No. C2000015
2000-10
经济混沌和经济波动的 非线性动力学理论
陈平
北大中国经济研究中心 美国得克萨斯大学
普利高津统计力学和复杂系统研究中心 NO.C2000015 2000 年 10 月
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经济混沌和经济波动的非线性动力学理论
陈平
北大中国经济研究中心 中国北京大学北大中国经济研究中心，100871
Email: pchen@https://www.doczj.com/doc/7b2760075.html,
美国得克萨斯大学 普利高津统计力学和复杂系统研究中心
I．为什么要研究经济混沌
（1．1）什么是决定论混沌？ 在研究经济混沌之前，先得了解什么是决定论混沌
(deterministic chaos 简称为混沌)。读者可参考理论物理所的郝柏林 教授编的权威文集: 混沌 II (Hao 1990).
牛顿力学对动力学机制的研究主要基于线性谐振子模型，其主 要的运动特征是产生等幅的周期振荡。周期运动的研究在科学和 工程上获得广泛的应用。分析周期运动的主要方法是频譜分析。
统计物理和信息论对随机过程的研究发展了线性白噪声模型， 其主要的特征是产生振幅无规则，时间序列不相关的无序扰动。对 短程相关的色噪声可以用线性迭加的白噪声信号来描写。例如， 经济学家常用的色噪声模型是线性随机的自回归(AR)模型。分析 随机运动的主要方法是相关分析，噪声运动的研究在工程和经济 学中有重要的应用。
人们一度以为，只有随机过程才能产生不规则运动，但廿十世 纪七、八十年代间对决定论混沌的突破性研究发现：非线性的低
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维（变量数不多的）决定论系统也会产生振幅貌似无规、但周期 结构复杂的动力学行为。所以“混沌”的其他提法又叫“复杂周 期”，“非线性振子”。和无序噪声相比，混沌是更高层次的动 力学的复杂结构。混沌现象的理论和实验研究在物理学、化学、 生物学、天体物理、气象学以及神经生理学等广泛领域获得重要 进展，但在经济学中遇到严重困难。
（1．2）研究经济混沌的意义和困难 在现实世界中，非线性现象远比线性现象广泛，经济问题更是
这样。但是经济混沌的研究遇到双重的困难。 在理论上，经典和量子力学的框架都可以包容非线性的混沌机
制，但微观经济学的公理体系的凸性函数要求，却排除了混沌机 制存在的余地。计量经济学家多数怀疑强噪声下混沌存在的可能 性。数理经济学和计量经济学偏爱离散时间的差分方程，又使多 数经济学家只考虑白混沌模型，而忽视色混沌模型应用的可能 （Benhabib 1992）。色混沌在这里指连续时间的非线性振子。“色” 指一个有主峰而非平坦（白色）的频谱。
在经验分析上，经济混沌的探测有三重困难：其一，非线性分 析方法要求大量噪声水平很低的数据，经济数据不但短，而且噪 声水平很高；其二，经济观察和天文观察类似，难以做可控制可 重复的实验来验证特定的理论模型；更难的是，经济活动是人的 行为，动力学系统的时间尺度和观察者相近。所以经济主体和经 济结构随时间的演变难以忽略。时间序列的非稳态性质使目前常 用的稳态时间序列分析方法难以应用。这是为什么经济混沌的研 究比自然科学更为困难。
我们重点研究宏观经济运动，因为发达国家的市场经济周期的 观察积累了大量数据(Zarnowitz, 1992)。。我们在 1985 年首先从 美国货币指数中发现经济混沌的经验证据，建立描写复杂经济波 动的软边界振子模型 (Chen 1988)。我们在 1994 年进一步找到将 经济增长和波动分解，将噪声和信号分解研究的有效方法，从而 在各种代表性的美国宏观经济指数中发现经济混沌的普遍证据
3
(Chen 1996a,b)。由于目前中国的经济统计数据的收集和整理还不 够充分，我们的例证主要取之于美国的数据。但其可能的应用对 中国问题同样有潜在的可能。
我们在这篇短文中简要介绍我们在非线性宏观经济波动理论中 的进展。(Hao 1990)读者可以参考作者最近出版的论文集（陈平 著, 文明分岔、经济混沌、和演化经济学，经济科学出版社， 北 京 2000 年版），以作近一步的了解。
II．经济混沌的理论模型 我们应当注意，测量和理论是不可分割的。哪怕简单的测量都
阴含着某种数理模型。所以，我们在讨论经济混沌的经验观测前， 必须首先审阅可能存在的混沌模型。
经济学界首先引进的是最简单的离散时间的混沌模型 (Benhabib 1992)，例如一维非线性差分方程的逻辑斯蒂(logistic) 增长模型(Day 1982, Grandmont, 1985)和二维非线性差分方程的 Henon 模型（Benhabib 1980）。差分方程的数学分析相对简单。 其时间序列的频譜类似白噪声，我们称它们为“白混沌”模型。 白混沌模型在经验分析上难以应用，因为它的内生周期固定为 1。 在实际经济观测中，很难找到对应的例子。
经济学界稍后引进的是连续时间维数至少三维的非线性常微分 方程组的混沌模型，例如 R?ssler 模型 (R?ssler 1976, Sterman 1985), 其时间序列的频譜类似色噪声，在噪声背景上出现窄带的尖峰信 号，我们称之为“色混沌”模型。混合时间的差分-微分方程也能 产生色混沌信号。其不同之处在于其动力学行为更为复杂。因为 宏观经济波动的公认周期在 2-10 年左右，所以我们重点区分的 对象是色噪声和色混沌摸型。
我们先介绍产生噪声和混沌现象的主要模型，然后把它们的图 象展示于下，给读者一些直观的了解。
(a) AR(2)色噪声模型 - 离散时间的 1 维线性差分方程
4
X (t) ? a1 X (t ?1) ? a2 X (t ? 2) ? c ? ? 2 W (t)
这里，白噪声 W(t) 的定义是：
(2.1)
? W (t) ?? 0 和
? W (t)W (? ) ?? ? (t ?? )
(2.2)
对 1947-1992 年间美国真实国内生产总值季度的对数时间序列 可以用下述 AR(2)模型来模拟：
X (t) ? 1.18 X (t ?1) ? 0.37X (t ? 2) ? 0.0027 ? 0.0086W (t) (2.3)
（b）Logistic 白混沌模型 - 离散时间的 1 维非线性差分方程
X (t ?1) ? 4 X (t) [1? X (t)]
(2.4)
(c)R?ssler 色混沌模型 - 连续时间的 3 维非线性常微分方程 组
dX (t) ? ?Y ? Z dt
dY (t) ? X ? 0.2Y dt
dZ (t) ? 0.2 ? 5.7Z ? XZ dt
(2.5)
三者产生的时间序列见图 1，它们的相关函数见图 2，它们的 相图见图 3。
5
图1.时间序列对应的模型的解的比较。其时 间单位是任意的。
(a) AR(2) 模型；(b) Logistic 模型； (c) R?ssler 模型。
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表面看来，只要给定适当的尺度来标度实际的时间序列，它们 都可用来描述经济波动。进一步的检验将揭开它们之间的动力学 差别。
图2.比较三个模型解的自相关函数, 数据点为1000。 时间单位和图1同。 我们已知道周期运动的自相关函数表现出周期特征，白噪声的 自相关函数则是一个急剧衰减的 delta 函数。AR(2)过程的自相关 序列很快衰减为微小的扰动; Logistic 白混沌的自相关序列看起 来与白噪声一样; R?ssler 表现出指数衰减的周期振荡，
7
8
图3.三种模型的相图 X(t+T) 对 X(t), 点数 N=1000。 (a) AR(2) 模 型 ,T=20; (b) Logistic 模 型 ， T=1;(c) R?ssler 模型，T=1, ?t=0.05。
相图为 X(t+T) 对 X(t)的二维相空间，给时间序列画出清楚的动 力学图象。对存在不动点解的动力学系统，只需相空间中的 1 点 （零维吸引子）来表示。周期解的相图是一个闭环（1 维吸引子）．图 3 表示了三种模型的相图：色噪声、白混沌、和色混沌。图 3a 中 近乎均匀分布的云状点图十分接近于白噪声的相图．图 3b 中的拱 形图象是一维单峰的白混沌的特征。图 3c 中的螺旋形相图是典型 的分维奇怪吸引子(strange attractor)，它的游走轨迹不同于周期性 循环。图 4 给出 R?ssler 奇怪吸引子在 3 维空间中显示的复杂周 期运动。其振幅大小和周期长短都不唯一，但也不发散。这是奇 怪吸引子的特征。
Z 30
Rossler Attractor
20
10
10
0 -10
0
0
-10
10 20 -20 Y
X
图 4。R?ssler 奇怪吸引子在 3 维空间的复杂周期运动。
这里简单介绍几个数学名词。我们知道，通常的几何体，面积 是边长的二次方，体积是通常的几何体面积是边长的三次方，推
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广到高维空间，体积是边长的整数次方。但分形几何中体积和边 长的指数关系是分数而非整数(Mandelbrot, 1977)。例如，Logistic 奇怪吸引子的分维小于 1， 而 R?ssler 奇怪吸引子的分维就在 2 和 3 之间。
III．经济混沌的经验观测
(3.1) 分解宏观经济指数中的经济增长趋势和经济波动分量 工业化经济运动最显著的特征是，大多数宏观经济指标表现为 不断的增长趋势迭加上复杂的波动。数学模型对简单的增长过程 和稳态的波动过程有简单的数学模型。所以我们分析宏观经济的 通用方法，是将宏观经济指数分解为经济增长趋势和经济波动两 个分量。计量经济学的提法是时间序列的趋势消解(detrending)。 计量经济学中长用的趋势消解法有三种：一阶差分滤波器 FD （first - differencing）, 对数线性趋势滤波器 LLD（log linear – detrending）, 和 HP(Hodrick-Prescott)滤波器 (Hodrick and Prescott 1981)，三者的差别在时间窗户的长短 (Chen 1988, 1996a,b)。 假设原始的经济时间序列为 S(t)，宏观计量的数据处理惯例将 时间序列都作对数变换，得到的时间序列为 L(t)，则 L(t)中的增 长趋势 G(t) C(t)的常用办法是： （a）一阶差分法，等价于对数化了的百分增长率：
X
FD
(t)
?
L(t
?
1)
?
L(t)
?
ln[
S(t ? 1) S (t )
]
(3.1)
（b）对数线性趋势法，先用线性回归法取对数线性趋势，它 等价于指数固定的增长趋势。
GLLD (t) ? k0 ? k1 t, X LLD (t) ? L(t) ? GLLD (t) ? ln [S(t)] ? GLLD (t)
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(3.2a)
S(t) ? S0 exp{k1t) exp[ X LLD (t) ], S0 ? exp( k0 )
(3.2b)
即
S(t) = S0 exp ( k1 t)
(3.2c)
exp ( X(t) )
(c) HP 滤波器是 L(t) 的一个线性变换, 它从原始不光滑的时间序 列{L(t)}找出一个光滑的时间序列{G(t)}，算法是让下述目标函数 的极小化，对月度数据的滤波参数 ??为 1600：
N
N
?[L(t) ? G(t)]2 ? ? ?{[G(t ? 1) ? G(t)] ?[G(t) ? G(t ?1) ] }2
t ?1
t ?1
(3.3a)
X HP (t) ? L(t) ? G(t)
(3.3b)
我们对宏观经济指数分析的重点是趋势消解之后的波动分量，
计量经济学叫残差。我们将看到
X
FD
(t
)
?
ln[
S
(t ? 1) S (t )
]
的主要成分是
色噪声、多数宏观指数其 X HP (t) 的主要成分是色混沌，少数宏观 指数其 X LLD (t) 的主要成分是色混沌信号。
按照信号处理理论的时频测不准原理，时间和频率不能同时测
准。时间上的更高分辨率是以牺牲频率的分辨率为代价的。这三
种趋势消解法以 FD 的时间窗户最短，仅一个数据记录的时间单
位。例如，对月度数据而言，其时间窗户为 1 个月。LLD 的时间
窗户最长，为整个时间序列的长度；在我们下面的股市指数中，
LLD 的时间窗户为 45 年。HP 滤波器的时间窗户约为 8 年。计
量经济学家和金融经济学家偏爱 FD 表象，因为它产生的时间序列
看来近于随机过程，和均衡经济学的有效市场理论的信念比较接
近。宏观经济学家偏爱 LLD 表象，因为 LLD 的对数线性趋势等价
于固定指数增长的长期趋势，和新古典增长理论的预言接近。真
实经济周期学派偏爱 HP 表象，因为他们试图综合经济增长理论
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和经济周期理论：一方面让长期的（非线性）平滑趋势能逼近对 数线性趋势，另一方面又使分离出来的波动分量处于商界公认的 商业周期的范围（2-10 年）之内。我们对宏观经济指数的广泛研 究表明，只有 HP 表象下的波动分量有可靠的色混沌证据。我们 下面用最重要的经济周期超前预报指数 – 美国股市 500 家大企 业股价的的价值加权指数，即标准-普尔指数(Standard & Poor 500 Index, 简称为 S&P 500) FSPCOM 月度指数（股票指数）做例证。 图 5 显示了三种观测参考系（趋势消解法）下的动态模式。
log S(t)
5.5 5
4.5 4
3.5 3
2.5 19 45
Trends of FSPCOMln Inde x
l og S(t) HPs l og-l in ear trend
19 55
19 65
19 75
t
19 85
19 95
(a) G(t){=log S(t)}的 HP 趋势 和 LLD 线性对数趋 势.LLDc = X LLD (t) ，波动分量是指从线性对数趋势消去方 法获得的残差。
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X(t)
0.6 0.4 0.2
0 -0.2 -0.4 -0.6
19 45
Cycles of FSPCOMln Index
HPc FD LL Dc
19 55
19 65
19 75
t
19 85
19 95
(b)三种消除趋势的参考系下得到的波动分量 X FD (t) ? FD ， X HP (t) ? HPc ，
X LLD (t) ? LLDc .
Autocorre lations of FSPCOMln Cycles
1
HPc
0.6
FD
LL D
0.2
AC(I)
-0.2
-0.6
-1
0
20
40
60
80
10 0
I
(c). 三种消除趋势后波动分量的自相关函数。注意
观察到的相关长度取决于消除趋势的参照系。
图 5. ESPCOM 标准普尔股市月度指数对数序列 (1947-92)不同的趋势消解法(FD, HP, LLD) 和波动分量 的涨落类型(N=552)。
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从图 5 我们可以发现相关系数和方差的大小同模式取决于作为 参照系的趋势的选取方法。消除趋势的不同方法所观测到的经济 波动的性质差异很大。FD 观测者得到的波动方差最小，相关周期 最短，仅约 8 个月。LLD 观测者得到的波动方差最大，相关周期最 长，接近于 29 年。用 HP 方法得到的结果介于两者之间，约为 3 年。
(3．2)在时频空间中分离随机噪声和决定论周期 我们引入时间频率分析来分析非稳态时间序列(Qian and Chen 1996)。在二维的离散的时间－频率空间的时变滤波器可以比通常 的线性滤波器更有效地分离噪声和周期信号。二维时频空间的基 函数是由高斯函数调制的谐振波包。图6给出原始和滤波后的HP波 动分量。图7的相图显示了滤过的HP波动分量具有决定论的模式特 征。
4 2
X(t) 0
滤过的和原始的HP周期
Xo Xg
-2
图 6.
-4
1945
1955
1965
1975
1985
1995
t
滤过的 FSPCOM HP 周期 Xg 与未滤过的原始 HP 周期序列 Xo
十分接近。Xg 和 Xo 间的相关系数是 0.85。两者的标准差的比率是
82.8%。Xg 的分型相关维数(fractal correlation dimension)是
2.5。相关维数是分数而非整数，这是奇怪吸引子即决定论混沌
的典型特征。
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FSPCOM原始的HP周期
0.3
0.2
0.1
X(t +T) 0
-0.1
-0.2
-0.3 -0.3
(a).
-0.2 -0.1
0
0.1 0.2 0.3
X(t)
原始的 HP 周期的相图
FSP COM滤 过 的 HP周期
0.3
0.2
0.1
X(t +T) 0
-0.1
-0.2
-0.3 -0.3
(b).
-0.2 -0.1
0
0.1 0.2 0.3
X(t)
滤过的 HP 周期的相图
图 7. FSPCOM HP 的相图。时间滞后 T=60 个月。
滤过的 FSPCOM HP 波动分量的相图显示出决定论的螺旋模式。 这是色混沌的一个典型特征。用非线性动力学中的标准检验方法， 可以对滤过的时间序列给出决定论混沌存的其他证据。
(3.3)结构稳定性和市场韧性
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市场经济的结构稳定性很难用线性动力学的框架解释。例如， 线性加速－乘子模型的周期解和单位根模型中的持续冲击解只有 边际稳定性(Samuelson 1939, Nelson and Plosser 1982)。
萨缪尔森的线性加速－乘子模型的二阶差分方程是：
Yt ? a(1 ? b)Yt?1 ? abYt?2 ? G ? 0
它在参数空间的结构稳定性，可以参见图 8。
(3.4)
图 8.萨缪尔森线性加速乘子模型在参数空间中的稳定性 模式。（这里 Y 是收入）。ST 代表稳定解；DO 代表衰减 振荡；EO 代表发散振荡；EP 是发散解，PO 代表周期振 荡。
我们可以发现周期解 PO 处在在 DO 和 EO 的边界线上。参数空 间中对边界线的微小偏离将导致周期振荡蜕变为衰减或发散振 荡。经济计量学随机过程中的单位根模型，使所谓的持续冲击解 在单位圆上只有相似的边际稳定性。在线性模型中，结构性的不 稳定是普遍的基本问题。在真实世界中，市场经济在各种冲击下 都表现出很强的韧性。
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将图 9 的“软弹振子”（soft-bouncing oscillator）或“高 速公路模型” (Chen 1988)和图 8 的萨缪尔森模型相比，可以看出 参数空间的结构不稳定问题在非线性动力学模型中不复存在，这 也正是线性模型为什么应该被非线性模型代替的原因。
软弹振子的一阶延迟微分方程为：
dX (t)
?
aX (t)
? bX (t
??
)
X (t ?? )2
e ?[ ? 2 ]
dt
(3.5)。
(a) 方程(3.5)的参数空间。
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(b)(a)图 中方框区的放大。
图 9.非线性软弹振子模型在参数空间的稳定性模式。这里， ST 表示稳态解；C1、C2、C3 分别是周期 1、周期 2、和周期 3 的极限环解，CH 则为连续时间的色混沌解。(b)是(a)中 复杂周期 CP 区的局域放大图，不同周期的极限环和混沌区 域带交替出现。
我们经常可以观察到经济政策中存在着各种各样的非线性约 束：诸多经济活动如投资、货币控制和汇率都设有控制目标的上 限和下限。但上下限又是弹性而非硬性的。这种“软弹现象”在 经济行为中非常典型，类似于美国高速公路上的时速限制。用延 迟微分方程表示的软边界振子是一个比线性模型，包括协振子和 随机游走模型更好的描述经济周期的方法。非线性控制中的过度 反应(over-shooting) 和时间延迟是产生复杂经济周期的根源。
软弹振子的色混沌模型对持续波动和机制突变(regime switch) 给出一个统一的解释。由于每一种运动模式对应于参数空间中一
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个有限的范围，那么只要参数移动没有越出边界，在面临外部冲 击时，一种模式的稳定性是可以保持下去的。当参数空间中的参 数移动越界进入另外一种机制时，机制突变便会发生，即所谓的 量变到质变。
(3.4)色混沌、生物钟、和经济诊断 市场经济在内外不稳定冲击下的韧性，可以由色混沌的特征频
率稳定性来刻画。除了股市指数外，持续波动可以从 HP 滤波器 消除趋势之后的宏观总体指标的波动分量中广泛地观察到，包括 国内生产总值、国内投资、短期和长期利率、货币供给指数、货 币流通速度、消费者价格指数和失业率等。
在时频表象中可以定义特征频率或者相应的特征周期Pc。图10 显示在经济周期的范围内存在一个连续平稳的特征频率。它们的 特征周期的范围大致在3到5年之间，和 NBER（美国经济研究局） 界定的典型经济周期的时间尺度在同一量级。噪声在波动信号中 所占的比例约 20－50％。当然，并非所有的宏观经济指标的行为 都有类似于生物钟的稳定的特征周期。短期利率和外币汇率的噪 声成分很大；相比之下，长期利率的时间频率现出非常稳定的模 式。这些时频特点的发现对宏观经济研究有宝贵的参考价值。
20
15
Pc( yr) 10
特 征周期的 时间路 径 Pc(t)
FSPCOMhpc FSDXPh pc
5
0
1945
1955
1965
1975
1985
1995
t
图 10. FSPCOM HP 和 FSDXP HP 波动分量（标准
普尔的回报率）的特征周期的历史路径。
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经济指标特征频率的稳定性是非常显著的。频率的相对变异度 可以用其瞬时频率的标准差和瞬时频率的平均值之比来度量。大 多数指标的频率相对变异度都低于 50%。令人惊异的是，在面临 外在冲击和内在不稳定时大多数宏观指标的特征频率非常稳定， 可见市场的韧性是很显著的。FSPCOM 和 FSDXP 的 HP 波动分量的 平均特征周期分别是 3.6 和 3.5。它们的频率相对变异度，分别是 26 ％和 28 %。1987 年 10 月股票市场崩盘导致标准普尔指数在两 个月内幅度下跌 23%，但其特征周期仅变动 6％。
经济色混沌现象表明宏观经济波动更象生物钟而非色噪声。宏 观经济指数 HP 波动分量的时频演化图可以作为经济诊断的“听诊 器”- 判断经济剧烈变动的性质究竟是内生不稳定性还是外来冲 击所引起。
新古典经济学家们认为经济波动的模式都很相似，假如经济波 动都是由随机噪声驱动的。我们比较特征周期的历史路径，发现 不同宏观经济指数波动的模式并不一样。例如，投资消费的硬周 期和货币指数的软周期有明显的差异。宏观经济指数的时间频率 模式类似生物有机体，例如循环和消化系统的特征频率就不一样。
经济诊断可以帮助我们识别具体的频移原因，如 60 年代的军 备竞赛、70 年代的越南战争、80 年代的政策调整和其它的一些事 件，都可能造成经济波动的频移。这些频移模式对研究结构变化 提供了非常宝贵的信息。这为发展经济诊断和政策研究开拓了新 的途经。
我们用石油价格冲击和股票市场崩溃这两个自然实验证明，时 频表象显示的经济钟的有机图象比白噪声的无序图象揭示了更多 的结构性信息（图 11）。
1973年10月的石油价格冲击之前，股票市场指数的特征周期从 1971年后大致稳定在4.3年的水平上。石油价格冲击之后，HP周期 的特征周期缩短为3.9年。显然，石油价格冲击是导致股票市场频 率变化的外部原因。
对1987年10月的股票市场崩盘，情况就有所不同。在股市崩盘 前几个月，特征频率早就出现频移。在股票市场崩盘后引发的 FSPCOM 的周期变动有两个月的延滞。这使我们有理由推论：股票
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2.1 经济波动与经济周期理论 经济波动与经济周期的理论包括经济波动与经济周期的起因、作用机理与机制、作用周期性、作用形式、影响范围、治理措施等多个方面。归纳起来有如下几种： 2.1.1外生论 外生论强调经济体系外因素的变化导致经济系统要素发生相应变化，经济体制外生因素，如天体运行、气候变化、政治选举等的周期性，导致经济运行的周期性质。 外生论包括三种理论学说。一是由英国的经济学家W·S 杰文斯主张的太阳黑子周期理论。他经过观察与研究发现农业生产的周期与太阳黑子的周期很吻合，从而认为太阳黑子的周期影响地球气候的变化，进而影响到农业生产和经济周期。作为最早的经济周期理论，它对现代经济周期理论的研究有比较大的影响，也因此有的学者把外生因素造成的经济波动认为是“太阳黑子”因素型经济波动1。 二是诺德豪斯（Nordhaus 1975）主张的政治周期说。他建立了政府行为对经济周期产生影响的机会主义模型。模型假设行为人包括政治党派和投票人两类人，他们的目标不一样。政治党派力图使再次当选的预期值最大化，它利用短期内稳定的菲利普斯曲线作为其制定政策的基础，其政策的制定属于典型的机会主义行为。而全部投票人是一样的，他们都是希望通过投票使其效用最大化，其效用函数取决于失业率和通货膨胀率，假设投票人不知道失业率与通货膨胀率之间的菲利普斯关系，投票人只根据其达到预期与否来评估执政党的政治能力，即治理失业与通货膨胀的能力2。这种特殊的经济周期形成机制被很多党派与组织所利用，因此为理性的选民所不齿。同时这个理论也受到理性预期学派的攻击，因为理性预期学派的学者认为所有公开的或者精确预期的政策干预都会失败，政府不会这样来影响经济，即使它打算这样做（Michael P·Niemira 1994）。 1. Michael P·Niemira , Philip A·Klein著，邱东等译，《金融与经济周期预测》，中国统计出版社（北京），1998，P52； 2胡永刚，《当代西方经济周期理论》，上海财经大学出版社，2002.03，P244；
非线性电路中混沌现象的研究实验 长期以来人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动必然有一个确定的解析解。但是在自然界中相当多的情况下，非线性现象却有着非常大的作用。1963年美国气象学家Lorenz 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，这一现象只能用非线性动力学来解释。于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。从此,非线性动力学得到迅速发展,并成为有丰富内容的研究领域。该学科涉及到非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学,从数学到经济学等。混沌通常相应于不规则或非周期性,这是非由非线性系统产生的本实验将引导学生自已建立一个非线性电路。 【实验目的】 1.测量非线性单元电路的电流--电压特性,从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解。 2.学会测量非线性器件伏安特性的方法。 【实验仪器】 非线性电路混沌实验仪 【实验原理】 图1 非线性电路 图2 三段伏安特性曲线 1.非线性电路与非线性动力学： 实验电路如图1所示,图1中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件。电感器L 和电容器2C 组成一个损耗可以忽略的振荡回路:可变电阻21W W +和电容器1C 串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。图2所示的是该电阻的伏安特性曲线,从特性曲线显示加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。图1 电路的非线性动力学方程为： 11211Vc g )Vc Vc (G dt dVc C ?--?=L 2122 i )Vc Vc (G dt dVc C +-?=
第三章摆动力学的可视化描述 VISUALIZATION OF THE PENDULUMˊS DYNAMICS 3-0 摆的数学描述和计算机仿真： 3-1对初始条件的敏感性： 3-2 摆的相图和蓬加莱截面： 3-4 时间序列和功率谱 3-5 吸引盆: 3-6分岔图(Bifurcation diagrams) 3-0摆的数学描述和计算机仿真： 在这一节我们将讨论下面4个问题： 1、驱动摆（driven pendulum）的运动方程： 2、产生混沌运动条件。 3、参数改变对驱动摆运动发生的影响。 4、一个有趣的问题。 1、驱动摆的运动方程： 摆的运动是一个十分古老的问题。物理学、数学都作了大量的研究，但它仍然是最具魅
力的研究课题。 首先我们写出驱动摆（driven pendulum ，也叫做“强迫振动摆”）的运动方程： //sin cos d dt q g ωωθφ=--+ /d dt θω= （3-1） /D d dt φω= 方程组（3-1）中有3个状态变量： θ—摆的角位移（angular displacement ）; ω—摆的角速度（angular velocity ）; φ—驱动力的相位角（drive phase angle ）。 因此它的轨线在3维相空间描绘。 方程（3-1）中也有3个参数： q —阻尼系数（damping factor ）； g —驱动力幅值（driving force amplitude ）； D ω—驱动力角频率（angular drive
frequency）。 同时考虑3个参数来研究驱动摆的性态，也就是说，在3维相空间和3维参数空间内考察摆的形态，将是一个十分困难、实际上不可能完成的任务。 我们把ωD固定，选择少数几个q值，让g 值在一定的区间充分变化，以观察系统的性态。 （在Appendix B（Page 207， Listing 4）中有描述摆运动的计算机程序（Title: Motion），可供参考。） 2、产生混沌运动的条件： 产生混沌的必要条件有2条（See: Page 2）： （1）系统至少要有3个独立的动力学变量；（2）系统至少要有1项包含了几个动力学变量的非线性项。
理学院 学士学位论文开题报告 《混沌理论初步及其数值求解》 专业：信息与计算科学 姓名：王淼 班级： 0901112 学号： 09 时间： 2013年05月 指导教师：周林华
混沌理论初步及其数值求解 一、本课题的研究目的和意义 19世纪末，20世纪初，在天体力学的研究中，法国数学家J.H. Poincaré发现三体间的引力作用与两体间的不同，三体间的相互作用能产生出惊人的复杂行为，其动力学方程的解具有不可预测性，是无法求出精确解的。其实，这是保守系统中的一种混沌，从而使J.H.Poincaré成为最早了解混沌可能存在的第一人。混沌是指发生在确定性系统中的随机过程。一个确定性的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象。大自然中混沌的现象无处不在：河流的漩涡；烟囱发出的滚滚浓烟；天气的变化；虫口的增长；心脏搏动的不规则性等等这些都是混沌现象。在混沌理论的研究中，各种混沌现象不断被发现，它几乎存在于一切科学领域，尤其是在物理学、数学、天体力学、流体力学、生物学等方面。如今，混沌理论在信息科学、医学、生物、工程等领域具有非常广泛的应用价值。因此，在科学研究领域中，混沌理论被认为是20世纪人类在认识世界和改造世界中富有创造性的一次大革命。 二、国内外研究现状 混沌是在确定的系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象，在非线性动力学系统中属于一种特有的运动形式。混沌学是近几十年发展起来的一门十分活跃的前沿学科，它是非线性科学的一个重要分支，与量子物理和相对论一起被称为二十世纪三项重要科学发现
[2]。如果说“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想，量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦。”那么“混沌就是消除了拉普拉斯关于决定论式可预测性的幻想。”1963年，美国气象学家E.N.Lorenz的“蝴蝶效应”问世以来，混沌的研究得到了广泛的关注。混沌系统对初始条件和混沌参数的微小变化非常的敏感，是一种高度复杂的非线性动态系统，正是混沌运动的这些奇异特性，在很长的一段时间内，人们的头脑中形成了这样一种错误的观念，即混沌是不可控制的、不可靠的，同样重构完全相同的混沌系统也是不切实际的。直到1988年，A.Hubler发表了控制混沌的第一篇文章[3]，开创了研究混沌控制的先驱。中国学者郝柏林、郑伟谋在莫斯科国立大学将符号动力学应用于混沌研究的基础上，开始将符号动力学从一维系统推广到二维系统的研究。 近年来，混沌理论的应用得到了迅速发展，在许多方面都取得了一定的成果。如通信技术方面，混沌信号的类随机性以及产生方式简单等特点，使其在保密通信方面显示出得天独厚的优越性。混沌遮掩利用混沌波作为载波，对信号源进行加密和混沌同步实现掩盖通信，但是这种方法要求混沌信号的带宽要能够掩盖信息信号，如果不能满足这个条件，被加密的信息信号很容易通过线性滤波被提取出来。混沌理论在医学方面也得到应用，现有研究表明，心动周期信号具有混沌特征，研究发现对估计某些疾病的严重性来说，混沌特征参数是现有的功率谱参数更敏感的指标。国内外将混沌理论用于医学研究的报导主要限于脑电、心电方面的研究，以及在心脑血管学流动力学方面的应用。我国学者近年的一些在医学上研究成果指出人们大脑处于积极状况时，脑电图的波形是混沌的，当人们睡眠或不思考问题时，脑电图显示周期性波形，由此进一步研究可以构成了神经元动作的模型。在模式识别方面，可利用混沌轨迹对初始条件的敏感依赖性这一特点，通过混沌动力学系统构成模式识别系统。在图象数据压缩方面，把复杂的模式作为简单的混沌动力学系统的吸引子再现出来。把复杂的图象数据用一组能产生混沌吸引子的简单动力学方程代替。此时只需要记忆存贮这组动力学方程组的参数，相对于原始图象数据，数据量大大地减少了，从而实现了图象数据压缩。近年来关于混沌应用的报道大量涌现表明人们已从单纯研究混沌现象转向开发和驾驭混沌的种种特性以解决一些实际工程技术问题。 三、主要研究内容及要求 混沌理论是目前非线性科研的前沿问题。利用映射、导数、稠密性等基本数学理论，学习混沌的定义和等价判据，并进一步研究混沌
新古典经济周期理论 新古典经济周期理论发轫于20 世纪70 年代早期，主要得益于卢卡斯（Lucas,1972, 1975）的学术贡献。与传统的凯恩斯经济周期理论和货币主义经济周期理论不同，新古典经济周期理论强调理性预期是产生经济波动的重要原因，认为经济周期性波动的根源在于行为人的预期错误。预期错误可能是由外部的不能合理预见的随机冲击引起的，如货币供给冲击、战争和粮食危机等，其中货币供给冲击是一个非常重要的冲击源，即货币增长的不确定性导致了非预期的通货膨胀，进而引发产出和就业的波动。在政策建议方面，新古典经济周期理论完全否定了政府干预的有效性，主张利用固定规则代替相机决策。 一卢卡斯的主要观点 卢卡斯最早在《预期和货币中性》（1972）一文中提出货币周期模型，之后又在《经济周期均衡模型》（1975）一文中扩展和补充了由货币因素引发经济波动的产生、传导和消失过程。Lucas 认为，在一个众多相互分离的竞争市场内，假设生产者并没有觉察到中央银行增加货币供给量，对于随之而来的价格上涨，如果生产者认为价格上涨是局部性的，则必须调整产出；如果生产者认为价格上涨是全局性的，则必须保持产出。生产者被迫面临如何在知道单个商品价格变化的基础上对总价格水平作出尽可能准确的判 断的问题，这就是不完全信息假设的体现。一种可能的识别情形是将其视作两种情况共同作用的结果，组合的比例取决于过去的价格波动的均值和方差。若以往的价格比较稳定，则当前的价格变化会更多地视作局部性的；若以往的价格起伏较大，则当前的价格变化会更多地视作全局性的，这就是市场上价格信号的提取过程。然而，在不完全信息情形下，总会有一部分生产者不能准确预测到价格是全局性上涨，而采取调整产出的行动。所以一般价格水平的提高对总量经济的影响，本质上与相对价格的提高对单个生产者的影响一样，都能引起产出、就业和投资等宏观变量同方向的运动。但这只是暂时的，人们一旦发现价格上涨是由总需求变化引起的一般价格水平的上涨，就会调整各自预期。因为在理性预期条件下，生产者很容易纠正预测中的系统性偏差，这个过程不需要
第1 新古典经济周期理论 新古典经济周期理论发轫于 20 世纪 70 年代早期，主要得益于卢卡斯（Lucas,1972, 1975）的学术贡献。与传统的凯恩斯经济周期理论和货币主义经济周期理论不同，新古典经济周期理论强调理性预期是产生经济波动的重要原因，认为经济周期性波动的根源在于行为人的预期错误。预期错误可能是由外部的不能合理预见的随机冲击引起的，如货币供给冲击、战争和粮食危机等，其中货币供给冲击是一个非常重要的冲击源，即货币增长的不确定性导致了非预期的通货膨胀，进而引发产出和就业的波动。在政策建议方面，新古典经济周期理论完全否定了政府干预的有效性，主张利用固定规则代替相机决策。 一卢卡斯的主要观点 卢卡斯最早在《预期和货币中性》（1972）一文中提出货币周期模型，之后又在《经济周期均衡模型》（1975）一文中扩展和补充了由货币因素引发经济波动的产生、传导和消失过程。Lucas 认为，在一个众多相互分离的竞争市场内，假设生产者并没有觉察到中央银行增加货币供给量，对于随之而来的价格上涨，如果生产者认为价格上涨是局部性的，则必须调整产出；如果生产者认为价格上涨是全局性的，则必须保持产出。生产者被迫面临如何在知道单个商品价格变化的基础上对总价格水平作出尽可能准确的判断的问题，这就是不完全信息假设的体现。一种可能的识别情形是将其视作两种情况共同作用的结果，组合的比例取决于过去的价格波动的均值和方差。若以往的价格比较稳定，则当前的价格变化会更多地视作局部性的；若以往的价格起伏较大，则当前的价格变化会更多地视作全局性的，这就是市场上价格信号的提取过程。然而，在不完全信息情形下，总会有一部分生产者不能准确预测到价格是全局性上涨，而采取调整产出的行动。所以一般价格水平的提高对总量经济的影响，本质上与相对价格的提高对单个生产者的影响一样，都能引起产出、就业和投资等宏观变量同方向的运动。但这只是暂时的，人们一旦发现价格上涨是由总需求变化引起的一般价格水平的上涨，就会
非线性动力学和混沌理论 非线性动力学 随着科学技术的发展，非线性问题出现在许多学科之中，传统的线性化方法已不能满足解决非线性问题的要求，非线性动力学也就由此产生。 非线性动力学联系到许多学科，如力学、数学、物理学、化学，甚至某些社会科学等。非线性动力学的三个主要方面：分叉、混沌和孤立子。事实上，这不是三个孤立的方面。混沌是一种分叉过程，孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系，同宿轨和异宿轨是分叉研究中的两种主要对象。 经过多年的发展，非线性动力学已发展出了许多分支。如分叉、混沌、孤立子和符号动力学等。然而，不同的分支之间又不是完全孤立的。非线性动力学问题的解析解是很难求出的。因此，直接分析非线性动力学问题解的行为(尤其是长时期行为)成为研究非线性动力学问题的一种必然手段。 混沌理论是谁提出的？ 混沌理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。 美国数学家约克与他的研究生李天岩在1975年的论文“周期3则乱七八糟(Chaos)”中首先引入了“混沌”这个名称。 美国气象学家洛伦茨在2O世纪 6O年代初研究天气预报中大气流动问题时，揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点，同时他还发现表面上看起来杂乱无章的混沌，仍然有某种条理性。 1971年法国科学家罗尔和托根斯从数学观点提出纳维-斯托克司方程出现湍流解的机制，揭示了准周期进入湍流的道路，首次揭示了相空间中存在奇异吸引子，这是现代科学最有力的发现之一。 1976年美国生物学家梅在对季节性繁殖的昆虫的年虫口的模拟研究中首次揭示了通过倍周期分岔达到混沌这一途径。 1978年，美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时，发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数。这就引起了数学物理界的广泛关注。 与此同时，曼德尔布罗特用分形几何来描述一大类复杂无规则的几何对象，使奇异吸引子具有分数维，推进了混沌理论的研究。20世纪70年代后期科学家们在许多确定性系统中发现混沌现象。作为一门学科的混沌学目前正处在研讨之中，未形成一个完整的成熟理论。混沌的理论 要弄明白不可预言性如何可以与确定论相调和，可以来看看一个比整个宇宙次要得多的系统——水龙头滴下的水滴。这是一个确定性系统，原则上流入水龙头中的水的流量是平稳、均匀的，水流出时发生的情况完全由流体运动定律规定。但一个简单而有效的实验证明，这一显然确定性的系统可以产生不可预言的行为。这使我们产生某种数学的“横向思维”，它向我们解释了为什么此种怪事是可能的。 假如你很小心地打开水龙头，等上几秒钟，待流速稳定下来，通常会产生一系列规则的水滴，这些水滴以规则的节律、相同的时间间隔落下。很难找到比这更可预言的东西了。但假如你缓缓打开水龙头，使水流量增大，并调节水龙头，使一连串水滴以很不规则的方式滴落，这种滴落方式似乎是随机的。只要做几次实验就会成功。实验时均匀地转动水龙头，别把龙头开大到让水成了不间断的水流，你需要的是中速滴流。如果你调节得合适，就可以在好多分钟内听不出任何明显的模式出现。 １９７８年，加利福尼亚大学圣克鲁斯分校的一群年青的研究生组成了一个研究动力学系统的小组。他们开始考虑水滴系统的时候，就认识到它并不像表现出来的那样毫无规则。他们用话筒记录水滴的声音，分析每一滴水与下一滴水之间的间隔序列。他们所发现的是短期的可预言性。要是我告诉你３个相继水滴的滴落时刻，你会预言下一滴水何时落下。例如，假如水滴之间最近３个间隔是０.６３秒、１.１７秒和０.４４秒，则你可以肯定下一滴水将在０.８２秒后落下这些数只是为了便于说明问题。事实上，如果你精确地知道头３滴水的滴落时刻，你就可以预言系统的全部未来。 那么，拉普拉斯为什么错了? 问题在于，我们永远不能精确地测量系统的初始状态。我们在任何物理系统中所作出的最精确的测量，对大约１０位或１２位小数来说是正确的。 但拉普拉斯的陈述只有在我们使测量达到无限精度即无限多位小数，当然那是办不到的时才正确。 在拉普拉斯时代，人们就已知道这一测量误差问题，但一般认为，只要作出初始测量，比如小数点后１０位，所有相继的预言也将精确到小数点后１０位。误差既不消失，也不放大。 不幸的是，误差确实放大，这使我们不能把一系列短期预言串在一起，得到一个长期有效的预言。例如，假设我知道精确到小数点后１０位的头３滴水的滴落时刻，那么我可以精确到小数点后９位预言下一滴的滴落时刻，再下一滴精确到８位，以此类推。 误差在每一步将近放大１０倍，于是我对进一步的小数位丧失信心。所以，向未来走１０步，我对下一滴水的滴落时刻就一无所知
级联混沌及其动力学特性研究* 王光义?袁方 (杭州电子科技大学电子信息学院,杭州310018) (2012年7月21日收到;2012年8月18日收到修改稿) 初值敏感性是混沌的本质,混沌的随机性来源于其对初始条件的高度敏感性,而Lyapunov指数又是这种初值敏感性的一种度量.本文的研究发现,混沌系统的级联可明显提高级联混沌的Lyapunov指数,改善其动力学特性.因此,本文研究了混沌系统的级联和级联混沌对动力学特性的影响,提出了混沌系统级联的定义及条件,从理论上证明了级联混沌的Lyapunov指数为各个级联子系统Lyapunov指数之和;适当的级联可增加系统参数、扩展混沌映射和满映射的参数区间,由此可提高混沌映射的初值敏感性和混沌伪随机序列的安全性.以Logistic映射、Cubic映射和Tent映射为例,研究了Logistic-Logistic级联、Logistic-Cubic级联和Logistic-Tent级联的动力学特性,验证了级联混沌动力学性能的改善.级联混沌可作为伪随机数发生器的随机信号源,用以产生初值敏感性更高、安全性更好的伪随机序列. 关键词:混沌,级联,离散映射,Lyapunov指数 PACS:05.45.–a,05.45.Ac,05.45.Xt DOI:10.7498/aps.62.020506 1引言 伪随机序列在数字通信、密码系统、计算机仿真等领域有着广泛的应用.一个伪随机序列发生器包括随机信号源(种)和一系列的量化及其实现技术,其中良好的随机信号源是伪随机序列设计的关键问题.混沌与传统密码学之间存在着一种自然的联系,混沌动力学特性基本对应着高强度密码系统的某些安全特征,以混沌作为随机信号源为伪随机序列发生器的设计提供了一种新的途径. 一般而言,对混沌伪随机序列或混沌系统的要求是随机性好、安全性高.混沌信号的随机性依赖于混沌的初值敏感性,这是混沌的本质[1].虽然目前文献中未对混沌初值敏感性的度量做出明显的说明,但根据Lyapunov指数的定义我们完全有理由说Lyapunov指数就是初值敏感性的一种度量,或可直接说Lyapunov指数越大,表明系统对初值越敏感.因此,提高混沌系统的Lyapunov指数是改善其伪随机序列随机性的一种直接方法.而混沌序列的安全性则主要依赖于由系统初值和系统参数构成的密钥空间的大小,即保证出现混沌时的初值范围和参数范围的大小. 利用连续和离散混沌系统进行伪随机序列发生器的设计已有不少研究[2?5].连续混沌的数学模型为多变量耦合的微分方程组,其系统参数和初始条件较多,产生伪随机序列的密钥空间较大,但由于其算法复杂导致运算速率较慢,产生的序列码率较低.而离散混沌由于算法简单使其运算速率快、序列码率高,且其序列的复杂度好[6],因此目前混沌应用中首选离散混沌产生伪随机序列[7?10],应用最多的是Logistic映射、Tent映射(分段线性映射)及其他们的改进形式,并且目前对此类离散映射仍做持续的研究[11?19].但离散系统缺点是Lyapunov 指数小、初值条件和系统参数较少,其密钥空间较小从而导致序列的安全性降低. 为了提高离散混沌的随机性和安全性,即提高混沌系统的Lyapunov指数和混沌映射参数区间,本文提出了离散混沌的一种级联方案.在定义混沌级联之后给出了级联混沌可提高其Lyapunov指 *国家自然科学基金(批准号:60971046)资助的课题. ?通讯作者.E-mail:wanggyi@https://www.doczj.com/doc/7b2760075.html, c?2013中国物理学会Chinese Physical Society https://www.doczj.com/doc/7b2760075.html,
混沌经济学，也称为非线性经济学（nonlinear economics），是20世纪80年代兴起的一门新兴的学科，是指应用非线性混沌理论解释现实经济现象，在经济建模中充分考虑经济活动的非线性相互作用，在模型的分析上充分利用非线性动力学的分叉、分形和混沌等理论与方法，分析经济系统的动态行为，以期产生新的经济概念、新的经济思想、新的经济分析方法，得到新的经济规律的一门新兴交叉科学。 传统经济学自亚当·斯密1776年《国富论》问世以来，已逐步在西方经济学中确立统治地位。“完全竞争”市场的自动调节机制在瓦尔拉斯一般均衡理论和马歇尔的“均衡价格论”体系上取得规范的形式，并在经典科学的基础上建立了一整套分析方法。实际上，传统经济学所构建的经济分析框架，是牛顿力学的绝对时空观（即均衡流逝的绝对时间和恒等且不动的绝对空间）和皮埃尔-西蒙·拉普拉斯决定的可预测宇宙观（即一个单一的公式可以解释所有的现象并结束不确定性）在经济领域的重现。而从现状经济角度看，由于种种意外因素的存在和人类所面临的不确定性。不确定性是现实经济运行过程中最主要的特征之一。自然地，混沌学作为一种科学范式也就成为经济学家们研究经济系统的复杂性、不确定性和非线性的有力工具，成为社会、经济、技术预测的有力工具。混沌经济学(或非线性经济学)已经成为当代经济学研究的前沿领域，并取得迅速的进展。 在研究对象和研究方法上，混沌经济学与传统经济学都是利用提出假设，利用数学工具通过规范推演和实证检验来揭示社会经济现象的客观规律；但是由于客观地认识到经济系统的非均衡、非线性、非理性、时间不可逆、多重解和复杂性等特点，混沌经济学在研究和解决问题的具体思维方式和假设前提上以及确切的方法论上，与传统经济学存在显著差异。 混沌经济学假设关系是非线性的，认为经济系统所呈现的短期不规则涨落并非外部随机冲击的结果，而是系统内部的机制所引起的。经济系统中时间不可逆、多重因果反馈环及不确定性的存在使经济系统本身处于一个不均匀的时空中，具有极为复杂的非线性特征。非对称的供给需求、非对称的经济周期波动(现已证明：经济周期波动呈“泊松分布”而非“正态分布”)非对称的信息、货币的对称破缺（符号经济与实物经济的非一一对应）、经济变量迭代过程中的时滞、人的行为的“有限理性”等正是这种非线性特征的表现。 混沌经济学的方法论是集体(整体)主义，即“理论必须根植于不可再分的个人集团的行为”。在混沌经济学看来，经济系统由数以百万计的个体和组织的相互作用所决定，而每一个个体和组织又涉及到数以千计的商品和数以万计的生产过程，因此，个体行为并非是一种孤立的存
经济周期这个曾经被视为只有在资本主义条件下才存在的经济现象，已经成为社会主义经济运行中不可否认的基本事实和宏观经济调控中不容忽略的重要因素。正确认识和科学把握中国经济波动的规律，对保持国民经济持续、快速、健康发展至关重要。 一、中国的经济周期波动状况 经济周期是国民经济扩张与收缩、波峰与波谷不断交替的运动，具体包括复苏、繁荣、衰退和萧条四个阶段，用以反映国民经济在动态的增长中运行的起伏状态。它通常分为古典型周期和增长型周期两类。古典型周期是指经济总量水平的周期波动，也就是产量绝对值指标的波动；而增长型周期是指依经济增长率上升或下降而定义的经济周期波动，表现为增长态势下速度的加快与放慢。 经济周期按时间长度可分为四种类型：（1）短周期，即基钦周期，平均长度约40个月（3－5年）。（2）中周期，即朱格拉周期，平均长度8－10年。（3）中长周期，即库兹涅茨周期，平均长度15－25年。（4）长周期，即康德拉耶夫周期，平均长度50年左右。 建国以来我国的经济周期波动分为两个阶段，第一阶段是从1953年到1976年，第二阶段从1977年到2000年。下面对改革前后这两个阶段我国经济周期波动的状态进行对比分析： 第一，从波动的深度看，改革前五个周期波动以古典型为主，波谷平均值为－6.4％，总的呈现为古典型；改革后四个周期的深度平均为6.2％，波动转变为增长型。谷位的上升表明，我国经济的增长增强了抗衰退力。 第二，从波动的高度看，改革前各周期以高峰型为主，波峰平均值达16.9％，总的呈现为高峰型（波峰年份经济增长率大于或等于15％即为高峰型）；改革后波峰平均值为13.2％，总的呈现为中峰型（10％－15％）。峰位的下降表明，我国经济的增长在一定程度上减少了扩张的盲目性。 第三，从波动的幅度看，改革前各周期平均波动幅度为23.4％，为强幅型；改革后平均振幅是6.95％为中幅型。波峰的显著下降表明，我国经济增长的稳定性在增强。 第四，从波动的平均位势看，改革前波位平均为5.8％，属中位型；改革后平均波位是9.3％，属高位型。波位的上升表明我国经济在克服“大起大落”中，总体增长水平有了显著提高。 第五，从波动的扩张长度看，改革前各周期的扩张长度平均为2.2年，改革后为2.5年，表明我国经济的增长在扩张期有了更强的持续性。 根据以上定量分析与比较，可把改革前波动状态的特征概括为：谷位深、峰位高、振幅大、平均位势低、扩张长度短，即“大起大落”；而改革后则可概括为：谷位上升、峰位下降、振幅减小、平均位势提高、扩张长度延长，即在增长中逐步走向稳定。改革前后的变化可以总概为：由“大起大落”型转向“高位—平缓”型，这就充分表明，我国经济的周期波动在改革后已进入了一个新阶段。 二、中国经济周期波动的原因分析 在西方经济理论中，关于经济周期的解释多种多样，它们从不同方面对经济周期性波动的原因做出了说明。传统的经济周期理论认为经济中存在引起波动的内在力量；实际的经济周期理论认为波动不过是随机的和未预期到大冲击的结果；货币主义者和新古典经济学家把波动主要归结为错误导向的货币政策的结果；而新凯恩斯主义者把波动看作来源于经济内部和外部的各种原因，不过他们认为现代经济的内在特征扩大了一些这样的干扰，并使其作用持续存在。 应该说，经济周期的形成是各种因素共同作用的结果，单纯地强调起源动力而忽略系统影响，强调冲击因素而忽略传导机制，是无助于正确理解经济周期波动的。因此，我们必须把经济周期波动的因素区分为内生和外生两种，从内在传导机制和外在冲击两方面进行系统分析。 内在传导机制是指经济系统内部结构特性所导致的对冲击的反应。这是一种内部缓冲机制或自我调节机制，反映了经济周期的“内生性”。一般来看，经济周期波动是大工业生产与大规模投资相互推动机制和供求约束机制这两种互为因果、相互作用的过程。大工业的巨大扩张能力是形成经济周期波动的物质前提，它与大规模投资紧密相连。一方面，它既为大规模投资的进行提供了必要的物质基础，其建立与发展又反映了大规模投资的结果；另一方面，大规模投资所产生的巨大需求又是引起大工业生产急剧扩张的重要动因。因此，大工业生产和大规模投资两者的相互作用，是形成经济周期波动的首要原因。同时，经济周期波动还与大工业的扩张力所遇阻力密切相关，这种阻力是由供求平衡状况形成的，或来自市场需求约束方面，或来自资源供给约束方面。因此，供求平衡约束是形成经济周期波动的另一个物质性的原因。 外在冲击机制，是指系统外的冲击通过系统内部传导而发生的经济活动，对来源于外生变量的自发性变化，可以是随机的或是周期的。外在冲击主要包括：货币供给性冲击；以投资和消费、财政和货币需求性的实际需求冲击；由于农业重大自然灾害或石油供应等而导致的实际供给冲击；体制变动冲击；国际政治和经济冲击等。 外在冲击是经济周期波动的初始原因，内在传导则是系统内部对冲击的自我响应和调整。几乎所有的外在冲击都要通过内在机制而最终对经济过程产生影响，因此，引起经济周期的基本原因来自于经济体系内所特有的推动力和抑制力。内在传导机制决定着经济波动的周期性和持续性，决定着经济周期的基本形态，而外在冲击只是通过内在传导机制对
《从非线性动力学到复杂系统》 段法兵 系统理论博士生课程
第一讲动态系统的发展 系统是一些相互关联的客体组成的集合，动态（动力dynamical）系统是系统状态变量，比如温度、位移、价格、信号幅值等，随着时间变化的。它的描述可以用微分方程或者离散方程。 微分方程历史悠久，可追溯到牛顿、伽利略、欧拉、雅克比等人，用以描述行星的运动轨迹。研究中发现即使满足牛顿引力定律的三体运动也非常复杂，其微分方程是非线性的，非线性是指不满足叠加定律的方程，解无法利用已知函数进行描述，如果能够描述的我们称为显式解。因此，庞加莱在1880年-1910年期间，试图利用解的拓扑几何性质来解释动态系统的运动规律，发现即使确定性系统，其运动规律也会出现随机性态，非常复杂（确定性系统是指其外力是确定的不随机，只要知道初始条件和演化方程，其运动是可预先确定的）。 非线性系统运动的复杂性：李雅普诺夫研究了系统平衡点？的稳定性？问题，随后本迪尔松等发现系统的解包含（1）平衡态（静止不动）；（2）周期运动（比如行星）（3）拟周期，就是几个频率不可公约周期之和。 接着1975年Li和Yorke提出了混沌的概念，即系统的解是非周期的一种类似随机运动的现象，这其中就包含了洛伦兹提出的“蝴蝶效应”，根源在于这类非线性动力系统对于初始条件的极其敏感性，初始条件的微小变化导致了系统状态的巨大改变，从此有关非线性科学的发展异常迅速，形成了现代动力学理论，其最重要的贡献是揭示了一个简单的模型可能蕴含了无比复杂的动力学性态。 例子：Van der Pol（范德波尔）方程 1920年Van der Pol利用电子震荡管研究心脏的跳动问题，比如人工心脏起
就业周期与经济周期的波动形态和结构性差异
就业周期与经济周期的波动形态和结构性差异 丁守海2010-09-20 摘要：关于就业周期与经济周期的波动关系，国外最新研究成果表明：（1）一致性波动的传统观点并不能反映问题的全貌，需要从几个维度对其进行补充和修正。（2）相对于非生产型工人、大企业、公共部门，生产型工人、中小企业、私人部门的就业周期与经济周期更加吻合。（3）经济周期的不同冲击源会对就业产生不同后果，即便同一冲击源，在不同的政策环境下也会产生迥异的结果。 关键 词： 就业周期，经济周期，波动关系，结构性差异 金融危机爆发以来，各国就业形势急转直下。最近随世界经济的复苏，一些国家的就业市场出现了回暖迹象。美国劳工部最新公布的数据显示，2010年3月份，美国非农部门的就业岗位增加了16.2万个，出现了3年来的最大增幅。不过欧洲的就业形势并没有这么乐观。以法国为例，尽管2010年第1季度经济实现了0.3%的平稳增长，但就业形势并未好转，失业率仍在10%的高位运行。“就业是民生之本”，面对初露端倪的经济复苏，
就业到底会不会稳步复苏呢？这是时下各国政府普遍关心的问题。本文试图从理论角度，通过梳理国外学者对就业周期与经济周期波动关系的研究进展来为上述问题提供参考。近年来，国外学者对经济周期与就业周期波动关系的研究进展主要表现在3个方面：一是摆脱传统理论的信条，正视二者非一致波动的可能，特别是滞后波动与非对称波动的可能。二是强调就业周期与经济周期波动关系在不同劳动群体、不同企业、不同部门间的差异。三是比较不同的经济周期诱发因素对就业的影响，除技术冲击、需求冲击等传统的冲击源外，开始考虑劳动力市场行为变量的影响。 一、就业周期与经济周期的基本波动形态 传统理论认为劳动需求是引致性需求，就业周期衍生于经济周期，在无摩擦的传导过程中，就业波动与产出波动具有天然的一致性。但近年来，越来越多的研究表明这种假说与现实并不相符，对传统理论的补充和修正也逐步展开。 （一）对一致性波动传统观点的两点补充
单摆的非线性动力学分析 亚兵 （交通大学车辆工程专业，，730070） 摘要:研究单摆的运动，从是否有无阻尼和驱动力方面来分析它们对单摆运动的影响。对于小角度单摆的运动，从单摆的动力学方程入手，借助雅普诺夫一次近似理论，推导出单摆的运动稳定性情况。再借助绘图工具matlab，对小角度和大角度单摆的运动进行仿真，通过改变参数，如阻尼大小、驱动力大小等绘出单摆运动的不同相图，对相图进行分析比较，从验证单摆运动的稳定性情况。关键词:单摆；振动；阻尼；驱动力 Abstract:The vibration of simple pendulum is studied by analyzing whether or not damp and drive force its influence of the simple pendulum. For small angle pendulum motion, pendulum dynamic equation from the start, with an approximate Lyapunov theory of stability of motion is derived pendulum situation. Drawing tools with help from matlab, small angle and wide-angle pendulum motion simulation, by changing the parameters, such as damping size, drive size draw simple pendulum of different phase diagram, analysis and comparison of the phase diagram, from the verification the stability of the situation pendulum movement. Key words: simple pendulum; vibration; damp; drive force 1 引言 单摆是一种理想的物理模型[1]，单摆作简谐振动（摆角小于5°）时其运动微分方程为线性方程，可以求出其解析解，而当单摆做大幅度摆角运动时，其运动微分方程为非线性方程，我们很难用解析的方法讨论其运动，这个时候可以用MATLAB软件对单摆的运动进行数值求解，并可以模拟不同情况下单摆的运动。 θ=时, 随着摆角的减小，摆球的运动速率将越来越大，而加速度将单调下降,至0 加速度取极小值。本文从动力学的角度详细考察了这一过程中摆球的非线性运，得出了在运动过程中.,t θθθ --的关系。
暂态混沌动力学在神经网络优化计算中的应用 ⒇ 杨立江 陈天仑 黄五群 (南开大学物理科学学院,天津,300071)摘 要 通过在神经网络状态空间演化方程中引入一个非线性反馈项,使神经网络系统的动力学表现出混沌特性. 为将混沌动力学作为搜索机制应用于优化问题,又引入一个调节机制构成了暂态混沌神经网络模型.本文着重 分析了暂态混沌神经网络动力学行为,并将其应用于旅行推销员问题.实现了全局优化且有较快的收敛速度. 关键词:神经网络;暂态混沌动力学;组合优化;T SP 0 引 言 神经网络是一个非常复杂的非线性巨系统,存在各种复杂动力学行为.在生物学实验中人们已观察到人脑和动物神经系统中的各种混沌行为,因此在人工神经网络中引入和讨论混沌动力学必将提高人工神经网络的智能化程度,使人工神经网络具有更为广阔的应用前景.迄今已提出了许多具有混沌动力学的神经网络模型[1～3],本文通过在神经网络演化方程中引入一个非线性自反馈项,提出了一个混沌神经网络模型.为了利用混沌动力学作为优化问题中的搜索机制,我们进一步讨论了暂态混沌神经网络模型,预期能在优化问题中获得更好的跳出局域坑并收敛到全局最小的能力.在旅行推销员问题的应用中,也确实验证了本文提出的暂态混沌神经网络具有较好的收敛结果和速度. 1 暂态混沌神经网络模型 首先引入非线性自反馈项构成了混沌神经网络模型(CNN),在此基础上,通过一个调节机制又构成了暂态混沌神经网络模型. 1.1 混沌神经网络模型 混沌神经网络模型可描述如下[1,3] V i (t )=11+e -U i /X (1) U i (t +1)=KU i (t )+T ∑N j =1W ij V i (t )+I i +g [U i (t )-U i (t -1)],i =1,2,…,n (2) 其中U i 为第i 个神经元的内部状态;V i 为第i 个神经元的输出;W ij 为神经元j 到i 的互连权重;I i 为第i 个神经元的输入偏置;k 为神经膜阻尼系数(0≤k ≤1);X 是输出函数的陡度参数. 混沌神经网络模型与一般的神经网络模型的重要区别在于演化方程(2)式右端的自反馈项g [U i (t )-U i (t -1)].正是由于这个自反馈项的引入.才使混沌神经网络具有更加丰富的时空动力学行为,而一般的神经网络系统则仅仅通过梯度下降收敛到一个稳定状态. 通常自反馈项的函数g (x )取为非线性函数,非线性函数的具体形式在问题中至关重要.本文中,第32卷 第3期 南开大学学报(自然科学) V o l.32 №3 1999年9月Acta Scientiarum N aturalium Universitatis N ankaiensis Sep.1999 ⒇收稿日期:1999-06-10*国家九五攀登计划非线性科学项目资助课题
短期经济波动的理论与政策 短期经济如何波动，是宏观经济学研究的重要内容之一。在众多 解释短期经济波动的理论中，凯恩斯经济学派用总需求和总供给解释短期经济波动的理论，成为主流的短期经济波动理论。该理论系统的阐述了货币政策和财政政策如何影响经济周期，以及从需求曲线和总供给曲线如何形成，各种政策如何通过影响总需求或者总供给来形成短期经济的均衡。具体来说，可将该理论整理如下： 经济周期的衡量、、 在众多的经济指标中，国内生产总值（）被认为是衡量总体GDP 经济状况的最概括的指标，它衡量经济的总收入和总支出。的增GDP
长变动，代表着经济的周期波动。我们由的核算课程中可以知GDP 道，国内生产总值消费投资政府购买净出口，即++=+ 。因此，的增减变动，可以分解为消费、投资、GDP=C+I+G+NXGDP 政府购买和净出口的增减变动，分析变动的原因，就可以分别GDP 分析消费、投资、政府购买和净出口的变动原因。 衡量经济运行好坏的另外一个指标是失业率。短期经济繁荣的时 候，就业人数增加，失业率就下降；反之，短期经济衰退时，失业人数 增加，失业率上升。因此，我们可以看到，失业率和存在着一种GDP 负相关的关系，这种关系被称为奥肯定律。以美国的经济数据为例子， 通过计算失业率的变动和实际的百分比变动之间的关系，得到GDP 一个函数：
实际的百分比变动失业率的变动=3%-2×GDP 1． 该公式表明，对失业率增长的每一个百分点，实际增长通GDP 常下降。短期中，失业率和的这种高度负相关关系，说明通GDP2%过研究的变动，可以大概掌握失业率的变动，这进一步说明GDP 是衡量短期经济的最好指标。GDP 因此，在短期中，我们以作为衡量经济短期波动的指标。GDP 在核算中，我们知道等于总收入，也等于总支出，在以后GDP GDP 的分析中，常以这两个名称出现。GDP 短期经济的假设、、 经济在短期和在长期是有差别的，其中最主要的差别表现在价格
非线性动力学 非线性动力学 nonlinear dynamics @M 动态系统 dynamical system SG=]@ 原象 preimage u@p 控制参量 control parameter -"_h7> 霍普夫分岔 Hopf bifurcation 6.k4 倒倍周期分岔 inverse period- doubling bifurca-tion5-;>ZO 全局分岔 global bifurcation Ms6 魔[鬼楼]梯 devil's staircase @h[ 非线性振动 nonlinear vibration B}up< 侵入物 invader -s 锁相 phase- locking I`![! 猎食模型 predator- prey model :y [状]态空间 state space w5O [状]态变量 state variable xg7JU 吕埃勒-塔肯斯道路Ruelle- Takens route 0{ 斯梅尔马蹄 Smale horseshoe Cn/rpJ 混沌 chaos CA!WI| 李-约克定理 Li-Yorke theorem >> 李-约克混沌 Li-Yorke chaos '2; 洛伦茨吸引子 Lorenz attractor ]/9 混沌吸引子 chaotic attractor z KAM环面 KAM torus "I/ 费根鲍姆数 Feigenbaum number {. 费根鲍姆标度律 Feigenbaum scaling !6 KAM定理 Kolmogorov-Arnol'd Moser theorem, KAM theorem q3`勒斯勒尔方程 Rossler equation ?C_R9 混沌运动 chaotic motion z&q|w 费根鲍姆函数方程 Feigenbaum functional equation xS+l1 蝴蝶效应 butterfly effect ;cA 同宿点 homoclinic point bcx 异宿点 heteroclinic point [MH$ 同宿轨道 homoclinic orbit J(y6 异宿轨道 heteroclinic orbit M)PL_ 排斥子 repellor-XI 超混沌 hyperchaos zg 阵发混沌 intermittency chaos }. 内禀随机性 intrinsic stochasticity l 含混吸引子 vague attractor [of Kolmogorov]V AK hBkc 奇怪吸引子 strange attractor :S FPU问题 Fermi-Pasta- Ulam problem, FPU problem #0x 初态敏感性 sensitivity to initial state @ 反应扩散方程 reaction-diffusion equation -}CKy 非线性薛定谔方程 nonlinear Schrodinger equation r,CP}w 逆散射法 inverse scattering method K z/A