高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
【重点知识梳理】
1．椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2＋
y2
b2＝1
(a>b>0)
y2
a2＋
x2
b2＝1
(a>b>0)
图形
性质范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距|F1F2|＝2c
离心率e＝
c
a
∈(0，1)
a，b，c的关系c2＝a2－b2
【高频考点突破】
考点一椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)(如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使
M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
(2)已知F1，F2是椭圆C ：x2a2＋y2
b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥PF →2.若△PF1F2的面积为9，则b ＝________．
【变式探究】 (1)已知F1，F2是椭圆x216＋y2
9＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
(2)与圆C1：(x ＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x －3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．
考点二 求椭圆的标准方程
【例2】 (1)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F1，F2在x 轴上，离心率为2
2.过F1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．
(2)设F1，F2分别是椭圆E ：x2＋y2
b2＝1(0 (3)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________． 【变式探究】 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆x24＋y2 3＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)； (2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点； (3)经过两点????－32，52，()3，5. 考点三 椭圆的几何性质 【例3】 (1)(·江西卷)过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x2a2＋y2 b2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． (2)(·包头测试与评估)已知椭圆x2a2＋y2 b2＝1的左顶点为A ，左焦点为F ，点P 为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝1 2，则AP →·FP →的取值范围是________． 【变式探究】 已知椭圆C1：x2a2＋y2 b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C1上任一点，MN 是圆C2：x2＋(y －3)2＝1的一条直径，与AF 平行且在y 轴上的截距为3－2的直线l 恰好与圆C2相切． (1)求椭圆C1的离心率； (2)若PM →·PN →的最大值为49，求椭圆C1的方程． 考点四 直线与椭圆的位置关系 【例4】 (·四川卷)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为63. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积． 【变式探究】 (·陕西卷)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F1(－c ，0)，F2(c ，0)． (1)求椭圆的方程； (2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F1F2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB||CD|＝53 4，求直线l 的方程． 考点五 圆锥曲线上点的对称问题 圆锥曲线上两点关于直线的对称问题是高考命题的热点，该问题集中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，难度大，对数学知识和能力的考查具有一定的深度，具有很好的选拔功能，是高考命题的热点．圆锥曲线上两点关于直线的对称问题主要有联立方程法和点差法两种解法． 【例5】 椭圆E 经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x 轴上，离心率e ＝1 2，其中∠F1AF2的平分线所在的直线l 的方程为y ＝2x －1. (1)求椭圆E 的方程； (2)在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由． 【真题感悟】 1.【高考广东，文8】已知椭圆22 2 125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则 m =（ ） A ．9B ．4C ．3D ．2 2.【高考福建，文11】已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ， 直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于4 5 ，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ． 3(0, ]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4 3．【高考浙江，文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b y x c =的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是． 4.【高考安徽，文20】设椭圆E 的方程为22 221(0),x y a b a b +=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为 (,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 5 （Ⅰ）求E 的离心率e; （Ⅱ）设点C 的坐标为（0，b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB. 5 52== a c e .5．【高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C:2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ， B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ． （I ）求椭圆C 的离心率； （II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率； （III ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由． 63 6.【高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线2 1:4C x y =的焦点F 也是椭圆 22 222:1y x C a b += (0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为26，过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点， 与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD 同向. （I ）求2C 的方程； （II ）若AC BD =，求直线l 的斜率. （I ）22 198 y x += ；(II)64±.7.【高考山东，文21】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ： 22 22 +=1(>>0)x y b b αα33 ，12）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设椭圆E ：22 22+=144x y a b ，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭 圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . （i ）求|| || OQ OP 的值； (ii)求ABQ ?面积的最大值. C E E C 8.【高考陕西，文20】如图，椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离 心率为 2 2 . (I)求椭圆E 的方程； (II)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：直线 AP 与AQ 的斜率之和为2. 9.【高考四川，文20】如图，椭圆E ：22 221x y a b +=(a>b>0)的离心率是2，点P(0，1)在短轴CD 上， 且PC PD ?＝－1 (Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点.是否存在常数λ，使得 OA OB PA PB λ?+?为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 10.【高考天津，文19】（本小题满分14分）已知椭圆2 22 2 1(a b 0)x y a b 的上顶点为B,左焦点为 F ,离心率为 5, （I ）求直线BF 的斜率; （II ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与y 轴交于点M,||=||PM MQ . （i ）求 的值; （ii ）若75 ||sin = PM BQP ,求椭圆的方程. 1．（·四川卷）已知椭圆C ：x2a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． A D B C O x y P (1)求椭圆C 的标准方程． (2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q. ①证明：OT 平分线段PQ(其中O 为坐标原点)； ②当|TF| |PQ|最小时，求点T 的坐标． 2．（·安徽卷）设F1，F2分别是椭圆E ：x2＋y2 b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________． 3．（·北京卷）已知椭圆C ：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C 的离心率； (2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论． 4．（·福建卷）设P ，Q 分别为圆x2＋(y －6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是() A ．5 2 B.46＋2 C ．7＋ 2 D ．62 5．（·湖北卷）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π 3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为() A.433 B.23 3 C ．3 D ．2 6．（·湖南卷）如图1-7，O 为坐标原点，椭圆C1：x2a2＋y2 b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：x2a2－y2 b2＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝3 2，且|F2F4|＝3－1. (1)求C1，C2的方程； (2)过F1作C1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值． 图1-7 7．（·江西卷）过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x2a2＋y2 b2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 8．（·辽宁卷）已知椭圆C ：x29＋y24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝______． 9．（·辽宁卷）圆x2＋y2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图1-6所示)．双曲线C1：x2a2－y2b2＝1过点P 且离心率为 3. 图1-6 (1)求C1的方程； (2)椭圆C2过点P 且与C1有相同的焦点，直线l 过C2的右焦点且与C2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程． 10．（·全国卷）已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为3 3，过F2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF1B 的周长为43，则C 的方程为() A.x23＋y22＝1 B.x2 3＋y2＝1 C.x212＋y28＝1 D.x212＋y24＝1 11．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A(0，－2)，椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为3 2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为23 3，O 为坐标原点． (1)求E 的方程； (2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 12．（·新课标全国卷Ⅱ] 设F1，F2分别是椭圆C ：x2a2＋y2 b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF2与x 轴垂直，直线MF1与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为3 4，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝ 5|F1N|，求a ，b. 13．（·山东卷）已知a ＞b ＞0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2 b2＝1，C1与C2的离心率之积为3 2，则C2的渐近线方程为() A. x±2y ＝0 B. 2x±y ＝0 C. x±2y ＝0 D. 2x±y ＝0 14．（·陕西卷）如图1-5所示，曲线C 由上半椭圆C1：y2a2＋x2 b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y ＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A ，B ，其中C1的离心率为32. (1)求a ，b 的值； (2)过点B 的直线l 与C1，C2分别交于点P ，Q(均异于点A ，B)，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程． 图1-5 15．（·陕西卷）如图1-5所示，曲线C 由上半椭圆C1：y2a2＋x2 b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y ＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A ，B ，其中C1的离心率为32. (1)求a ，b 的值； (2)过点B 的直线l 与C1，C2分别交于点P ，Q(均异于点A ，B)，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程． 图1-5 16．（·天津卷）设椭圆x2a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A ，上顶点为B.已知|AB|＝3 2|F1F2|. (1)求椭圆的离心率； (2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率． 17．（·浙江卷）如图1-6，设椭圆C ：x2a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限． (1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标； (2)若过原点O 的直线l1与l 垂直，证明：点P 到直线l1的距离的最大值为a －b. 图1-6 18．（·重庆卷）如图1-4所示，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D 在椭圆上，DF1⊥F1F2，|F1F2||DF1|＝22，△DF1F2的面积为22. (1)求椭圆的标准方程； (2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径． 图1-4 19．(高考四川卷)从椭圆x2a2＋y2 b2＝1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( ) A.24 B.12 C.22 D.32 20.(高考浙江卷)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：x2a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A ，B 两点，l2交椭圆C1于另一点D. (1)求椭圆C1的方程； (2)求△ABD 面积取最大值时直线l1的方程． 【押题专练】 1．设F1，F2分别是椭圆x225＋y2 16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F1P 的中点，|OM|＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．5 2．已知椭圆x210－m ＋y2 m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．以上均不对 3．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于1 2，则C 的方程是( ) A.x23＋y24＝1 B.x24＋y23＝1 C.x24＋y23＝1 D.x2 4＋y2＝1 4．已知椭圆x24＋y2 2＝1上有一点P ，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P 有( ) A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 5．已知椭圆C ：x2a2＋y2 b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos ∠ABF ＝4 5，则C 的离心率为( ) A.35 B.57 C.45 D.67 6．设F1，F2分别是椭圆E ：x24＋y2 3＝1的左、右焦点，过F1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝ ( ) A.103 B ．3 C.8 3 D ．2 7．设F1，F2分别是椭圆x225＋y2 16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为( ) A ．10 B ．12 C ．15 D ．18 8．已知P 为椭圆x225＋y2 16＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y2＝1和圆(x －3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________． 9．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率等于1 3，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin B sin C 的值等于________． 10．已知F1(－c ，0)，F2(c ，0)为椭圆x2a2＋y2 b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF1→·PF2→＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________． 11．椭圆x2a2＋y2 5＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B.若△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________． 高考模拟复习试卷试题模拟卷 高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆 一．基础题组 1.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理9）直线25015432 2 =+=-+y x y x 被圆截得的弦AB 的长为． 2.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理10）已知圆C 的圆心在直线x －y=0上，且圆C 与两条直线x ＋y=0和x ＋y －12=0都相切，则圆C 的标准方程是__________． 二．能力题组 1.（北京市房山区高三第一次模拟考试理13）已知直线l 过点)2,3(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于 B A 、两点，O 为坐标原点，则?OAB 面积的最小值为____，此时，直线l 的方程为____． 2.（北京市昌平区高三二模理14）如图，已知抛物线y x 82 =被直线4y =分成两个区域21,W W （包括边界），圆222:()(0).C x y m r m +-=> （1）若3m =，则圆心C 到抛物线上任意一点距离的最小值是__________； （2）若圆C 位于2W 内（包括边界）且与三侧边界均有公共点，则圆C 的半径是__________. 三．拔高题组 1.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理8）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B ，C 分别在x 轴和y 轴非负半轴上，点A 在第一象限，且90BAC ? ∠=，4AB AC ==，那么O ，A 两点间距离的（ ） A ．最大值是42，最小值是4 B ．最大值是8，最小值是4 C ．最大值是42，最小值是2 D ．最大值是8，最小值是2 高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆 一．基础题组 1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( ) A ．1 B ．13- C ．2 3 - D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________． 3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线 )(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为. 4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线 0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是． 二．能力题组 1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线2 1y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22 430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ） A. 4515- B.25 15 - C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2 2 14x y +-=。若过点11,2P ?? ??? 的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。 3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________. 三．拔高题组 1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆 0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ） A ．3-a B ．2 3< a C ．13<<-a 或2 3 >