希尔伯特的23个问题
问 题 推动发展的领域 解 决 情 况
1.连续统假设 公理化集合论 1963年,Paul J.Cohen[美国]在下述意义下证明了第一问题
是不可解的,即:连续统假设的真伪不可能在Zermelo-Fraenkel公理系统内判明。
2.算术公理的相容性 数学基础 Hilbert证明算术公理相容性的设想,后来发展为系统“
Hilbert计划”,但1931年Godel的“不完备定理”提出用“元数学”证明算术公理相容性
之不可能。数学相容性问题至今尚未解决。
3.两等高等底的四面体体积之相等 几何基础 这问题很快(1900年)即由Hilbert的学生M
.Dehn给出肯定解答。
4.直线作为两点间最短距离问题 几何基础 这问题提得过于一般。Hilbert之后,许多数
学家致力于构造和探讨各种特殊的度量几何,在研究第四问题上取得很大进展,但问题并
未完全解决。
5.不要定义群的函数的可微性假设的李群概念 拓扑群论 经过漫长的努力,这个问题于1
952年由Glenson、Montgomery、Zippin等人[美国]最后解决,答案是肯定的。
6.物理公式的数学处理 数学物理 在量子力学、热力学等部门,公理化方法已获很大成功
,但一般地说,公理化的物理意味着什么,仍是需探讨的问题。至于概率论的公理化,已由
Ａ.Ｈ.Ｋ o лМ o r o p oB[前苏联,1933]等人建立。
7.某些数的无理性与超越性 超越数论 1934年,Ａ.Ｏ.г e M ж o H д[前苏联]和Sch
neider[德国]各自独立解决了这问题的后半部分,即对于任意代数数α≠0,1和任意代数
无理数β≠0证明了α攩β攪的超越性,1966年这一结果又被A.Baker等人大大推广和发展
了。
8.素数问题 数 论 一般情形下的Riemann猜想至今仍然是猜想。包括在其中的Goldbach
问题至今也未解决。中国数学家在这方面做出了一系列出色的工作。
9.任意数域中最一般的互反律证明 类域论 已由高木贞治[日,1921年]和E.Artin[美192
7]解决。
10.Diophantius方程可解性的判别 不定分析 1970年,M a T ия c e Bич[前苏联]在
Robinson、M.Davis、H.Putnan等人[美]工作的基础上证明了Hilbert所期望的一般算法
是不存在的。
11.系数为任意代数数的二次型 二次型理论 H.Hasse(1929年)和C.L.Siegel(1936,1951
)在这个问题上获得了重要结果。
12.Abet域上的Kro-necker定理推广到任意代数有理域 复乘法理论 尚未解决
13.不可能用只有变数的函数解论一般的七次方程 方程论与实函数 连续函数情形于195
7年由B.A p H oлъц[前苏联]否定解决,如要求是解析函数,则问题仍未解决。
14.证明某类完全函数系的有限性 代数不变式理论 1958年,永田雅宜[日]给出了否定解
决,即证明了存在群г,其不变式所构成的环不具有有限个整基。
15.Schubert计数演算的严格基础 代数几何学 由于许多
数学家的努力,Schubert演算基
础的纯代数处理已有可能,但Schubert演算的合理性仍待解决。至于代数几何的基础,已
由B.L.Vander Waerden(1938年 -1940年)与A.Weil(1950年)建立。
16.代数曲线与曲面的拓扑 曲线与曲面的拓扑学、常微分方程定性理论 对问题的前半部
分,近年来不断有重要结果得到。至于后半部分,и.T.п eтроъский[前苏联]曾
声明,他证明了n=2时极限环的个数不超过3,但这一结论是错误的,已由中国数学家举出反
例(1979年)。
17.正定形式的平方表示式 域(实域)论 已由Artin于1926年解决。
18.由全等多面体构成空间 结晶体群理论 问题的第一部分(欧氏空间中仅有有限个不同
类的带基本区域的运动群)于1910年由L.Bieberbarch肯定解决;问题的第二部分(是否存
在不是运动群的基本区域但经适当毗连可充满全空间的多面体)已由Reinhardt(1928年)
和Heesch(1935年)分别给出三维和二维情形的例子;至于将无限个相等的给定形式的立体
在空间中给以最紧密排列的问题至今尚未完全解决。
19.正则变分问题的解是否一定解析 椭圆型偏微分方程理论 这问题在下述意义上已获解
决,1904年,C.Bерн mтейн[前苏联]证明了一个两个变元的、解析的非线性椭圆方
程,其解必定是解析的。这个结果后来又被Bернтейн本人和и.г.п eтров
ский[前苏联]推广到多变元和椭圆组的情形。
20.一般边值问题 椭圆型偏微分方程理论 偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。
21.具有给定单值群的线性微分方程的存在性 线性常微分方程的大范围理论 已由Hiber
t本人(1905年)和H.Rohrl[德,1957年]解决。
22.解析关系的单值化 Riemann曲面论 一个变数的情形已由P.Koebe[德,1907年]等人解
决。
23.变分法的进一步发展 变分法 Hilbert本人和许多其他数学家对变分法的发展作出了
重要的贡献。
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