ∧∨? ⑶()P P Q P Q ∨?∧?∨ ⑷()P P Q P Q ∧?∨?∨ 5、下列表达式正确的有⑷ ⑴ P P Q ?∧ ⑵ P Q P ?∨ ⑶ ()Q P Q ???→⑷Q Q P ??→?)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3) ⑴∧ ⑵∨ (3)→ ⑷ ? 6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷ ⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ ⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ (3) (()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ 7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些 老 师”的逻辑符号化为⑵ ⑴)),()((y x A x L x →? ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧?? 8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是⑶ ⑴自由变元 ⑵约束变元 ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴ ⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨? ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? ⑷(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨?
测试一 填空：(每空2分，共30分) 1.用适当的符号(、、、＝、)填空： (1)0_______；(2)5______{质数}； (3){，}______{，，}；(4){1，3}_____{|－4＋3＝0}； (5){0，－1}_____{|＋＝0}. 2.用列举法表示9的平方根的全体构成的集合________. 3.用性质描述法表示大于－2的整数全体构成的集合________. 4.用充分条件、必要条件、充要条件填空 (1)＞0是，都是正数的________； (2)＝4是＝－2或＝2的________； (3)＞5是＞4的________； (4)sin＝是＝45°的___________. 5.已知＝，＝{|≥－4}，＝{|＜6}，则∪＝_________，∩＝________，＝_______，＝_________. 选择题:(每题5分，共25分) 6.设，＝{|＜3}，则正确结论是( ). (A) (B) (C){} (D){} 7.{正实数}∩{整数}等于( ). (A){正有理数} (B){整数} (C){正整数} (D){自然数} 8.下列句子不是命题的是( ). (A)5＋1－3＝4 (B)正数都大于0
(C)＞5 (D) 9.下列命题是真命题的是( ). (A)8≤8(B)3＋4＝5或2＞3 (C)(－2)＝－8，且|－1|＝－1.(D)如果2≠3，则1＝2 10.“，至少有一个是正数”的否定是( ). (A)，都是正数(B)，都不是正数 (C)，都是负数(D)，不都是正数 解答题：(共45分) 11.写出下列集合之间的关系，并用图形表示： ＝{有理数}，＝{偶数}，＝{奇数}，＝{|是能被4整除的数}.(8分) 12.设全集＝{绝对值不大于3的整数}，＝{－1，1，2}，＝{－2，－1}.求∪，∩，∩，∪.(12分) 13.写出集合{，}的所有子集和真子集.(8分) 14.写出下列命题的否定，并判断真假.(12分) (1)是无理数； (2)对实数，都有－4＋4＞0； (3)实数，使得＋1＝0； (4)15能被3整除或能被7整除. 15.用充分条件和必要条件叙述下面的真命题：如果是整数，则(＋1)是偶数.(5分)
一阶逻辑等值式与置换规则 1．设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词： (1) x y(F(x)∧G(y)) (2) x y(F(x)∨G(y)) (3) xF(x)→yG(y) (4) x(F(x,y)→yG(y)) 2．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。 (1) x(F(x)→G(x)) (2) x(F(x)∧G(x)) 3．给定解释I如下： (a) 个体域D={3,4}。 (b) (x)为(3)=4，(4)=3。 (c) (x,y)为(3,3)=(4,4)=0，(3,4)=(4,3)=1。 试求下列公式在I下的真值： (1) x yF(x,y) (2) x yF(x,y) (3) x y(F(x,y)→F(f(x),f(y))) 4．构造下面推理的证明： (1) 前提：x(F(x)→(G(a)∧R(x)))，xF(x)
结论：x(F(x)∧R(x)) (2) 前提：x(F(x)∨G(x))，┐xG(x) 结论：xF(x) (3) 前提：x(F(x)∨G(x))，x(┐G(x)∨┐R(x))，xR(x) 结论：xF(x) 5．证明下面推理： (1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。 (2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不 是无理数。 (3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不 是无理数。
答案 1. (1) x y(F(x)∧G(y)) xF(x)∧yG(y) (F(a)∧F(b))∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(c)) (2) x y(F(x)∨G(y)) xF(x)∨yG(y) (F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(c)) (3) xF(x)→yG(y) (F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c)) (4) x(F(x,y)→yG(y)) xF(x,y)→yG(y) (F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(a)∨G(b)∨G(c)) 2.(1) I1: F(x):x≤2,G(x):x≤3 F(1),F(2),G(1),G(2)均为真，所以 x(F(x)→G(x)) (F(1)→G(1)∧(F(2)→G(2))为真。 I2: F(x)同I1,G(x):x≤0 则F(1),F(2)均为真，而G(1),G(2)均为假， x(F(x)→G(x))为假。 (2)留给读者自己做。 3. (1) x yF(x,y)
各章主要公式汇总 第一章 集合与数理逻辑用语 1．如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 2．如果C A C B B A ???，那么， 3．A ?A ；φ?A ； A ∩A ＝A ∪A ＝A ； A ∩φ＝φ；A ∪φ＝A ； 4．A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ?A ?B ； 5．A ∩ U A ＝φ； A ∪ U A ＝U ； U ( U A)＝A ； U (A ∪B)＝ U A ∩ U B 6.常用数集：自然数集N 、正整数集N *或N ＋、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、空集φ 7．充分条件与必要条件： 对命题p 和q ，若p ?q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 当p ?q 时，即p 即是q 的充分条件，p 又是q 的必要条件，称p 是q 的充要条件。 8. 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。三种形式：p 或q 、p 且q 、非p 真假判断：p 或q ，都假才假，否则为真；p 且q ，都真才为真；非p ，真假相反 第二章 方程与不等式 一、一元二次方程 1．一元二次方程的的一般形式ax 2 +bx+c=0(a ≠0) 2．解一元二次方程的基本方法有求根公式法，直接开平方法，配方法和因式分解法。 4．ax 2+bx+c=0(a ≠0)求根公式:x 1,2=a ac b b 242 -±-( b 2 -4ac ≥0) 4．一元二次方程的判别式：△=b 2 -4ac (1)△>0?一元二次方程有两个不相等的实数根； (2)△=0?一元二次方程有两个相等的实数根； (3)△<0?一元二次方程的没有实数根。 5. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 设方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的两根为x 1,x 2,则两根与系数a 、b 、c 关系为: x 1＋x 2=a b -； x 1.x 2=a c 6．配方法：ax 2+bx+c=a[x 2+b a x+22b a ?? ???-22b a ?? ??? ]=a(x+2b a )2+2 44ac b a - （提出系数a 后，加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方） 二.一元二次不等式的解法 22 三.绝对值不等式 |x|>a(a>0)解集为{x|x>a 或x<-a}
作业答案：数理逻辑部分 P14：习题一 1、下列句子中，哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （3 答：简单命题，真命题。 （9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题。 （12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 答：复合命题，假命题。 14、讲下列命题符号化。 （6）王强与刘威都学过法语。 答：:p 王强学过法语；:q 刘威学过法语。 符号化为：p q ∧ （10）除非天下大雨，他就乘班车上班。 答：:p 天下大雨；:q 他乘班车上班。 符号化为：p q → （13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。 答：:p 2是素数；:q 4是素数。 符号化为：(())p q ??∨ 15、设:p 2+3=5. :q 大熊猫产在中国。 :r 太阳从西方升起。 求下列复合命题的真值。 （2）(())r p q p →∧?? （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解答： p 真值为1；q 真值为1；r 真值为0. （2）p q ∧真值为1；()r p q →∧真值为1；p ?真值为0； 所以(())r p q p →∧??真值为0. （4）p q r ∧∧?真值为1，p q ?∨?真值为0，()p q r ?∨?→真值为1； 所以()(())p q r p q r ∧∧???∨?→真值为1.
19、用真值表判断下列公式的类型。 （4）()()p q q p →→?→? 所以为重言式。 （7） 所以为可满足式。
P36:习题二 3、用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出其成真赋值。 （1）()p q q ?∧→ 解答： ()(())(()) ()10 p q q p q q p q q p q q ?∧→???∧∨???∨?∨???∨?∨??? 所以为永假式。 （2）(())()p p q p r →∨∨→ 解答： (())()(())()()()1()1 p p q p r p p q p r p p q p r p r →∨∨→??∨∨∨?∨??∨∨∨?∨?∨?∨? 所以因为永真式。 （3）()()p q p r ∨→∧ 解答： ()() ()()()() p q p r p q p r p q p r ∨→∧??∨∨∧??∧?∨∧ 为可满足式。 真值表为
逻辑推理（一） 专题简析： 逻辑推理题不涉及数据，也没有几何图形，只涉及一些相互关联的条件。它依据逻辑汇率，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。 解决这类问题常用的方法有：直接法、假设法、排除法、图解法和列表法等。 逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后作出正确的判断。 推理的过程中往往需要交替运用“排除法”和“反正法”。要善于借助表格，把已知条件和推出的中间结论及时填入表格内。填表时，对正确的（或不正确的）结果要及时注上“√”（或“×”），也可以分别用“1”或“0”代替，以免引起遗忘或混乱，从而影响推理的速度。 推理的过程，必须要有充足的理由或重复内的根据，并常常伴随着论证、推理，论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。 例题1： 星期一早晨，王老师走进教室，发现教室里的坏桌凳都修好了。传达室人员告诉他：这是班里四个住校学生中的一个做的好事。于是，王老师把许兵、李平、刘成、张明这四个住校学生找来了解。 （1）许兵说：桌凳不是我修的。 （2）李平说：桌凳是张明修的。 （3）刘成说：桌凳是李平修的。 （4）张明说：我没有修过桌凳。 后经了解，四人中只有一个人说的是真话。请问：桌凳是谁修的？ 根据“两个互相否定的思想不能同真”可知：（2）、（4）不能同真，必有一假。 假设（2）说真话，则（4）为假话，即张明修过桌凳。 又根据题目条件了：只有1人说的是真话：可退知：（1）和（3）都是假话。由（1）说的可退出：桌凳是许兵修的。这样，许兵和张明都修过桌凳，这与题中“四个人中只有一个人说的是真话”相矛盾。 因此，开头假设不成立，所以，（2）李平说的为假话。由此可退知（4）张明说了真话，则许兵、刘成说了假话。所以桌凳是许兵修的。 练习1： 1、小华、小红、小明三人中，有一人在数学竞赛中得了奖。老师问他们谁是获奖者，小华说是小红，小红说不是我，小明也说不是我。如果他们当中只有一人说了真话。那么，谁是获奖者？ 2、一位警察，抓获4个盗窃嫌疑犯A、B、C、D，他们的供词如下： A说：“不是我偷的”。 B说：“是A偷的”。 C说：“不是我”。 D说：“是B偷的”。 他们4人中只有一人说的是真话。你知道谁是小偷吗？ 3、有500人聚会，其中至少有一人说假话，这500人里任意两个人总有一个说真话。说真话的有多少人？说假话的有多少人？ 例题2： 虹桥小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四名学生的成绩作了
“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案 --------------------------- ★----------------------------- 一、命题逻辑基本知识（5分） 1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分） （0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。 解：—p ∧q ,其中，P :小刘怕吃苦；q :小刘爱钻研。 （1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。 解：q→-p ,其中，P :怕敌人；q :战胜敌人。 （2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。 解：—r→（P→P）,其中，P:别人有困难；q :老张帮助别人；r:困难解决了。 （3）小王与小张是亲戚。 解：p，其中，P:小王与小张是亲戚。 2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。共1分） （0）A ：（-（p^q）_；（（P -q）（.p^q））） r （1）B : （P 一9一；P））（r q） （2）C: （P -r）＞（q r） （3）E : p-;（P q r） （4）F ：—（q-；r） r------------------------------------------------------------------------ 解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。 3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取.2的余，完成1题。共2分） （0）设y=2∣x∣，X为实数。推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。 解：设y=2|x|，X为实数。令P: y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。由此，P为假，q为真。本题推理符号化为：（p—；q） q—；P。由P、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。 （1）若2和3都是素数，则6是奇数。2是素数，3也是素数。所以，5或6是奇数。 解：令P:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，S:6是奇数。由此，p=1，q=1，r=1，S=O。本题推理符号化为：（（P q）→ S） P q）→ （r S）。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。 二、命题逻辑等值演算(5分) 1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式(总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完 成1题。共2分) (0)求公式p→ ((q ∧r) ∧(P ∨(―q ∧-r)))的主析取范式。 解：p→((q ∧r) ∧(P ∨(—q ∧-「)))：= 一p∨(q ∧r∧P) ∨(q ∧r ∧一q ∧—r)二一P ∨(q ∧r∧P) ∨0 二(P ∧q∧r) ∨= (一p∧1 ∧1) ∨(q ∧r∧P) 二(—p ∧(q ∨-q) ∧(r ∨-r)) ∨(q ∧r∧P) U (~p ∧(q ∨-q) ∧(r ∨一r)) ∨m7 二(一P ∧—q ∧ F ∨ (一P ∧—q ∧r) ∨ (一P ∧q ∧_r) ∨ (一P ∧q ∧r) ∨m7 m0 ∨m1 ∨m2 ∨m3 ∨m7. (1)求公式一(一(P → q)) ∨(—q → 一P)的主合取范式。 解：一(一(P → q)) (—q →-p)二(P → q) (P →q) U (P → q)
离散数学 期中课程设计作业 班级：10级计算机 组员：杨鑫 学号：09
数理逻辑怎样用于实际的应用 我们现在在学离散数学,对于离散数学中的数理逻辑这一部分存在很多盲点,那么这看似高深莫测的数理逻辑在实际生活中有着怎样的用处呢,下面让我们来讨论一下. 我们先看数理逻辑的定义:数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。它既是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分支。是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴。数理逻辑是用数学的方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，它与数学的其他分支，计算机科学，人工智能，语言学等学科有密切的联系，并且日益显示出它的主要作用和更加广泛的应用前景. 数理逻辑中的逻辑运算又称布尔运算，它是用数学的方法解决或研究逻辑问题，即用离散的符号“1”和“0”表示逻辑中的“真”和“假”再加上一套与之相关的“与”、“或”、“非”为运算基础的逻辑运算规则解决实际逻辑问题的方法，从而实现复杂逻辑运算到简单的数值计算的转化。下面我们就逻辑运算在电路设计中的运用加以探讨： 某公司王某欲搬入新房，搬迁前需要完成电路的设计安装，由于该房深处闹市，四周楼房林立，严重影响了客厅的采光，于是王某想设计一个电路，要求客厅四盏灯由一个开关控制，开关按下一次亮一盏灯，再按一下亮两盏，以此类推，直到按下第五次时所有灯熄灭。假设四个灯依次为A、B、C、D，灯亮为1，灯灭为0，开关有脉冲输入为1，否则为0，则根据题意可得真值表（如图１）： 设第ｎ号灯的上一状态为Nｎ，第ｎ＋１号灯现在在的状态为Nｎ＋１，脉冲输入状态为M，则有： Nｎ＋１=Nｎ∧M（N0与M的且运算） 其中Ｎｎ＝ＮＡ∧ＮＢ．．．∧Ｎｎ－１ 灯亮的条件为（A∧┐B∧┐C∧┐D）∨（A∧B∧┐C∧┐D）∨（A∧B∧C∧┐D）∨（A∧B∧C∧D） 如Ｂ灯亮的条件是Ａ灯亮并且有脉冲输入，C灯亮的条件是ＡＢ都亮并且有脉冲输入。该电路功能由一个与门电路和一个计数触发器连接即可完成，当开关第5次输入后计数器输出信号置0，灯全部关闭，此时设备全部复位。如图２。
离散数学作业7答案(数理逻辑部分)
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分．作业应手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成后上交任课教师（不收电子稿）． 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 P ∨Q →R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 (P ∧Q ∧┐R) ∨(P ∧Q ∧R) ． 4．设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 ? x ( P ( x ) ∧ Q ( x )) ． 5．设个体域D ＝ {a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值 式为 (A(a) ∨A(b)) ∨ (B(a) ∧B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A (x )为“x 大于3”，则谓词公式(?x )A (x ) 的真值为 0 ． 7．谓词命题公式(?x )((A (x )∧B (x )) ∨C (y ))中的自由变元为 y ． 8．谓词命题公式(?x )(P (x ) →Q (x ) ∨R (x ，y ))中的约束变元为 x ． 三、公式翻译题
数理逻辑介绍 1.若干哲学观点 分析哲学也称为语言哲学和逻辑哲学，开始于德国数学家弗雷格对于自然语言的逻辑分析工作，后被奥地利哲学家维特根斯坦发扬光大，使得近代哲学研究成功转型为语言分析，并成为现代哲学研究的主流。学习分析哲学有利于澄清我们对于一些常用概念的认识。以下所列条目是基于本人的理解和独立思考而提出的观点，欢迎批评、指正。 认知对象：客观世界中存在的事物，这是第一认知对象。人们在认知过程中所形成的抽象概念是第二认知对象。概念是人们头脑中的观念，所反映的是对象的相似性（similarity）和不变性（invariance），也称为模式（mode），包括结构模式、行为模式和关系模式。这些抽象模式称为概念的内涵（intension）或者所指（referent）。概念是人们对于客观对象进行抽象所得的观念。一旦形成就拥有不依赖于客观对象的独立存在性。例如，“圆”这个概念来自于客观事物，又超越和独立于客观事物，有自己确定的内涵。因此，概念不是客观事物的附属，而是思维世界中的独立存在。柏拉图（Plato）称之为理念（idea），并且认为理念是独立于物质世界的另一种存在。概念是没有真假对错之分的，它是一个模式，按照该模式可以对现实对象进行归类。例如，我们可以用圆这个概念对事物进行归类，将所有近似圆形的事物归为一类。同类事物具有相同的性质，相同的性质具有相同的作用。因此，对事物进行归类有利于我们有效地认识和应用事物。当然，我们的认知并不满足于获得一些概念，还会继续探索这些概念的属性和相互作用，等等。因此，概念是人类认知的结果，也是进一步认知的对象。 命题：在思维中将某对象归于某模式，即认为某对象具有某性质或者模式，这种思维中的归属联系就是命题。因此，命题也是人们头脑中的一种观念，不过，命题与概念不同，它不是一种模式，不是由客观对象身上升华而成的模式，而仅仅是将一个给定对象与某概念进行联接，将对象归于这个概念所划定的类。如果说概念是进行思维概括操作的结果，那么命题可以说是简单的思维联接操作的结果。因此，命题是有真假对错之分的。如果命题所指代的归属关系是客观存在的，则该命题为真（true），否则为假（false）。 语言：是一个符号系统，用于表达和记录思维中的概念和命题。语言由符号（symbol）和语法（grammar）组成。语法是符号组成语句的规则。语句的功能就是描述我们思维中的概念和命题。在语言中，概念通常用一个简短的名字进行表示，称为词语（word），比较复杂的概念往往用固定词组（set phrase）表示。一个词语所表示的概念称为词语的含义（meaning）或者语义（semanteme）。在一个语言中，定义一个概念就是用词语和句子对概念内涵进行充分而明确地描述。仅仅是表达一个命题的句子称为陈述句（statement），被表达的命题称为该陈述句的语义（semanteme）或者含义（meaning）。有些感叹句、反问句其实也表达了命题，但是它们还有其它的语用表达功能，包括传递说话人的情感、意愿等等。需要注意的是，并非任何陈述句都表达一个命题。例如，“我正在说假话”是陈述句，但其所表达的语义不是命题。 思考：“今天是星期一”所表达的是命题吗？ 语句分析：弗雷格将一个句子的成分分为主词、谓词和量词等三个部分。主词表示对象。谓词表示对象的性质、状态和动作，相当于定语和谓语（把状语和补语视为谓语的一部分）。量词用以表示主词所表示的对象的数量，只有两种，即全称量词和存在量词，分别表示“所有”和“存在”。例如，“有的果子成熟了更可口”，其中量词是“有的”，主词是“果子”，谓词有两个，即“成熟了”和“更可口”。我们将要学习的一阶逻辑是对弗雷格的这种 1
练习一 判断下列命题的真假(把真或假写在题后的括号内)： 1.5＞2，且7＞3. ( ) 2.3＞4或5＜4. ( ) 3.8≥7. ( ) 4.14能被5或7整除. ( ) 5.5＞2，且3≤－4. ( ) 6.如果∩＝，那么＝. ( ) 用充分条件，必要条件或充要条件填空： 7.＝0是＝0的________. 8.“+是自然数”是“和都是自然数”的_________. 9.＝0，且＝0是+＝0的________. 10.－2－3＝0是＝3的_______. 选择题： 11.在下列四个语句中，是命题的是( ) (A)不是无理数(B)＞0 (C)－1＝0 (D)你喜欢数学吗？ 12.已知命题： (1)2＞－5，且3＜2，(2)2＜－1或2是偶数， (3)6≥6，(4)如果＜3，则＜4， 那么其中是真命题的为( ). (A)(1)、(2)、(3) (B)(2)、(4) (C)(2)、(3)、(4) (D)(3)、(4)
13.“、至少有一个等于1”的否定是( ) (A)、都等于1 (B)、都不等于1 (C)、只有一个等于1 (D)、不都等于1. 14.＝0是≠0的( ) (A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件 (C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件 写出下列命题的非： 15.3是质数. 16.对一个实数，都有+3－5＞0. 17.高一(2)班有一个同学年龄小于14岁. 18.＝0或≠0. 19.说出命题：“一元二次方程有实数根”的等价命题. 答案、提示和解答： 1.真. 2.假. 3.真. 4.真. 5.假. 6.假. 7.充分条件. 8.必要条件. 9.充要条件. 10.必要条件. 11.A. 12.C. 13.B. 14.D. 15.3不是质数. 16.一个实数，使得+3－5≤0. 17.高一(2)班所有同学年龄不小于14岁. 18.≠0，且≠0. 19.一元二次方程根的判别式大于或等于零. 练习二 判断下列命题的真假(把真或假写在题后的括号内)：
第一篇 数理逻辑复习题 第1章 命题逻辑 一、单项选择题 1. 下列命题公式等值的是( ) B B A A Q P Q Q P Q B A A B A A Q P Q P ),()D (),() C ()(),()B (,)A (∧∨?∨∨?∨→→→?→→∨?∧? 2. 设命题公式G ：)(R Q P ∧→?,则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A ( 3. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( ) (A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式 4 命题公式)(Q P →?的主析取范式是( )． (A) Q P ?∧ (B) Q P ∧? (C) Q P ∨? (D) Q P ?∨ 5. 前提条件P Q P ,?→的有效结论是( )． (A) P (B) ?P (C) Q (D)?Q 6. 设P ：我将去市里，Q ：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为 ( ) Q P Q P Q P P Q ?∨??→→)D ()C ()B ()A ( 二、填空题 1. 设命题公式G ：P →?(Q →P )，则使公式G 为假的真值指派是 2. 设P ：我们划船，G ：我们跑步，那么命题“我们不能既划船，又跑步”可符号化为 3. 含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 4. 若命题变元P ，Q ，R 赋值为(1,0,1)，则命题公式G ＝)())((Q P R Q P ∨??→∧的 真值是 5. 命题公式P →?(P ∧Q )的类型是 ． 6. 设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧?∧，那么B A ?是 式(重言式、矛盾式或可满足式) 三、解答化简计算题 1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值. (1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数. (3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人. 2.作命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表，并判断该公式的类型． 3. 试作以下二题：(1) 求命题公式(P ∨?Q )→(P ∧Q )的成真赋值． (2) 设命题变元P ,Q ,R 的真值指派为(0,1,1),求命题公式 ))()(()(Q R Q P R P →?∨→?∧?的真值． 4. 化简下式命题公式))()((P Q P Q P ∧?∧?∨∧ 5. 求命题公式))()((Q P P Q P ∧?∧→→的主合取范式. 6. 求命题公式R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((的真值． 7. 求命题公式)()(Q P Q P ?→∧→?的主析取范式，并求该命题公式的成假赋值．
数理逻辑的心得 数理逻辑：是计算机科学的基础，应熟练掌握将现实生活中的条件化成逻辑公式，并能做适当的推理，这对程序设计等课程是极有用处的。是大四接触到的，现简单介绍一下数理逻辑的发展史，算是一点感悟吧 1数理逻辑的发展前期 ·前史时期——古典形式逻辑时期：亚里斯多德的直言三段论理论 ·初创时期——逻辑代数时期（17世纪末） ·资本主义生产力大发展，自然科学取得了长足的进步，数学在认识自然、发展技术方面起到了相当重要的作用。 ·人们希望使用数学的方法来研究思维，把思维过程转换为数学的计算。 ·莱布尼兹(Leibniz, 1646~1716)完善三段论，提出了建立数理逻辑或者说理性演算的思想： ·提出将推理的正确性化归于计算，这种演算能使人们的推理不依赖于对推理过程中的命题的含义内容的思考，将推理的规则变为演算的规则。 ·使用一种符号语言来代替自然语言对演算进行描述，将符号的形式和其含义分开。使得演算从很大程度上取决与符号的组合规律，而与其含义无关。 ·布尔(G. Boole, 1815~1864)代数：将有关数学运算的研究的代数系统推广到逻辑领域，布尔代数既是一种代数系统，也是一种逻辑演算。 数理逻辑的奠基时期 ·弗雷格(G. Frege, 1848~1925)：《概念语言——一种按算术的公式语言构成的纯思维公式语言》(1879)的出版标志着数理逻辑的基础部分——命题演算和谓词演算的正式建立。 ·皮亚诺(Giuseppe Peano, 1858~1932)：《用一种新的方法陈述的算术原理》(1889)提出了自然数算术的一个公理系统。 ·罗素(Bertrand Russell, 1872~1970)：《数学原理》(与怀特黑合著，1910, 1912, 1913)从命题演算和谓词演算开始，然后通过一元和二元命题函项定义了类和关系的概念，建立了抽象的类演算和关系演算。由此出发，在类型论的基础上用连续定义和证明的方式引出了数学（主要是算术）中的主要概念和定理。 ·逻辑演算的发展：甘岑(G. Gentzen)的自然推理系统(Natural Deduction System)，逻辑演算的元理论：公理的独立性、一致性、完全性等。 ·各种各样的非经典逻辑的发展：路易斯(Lewis, 1883~1964)的模态逻辑，实质蕴涵怪论和严格蕴涵、相干逻辑等，卢卡西维茨的多值逻辑等。 集合论的悖论使得人们觉得数学产生了第三次危机，提出了数学的基础到底是什么这样的问题。 ·罗素等的逻辑主义：数学的基础是逻辑，倡导一切数学可从逻辑符号推出，《数学原理》一书是他们这一思想的体现。为解决悖论产生了逻辑类型论。 ·布劳维尔(Brouwer, 1881~1966)的直觉主义：数学是心灵的构造，只承认可构造的数学，强调构造的能行性，与计算机科学有重要的联系。坚持潜无穷，强调排中律不能用于无穷集合。海丁(Heyting)的直觉主义逻辑。 ·希尔伯特(D. Hilbert)的形式主义：公理化方法与形式化方法，元数学和证明论，提倡将逻辑演算和数学证明本身形式化，把用普通的语言传达的内容上的数学科学变为用数学符号和逻辑符号按一定法则排列的一堆公式。为了消除悖论，要数学建立在公理化基础上，将
数理逻辑1、2章自测题-单选题 Ⅰ单项选择题 1由n个命题变元组成不等价的命题公式的个数为( ) (1)2n; (2)2n; (3)n2; (4)2 （2） n. 答案：〔 4 〕 2设P：我将去镇上，Q：我有时间.命题“我将去镇上，仅当我有时间”符号化为( ) (1)P→Q; (2) Q→P; (3)P ?Q; (4) ┐P∨┐Q. 答案：〔 1 〕 3设P:我们划船,Q:我们跑步.命题“我们不能既划船又跑步”符号化为( ) (1) ┐P∧┐Q; (2) ┐P∨┐Q； (3) ┐(P ? Q); (4) P ?┐Q. 答案：〔 2 〕 4下面哪一个命题是命题“2是偶数或-3是负数”的否定( ) (1)2是偶数或-3不是负数; (2)2是奇数或-3不是负数; (3)2不是偶数且-3不是负数; (4)2是奇数且-3不是负数. 答案：〔 4 〕 5设P：张三可以做这件事，Q：李四可以做这件事.命题“张三或李四可以做这件事” 符号化为( 1 ) (1)P∨Q; (2)P∨┐Q; (2)┐P ?Q; (4)┐(┐P∨┐Q). 答案：〔 1 〕 6下面语句中哪个是真命题( ) (1)我正在说慌; (2)如果1+2=3，那么雪是黑的； (3)如果1+2=5，那么雪是黑的； (4)严禁吸烟. 答案：〔 3 〕 7下面哪个联结词运算不可交换( ) (1)∧ (2)→； (3)∨; (4) ? 答案：〔 2 〕 8命题公式(P∧(P→Q)) →Q是( ) (1)矛盾式； (2)蕴含式； (3)重言式； (4)等价式. 答案：〔 3 〕 9下面哪个命题公式是重言式( 2 ) (1)(P→Q)∧(Q→P); (2)(P∧Q)→P; (3)(┐P∨Q)∧()P∧┐Q);
第一章数理逻辑 逻辑思维（又称抽象思维）是人运用概念、判断和推理反映事物本质与规律的认识过程（图1.1），它是人类特有的能力，是人类文明延绵不绝、科学技术持续进步的原动力。具备较强的逻辑思维能力是学习科技知识、进行科学研究、从事技术开发的先决条件。逻辑思维在信息科学技术领域显得尤为重要，只有具备强大的逻辑思维能力，才能胜任该领域的研究工作，才能胜任大型复杂软件的编写与调试工作。 图1.1. 逻辑思维 第一节逻辑学概论 逻辑思维是有规律的，逻辑学是专门研究逻辑思维规律性的学科。本节简述逻辑学的基本内容和发展历史。 1.1. 逻辑思维的基本规律 逻辑思维的作用，就是根据一定的前提，通过合理的推导，得到
一定的结论。 例1.1．苏格拉底是柏拉图的导师，柏拉图是亚里士多德的导师，因此，苏格拉底是亚里士多德的师爷。 分析：苏格拉底、柏拉图和亚里士多德是人类文明史上著名的哲学家，有着师徒传承关系。这是一个逻辑思维过程，其作用就是根据‘苏格拉底是柏拉图的导师’和‘柏拉图是亚里士多德的导师’这两个前提，得到‘苏格拉底是亚里士多德的师爷’这个结论。 例1.2. 子非鱼，安知鱼之乐？ 分析：这是惠子对庄子说的一句话。可以将这句话改写为‘你不是鱼，所以你不知道鱼的快乐’，这是一个逻辑思维过程，其作用就是根据‘你不是鱼’这个前提，导出‘你不知道鱼的快乐’这个结论。 逻辑学之父亚里士多德总结出了逻辑思维的以下四条基本规律。 表1.1. 逻辑思维的四条基本规律 下面来看看不满足这些基本规律的实例。 例1.3. 有个小伙子上了火车，一看座无虚席，就厚着脸皮硬往一位老
大爷身边挤座儿。老大爷不高兴了，说：“小伙子，别硬坐了，座位已经满了。”小伙子嘻皮笑脸地说：“老大爷，没办法,我买的就是硬坐票。”分析：这个小伙子在说话时故意把“硬座”变换成“硬坐”，这是偷换概念，违背了同一律。 图1.2. 自相矛盾 例1.4．楚国有个卖兵器的人在街上叫卖。他说：“我的矛是最锋利的，能刺穿任何东西。”他又说：“我的盾是最坚固的，不能被任何东西刺穿。”这时，人群中有人问道：“如果用你的矛去戳你的盾，会怎么样呢？”楚人听后哑口无言。 分析：假设楚人说的两句话都是真的，就可以做以下推理：一方面，因为‘楚人的矛能刺穿任何东西’，所以‘楚人的矛能刺穿楚人的盾’；另一方面，因为‘楚人的盾不能被任何东西刺穿’，所以‘楚人的矛不能刺穿楚人的盾’。这样一来，就得到了两个相互矛盾的结论，根据矛盾律，这两个结论不可能同时为真，因此，楚人的话至少有一句是假的。 例1.5．有个人说：“‘华盛顿是第一任美国总统’是不对的，‘华盛顿
简单逻辑推理练习 1. 丁丁、光光和园园三位小朋友分别出生在上海、北京和广州三个城市中。已知：（1）丁丁从未到过上海；（2）上海出生的小朋友不叫光光；（3）光光不出生在广州。问：三个小朋友 2. （1）每个老师只教一门课；（2）甲上课全用汉语；（3）外语老师是一个学生的哥哥；（4）丙是一位女教师，她比数学老师活泼。请问：三位老师各上什么课？ 3.图中有三个六面体，每一个六面体上A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母的排列顺序完全相同。判断图中A 、B 、C 三个字母的对面各是什么字母。 （1） （2） （3） A 对面是_________; B 对面是_________; C 对面是_________. 4.甲、乙、丙、丁四位同学进行一百米赛跑。赛后，甲、乙、丙三位同学说了以下几句话，丁没有说话。甲：丙第一名，我第三名；乙：我第一名，丁第四名；丙：丁第二名，我第三名。比赛成绩公布后，发现他们都只说对了一半，你能说出他们的名次是如何排列的吗？ 名次排列是_______________________________ 5. 小王、小张和小李原来是邻居，后来当了医生、 教师和战士。只知道：小李比战士年纪大，小王和教师比小张年龄小。请同学们想一想：谁是医生，谁是教师，谁是战士？ 6. 数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌。老师猜测：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌。”结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌，谁得铜牌？ 金牌是________;银牌是________;铜牌是________。
7.三年级三个班级举行数学竞赛。小明猜想比赛的结果是：2班第一名，1班第二名，3班第三名；小华猜想的比赛名次是：1班，2班，3班。比赛结果只有小华猜的2班第二名是对的。 问比赛的名次如何排列？ 第一名是_________;第二名是_________;第三名是_________。 8.图中四个相同的正方体按相同的顺序在上面写数字1～6， 然后加图叠加，问1、2、3的对面分别是什么数字？ 1对面是_________;2对面是_________;3对面是_________ 9.甲、乙、丙、丁四人进行游泳比赛。赛前名次众说不一。 有的说：甲第二名，丁第三名。 有的说：甲第一名，丁第二名。 有的说：丙第二名，丁第四名。 实际上，上面三种说法各对了一半。问甲、乙、丙、丁各是第几名。 10.学校举行数学比赛，甲、乙、丙、丁、戊五位老师，对一贯刻苦学习的A 、B 、C 、D 、E 五位同学，事先就作了如下的估计：老师甲：B 第三名，C 第五名；老师乙：E 第四名，D 第五名；老师丙：A 第一名，E 第四名；老师丁：C 第一名，B 第二名；老师戊：A 第三名，D 第四名。比赛结束扣，这五名学生果然是前五名，且每一个名次，都有老师猜中了。试求各人的名次。 比赛名次：第一名是____;第二名是____;第三名是____第四名是____;第五名是____。 11.赵老师不在的时候，有一名同学把拾到的手表放在老师的办公桌上。大家都知道，这是冬冬、丹丹和菲菲三人中的一个人做的好事。教师找他们三人来问：“这是谁做的好事呢？” 冬冬说：“是丹丹干的。”丹丹说：“不是我干的。”菲菲也说：“不是我干的。” 如果他们三人中，有两人说的是假话，只有一个人说的是真话，你能判断出好事是谁干的吗？ _____和______的话是相互矛盾，所以他们两人的话必有一真。 那么______说的话一定是假话，所以做好事的是______。 12.有三个颜色分别是红、黄、蓝的盒子，每只盒子外面各有一句话（如下图所示），这三句话中只有一句是真的，你能判断出宝石放在哪个盒子里吗？ _____和______的盒子外面的一句话是相互矛盾，所以他们两人的话必有一真。 那么______的盒子外面的一句话一定是假话，所以宝石放是在______。 1 3 1 5 2 2 4 1 4