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因式分解
1、导入：
有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!
启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。 二、知识点回顾：
1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1)a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2)a 2±2ab+b 2=(a±b)2； (3)a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4)a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；
(7)a n -b n =(a -b)(a n-1+a n-2b+a n-3b 2+…+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数；
(8)a n -b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数；
(9)a n +b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公
式．
三、专题讲解 例
1 分解因式：
(1)-2x 5n-1y n +4x 3n-1y n+2-2x n-1y n+4；
(2)x 3-8y 3-z 3-6xyz ；
解 (1)原式=-2x n-1y n (x 4n -2x 2ny 2+y 4)
=-2x n-1y n [(x 2n)2-2x 2ny 2+(y 2)2]
=-2x n-1y n (x 2n -y 2)2 =-2x n-1y n (x n -y)2(x n +y)2．
(2)原式=x 3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x -2y -z)(x 2+4y 2+z 2+2xy+xz -2yz)．
例2 分解因式：a 3+b 3+c 3-3abc ．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析 我们已经知道公式
(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3
的正确性，现将此公式变形为
a 3+
b 3=(a+b)3-3ab(a+b)．
这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导． 解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c 3-3abc =［(a+b)3+c 3］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c 2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)．
说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为
a 3+
b 3+
c 3-3abc
显然，当a+b+c=0时，则a 3+b 3+c 3=3abc ；当a+b+c ＞0时，则a 3+b 3+c 3-3abc≥0，即a 3+b 3+c 3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立．
如果令x=a 3≥0，y=b 3≥0，z=c 3
≥0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z ．这也是一个常用的结论．※※变式练习
1分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x+1．
分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x 15开始，x 的次数顺次递减至0，由此想到应用
公式a n -b n 来分解．
解 因为
x 16-1=(x -1)(x 15+x 14+x 13+…x 2+x+1)，
所以
说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x -1)，再除以(x -1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常
用．
2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
例3 分解因式：x3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
※※变式练习
1分解因式：
(1)x9+x6+x3-3；
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；
(4)a3b-ab3+a2+b2+1．
解 (1)将-3拆成-1-1-1．
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．
(2)将4mn拆成2mn+2mn．
原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
=(mn+1)2-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．
原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4
=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2
=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2
=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．
(4)添加两项+ab-ab．
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．
说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到
拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．
3．换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
例4 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．
分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．
解设x2+x=y，则
原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．
说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．
例5 分解因式：
(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．
分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．
解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．
令y=2x2+5x+2，则
原式=y(y+1)-90=y2+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)
=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．
说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．
※※变式练习
1.分解因式：
(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．
解设x2+4x+8=y，则
原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)
=(x2+6x+8)(x2+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．
说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．
1．双十字相乘法
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．
的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
对于常数项而言，它是关于y
即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
的二次三项式分解
再利用十字相乘法对关于x
所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可
得到下图：
它表示的是下面三个关系式：
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式
中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
例1 分解因式：
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；
(2)x2-y2+5x+3y+4；
(3)xy+y2+x-y-2；
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
解 (1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4)．
来分解．
(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0
原式=(y+1)(x+y-2)．
(4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．
2．求根法
我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如
f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，
当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)
f(1)=12-3×1+2=0；
f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a． 根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
定理2
的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为
a n的约数．
我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．
例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．
分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：
±1，±2，±4，只有 f(2)=23-4×22+6×2-4=0，
即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2． 解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)． 原式=(x 3-2x 2)-(2x 2-4x)+(2x-4) =x 2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x 2-2x+2)．
解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)
，
所以
原式=(x-2)(x 2-2x+2)．
说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数
不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．※※变式练习
1. 分解因式：9x 4-3x 3+7x 2-3x-2．
分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，
±
为：
所以，原式有因式9x 2-3x-2．
解 9x 4-3x 3+7x 2-3x-2
=9x 4-3x 3-2x 2+9x 2-3x-2
=x 2(9x 3-3x-2)+9x 2-3x-2 =(9x 2-3x-2)(x 2+1)
=(3x+1)(3x-2)(x 2+1)
说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式
可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．
总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．
3．待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．
在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
分析由于
(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，
若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．
解设
x2+3xy+2y2+4x+5y+3
=(x+2y+m)(x+y+n)
=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有
解之得m=3，n=1．所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1)．
说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．
※※变式练习
1.分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．
分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是
±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如
果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．
解设
原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，
所以有
有
由bd=7，先考虑b=1，d=7
所以
原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．
本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．
四、巩固练习：
1. 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．
分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．
解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则
原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)
=u4-6u2v+9v2
=(u2-3v)2
=(x2+2xy+y2-3xy)2
=(x2-xy+y2)2．
五、反思总结
因式分解专题训练 一、整式有关概念：1.单项式（单个字母或数）（次数，系数）； 2.多项式（次数，项数） 3.同类项与合并同类项 二、幂的运算性质：1.n m n m a a a +=? 2.()mn n m a a = 3.()n n n b a ab = 4.n n n b a b a =??? ?? 5.n m n m a a a -=÷ 6.10=a 7.p p a a 1=-8.p p b a a b ??? ??=??? ??- 三、整式的运算：加、减、乘、除（乘方、开方） 1.m （a+b+c ）=ma+mb+mc 2.（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn 3.（a+b ）（a-b ）＝22b a - 4.()2222a b ab a b +±=± 5.()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++ 6.()()3322b a b ab a b a ±=+±μ 7.()()()ca bc ab c b a a c c b b a 222222222222+++++=+++++ 四、因式分解：1.把一个多项式化成几个整式的积的形式.2.方法（一提二套三分组） （套公式包括十字相乘法） 五、方法·规律·技巧：1.性质、公式的逆向使用；2.整体代入（配方、换元）3.非负数 的运用（配方） 六、实际运用 1.下列变形中，正确的是（） A.()123422+-=+-x x x B.()11 2+=+÷x x x x
C.()()22y x y x y x -=+--- D.x x x x -=-11 2.若n m n m b b a ++-224a 52与可以合并成一项，则n m 的值是（） A.2 B.0 C.－1 D.1 3.若22=+b a ，ab ＝2，则22b a +的值为（）A.6B.4C.23 D.32 4.把多项式x x x 1212323+-分解因式，结果正解的是（） A.()4432+-x x x B.()243-x x C.()()223-+x x x D.()223-x x 5.已知0322=--x x ，则x x 422-的值为（） A.－6 B.6 C.－2或6 D.－2或30 6.下列等式从左到右的的变形，属于因式分解的是（） A.a （x-y ）=ax-ay B.()12122++=++x x x x C.()()34312++=++x x x x D.()()11x 3-+=-x x x x 7.因式分解：()()21622---x x x ＝. 8.分解因式：（a-b ）（a-4b ）+ab ＝. 9.分解因式：()9332--+x x x ＝. 10.分解因式：22my mx -＝. 11.多项式4x 2+1加上一个单项式后能成为一个完全平方式，请你写出符合条件的所有的单 项式：. 12.计算：()20172016201642125.0??-＝. 13.已知===-n m n m a a a 4323,16,64则. 14.已知=+-=+-634 x 964322x x x ，则. 15.若()()222222,121y x y x y x +=-++＝.
因式分解 【例 1】分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x 提示:将248x x u 看成一个字母，可利用十字相乘 【例 2】(“希望杯”培训试题 )分解因式：22(52)(53)12x x x x 【解析】方法1：将25x x 看作一个整体，设25x x t ，则 方法2：将252x x 看作一个整体，设252x x t ，则 方法3：将253x x 看作一个整体， 【巩固】分解因式： (1)(3)(5)(7)15x x x x (1)(2)(3)(4)24a a a a 22(1)(2)12 x x x x 【例 3】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．
【巩固】若x ，y 是整数，求证：4234x y x y x y x y y 是一个完全平方数. 【例 4】(湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2(25)(9)(27)91 a a a 【巩固】分解因式22(32)(384)90 x x x x 【例 5】分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x 提示:可设2231,23x x A x x B ，则244x x A B . 【巩固】分解因式：2 (2)(2)(1)a b ab a b ab 【巩固】分解因式：2 1 (1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y
【例 6】(重庆市竞赛题)分解因式：44(1)(3)272 x x 练习: 1 .分解因式 x x 3234 2.求证：多项式的值一定是非负数 3.分解因式：()()()a b c a b b c 2333 4.在ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100.求证：a c b 25.已知：
第1讲：因式分解 一．因式分解的定义： 二．因式分解的方法： 1.提取公因式法：提取所有项的公共的因式，将多项式化成两个多项式的乘积的形式 例1：分解因式4121315242+-+---+-n n n n n n y x y x y x 例2：试说明139792781--能被45整除 例3：已知01234=++++x x x x ，求1200820092010+++++x x x x 2.运用公式法：运用公式法进行因式分解的关键是利用各公式的特点，建立运用公式的模型，以下公式都应该熟记. 例4：分解因式xyz z y x 68333--- 例5：分解因式：abc c b a 3333-++ 例6：分解因式：12131415++++++x x x x x 3.分组分解法：关键是如何分组，原则是：①各组能分解或部分组能分解，②组间能继续分解，从而达到分解的目的.常用的分组思路有，按系数分组，按符号分组，安某一字母一次或二次分组，联想公式分组，按项的次数分组等，对多项式分组的方法往往不唯一，但最终的结果是一致的。 例7：分解因式2105ax ay by bx -+- 例8：分解因式2222428x xy y z ++- 4.十字相乘法：对二次三项式分解的重要方法，即：()()22112c x a c x a c bx ax ++=++，其中a a a =21，c c c =21， b c a c a =+1221。十字相乘法通常借助画“十”字来分解系数。 例9：分解因式（1）2524x x +-；（2）226x xy y +-；（3）222 ()8()12x x x x +-++ 例10：分解因式（1）22y 8x y 6x 5-+；（2）22 5681812x xy y x y +++++ 例11：已知：,,a b c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+= 求证：2b a c =+ 5.求根公式法：一般适合于对二次三项式的因式分解，如要对c bx ax ++2进行因式分解，可令02=++c bx ax ，若0≥?，则方程有两个实数根，可用一元二次方程的求根公式求出，设为21,x x ，则有()()212x x x x a c bx ax --=++ 例12：分解因式： 222(1)616 (2)44x x x xy y +-+- 例13：分解因式：422x +x +2ax+1-a 6.拆项、添项法：因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 4．分解因式： （1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解： （1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式： （1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式： （1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2 10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 11．把下列各式分解因式： （1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2 （3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1 12．把下列各式分解因式： （1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8 分析：（1）提取公因式3p整理即可； （2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q）， （2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2． 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）； （2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2． 4．分解因式： （1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2． 分析：（1）直接提取公因式x即可； （2）利用平方差公式进行因式分解； （3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解； （4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可． 解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；
2019-2020年七年级下数学第9章《整式乘法与因式分解》竞赛数学 专题训练 【例1】(全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)若2 (1)1x m x -++是完全平方式，则m 的值为( ). A.1- B.1 C. 1或1- D. 1或3- 【解析】12m +=±，解得1m =或3m =-.故选D. 【答案】 D. 【例2】(第12届“华杯赛”浙江赛区决赛复试(初一组)如图，一个面积为250cm 的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则ABC V 的面积是 2cm . 【解析】设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则 2111()()() 222 ABC S a b a a b b a b b a =+?- +?---V 22221111122222a ab ab b a ab b =+----+ 25022 a == 【答案】25. 1. 2. (全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)已知1a b -=，221a b -=-则20142014a b -= . 3. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(初一组))新制作的渗水防滑地板是形状完全相同的长方形.如图，三块这样的地板可以拼成一个大的长方形.如果大长方形的周长为150cm ，那么一块渗水防滑地板的面积是( ). A. 2450cm B. 2600cm C. 2900cm D.2 1350cm
4. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果22 ()()4a b a b +--=，那么 一定成立的是( ). A. a 是b 的相反数 B. a 是b -的相反数 C. a 是b 的倒数 D. a 是b -的倒数 5. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果223x x +=，那么432781315x x x x ++-+= . 6. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请复赛试题)已知4a b -=，2 40ab c ++=， 则a b c ++= . 7. (四川省初中数学联赛)计算: 22222 11111(1)(1)(1)(1)(1)23499100- ?-?-??-?-…. 7. (全国数学竞赛讲座)分解因式: 22 (32)(483)90x x x x ++++-. 参考答案 1. 1- 2. A 3. C 4. 18 5. 0 6. 1 11111(1)(1)(1)(1)(1)(1+)2233100100 -?+?-?+??-?… 132499101=2233 1001001101=2100 101=200???????… 8. 原式(1)(2)(21)(23)90x x x x =++++- [(1)(23)][(2)(21)]90x x x x =++++- 22(253)(252)90x x x x =++++-
因式分解·提公因式法 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过 程中常用的因式变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---322 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结 果。 解：原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的 值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解 ：
初二因式分解竞赛例题精选及练习题 一、提公因式法. 二、运用公式法. 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22 例4、分解因式：2222c b ab a -+- 练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++ 四、十字相乘法 例5、分解因式：652++x x 例6、分解因式：672+-x x 练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x 练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x 例7、分解因式：101132+-x x 练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y
因式分解习题精选 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____) )(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=- _______。12、若442-+x x 的值为0，则51232 -+x x 的值是________。13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（10分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个， B 、2个， C 、3个， D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、21 B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式：（30分） 1 、234352x x x -- 2 、 2 633x x - 3 、 22)2(4)2(25x y y x --- 4、22414y xy x +-- 5、x x -5 6、13-x 7、2ax a b ax bx bx -++--2 8、81182 4+-x x
初二级竞赛专题：因式分解 一、重要公式 1、a2－b2=(a＋b)(a－b)；a n－1=(a－1)( a n-1＋a n-2＋a n-3＋…＋a2＋a＋1) 2、a2±2ab＋b2=(a±b)2； 3、x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b); 4、a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2); a3－b3=（a－b）(a2＋ab＋b2); 二、因式分解的一般方法及考虑顺序 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法； 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分组分解法；（5） ）。 其它常用方法与技巧（简单概括为：提十公分 ．．．． 三、例题 1、添项拆项 [例1]因式分解：（1）x4＋x2＋1；（2）a3＋b3＋c3－3abc （1）分析：x4＋1若添上2x2可配成完全平方公式 解：x4＋x2＋1＝x4＋2x2＋1－x2=(x2＋1)2－x2=(x2＋1＋x)(x2＋1－x) （2）分析：a3＋b3要配成（a＋b）3应添上两项3a2b＋3ab2 解：a3＋b3＋c3－3abc＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＋c3－3abc－3a2b－3ab2 =(a＋b)3＋c3－3ab(a＋b＋c) =(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c) =(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc) [例2]因式分解：（1）x3－11x＋20；（2）a5＋a＋1 （1）分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数） 解：x3－11x＋20＝x3－16x＋5x＋20＝x(x2－16)＋5(x＋4) =x(x＋4)(x－4)＋5(x＋4) =(x＋4)(x2－4x＋5) （2）分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a＋1组成两组，正好可以用立方 差公式 解：a5＋a＋1＝a5－a2＋a2＋a＋1=a2(a3－1)＋a2＋a＋1 =a2(a－1)( a2＋a＋1)＋a2＋a＋1=(a2＋a＋1)(a3－a2＋1) 2、待定系数法 [例3]因式分解2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20 解：∵2x2＋3xy－9y2=(2x－3y)(x＋3y),故用待定系数法， 可设2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋a)(x＋3y＋b)，
初中数学竞赛专题辅导因式分解( 一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1) a 2-b2=(a+b)(a -b) ； (2) a 2±2ab+b2=(a±b) 2； (3) a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2) ； (4) a 3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2) ． 下面再补充几个常用的公式： (5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b+c-ab-bc-ca) ； (7) a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+aT3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数； (8) a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数； (9) a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-?--ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数. 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式：
因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值
第一讲:因式分解(一） 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强, 学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必 需的，而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. １.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2－b2＝(a＋b）（a-b)； (2）a2±２ab+b２=(a±b)２; （3)a3＋ｂ3＝(a＋b)(a２-ab+b２)； (4)a3-b３=(ａ-b)(a２＋ａb+b2）． 下面再补充几个常用的公式： (５）ａ2+ｂ2+c2+2ab＋2bc+2ca=(a+b+c）2； （6）a３＋b3+c3-3abc=(ａ+b+c)(a2＋b2＋c２-aｂ－bc-c ａ); (7)a n－b n=（a－b）(aｎ-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-２+b n-1)其中n为正整数； (8)aｎ－ｂn=(a+b）(aｎ-１-a n-2b+a n-3b2-…+ａｂn-2-bｎ-1),其中ｎ为偶数; (9)ａn+b n=(ａ+b)(aｎ-1-a n－2b+a n－３b2－…-ａｂn-2+ｂｎ-1),其中ｎ为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式: (１）-2x5n-1y n+4ｘ3n-1yｎ+２－2x n-1yｎ+4； (2)x3-８y3-z３-6xyz; (3）a２+b2+c２－2bc+2cａ-2ab; 7５2２５7 ＝-２xｎ-1yｎ［(x２n）２-2x２ｎy2＋(y2)2] ＝－2ｘn-1yｎ(x2n-y２)２ =-2x n-１ｙｎ(xｎ-ｙ）2(x n＋y)２． （２)原式=x３+(-2y)3+（－z)3-3x(－2y)（-Ｚ) =(x-2y-z)（x2+４y2＋z2＋2xy+xz-2yｚ). （3）原式=(a２－２ab+b2)+(-2ｂc+2cａ)+ｃ2 =(a-b)２＋２c（ａ-b)+c2 =(a-b+c)2. 本小题可以稍加变形，直接使用公式(５）,解法如下: 原式=a2+(－b)2+c2+2(－b)c＋２ca+2a(－b) =(a-b+c）2 （4)原式=(a7-a5b２)+(ａ2b5－ｂ7) =ａ５(ａ２-b2)+b５(a２－ｂ2） =(a2-b2）（a5+b５） =（a+b）(ａ-ｂ）(a＋ｂ)(a4-a３b+a2b2-ab3+ｂ４）＝(ａ+ｂ）2(ａ-b)(ａ4-ａ3ｂ+a２ｂ2-ａｂ3+ｂ4) 例2 分解因式：a3＋ｂ３+c3－３ａbc. 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析我们已经知道公式 (a+b)３＝ａ3+3ａ2b+３ａb2+b3 的正确性，现将此公式变形为 ａ3＋b3=（ａ+b)3-3ab（a+b). 这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导． 解原式=（a＋b)3-３aｂ（a+b)+c3－３ａｂc =[(a＋b)3+ｃ3]-3ab(ａ+b+ｃ) ＝（ａ+b+ｃ)［(a+ｂ）2-c（a+b)+c2]-3ab（a+ｂ+c) =(a+b+c)(a2＋b2+c2-aｂ-ｂc－ca). 说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推
))(()()()()(1 22122by ay x b a b a y b a x a b y b a x n n n n +--=---=-+-++2 22212222)31(31)9132(319227131--=+--=+--++x x x x x x x x n n n n n ))(()()(22)()(222222 22222222 222222222222 22222y x c b a y c b a x c b a x c y c abxy x b y a abxy y b x a x c y c ay bx by ax +++=+++++=++-++++=++-++322a a -22129 b a ab c -a ab a -+2ab a 75.0432+a a a 24646-+-ax x a x a +-2233242566816y x y x y x -+-21---+m m m a a a ) ()()(b a a b y b a x ---+-) ()(3223x y y x y x y x -+-) 3)(()35)((y x b a y x b a -+--+因式分解的方法： 1提公因式法 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例：（1）-am+bm+cm=-m(a-b-c)； （2）a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b) （3） （4） （5） （6）2n(m-2n)(3m-2n)-3m(2n-3m)(2n-m) =2n(m-2n)(3m-2n)-3m(3m-2n)(m-2n) =(m-2n)(3m-2n)(2n-3m) 专项练习题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、
因式分解专项练习题 （一）提取公因式 一、分解因式 1、2x 2y －xy 2、6a 2b 3－9ab 2 3、 x （a －b ）＋y （b －a ） 4、9m 2n-3m 2n 2 5、4x 2-4xy+8xz 6、-7ab-14abx+56aby 7、6m 2n-15mn 2+30m 2n 2 8、-4m 4n+16m 3n-28m 2n 9、x n+1-2x n-1 10、a n -a n+2+a 3n 11、p(a-b)+q(b-a) 12、a(b-c)+c-b 13、(a-b)2(a+b)+(a-b)(a+b)2= 14、ab ＋b 2－ac －bc 15、3xy(a-b)2+9x(b-a) 16、(2x-1)y 2+(1-2x)2y 17、6m(m-n)2-8(n-m)3 18、15b(2a-b)2+25(b-2a)3 19、a 3-a 2b+a 2c-abc 20、2ax ＋3am －10bx －15bm 21、m （x －2）－n （2－x ）－x ＋2 22、（m －a ）2＋3x （m －a ）－（x ＋y ）（a －m ） 23、 ab(c 2+d 2)+cd(a 2+b 2) 24、(ax+by)2+(bx-ay)2 25、-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 26、 a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 二、应用简便方法计算 1、4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8 2、9×10100-10101 3、2002×-2001× 4、1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+? 三、先化简再求值 （2x ＋1）2（3x －2）－（2x ＋1）（3x －2）2－x （2x ＋1）（2－3x ）（其中， 32x =） 四、在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意正整数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。 课后作业： 1.分解因式：(1)ab+b 2-ac-bc (2)ax 2 -ax-bx+b (3)ax+1-a-x (4)x 4-x 3+4x-4 2.分解因式： (1)6m(m-n)2-8(n-m)3 (2)15b(2a-b)2+25(b-2a)3 (3)a 3-a 2b+a 2c-abc (4)4ax+6am-20bx-30bm （5）-+-41222332m n m n mn
《整式乘法与因式分解》竞赛数学专题训练含答案 【例1】(全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)若2 (1)1x m x -++是完全平方式，则m 的值为( ). A.1- B.1 C. 1或1- D. 1或3- 【解析】12m +=±，解得1m =或3m =-.故选D. 【答案】 D. 【例2】(第12届“华杯赛”浙江赛区决赛复试(初一组)如图，一个面积为250cm 的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则ABC V 的面积是 2cm . 【解析】设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则 2111()()() 222 ABC S a b a a b b a b b a =+?- +?---V 22221111122222a ab ab b a ab b =+----+ 25022 a == 【答案】25. 1. 2. (全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)已知1a b -=，221a b -=-则20142014a b -= . 3. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(初一组))新制作的渗水防滑地板是形状完全相同的长方形.如图，三块这样的地板可以拼成一个大的长方形.如果大长方形的周长为150cm ，那么一块渗水防滑地板的面积是( ). A. 2450cm B. 2600cm C. 2900cm D.2 1350cm 4. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果22()()4a b a b +--=，那么
一定成立的是( ). A. a 是b 的相反数 B. a 是b -的相反数 C. a 是b 的倒数 D. a 是b -的倒数 5. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果2 23x x +=，那么432781315x x x x ++-+= . 6. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请复赛试题)已知4a b -=，2 40ab c ++=，则a b c ++= . 7. (四川省初中数学联赛)计算: 222221 1111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-?-?-??-?-…. 7. (全国数学竞赛讲座)分解因式: 22(32)(483)90x x x x ++++-. 参考答案 1. 1- 2. A 3. C 4. 18 5. 0 6. 11111 1 (1)(1)(1)(1)(1)(1+)2233100100-?+?-?+??-?… 132499101 =2233100100 1101 =2100101 =200 ???????… 8. 原式(1)(2)(21)(23)90x x x x =++++- [(1)(23)][(2)(21)]90x x x x =++++- 22(253)(252)90x x x x =++++- 令2252y x x =++
因式分解专题培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 因式分解的一般方法及考虑顺序： 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法． 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法． 一、运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例题1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7．
因式分解 1、公式法 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz； 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
说明本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 a3+b3+c3-3abc 显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立． 如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有 等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论． ※※变式练习分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1． 2．拆项、添项法 因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 例3 分解因式：x3-9x+8． ※※变式练习 1分解因式： (1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn； (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a3b-ab3+a2+b2+1．
一、填空： 1. 若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2. 22)(n x m x x -=++则m =____ n =____ 3. 若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 4. _____) )(2(2(_____)2++=++x x x x 5. 若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 6. 若6,422=+=+y x y x 则=xy ___ 。 二、选择题： 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=-12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、2 1， B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式： 1 、234352x x x -- 2 、 2 633x x - 3 、22414y xy x +-- 4、13-x