目录
1 引言 (2)
2 文献综述 (2)
2.1 国内研究现状 (2)
2.2 国内研究现状评价 (3)
2.3 提出问题 (3)
3 预备知识 (3)
3.1 N阶行列式的定义 (3)
3.2 行列式的性质 (4)
3.3 行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理 (4)
3.3.1 行列式按一行(列)展开 (4)
3.3.2 拉普拉斯定理 (5)
4 几类特殊N阶行列式的计算 (5)
4.1 三角形行列式的计算 (6)
4.2 两条线型行列式的计算 (7)
4.3 箭形行列式的计算 (8)
4.4 三对角行列式的计算 (8)
4.5 Hessenberg型行列式的计算 (10)
4.6 行（列）和相等的行列式的计算 (11)
4.7 相邻行（列）元素差1的行列式的计算 (12)
4.8 范德蒙型行列式的计算 (13)
5 结论 (15)
5.1 主要发现 (15)
5.2 启示 (15)
5.3 局限性 (15)
5.4 努力方向 (15)
参考文献 (16)
1 引言
行列式是代数学中的一个重要内容,在数学理论上有十分重要的地位.早在17世纪和18世纪初,行列式就在解线性方程组中出现.1772年法国数学家范德蒙(1735-1796)首先把行列式作为专门理论独立于线性方程之外研究.到了19世纪,是行列式理论形成和发展的重要时期,19世纪中叶出现了行列式的大量定理.因此,到19世纪末行列式基本面貌已经勾画清楚.
行列式的计算是高等代数的重要内容之一,也是理工科线性代数的重要内容之一,同时也是学习中的一个难点.在数学和现实中有着广泛的应用,懂得如何计算行列式尤为重要.对于阶数较低的行列式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算出结果.对于一般的N阶行列式,特别是当N较大时，直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐的，因此研究行列式的计算方法则显得十分必要.通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使计算大大简化，从而得出结果.本文归纳了几类特殊N阶行列式的计算方法,从这几类特殊的N阶行列式的计算中,可以总结出归纳出一些行列式的计算方法,只要将这些方法与传统方法结合起来，就可以基本上解决n阶行列式的计算问题.
本文先阐述行列式的定义及其基本性质,然后介绍了几类特殊行列式的计算方法,并结合了相关例题讨论了行列式的求解方法.
2 文献综述
2.1 国内研究现状
现查阅到的文献资料中,大部分只是简单的介绍了行列式的定义、行列式的性质、行列式按行（列）展开、克拉默法则等.其中[1]、[3]介绍了行列式的定义、性质、行列式按行（列）展开，[2]、[4]介绍了利用行列式的性质计算行列式，[4]、[8]直接介绍行列式的计算，主要讲解了行列式的计算在Matlab上的实现，[7]、[9]、[10]介绍了行列式的简单计算和行列式的常用计算方法，[11]、[12]、[13]同样也是介绍了行列式的性质、定义和克拉默法则，[14]在行列式的定义、性质、按行（列）展开克拉默法则等方面介绍得比较完整，[15]-[18]系统介绍了行列式计算中和各种方法,如定义法、降阶法、升降法、拆开法、目标行列式法、乘积法、化三角开法、消去法、加边法、归纳法、递推法、特征值法等行列式的计算方法.
2.2 国内研究现状评价
现查阅到的参考资料、文献中,在行列式的计算方面已经做到相当不错的成
绩，特别是在用行列式的定义和性质去计算高阶行列式方面,而对于一些特殊行列式的计算还有所欠缺.
2.3 提出问题
行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一,而在一些特殊行列式的
计算上还有所欠缺,本文将从几类特殊N 阶行列式的计算方面入手,对特殊N 阶行列式的计算归纳总结出一些固定的计算方法,以便在今后的计算中较为方便、快速,以便达到事半功倍的效果.
3 预备知识
为了更好的计算行列式,我们先要对行列式的一些性质有一些了解.下面我
们来回顾一下行列式的定义和相关的行列式的性质.可参见文献资料[1].
3.1 N 阶行列式的定义 由一个n 行n 列的正方形数表
????
? ??=nn n n a a a a A 1111
（称为n 阵方阵）按以下规则确定的数称为n 阶行列式，记为D,或A ，或det A,det ()n ij a ，即
D=det ()n ij a =???
?
? ??=nn n n a a a a A 1111
其中为n 个数，1，2，
n 的一个排列，
为此排列的逆序数.而符
号
表示对所有的n 无排列求和，共有n!项.
3.2 行列式的性质
行列式的计算是一个重要的问题,也是一个麻烦的问题.当N 较小时,可以由定义去计算行列式的值,但当N 较大时,按定义去计算就很困难了.因此,行列式的性质在行列式中的地位就非常特别要了,我们通常总是利用行列式的性质,把一个复杂的行列式化成简单的,易算的行列式,最终计算出结果.在行列式的诸多性质中,以下几条是最基本的,其他性质都可以通过它们推导出来.该部分性质可参见文献[14].
性质1 行与列互换,行列式不变.
性质2 某行(列)的公因子可以提到行列式符号外.
性质 3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项之和,则该行列式可以写成两个行列式之和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)元素与原行列式相同.
性质4 两行(列)的对应元素相同,行列式的值为零. 性质5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零. 性质6 某行(列)的倍数加到另一行(列),行列式的值不变. 性质7 交换两行(列)的位置,行列式的值反号.
3.3 行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理
行列式按行(列)展开的定理是行列式的一条非常重要的性质,是行列式常用计算方法的重要依据,特别是在行列式降阶的过程中,将行列式按行(列)展开,是计算行列式的一种行之有效的方法之一,可参见文献[7]. 3.3.1 行列式按一行(列)展开
(1)在N 阶行列式的中，将元素ij a 所在的第i 行第j 列的元素划去后剩下的元素按照原来位置次序构成的n-1阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，即
111,1
1,1
11,11,11,11,1,11,1
1,1,1
,1
,j j n i i j i j i n ij i i j i j i
i n n n j n j i
nn
a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=
， 而(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.
(2) 行列式的值等于它的某一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
11
111221
1122(1,2,,)
(1,2,,)
n
i i i i in in n nn
j j j j nj nj a a D a A a A a A i n a a a A a A a A j n ==+++==+++=
(3)n 阶行列式中某一行（列）的每个元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于零. 3.3.2 拉普拉斯定理
拉普拉斯定理可以看成是行列式按行(列)展开公式的推广,在行列式的计算中也是一个不可或缺的定理之一,下面将该定理陈述如下:
拉普拉斯定理 任意取定n 阶行列式D 的某k 行（列）（1≤k 4 几类特殊N 阶行列式的计算 除了较简单的行列式可以用定义直接计算和少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外,一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现较多的零元素,然后直接上(下)三角行列式或利用行列式按行展开定理降阶. 在化简时,必须根据行列式的特点和元素的规律性,运用适当的步骤来进行,所以研究行列式的规律性是重要的.下面是对一些典型行列式的计算方法的探究,并举例说明其求解方法和技巧. 4.1 三角形行列式的计算 在行列式的计算中,有一类特殊的行列式是除主对角线以外的元素全为零的 行列式,我们称为对角行列式或三角行列式,该行列式的计算是很有规律的,也即 (1)上(下)三角行列式等于其主对角线上元素的乘积,即 a?a =. （2）次三角行列式的值等于添加适当正、负号的对角线元素的乘积，即. (3) 分块三角行列式可化为低级行列式的乘积,即 . 4．2两条线型行列式的计算 在行列式的计算中,遇见两条线型的行列的情况很多, 对于形如 ， ， 的两条线型行列式，我们的计算方法是先展开看看该行列式能否可以 降阶,化为三角或次三角行列式,由三角行列式的计算性质算出该类行列式. 例1 计算n 阶行列式 1 2 1 1 n n n n n a b a b D a b b a --= . 分析:本题中所给的行列式,我们先观察一下行列式的元素间的规律,显然,这是一个两条线型的行列式,根据行列式的性质,把行列式按第一行或第一列展开得到两个三角行列式,由三角行列式的性质即可算出该行列式. 解: 按第1列展开得 2 212 211 1 11 1 (1)n n n n n n n n a b b a b D a b a b a a b +----=+- 11212(1)n n n a a a b b b +=+- 总结:由该题的分析与解答过程,易得出解两条线型行列式的规律:按某一(列)展开,化简为三角行列式或次三角行列式,再根据三角行列式的计算方法求出所给的行列式. 4.3 箭形行列式的计算 在平时所遇见的行列式中, 有许多形如 ， 的箭形行列式, 这类行列 式不易下手,得想办法化简,从行列式的相关性质和定理上入手.这样的行列式成箭形,只要我们把一边消去就能转化为三角或次三角行列式,从而就能用相关三角行列式的计算性质去计算该类行列式了. 例2 计算n+1阶行列式 01121111 00 1 001 n n a a D a a += 12(0)n a a a ≠ 分析:题中所给的n+1阶行列式，显然是一个箭形行列式，对于这样的行列式，得相办法变为三角或次三角行列式，把每一列的i a 1 倍加到第一列即可得到一个三角行列式，本题即可算出. 解：把每一列的（i a 1 - ）加到第一列，得 )1(1 01 ∑ ∏==-=n i i i n i a a a 总结:对于箭形行列式的计算,可以直接利用行列式性质化为三角或次三角行列式来计算,即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零. 4.4 三对角行列式的计算 对于形如 的三对角行列式,. 计算就比较复杂一点了,因为这样的行列式 要想办法消去主对角线外的两条线上的元素,这样一来计算量上就比较大了,但 是在展开的过程中,我们易发现,在展开的过程中会得到一个递推公式,从代数方面的角度出发,就能解出这样的行列式. 例3 计算n 阶“三对角”行列式 D n = 0001 00010 00 1αβ αβαβ αβαβ αβ +++ ＋ 分析:把该行列式展开,我们会发现,逐渐展开后得到一个递推公式,根据递推公式的特点,应用相关的代数方法,即可求出行列式的值. 解: 把行列式展开,得到 D n 1= 按c 展开 ()αβ+D 1-n — (1) 000 010 00 1n αβ αβ αβαβ -++ 1= 按r 展开 ()αβ+D 1-n －αβD 2-n 即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα--- 递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα--- ＝ ＝221()n D D βα-- 而 1()D αβ=+，2D ＝ β +α1 αββ+α＝22ααββ++， 代入得 1n n n D D αβ--= 1n n n D D αβ-=+ 由递推公式得 1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++ ＝α 2 D 2-n ＋1n n αββ-+＝ ＝n α＋1n αβ-＋ ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ11 1≠?? ? ??++++n n n 总结:对于三对角线行列式的计算,可直接展开得到两项的递推关系 21--+=n n n D D D βα,然后根据递推关系的特点采用相应的一些代数方法去求解 出行列式. 4.5 Hessenberg 型行列式的计算 对于形如 ， 的行列式,我们叫做Hessenberg 型行列式，这类行列式 类似于箭形行列式,但差别又有一定的差别.对于这类行列式可直接展开得到递推公式，也可以利用行列式性质化简并降阶. 例4 计算N 阶行列式 分析:对于该行列式,将每一列都加到第N 列,能化为三角行列式,即可算出该行列式. 解:将第1,2,…，n-1列加到第n 列，得 总结:对于Hessenberg型行列式的计算,可直接展开得到递推公式,根据递推公式的特点从代数方面即可算出,也可利用行列式性质化简并降阶,利用三角行列式或次三角行列式的性质计算. 4.6 行（列）和相等的行列式的计算 在平时的行列式计算中,行(列)和相等的行列式不在少数,也是行列式计算中的一个难点.对于这样的行列式,我们就可以很好的去利用它的这个行(列)和相等的特点了,把每一行(列)都加到一行(列),再提出公因式,这样就能出现大量的零或1的行列式,从而利用行列式的相关性质就能算出该类行列式了. 例5 计算行列式 . 分析:因为第行(例)的和都相等,所以把每一列都加到第一列利用行列式的性质提出公因式,把每一行都减去第一行即可行到三角行列式,根据三角行列式的性质即可算出该行列式. 解: 把每一列都加到第一列提出公因式得 总结:对于各行（列）这和相等的行列式，将其各列（或行）加到第1列（或行）或第N 列（或行），然后再利用行列式的性质,化为三(或次三角)行列式,根据行列式的性质计算出行列式的值. 4.7 相邻行（列）元素差1的行列式的计算 计算完行(列)和相等的行列式,现在来看一下行(列)元素差1的行列式的计算.同样,这样的行列式他们的行(列)元素差1,我们可以利用它的这一特点,每一行(列)递减,得到大量元素是1的行列式,进一步运用行列式的性质就能很好的解出这类行列式了. 例6 计算元素满足j i a ij -=的N 阶行列式n D . 分析: 根据题设写出N 阶行列式 这是相邻两行(列)元素差1的行列式,用前行减去后行可出现大量元素为1或-1的行列式,进一步化为三角行列式,即可算出该行列式. 解:前行（列）减去后行（列）,得 ( = 总结:以数字1,2,…，n 为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差1的N 阶行列式可以如下计算：自第1行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或自第N 行（列）开始，后行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为1或-1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素.对于相邻两行（列）元素相差倍 数K 的行列式,采用前行（列）减去后行（列）的-K 倍,或后行（列）减去前行（列）得-K 倍的步骤,即可使行列式中出现大量的零元素. 4.8 范德蒙型行列式的计算 范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,在行列式的计算中,如果有这 样特点的行列式或类似的行列式,我们就可以想办法与范德蒙行列式联系起来,利用行列式的计算方法去计算了. 首先,先来回顾一下范德蒙行列式的一些定义和性质.可参见文献[17]. 范德蒙行列式 1 2 2221 2 1222121111 2 111()n n n i j j i n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x ≤<≤------= = -∏ 即等于这N 个数的所有可能的差 的乘积. 例7 计算行列式 1 222212222121 2 111n n n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x ---= (1) 分析:和范德蒙行列式相比较,发现本行列式缺少n-2次幂行,所以我们能补成范德蒙行列式,利用范德蒙行列式就能求出了. 解：比较范德蒙行列式，缺少2n -次幂行，所以应补之．于是考察1n +阶范德蒙行列式 1 2 22221 2 1111121 2 1 1111()n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x f x x x x x x x x x ----+= (2) 121()()() ()n i j j i n x x x x x x x x ≤<≤=----∏ 视x 文字，一方面，由（1）知n D 是行列式()f x 中元素1n x -的余子式.1n n M +，即： 1,1,1,1(1)n n n n n n n n n D M A A +++++==-=- 于是将()f x 按其第1n +列展开可得()f x 中1n x -的系数为n D -． 另一方面，从()f x 的表达式（2）及根与系数的关系知，()f x 中1n x -的系数为： 121() ().n i j j i n x x x x x ≤<≤-+++-∏ 所以 121()() n n i j j i n D x x x x x ≤<≤-=-+++-∏ 所以 121() ()n n i j j i n D x x x x x ≤<≤=+++-∏ 总结: 范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,因此遇到具有逐行（或列）元素言幂递增或递减的范德蒙行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值. 5 结论 5.1 主要发现 行列式的计算是高等代数和线性代数里面的一个重难点之一,在平时的考式计算中,灵活多变,有较大的难度,特别是对于特殊N阶行列式的计算,这类行列式的计算技巧性非常大,在我们掌握这些技巧和计算方法之前,对于这些行列式的计算有相当大的难度. 5.2 启示和意义 在行列式的计算中,特别是对于特殊N阶行列式的计算,有一定的技巧性.从特殊到一般,能把各种特殊行列式的计算技巧融会贯通,领悟渗透,那么在将来的行列式计算中将会取得事半功倍的效果. 特别是学生在平时的学习中,应熟悉行列式的一些计算方法,达到举一反三. 掌握了这几类特殊行列式的计算方法,并将其融会贯通后,那么行列式的计算问题将能够迎刃而解，尤其在计算N阶行列式时，能做到思路清晰，计算上快速，准确. 5.3 局限性 本文只介绍了几类特殊N阶行列式的计算方法与技巧,对于一般普通行列式的计算还有待补充和完善,特别对于像行列式这样题型多变的计算部分更需进一步的探讨与研究. 5.4 努力方向 行列式的计算方法多种多样,而行列式也是变化繁多,并不是短时间内学习就可以掌握的,需要长时间的积累探讨,除了本文介绍的这几类特殊N阶行列式外，对于一般普通的行列式的计算也应该归纳总结出相关的计算方法与技巧. 参考文献 [1] 陈治中.线性代数[M].北京:科学出出版社,2009:6-23. 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[18] 贾冠军.行列式计算方法研究[J].菏泽师专学报,1999,第21卷第2期:61-65. 曲靖师范学院 本科生毕业论文论文题目: 几类特殊N阶行列式的计算 作者、学号：周松2009111209 学院、年级：数学与信息科学学院2009级 学科、专业：数学数学与应用数学 指导教师：程毕陶 完成日期：2013年5月20日 曲靖师范学院教务处 曲靖师范学院 本论文（设计）经答辩小组全体成员审查，确认符合曲靖师范学院本科(学士学位)毕业论文（设计）质量要求。 答辩小组签名 答辩日期：2013年5月22日 原创性声明 本人声明：所呈交的论文（设计）是本人在指导教师指导下进行的研究工作成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文（设计）中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所作的任何贡献已在论文（设计）中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期：。 论文（设计）使用授权说明 本论文（设计）作者完全了解曲靖师范学院有关保留、使用毕业(学位)论文（设计）的规定，即学校有权保留论文（设计）及送交论文（设计）复印件，允许论文（设计）被查阅和借阅；学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。 签名：指导教师签名：日期：。 几类特殊N阶行列式的计算 摘要 行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一,在数学和现实生活中有着广泛的应用,如在解析几何,代数式中的理论应用和在工程和建设、经济管理中的实践应用等．如何计算行列式显得优为重要．而大多行列式的计算特别是N阶行列式的计算，在平时的计算和考试中即费时又很难抓住解题的技巧，特别是在考试中容易出现思维短路，解不出题或解题效率不高．本文从几类特殊的N阶行列式入手,归纳了行列式的常用计算方法,根据行列式的特点为选择行列式的计算方法．在平时的N阶行列式的计算中,希望从本文的几类特殊行列式的计算中,归纳总结出一些行列式计算的方法技巧，使计算方便、简洁. 关键词：N阶行列式；行列式；计算方法 n 阶行列式的计算方法 徐亮 （西北师大学数信学院数学系 ， 730070 ） 摘 要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运． 关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1． 定义法 应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法． 根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ． 三阶行列式 称左式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。 目录 1 基本概念 2 计算方法 1 基本概念 2 计算方法 1 基本概念 对于三元线性方程组，如上图利用加减消元法，为了容易记住其求解公式，但要记住这个求解公式是很困难的，因此引入三阶行列式的概念。 记称上式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。 2 计算方法 标准方法是在已给行列式的右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的三个对角线上的数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。 例如 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 结果为a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1(注意对角线就容易记住了）这里一共是六项相加减，整理下可以这么记： a1(b2·c3-b3·c2) + a2(b3·c1-b1·c3) + a3(b1·c2-b2·c1) 此时可以记住为： a1*a1的代数余子式+a2*a2的代数余子式+a3*+a3的代数余子式 某个数的代数余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。 行列式的每一项要求：不同行不同列的数字相乘 如选了a1则与其相乘的数只能在2，3行2，3列中找，（即在b2 b3 中找） c2 c3 而a1(b2·c3-b3·c2)+a2(b1·c3-b3·c1)+a3(b1·c2-b2·c1)是用了行列式展开运算：即行列式等于它每行的每一个数乘以它的代数余子式之和某个数的代数余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。 网上搜集的计算行列式方法总结, 还算可以. 计算n 阶行列式的若干方法举例 闵 兰 摘 要：《线性代数》是理工科大学学生的一门必修基础数学课程。行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。计算n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。 关键词：n 阶行列式 计算方法 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 00100200 10 000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 1122 11!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足 ,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明 由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即 0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 例3 计算n 阶行列式 a b b b b a b b D b b a b b b b a = 计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 0100200 1000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 计算n 阶行列式的若干方法举例 1．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 2．化为三角形行列式 例2 计算n 阶行列式123123 1 23 1 2 3 1111n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++． 解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1． [][]()()()()()()122323122 3231223231122 3 2 3 211 12, ,2,,11 111 1 1111 1111 11 1n n n n n n n n n i n i n n n n i i i i i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==+++ +++++++??+++++=++ ??? +++ +++?? + ??? ∑∑3110100 111 . 00100 1 n n n i i i i a a a ==?? =+=+ ??? ∑∑ 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1定义法 (1) 2利用行列式的性质 (23) 化三角形行列式 (3) 4行列式按一行（列）展开 (4) 5 升阶法 (5) 6 递推法 (6) 7 范德蒙德行列式 (7) 8 拉普拉斯定理 (7) 9 析因法 (8) 小结 (10) 参考文献 (11) n阶行列式的计算方法 学生姓名:孙中文学号：20120401217 数学与计算机科学系数学与应用数学专业 指导老师:王改霞职称：讲师 摘要：行列式是高等代数中最基本也是最重要的内容之一，是高等代数学习中的一个难点.本文主要探讨一般n阶行列式的计算方法和一些特殊的行列式求值方法.如：化三角形法、拉普拉斯定理法、升阶法等.总结了每种方法的行列式特征. 关键词：行列式；定义；计算方法 Abstract: Determinant is one of higher algebra the most fundamental and important content, is a difficult point in Higher Algebra Learning. This paper mainly discusses the general order determinant of calculation method and some special determinant evaluation method. Such as: triangle method, method of Laplace theorem, ascending order method. This paper summarizes the determinant of the characteristics of each method. Keywords: Determinant ;Definition ;Calculation method 引言 行列式是高等代数的一个非常重要的内容，同时它也是非常复杂的.它的计算方法多种多样.在我们本科学习中只解决了一些基本的有规律的行列式.当遇到低阶行列式时，我们可以根据行列式的性质及其定义便能计算得出结果.但对于一些阶数较大的n阶行列式来说，用定义法就行不通了，本文根据各行列式的特征总结了一些对应方法. 1定义法 n阶行列式计算的定义： n阶行列式的计算方法 姓名： 学号： 学院： 专业： 指导老师： 完成时间： n阶行列式的计算方法 【摘要】 本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了几种计算行列式的常用方法。例如：利用行列式定义直接计算法，根据行列式性质化为三角形列式法，按一行（列）展开以及利用已知公式法，数学归纳法与递推法，加边法，利用多项式性质法，拉普拉斯定理的应用。但这几种方法之间不是相互独立，而是相互联系的.一个行列式可能有几种解法，或者在同一个行列式的计算中将同时用到几种方法以简便计算。这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化。 【关键词】 n阶行列式行列式的性质数学归纳法递推法加边法 Some methods of an n-order determinant calculation 【Abstract】In this paper, considering the characteristics of determinant, it provides several commonly used methods to calculate the determinant by applying the properties of the determinant . For example ：The direct method of calculation by using the determinant definition . The method of changing the determinant into a triangular determinant According to the properties of the determinant. The method of expanding the determinant by line (column) .using the known formula , the mathematical induction, recursive Method , adding the edge method, using the properties of polynomial , the application of Laplace theorem. These methods are not independent of each other ,but interrelated. There is probably that a determinant has several solutions, or in the calculation of the same determinant there will be used several methods to calculate simply. This requires us to grasp several solution of the determinant，and to find the easiest ways after, so simplify complex issues . 【Key words】n-order determinant the property of the determinant the mathematical induction adding the edge method n 阶行列式的计算方法 1．利用对角线法则 “对角线法则”： （1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含 2 项，三阶行列式每项含 3 项，每项均为不同行、不同列的元素 的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。 例 1 计算二阶行列式 D = 1 3 。 2 4 解： D = 1 3 = 1? 4 ? 3 ? 2 = ?2 2 4 例 2 计算三阶行列式 D = 1 2 0 4 ? 3 8 。 0 ?1 2 解： D = 1 2 0 4 ? 3 8 = 1? (?3) ? 2 + 2 ? 8 ? 0 + 0 ? 4 ? (?1) ? 0 ? (?3) ? 0 ? 2 ? 4 ? 2 ?1? 8 ? (?1) 0 ?1 2 = ?14 2．利用 n 阶行列式的定义 a 11 a 12 ? a 1 n n 阶行列式 D = a 21 a 22 ? a 2 n =∑ (?1) τ a 1 p 1 a 2 p 2 ? a np n ? ? ? ( p 1 p 2 ? p n ) a n 1 a n 2 ?a nn 其中 τ = τ( p 1 p 2 ? p n ) ， 求和式中共有 n ! 项。 显然有 a 11 a 12 ? a 1 n 上三角形行列式 D = a 22 ?a 2 n = a 11 a 22 ? a nn ? ? a nn a 11 下三角形行列式 D = a 21 a 22 ? = a 11 a 22 ? a nn ? ? a n 1 a n 2 ?a nn 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序） 特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上(下)三角行列式、对角行列式(教材P7例5、例6) 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1 221222,11,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 0000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L L L L M M M M M M M M M N L L L L 3. 分块行列式(教材P14例10) 一般化结果: 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????= =? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????= =-? 4. 范德蒙行列式(教材P18例12) 注:4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 (教材P2、P3) 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式; 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式; 3) 利用行列式的行(列)扩展定理以及行列式的性质,将行列式降阶进行计算— —适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素,并且非零元素的代数余子式很容易计算; 4) 递推法或数学归纳法; 5) 升阶法(又称加边法) n 阶行列式的若干计算方法 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例计算行列式00100200 1000000n D n n =-L L M M M M L L 解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式，证明：奇 数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=， 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式 -! 行列式的若干计算技巧与方法 内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 2.1 定义法 2.2 利用行列式的性质 2.3 降阶法 2.4 升阶法（加边法） 2.5 数学归纳法 2.6 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 3.1 拆行（列）法 3.2 构造法 3.3 特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 4.1 三角形行列式 4.2 “爪”字型行列式 4.3 “么”字型行列式 4.4 “两线”型行列式 4.5 “三对角”型行列式 4.6 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 5.1 降阶法和递推法 5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 5.3 构造法和套用范德蒙德行列式 1.2 行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11 =0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即 密级： JINING UNIVERSITY 学士学位论文 THESIS OF BACHELOR 题目n阶行列式的计算方法与技巧 系别：数学系 专业年级： 学生姓名：学号： 指导教师：职称： 起讫日期： 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 引言 (1) 1 利用行列式定义直接计算 (2) 1.1 利用定义计算的条件 (2) 1.2 对定义计算的举例应用 (2) 2 化三角形法 (2) 2.1 化三角形方法的运用条件 (2) 2.2 化三角形方法举例应用 (2) 3 按行（列）展开法（降阶法） (3) 3.1 降阶法法的运用条件 (3) 3.2 降阶法方法举例应用 (3) 4 归一法 (4) 4.1 归一法的运用条件 (4) 4.2 归一法举例应用 (4) 5 加边法（升阶法） (5) 5.1 加边法的运用条件 (5) 5.2 加边法举例应用 (5) 6 递推法 (6) 6.1 递推法的运用条件 (6) 6.2 递推法举例应用 (6) 7 利用范德蒙行列式 (6) 7.1 范德蒙行列式 (6) 7.2 范德蒙行列式方法举例应用 (7) 8 数学归纳法 (7) 8.1 数学归纳法的运用条件 (7) 8.2 数学归纳法举例应用 (7) 9 利用拉普拉斯定理 (8) 9.2 拉普拉斯定理 (8) 9.2 拉普拉斯定理方法举例应用 (8) 10 拆行（列）法 (9) 10.1 拆行（列）法的运用条件 (9) 10.2 拆行（列）法举例应用 (9) 11 析因法 (10) 11.1 析因法的运用条件 (10) 11.2 析因法举例应用及分析 (10) 12 利用矩阵行列式公式 (11) 12.1 引理一及其证明 (12) 12.2 利用矩阵行列式公式方法举例应用 (13) 13 论文总结 (13) 致谢 (14) 参考文献 (14) 计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 0100 200 100 0n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 1122 11!n n n n n a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质T A A =，1213112 23213 23312300 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-1213112 23213 23312300(1) 00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式 行列式的若干计算技巧与方法 目录 摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法．本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法．如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及Vandermonde行列式、“两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式．并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征． (1) 摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法．本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法．如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及Vandermonde 行列式、“两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式．并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征． 关键词：行列式 计算方法 1．行列式的概念及性质 1.1 n 阶行列式的定义 我们知道，二、三阶行列式的定义如下： 22 21 1211a a a a =21122211a a a a -， =33 32 31 232221131211a a a a a a a a a . 312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 从二、三阶行列式的内在规律引出n 阶行列式的定义． 设有2n 个数，排成n 行n 列的数表 nn n n n n a a a a a a a a a 2122221 11211， 即n 阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的n阶行列式的计算方法
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