模块法对《初联难度几何100题》第32题的几种解法
用模块法来求解角格点，和使用七巧板相似。七巧板用七个固定的模块，来组成许多不同形状精美的图形，而模块法，是用五种不同的角格点模型模块，来镶嵌组成其它的角格点。
末学在原创拙文《平面几何求解角格点的新方法—模块法》（以下简称《模块法》）中，示例了《初联难度几何100题》第32题的一种解法，做法如下：如图，△ABC中，BD⊥AC于D，E为BD上一点，且
∠ABD=38°，∠CBD=68o，∠BCE=14o，∠DCE=8o，求∠DAE的度数。
第32题解法1：
BD⊥AC ,F 是AC上A关于BD的对称点，连接FB、FE
△BEF的外接圆交EC于P，连接PB、PF
O是△BFC的外心，连接OB、OC、OP、OF
∠FBC=68°-38°=30°
∠FOC=2∠FBC=60°△OFC是正三角形
∠BFP=∠BEP=90°+8°=98°
∠BFD=90°-38°=52°
∠PFC=180°-52°-98°=30°O、C 关于FP对称
∠POF=∠PCF=8°∠POC=60°-8°=52°
∠BOF=2（8°+14°）=44°∠BOP=44°+8°=52°OB=OC
B、C 关于OP对称
∠PBC=∠PCB=14°∠PBF=30°-14°=16°
∠PEF=∠PBF=16°
∠EAD=∠EFD=16°+8°=24°
本文将对这种纯几何的求解过程是如何运用模块法形成的做出详细的说明，并且对该题提供其它几种模块法的解法。
模块法求解步骤：
根据题目提供的四个角度及分组（8°,68°,14°,38°）到《模块法》提供的123个整数度角格点列表中，查找对应的角格点，结果发现目的角格点是第5种模型模块第8号模块，即mod5-8(8°,28°,68°,24°,14°,38°)。实际上已经查到目的角格点两个未知角的大小为：∠EAD=24°，∠EAB=28°。
既然目的角格点是模型5 模块的成员，那就可以直接引用模型5的证明方法进行求解。这里引用了模型5的第三种证法，它是：
mod5证法3：
已知ABC-P ( 3α,_,30°+α,60°-4α,α,_ )
3α+(30°+α)+(60°-4α)=90° CP⊥AB
D是AB上A关于CP的对称点，连接PD、CD
△PCD的外接圆交PB于E，连接EC、ED
∠EBD=α ∠ECD=∠EPD=3α-α=2α
∠EDC=∠EPC= 90°+α
∠EDB=180°-3α-(60°-4α)-(90°+α)=30°
根据mod4 ( 30°，2α，30°-2α，α，30°-2α，90°+α)
则有DBC-E ( 30°，30°-2α，2α，90°+α,α，30°-2α)
∠PBC=30°-2α
∠PCB=180-(90°+α)-(30°-2α)=60°-α
由ABC-P (3α,30°-2α ,30°+α, 60°-4α,α,60°+α)
可知mod5( α,60°-4α,60°+α,3α,30°-2α ,30°+α)成立
发现模型5的证法3并没有直接完成mod5证明，只是在左边引用了模型1类模块ADC-P 后，在右边生成了一个四边形角格点BCPD，依照《模块法》前面所述的外接圆方法做△PCD的外接圆交PB于E，将四边形角格点BCPD转换成了三角形角格点DBC-E，进而发现DBC-E是模型4的一个成员模块mod4- 8( 30°,16°,14°, 8°,14°, 98°)，可以引用模型4的证明方法进行求解。《模块法》提供了模型4的三种证明方法，这里引用的是第2种证明方法：
mod4证法:2：
已知ABC-P (30°-2α，2α，α，30°-2α )
O是△ABC 的外心，连接OA、OB、OC、OP
∠ABC=（30°-2α）+2α=30° => ∠AOC=60°
△AOC 是正三角形
∠PAB=∠PBA=30°-2α OA=OB A、B关于OP对称
∠COB= 2(30°-2α+α)= 60°-2α
∠POA=∠POB=α+(30°-2α)+30°= 60°-α
∠POC= α => A、O关于PC对称
∠PCA=60°/2=30°
∠PCB=180°-（30°-α）-30°-30°=90°+α
由ABC-P ( 30°-2α，2α，30°，α，30°-2α，90°+α)
可知mod4 ( 30°，2α，30°-2α，α，30°-2α，90°+α)成立
材料已经齐全，余下的工作就是编写平面几何的求解过程了，在编写过程中自然不必再提及模块的事情。
现在我们再来看整个的求解过程，那个形似复杂的解题的几何图形，实际上展示了整个目的角格点ABC-P由两个模型模块合成，左边是一个模型1模块，右
边是一个模型4模块，中间只进行了一次四边形角格点转换成三角形角格点的操作，几乎所有的推证过程都有现成的证明过程可以引用。朋友，是不是很清爽很顺畅呀？注意到目的角格点中有一条分角线是高线，这种分割方法往往是成功的。
模型模块的证明有多种方法，决不止《模块法》中提示的几种。下面我们也对模型4做一种新的证法。
mod4证法4：
已知：ABC-P(30°-2α,2α,α,30°-2α)
延长BC交AB的中垂线于E
∠PAB =∠PBA P在AB的中垂线上A、B关于PE对称
在AE的延长线上取点D，使∠EBD= 2α 连接DC、DP
∠EBA= （30°-2α）+2α =30° ∠PEB=∠PEA=60°
∠BED=180°-2×60°=60°∠EBD= ∠EBP= 2α
P、D 关于BE对称
∠EAP=∠EBP=2α ∠EAC=2α-α=α=∠PAC
F是AD上P点关于AC的对称点CD=CP=CF
∠CDF=∠CFD ∠CPA=∠CEA
∠CDA+∠CPA=180°A、P、C、D四点共圆
∠PCA=∠PDA=90°-60°=30°
∠PCB=180-α-（30°-2α)-(30°-2α)-2α-30°=90°+α
由ABC-P ( 30°-2α，2α，30°，α，30°-2α，90°+α)
可知mod4 ( 30°，2α，30°-2α，α，30°-2α，90°+α)成立
用mod4的证法4替代证法2，可得到第32题的一种新的求解过程。第32题解法2：
做BC的中垂线GH，且令∠GBH=∠GCH=30°，GH与EC交于P ∠PBH=∠PCH=14°∠GBP=∠GCP=30°-14°=16°
在CG的延长线上取点F，使∠GBF=∠GBP
∠BGH=∠CGH=60°∠BGF=180°-120°=60°
P、F关于BG对称，连接PF，设BG交AC于D，连接DP、DF DP=DF ∠FCD=30°-14°-8°=8°∠FCD=∠PCD
设Q是P关于CD的对称点，则
DP=DQ ∠DPE=∠DQF=∠DFQ P、C、F、D四点共圆
∠DPF=∠DCF=8°∠DFP=∠DCP=8°
∠BDP=90°+8°=98°=∠BEP B、E、D、P四点共圆
∠DEP=∠DBP=16°∠EDA=16°+8°=24°
BE⊥AC ∠EBD=∠EBC-∠DBC=68°-30°=38°=∠EBA
A、D关于BE对称∠EAD=∠EDA=24°
这时自然会有人问，模型4已知有三种证明方法，这里只用了第2种，其它两种是不是也可以用呢？我们在选择辅助模块的证法时，一定要考虑模块在证明时的形状是否和目的角格点相似，也就是要考虑模块证明时已知角度的位置是否易于和目的角格点相适配。如果不相似，可以引用模块的证明后再把模块的形状改造成和目的角格点相似，也可以先把目的角格点的形状改造成和模块证明时的形状相似，调用模块证明后再返回成原形状。
mod4证法1：
已知：ABC-P( 30°，2α，α，30°-2α)
作AB的中垂线交AB、BC于E、F,交∠CBP的平分线于D，连DA、DP ∠FAB=∠FBA=30°∠AFE=∠BFE=60°
∠PAB=30°P在AF上
BD平分∠CBP ∠PBD=∠FBD=α
∠FAD=α=∠PAC ∠AFC=180°-∠AFB=60°
∠AFC= ∠AFD =>C、D关于AF对称
∠PAD=∠PBD= α => A、B、D、P四点共圆
∠PDA=∠PBA=30°-2α
∠PCA=∠PDA=30°-2α
∠PCB=180°-（30°+α）-30°-（30-2α）=90°+α
由ABC-P 可知mod4 ( 30°，2α，30°-2α，α，30°-2α，90°+α)成立
引用模型4的证法1 ，可以得到第32题如下的求解过程，先做一个模型4模块BDF-K，引用模型4的证法1于以证明。然后在右边做外接圆转换，在左边做模型1镶嵌，最后生成目的角格点。
第32题解法3：
做△FBD，K是△FBD内的一点，使∠KFB=30°，∠KBF=14°，∠KFD=8°，
∠KBD=16°，做BF的中垂线交BD、BK、BF于P、Q、H，交∠PBQ的平分线于G，连接FP、FG、FQ、KG、KD
PH是BF的中垂线B、F关于PH对称
∠DBF=16°+14°=30°∠PFB=30°
∠KFB=∠PFB=30°K在FP上
∠BPH=∠FPH=60°∠FPD=180°-2×60°=60°
BG是∠PBQ的平分线∠PBG=∠QBG=8°
∠PFG=∠QFG=8°∠PFG=∠PFD=8°G、D关于PF对称
∠KFG=∠KBG=8°F、K、G、B四点共圆
∠GKP=∠GBF=14°+8°=22°
∠KDP=∠KGP=180°-60°-22°=98°
∠KDF=180°-8°-30°-14°-16°-98°=14°
△KDF的外接圆交BF的延长线于C，连接KC、DC，延长KC和DC的垂线BE相交于E，A是DC上D点关于BE的对称点，连接AB、AE、ED
∠KCF=∠KDF=14°∠KCD=∠KFD=8°
BE⊥DC ∠EBC=90°-8°-14°=68°
∠EBD=68°-30°=38°∠EBA=∠EBD=38°
∠BEC=90°+8°=98°∠BDK=∠BEK B、E、D、K四点共圆
∠DEK =∠DBK=16°∠EDA =16°+8°=24°
∠EAD= ∠EDA =24°
同样，也可以应用模型4的第三种证法来求解：
mod4证法3：
已知ABC-P (α,30°-2α,2α,30°-2α )
做∠PAC 的平分线交BC于D，连接PD
∠PAD=∠PAB =α ∠PBD=∠PBA=30°-2α
P 是△ABD的内心
∠PDA= ∠PDB= 60°+α
∠ADC= 180°-2(60°+α) =60°-2α
△PCD的外接圆交AD于E，连接EC、EP
∠ECP=∠EDP=60°+α ∠CPE=∠CDE=60°-2α
根据mod2 (30°，α，60°-2α，α，30°-α，60°+α)
则有APC-E (α，60°-2α，30°，α，30°-α，60°+α)
∠PCA=30°+(60°+α)=90°+α
∠PCD=180°-2α-α-2(30°-2α)-(90°+α)=30°
由ABC-P (α,30°-2α，90°+α，2α,30°-2α，30°)
可知mod4 ( 30°，2α，30°-2α，α，30°-2α，90°+α)成立
注意到模型4的第3种证法并没有直接完成模型4的证明，中间引用了模型2作为辅助模块，我们可以选用模型2的一种证法来完成模型4的证明，例如选用模型2的第2种证法：
mod2证法2：
△ABD 是顶角为2α的等腰三角形
P在∠DAB的平分线上，且∠PDB=60°
B、D关于AP对称，△PBD是正三角形
做∠PBD的角平分线交AD于C
P、D关于BC对称
∠PDA=90°-α-60°=30°-α ∠CPD=∠PDA=30°-α
∠PCA =2∠CDP=60°-2α ∠PBA=∠PDA=30°-α
∠PCB=180°-2α-(30°-α)-30°-(60°-2α) = 60°+α
由ABC-P (α，30°，60°-2α，α，30°-α，60°+α)
可知mod2 (30°，α，60°-2α，α，30°-α，60°+α)成立
如是可以得到第32题的另一种求解方法：下图中红色的辅助线是将BDC-H 转换成BDG-H，使之与mod4的证法3相适配，蓝色的部分是引用mod2证法3，辅助圆是mod2和mod4的结合部，P、K、D、S、H五点共圆是求解的关键。
第32题解法4：
D 是AC上A关于BE的对称点，连接BD、ED
∠EBA=∠EBD=38°∠DBC=68°-38°=30°
H在EC上，且∠DBH=16°，则∠HBC=30°-16°=14°
△HBC的外接圆交AC于G,连接GB、GH
∠BGH=∠BCH=14°∠HBG=∠HCG=8°∠HGD=∠HBC=14°
以∠DBH为顶角做等腰△FBH，∠FBH的平分线交AC于S，F、H关于AS对称，连接HD、HS、FS
做正△FPH，P在BS上，做∠PHF的平分线交BD于K，连接PK，
P、F关于HK对称
∠DBS=∠HBS=8°∠BFH=∠BHF=90°-8°=82°
∠PFB=∠PHB=82°-60°=22°∠PKH=∠FKH=90°-22°=68°
∠HBS=∠HBG=8°∠HGS=∠HGB=14°H是△SBG的内心
∠HSB=∠HSG=90°-8°-14°=68°
∠PKH=∠PSH=68°P、K、S、H 四点共圆
∠HKD=∠HSG=68°K、D、S、H 四点共圆
P、F、S、H、D五点共圆
∠PDK=∠PHK=30°∠PDH=∠PSH=68°
∠BDH=30°+68°=98°∠BEH=90°+8°=98°
B、E、D、H 四点共圆
∠HEH=∠DBH=16°∠EAD=∠EDA=∠DEC+∠DCE=16°+8°=24°
现在我们有必要回过头来看mod5-8其它的直接证法。为了模块证明时各已知分角的位置和目的角格点相适配，我们可以采用两种方法来解决，一种就是先调用模块的证明，然后改造成目的角格点的形状；另一种当然就是先将目的角格点改造成模块证明时的形状，证明完后再返回到原来的形状就可以了。
首先看如何引用mod5的证法1来求解。
mod5证法1：
已知ABC-P（α，60°-4α，3α，30°-2α）
∠CAB和∠PBC的平分线交于D，连接DC、DP
∠PBD=∠PBC/2=30°-2α ∠PBD=∠PBA=30°-2α
∠DAB=CAB/2=2α ∠PAD=∠PAB= α P是△ABD的内心
∠PDA=90°-α-（30°-2α）=60°+α
延长BD交AC于E，延长BP交AD于Q，连接EQ
Q是△AEB的内心
∠QEA=∠QEB=60°∠BEC=60°Q、C 关于BE对称
∠EDC=∠EDQ=∠DAB+∠DBA=60°-2α
∠CDA+∠ADP=2(60°-2α)+(60°+α)=180°-3α
=>A、P、D、C四点共圆
∠PCD=∠PAD=α ∠PCA=∠PDA=60°+α
∠PCB=180°-4α-(90°-6α)-(60°+α)=30°+α
由ABC-P 可知mod5( α，60°-4α，60°+α，3α，30°-2α ,30°+α)成立
下图是求解过程图，先做一个适于应用mod5证法1证明的mod5-8模块ADB-E，并引用mod5的证法1于以证明，然后做△AED的外接圆，将其改造成目的角格点ACB-E。
第32题解法5：
做△ABD，E是其内部一点，且有
∠EAD=14°,∠EDA=8°,∠EAB=28°,∠EDB=24°,
∠BAE的平分线交BD于G，∠BDA的平分线交AG于F，连接FB、FE，
延长AE交FD于H，连接GH
∠HAG=∠EAB/2=14°=∠EAD
∠FDE=∠BDA/2-∠EDA=8°=∠EDA E是△ADF的内心
∠EFA=∠EFD=90°-14°-8°=68°
∠HDA=∠HDG=16°H是△ADG的内心
∠AGH=∠DGH=90°-16°-14°=60°
∠AGB=∠AGH=60°B、H关于AG对称
∠BFG=∠DFG=14°+14°+8°+8°=44°
∠BFE=44°+44°+68°=156°∠BDE=16°+8°=24°
B、F、E、D四点共圆
延长BD至C，使∠BCE=14°，连接AC
∠DCE=∠DAE=14°A、E、D、C四点共圆
∠ECA=∠EDA=8°∠EAC=∠BDE= 24°
这时∠EBC=∠EFD=68°
∠EBA=180°-28°-24°-8°-14°-68°=38°
合乎题设要求，故∠EAC=24°
接着来看如何用mod5的证法2来求解。
mod5证法2：
已知ABC-D(3α，30°-2α，α，60°-4α )
延长BD交AC于E，P是△ABE的内心，连接PA、PB、PC、PD、PE ∠PAE=∠PAB= 2α∠PBD=∠PBA=30°-2α
∠PEA=∠PEB= 90°-2α-（30°-2α）= 60°
∠CEB=180°-120°=60°∠EBC=∠EBP=30°-2α P、C 关于BE对称
∠DAC=∠DAP=α DC=DP
设F是P点关于AD的对称点
DF=DP=DC ∠DCF=∠DFC ∠DFA=∠DPA
∠DCF+∠DPA=180°A、P、D、C四点共圆
∠DCP=∠DPC=α
∠DCB=90°-（30°-2α）-α=60°+α
∠DCA=180°-4α-(90°-6α)-(60°+α)=30°+α
由ABC-D (3α，30°-2α，30°+α，α，60°-4α ，60°+α)
可知mod5(α，60°-4α，60°+α，3α，30°-2α ，30°+α) 成立
下面是求解过程图，可是看成是首先用△AEC的外接圆将目的角格点改造成一个适合用mod5证法2证明的mod5-8模块DCB-E，并且用证法2给于证明，然后再返回确定目的角格点。
第32题解法6：
做△DCB，Q是其内部的一点，∠QDC=∠QDB=16°,∠QCD=14°,∠QCB=28°∠QCB的平分线交BD于G，交∠QDB的平分线于E，连接QG、EB、EQ ∠QDC=∠QDB=16°∠QCG=∠QCD=14°Q是△GDC的内心
∠QGD=∠QGC=90°-16°-14°=60°
∠GCQ=∠GCB=14°B、Q关于GC对称BQ⊥GC
∠EDQ=∠EDB=8°EQ=EB
令F是BD上Q关于ED的对称点，连接FQ、FE
∠EBF=∠EFB ∠EFD=∠EQD
∠EBF+∠EQD =180°D、Q、E、B 四点共圆
∠EBQ=∠EDQ=8°
在BD上取A，使∠ECA=8°，连接EA
∠ECA=∠EDA=8°E、A、D、C 四点共圆
∠EAC=∠EDC=8°+16°=24°
这时
∠EBC=90°-14°-8°=68 °
∠EBA=180°-16°-16°-14°-28°-68°=38°
∠ECA=8°∠ECB=14°
合乎题设要求，故∠EAC=24°
下面我们对模型5做出一种新的证法，
Mod5证法4：
已知：ABC-P（30°+α，30°-2α，α，60°+α）
在AP上取点D，使∠DCA=∠DAC=α
∠ADC=180°-2α ∠ABC=（60°+α）+（30°-2α）= 90°-α
∠ADC=2∠ABC D是△ABC的外心，连接DB
∠DBA=∠DAB=30°+α
∠DBC=∠DCB=90-（30°+α）-α=60°-2α
以DB为边做正△DEB ,连接EP、EC
∠PBD=(60°+α)-(30°-2α)=30° E、D 关于PB对称
DC=DB=DE ∠BDC=180°-2×(60°-2α)=60°+4α
∠CDE=（60°+4α）-60°=4α ∠PDC=α+α=2α E、C 关于PD对称
PC=PE=PD ∠PCD=∠PDC=2α
∠PCA=2α+α=3α
∠PCB=180°-α-(30°+α)-(60°+α)-(30°-2α)-3α=60°-4α
由ABC-P ( α,60°-4α,60°+α,3α,30°-2α , 30°+α)
可知mod5(30°+α,30°-2α ,3α，α，60°+α,60°-4α )成立
下面引用mod5的这种证法，又可得到第32题的一种新的求解方法：如下图所示，注意到E、B、D、C四点共圆，把角格点ACB-E变换成关联角格点ACD-E，ACD-F 是一个模型1模块，然后利用正△DGF，等腰△AGF来理清角度关系。
第32题解法7：
△BEC的外接圆交AB的延长线于D,连接DE、DC
在EC上取点F,使FA=FC，做正△DFG，连接GD、GA、GE
BE⊥AC ∠BAC=90°-38°=52°
∠BDE=∠BCE=14°∠ECD=∠EBA=38°
∠BED=∠BCD=38°-14°=24°
∠ADC= 180°-52°-8°-38°=82°∠AFC=180°-16°=164°
∠ADC=2∠AFC F是△ADC的外心
∠FDA=∠FAD=52°-8°=44°∠EDF=44°-14°=30°
G、F关于ED对称
∠DFE=2∠ECD=2×38°=76°∠GFE=76°-60°=16°
FA=FD=FG ∠EFA=16°=∠GFE A、G关于EF对称
∠EAF=∠EGF=∠EFG=16°
∠EAC=16°+8°=24°
模块法用以求解基本角格点，是一种全新的思维方式，它所生成的结果，也可能是新奇的，前所未见的。改变模型模块的证明方法，就可以获得新的求解程序，完全实现了角格点求解的程式操作。单纯用平面几何知识而不采用模块法，要编写一个角格点的几何求解过程，就象迷失在大森林里寻找路径，对一般同学来说确实是一件不容易的事情，现在我们有了模块法，就象有了地图和指南针一样，求解的方案竞然象井喷一般涌了出来，希望朋友们在使用模块法时通畅顺利，悉心享受平面几何证题的快乐。
云鹤松柏写于娄底檀香山
20210110
五年级第18讲牛吃草问题与钟表问题 兴趣篇 1.有一片草地上原有300千克草,如果这片草地每天能长出10千克草,而每头牛每天要吃5千克草,请问:6头牛几天会把这片草地吃完? 2.有一片匀速生长的草地,可以供10头牛吃20天,或者供15头牛吃10天,那么这片草地上每天生长出的草量可以供几头牛吃一天? 3.有一片牧场,草每天都在均匀地生长.如果在牧场上放养24头牛,那么6天就把草吃完了;如果只放养21头牛,那么8天才把草吃完.请问: (1)要使得草永远吃不完,最多可以放养多少头牛? (2)如果放养36头牛,多少天可以把草吃完? 4.有一片均匀生长的草地,可以供18头牛吃40天,或者供12头牛与36只羊吃25天,如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量.请问:这片草地让17头牛与多少只羊一起吃,刚好16天吃完? 5.有一座时钟现在显示上午10点整.问: (1)多少分钟后,分针与时针第一次重合? (2)再经过多少分钟,分针与时针第二次重合?
6.卡莉娅早上6点半起床,赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线,那么卡莉娅到学校的时间是几点几分? 7.小高在9点与10点之间开始解一道数学题,当时手表的时针和分针正好成一条直线.当小高解完这道题时,时针和分针刚好第一次重合.请问:小高解这道题用了多少分钟? 8.下午6点多时墨莫吃完晚饭开始看动画片,动画片开始时他看手表,发现时针和分针的夹角为 110.在新闻联播前动画片放完了,墨莫又看手表,发现时针和分针的夹角仍然是 110.那么动画片一共放了多少分钟? 9.在早晨6点到7点之间有一时刻,钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央.请问:这一刻是6点多少分? 10.一个快钟每小时比标准时间快1分钟,一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟.现在将两个钟同时调到标准时间,结果在24小时内,快钟显示9点整时,慢钟恰好显示8点整.请问:这个时候的标准时间是多少? 拓展篇 1.有一片牧场,草每天都在均匀地生长.如果在牧场上放养18头牛,那么10天能把草吃完;如果只放养24头牛,那么7天就把草吃完了.请问: (1)如果放养32头牛,多少天可以把草吃完? (2)要放养多少头牛,才能恰好14天把草吃完?
小升初经典题型分析：牛吃草问题_题型归纳 12头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草，假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变，问多少头牛8周吃完16公顷的牧草。 老师分析与提示： 其实解决牛吃草问题也不难，主要掌握以下几个问题和思路 1、知道什么题算牛吃草问题？ 很多老师在讲牛吃草问题时，并没有指明，孩子也容易忽视。其实这是很重要的一点。 雪帆老师在这里提示各位同学和家长，牛吃草问题，主要是草会变，或增加，或减少。（如果草不发生变化，就可能会变为归一问题，盈亏问题等。） 所以牛吃草有两大题型，一个长草，一个减草。 2、牛吃草问题的一个假设 我们常常假设单位牛头数在单位时间内吃的草为1份，这个容易被忽视，这个也很重要，首先它是用来计算两个草量，其实，它为后面的问题简化作铺垫。 3、牛吃草问题的两个关键量 生长量和原有草量。生长量容易做，因为随着天数的增加，草量会发生变化，根据差量法即可得到。 而原有草量是要注意长草还是减草的。 4、牛吃草问题的技巧 牛吃草问题的最大技巧就是把原有草量和生长量分开考虑。当原有草量吃完后，再把生长量考虑进去即可。 而生长量需要几头牛，正是利用了“假设”得到的。 5、牛吃草问题的变形 其中一个变形就是上面例题，草地的大小不同。 下面我就上面那道例题给出如下思路，有兴趣的朋友可以跟着一起思考： 1、假设一头牛一周吃一份 2、求出两次草量，因为草地大小不同，各自求出一公顷的草量； 3.根据草量之差，求一公顷的生长量； 4、根据生长量，和某一个草量，求一公顷的原有草量，这一步初学者请画图参考，很容易理解的。 5、题目让你求的是16公顷的，所以你要求出16公顷的生长量和原有草量； 6、先求原有草量8周需要几头牛，生长量需要几头牛吃完，就可以求出结果。
五年级奥数牛吃草问题解析 （用心收集，可以成册） （１）牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6天，或者供23头牛吃9天。如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几天 解牛吃草问题的一般步凑首先设定一头牛一天吃草量为“1” 1.求草的生长速度 第一种吃法草量27×6=162 份 第二种吃法草量 23×9=207份 两种吃法草量的相差数207-162=45 这个相差数就是草三天（9天比6天多的时间）生长的草量。 草的生长速度45÷（9-6）=15份 这个过程可以写成公式 1）- 2）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）； 按公式把以上过程写成（23×9-27×6）÷（9-6）=15份 2.求原有草量 2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` 这里有两种吃草情况，选择一种计算就可以，我们现在选定第一种 27×6-15×6=72份当然你也可以选择第二种来计算为 23×9-15×9=72份
3.求问题中吃的天数或者牛的头数 ~ 3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； 72÷（21-15）=12（天） 或者3）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 如果把题目改为可供多少头牛吃12天就可以这样解答 72÷12+15=21头 （２）有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水桶吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应 吊多少桶水 1.求每分钟涌水速度 （4×15- 8×7）÷(15-7) =(每分钟涌水速度) 2.求原有水量 4 ×15-15×=（原有水量） 【 3. 求桶的个数 +5×÷ 5=11桶 练习
小学数学牛吃草问题 吃草问题是小学奥数五年级的内容，学过的同学都知道这是一类比较复杂的应用题，还有一些相应的变形题：排队买票、大坝泄洪、抽水机抽水等等。 那么在这里讲下牛吃草问题的解题思路和解题方法、技巧供大家学习。 一、解决此类问题，孩子必须弄个清楚几个不变量：1、草的增长速度不变??2、草场原有草的量不变。草的总量由两部分组成，分别为：牧场原有草和新长出来的草。新长出来草的数量随着天数在变而变。 因此孩子要弄清楚三个量的关系： 第一：草的均匀变化速度（是均匀生长还是均匀减少） 第二：求出原有草量 第三：题意让我们求什么（时间、牛头数）。注意问题的变形：如果题目为抽水机问题的话，会让求需要多少台抽水机 二、解题基本思路 1、先求出草的均匀变化速度，再求原有草量。 2、在求出“每天新增长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。 3、已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。 4、根据（“原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数 三、解题基本公式
解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为： 1、草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数） 2、原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数 3、吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度） 4、牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度 四、下面举个例子 例题：有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢并且牧场上的草是不断生长的。 一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1，那么就有： （1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。） （2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 （这207包括牧场原有的草和9天新长的草。） （3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15 （4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72 （5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷（21－15）＝72÷6＝12（天） 所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽 公式解法：
牛吃草问题 1.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么可供21头牛吃几周？ 2.由于天气逐渐变冷，牧场上的青草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？ 3.有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，10台抽水机需8小时，8台抽水机需要12小时。如果用6台抽水机，那么需要抽多少个小时？ 4.有一个水池，池底有一个打开的出水口。用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？ 5.自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该扶梯共有多少级？ 6..哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。在相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从扶梯底向上走到顶，共走了50级。如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？
7.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒钟可走3级梯级，女孩每秒钟可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？ 8.仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？ 9.画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不在有人排队，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达的时间是8点几分？ 10.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开6个检票口则需20分钟。如果要使队伍10分钟消失，那么需同时开几个检票口？ 11.假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年。为使人类能够不断繁衍，那么地球上最多能够养活多少亿人？
图示法解析牛吃草问题 图示法解题：图示法在解很多题目时非常直观、简洁，如在牛吃草、行程等问题中得到广泛的应用，以牛吃草为例说明如下： 【例1】一片草场的青草每天都匀速生长，这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？ 解题思路总结：解决牛吃草问题的关键是： （1）设1头牛1天吃1份草； （2）要求出每天（或每周等）新生长的草量； （3）要求出原有的草量；注意：原有的草量不变。 然后代入计算就可以了。 解：作线段图如下图： 设1头牛1天吃1份草， 则27头牛6天共吃草：27×6＝162份；23头牛9天共吃23×9＝207份， 多了207－162＝45份，相当于（9－6）天生长的草量， 所以每天生长的草量为：＝15份/天； 则原有的草量为：162－6×15＝72份； 21头牛中有15头吃生长的草，那么剩下的21－15＝6头吃原有的草， 所以可以吃：天，因此可供21头牛吃12天。 练习题： 1.有一个水池，池底有一个打开的出水口。用5台抽水机20时可将水抽完，用8台抽水机15时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完? 2.哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。在相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级。如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级? 3.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级?
4.仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完;如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完? 5.画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达的时间是8点几分? 6.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开6个检票口则需20分钟。如果要使队伍10分钟消失，那么需同时开几个检票口? 7.假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上的资源可供110 亿人生活90年，或可供90亿人生活210年。为使人类能够不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人? 8.有一牧场，17头牛30天可将草吃完.19头牛则24天可以吃完.现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完.问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)? 9.有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。问：第三块草地可供多少头牛吃80天? 10.有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8时，8 台抽水机需抽12时。如果用6台抽水机，那么需抽多少小时?
牛吃草类型应用题解题 方法 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天．问：可供25头牛吃几天？ 分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量．总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分．牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的．下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量．设1头牛一天吃的草为1份．那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完．前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草．200－150＝50(份)，20－10＝ 10(天)，说明牧场10天长草50份，1天长草5份．也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草．由此得出，牧场上原有草(10－5)×20＝100(份)或(15－5)×10＝100(份)．现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份．当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100÷20＝5(天)．所以，这片草地可供25头牛吃5天．在例1的解法中要注意三点：(1)每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的．(2)在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以
第18讲牛吃草问题与钟表问题 内容概述 牛吃草问题是一类特殊的工程问题，钟表问题是一类特殊的行程问题．牛吃草问题的难点在于草的总量有变化，因此要注意单位“1”的选取．掌握钟表问题的相关知识，学会将掐针成角度问题转化为指针闻的环形追及问题或相遇问题，学会用比例分析两个速度不同的钟表之间的时间对比关系． 典型问题 兴趣篇 1．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完．请问： (1)要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？(2)如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？ 2．学校有一片均匀生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量．请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？ 3．一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？ 4．有一座时钟现在显示上午10点整，问： (1)多少分钟后，分针与时针第一次重合？(2)再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？ 5．小悦早上6点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，那么小悦到达学校的时间是几点几分？ 6．阿奇在9点与10点之间开始解一道数学题，当时手表的时针和分针正好成一条直线．当阿奇解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合．请问：阿奇解这道题用了多少分钟？ 7．下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和分针的
牛吃草问题（一） 1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路. 2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系 英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”． “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点． 解“牛吃草”问题的主要依据： ① 草的每天生长量不变； ② 每头牛每天的食草量不变； ③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 ④ 新生的草量=每天生长量?天数． 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； ⑵草的生长速度=(对应牛的头数?较多天数-对应牛的头数?较少天数)÷(较多天数-较少天数)； ⑶原来的草量=对应牛的头数?吃的天数-草的生长速度?吃的天数； ⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)； ⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度． “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题． 模块一、一块地的“牛吃草问题” 【例 1】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃 18周？ 【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15?-?÷-=，原有草量为 (2715)672-?=，可供72181519÷+=（头）牛吃18周 【答案】19头牛 【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20 天？ 【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】对比思想方法 【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015-=天生长的草量为1225241060?-?=，所以每天生长 的草量为60154÷=；原有草量为：()24410200-?=． 20天里，草场共提供草200420280+?=，可以让2802014÷=头牛吃20天． 【答案】14头牛 【巩固】 牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则 头例题精讲 知识精讲 教学目标
牛吃草（一） 【学习目标】 1.理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路。 2.初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系。 【经典例题】 一般的牛吃草问题 【例1】牧场上长满牧草，每天牧草都均匀生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛可吃几天？（难度系数：★★） 思考探索： ※同样都是把牧场的草吃完了，为什么吃草的总量不一样呀？你明白为什么吗？ 题目分析： 因为每天都会有新的草长出来，所以草的总量并不是固定不变的。吃的时间越长，长得草越多，草的总量也就多了。设1头牛1天的吃草量为“1”， （1）10头牛吃20天共吃了10×20=200份； （2）15头牛吃10天共吃了15×10=150份。 比较：第一种吃法比第二种吃法多吃了200-150=50份， 这50份草是牧场的草20-10=10天生长出来的， （3）所以每天新生长的草量为50÷10=5份， 牛吃的草包含2部分：①新长的草；②原有的草。25头牛一天要吃25份草，而每天新长5份草，显然不够这25头牛吃！所以还必须吃掉20份原有的草。 （4）那么原来草量为：200-5×20=100份。 （5）供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100÷（25－5）=100÷20=5天可将原来的牧草吃完，即它可供25头牛吃5天。 反思提升： 解答牛吃草问题通常设每头牛每日吃掉的草量为单位“１”，解题关键在于通过对题中条件的分析比较，求出牧场上原有的草量，单位时间生长的草量。我们对于基本的牛吃草问题可以做如下总结，我们称之为“五步法”： 第1步：求出两个总量； 第2步：总量的差÷时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数； 第3步：每天长草量×天数=总共长出来的草； 第4步：草的总量－总共长出来的草=原有的草； 第5步：原有的草÷吃原有草的牛=能吃多少天（或原有的草÷能吃多少天=吃原有草的牛） 当然，牛吃草问题的变化还比较多，因此以上“五步法”只能作为参考，切不可生搬硬套。 【总结与归纳】 “五步法”是从算术方法的角度，提供一种分析问题的思路，我们应该在解题中时刻把握“牛吃草问题”的核心是：牛吃草总量=草场原有草量+新长草量 这种关系，在实际题目中，一般会出现两种方案，对这两种方案进行比较是获得解题思路的捷径，这种比较主要看两种方案“总草量”之差，这对应着两种方案的“时间差”。 具体来看这里的关系： 牛的头数×吃的天数=草场原有草量+每天长草量×吃的天数。 由此可知，一般牛吃草问题，首先要把两个关键的量求出来，即每天长草量和草场原有草量。 【例2】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变。）（难度系数：★★）
小学数学牛吃草问题知识点总结: 牛吃草问题：牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。 小升初冲刺第2讲 牛吃草问题 基本公式: 1) 设定一头牛一天吃草量为“1” 2）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）； 3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` 4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； 5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？ 解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量： （200-150）÷（20-10）=5份 10×20=200份……原草量+20天的生长量原草量：200-20×5=100 或150-10×5=100份 15×10=150份……原草量+10天的生长量 100÷（25-5）=5天 [自主训练] 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量： （180-150）÷（20-10）=3份 9×20=180份……原草量+20天的生长量原草量：180-20×3=120份或150-10×3=120份 15×10=150份……原草量+10天的生长量 120÷（18-3）=8天 例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块
牛吃草问题 牛吃草问题是经典的奥数题型之一，首先，先介绍一下这类问题的背景 一、定义 伟大的科学家牛顿著的《普通算术》一书中有这样一道题：“12头牛4周吃牧草格尔，同样的牧草，21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草多少牛吃18周吃完。”（格尔——牧场面积单位），以后人们称这类问题为“牛顿问题”的牛吃草问题。 二、特点 在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。来看看这例题 例.有这样的问题：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周？ 解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：①某个时间期限前草场上原有的草量；②这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。 下面就用开头的题目为例进行分析.（见下图） 从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量.为了求出一周新生长的草量，就要进行转化.27头牛6周吃草量相当于27×6＝162头牛一周吃草量（或一头牛吃162周）.23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量（或一头牛吃207周）.这样一来可以认为每周新生长的草量相当于（207-162）÷（9-6）=15头牛一周的吃草量。 需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量（即15×6=90头牛吃一周的草量）即为牧场原有草量。 所以牧场上原有草量为27×6-15×6=72头牛一周的吃草量（或者为23×9- 15×9=72）。牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛分成两部分.一部分看成专吃牧场上原有的草.另一部分看成专吃新生长的草.但
“牛吃草问题就是追及问题，牛吃草问题就是工程问题。” 英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？ 解题关键： 牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步： 1、求出每天长草量； 2、求出牧场原有草量； 3、求出每天实际消耗原有草量 4、最后求出可吃天数 想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。 解：新长出的草供几头牛吃1天： （10×22-16×1O）÷(22-1O） =（220-160）÷12 =60÷12 =5（头） 这片草供25头牛吃的天数： （10-5）×22÷（25-5） =5×22÷20 =5.5（天） 答：供25头牛可以吃5.5天。 ---------------------------------------------------------------- “一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。 例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？ 分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。 设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。 200－150＝50（份），20—10＝10（天）， 说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃
牛吃草问题 【知识要点】 求解此类问题的三个步骤： 1．每天（每周）草长的份数 2．牧场上原有多少草 3．依题意求解注意：单位统一 【典型例题】 例1 牧场上有一片青草,每天匀速生长,这片青草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问这片青草原有多少草？每天新生长的草是多少？如果饲养25头牛多少天可以把牧场上的草吃完？ 例 2 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。已知某地草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天，照此计算，可供多少头牛吃10天？ 例 3 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客数一样多，从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如里同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
例4 快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车人，这3辆车分别用6小时、10小时、12小时追上骑车人，现在知道快车的速度是24千米/时，中车速度是20千米/时，问慢车的速度是多少？ 例5 有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天，假设草每天的生长速度不变，现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了两天便将草吃完，原有羊多少只？ 例6 一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天.如果一头牛一天的吃草量等于四只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃，可以吃多少天？
随堂小测 姓名成绩 1．牧场上长满牧草，可供10头牛吃3天，可供5头牛吃8天，如果牧草每天匀速生长，如果饲养4头牛，可以吃几天？ 2．有一酒槽，每日泄露相等量的酒，现让6人饮此酒，则4天喝完，或让4人饮此酒则5天喝完.若每人的饮酒量相同，那么16人多少天可以饮完？ 3．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，如果同时开放10个检票口，则需20分钟检票口前的队伍恰好消失；如果同时开放15个检票口，那么10分钟队伍恰好消失。如果同时开放25个检票口，那么队伍多少分钟恰好消失？ 4．快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车，三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用了多少小时？ 5．一片牧草，每天匀速的生长.它可供17只羊吃30天，或可供19只羊吃24天.现有若干只羊，6天后卖了4只，余下的羊2天将草吃完，那么原来有羊多少只？
小学数学牛吃草问题 综合讲解 Revised on November 25, 2020
小学数学牛吃草问题 吃草问题是小学奥数五年级的内容，学过的同学都知道这是一类比较复杂的应用题，还有一些相应的变形题：排队买票、大坝泄洪、抽水机抽水等等。 那么在这里讲下牛吃草问题的解题思路和解题方法、技巧供大家学习。 一、解决此类问题，孩子必须弄个清楚几个不变量：1、草的增长速度不变2、草场原有草的量不变。草的总量由两部分组成，分别为：牧场原有草和新长出来的草。新长出来草的数量随着天数在变而变。 因此孩子要弄清楚三个量的关系： 第一：草的均匀变化速度（是均匀生长还是均匀减少） 第二：求出原有草量 第三：题意让我们求什么（时间、牛头数）。注意问题的变形：如果题目为抽水机问题的话，会让求需要多少台抽水机 二、解题基本思路 1、先求出草的均匀变化速度，再求原有草量。 2、在求出“每天新增长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。 3、已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。 4、根据（“原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数
三、解题基本公式 解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为： 1、草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数） 2、原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数 3、吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度） 4、牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度 四、下面举个例子 例题：有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢并且牧场上的草是不断生长的。 一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1，那么就有： （1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。） （2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 （这207包括牧场原有的草和9天新长的草。） （3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15 （4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72 （5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷（21－15）＝72÷6＝12（天） 所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽 公式解法：
2017小升初数学牛吃草问题解题思路和技巧_知识点总结 牛吃草问题是小学五年级的内容，学过的同学都知道这是一类比较复杂的应用题，下面为大家分享小升初数学牛吃草问题解题思路和技巧，供大家参考! 一、解决此类问题，孩子必须弄个清楚几个不变量： 1、草的增长速度不变 2、草场原有草的量不变。 草的总量由两部分组成，分别为：牧场原有草和新长出来的草。新长出来草的数量随着天数在变而变。 因此孩子要弄清楚三个量的关系： 第一：草的均匀变化速度(是均匀生长还是均匀减少) 第二：求出原有草量 第三：题意让我们求什么(时间、牛头数)。注意问题的变形：如果题目为抽水机问题的话，会让求需要多少台抽水机 二、解题基本思路 1、先求出草的均匀变化速度，再求原有草量。 2、在求出“每天新增长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。 3、已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。 4、根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数 三、解题基本公式 解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为： 1、草的生长速度=对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数) 2、原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数 3、吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度) 4、牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度 四、下面举个例子 例题：有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽;养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢?并且牧场上的草是不断生长的。 一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1，那么就有： (1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6=162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。) (2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9=207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。) (3)1天新长的草为：(207-162)÷(9-6)=15 (4)牧场上原有的草为：27×6-15×6=72 (5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21-15)=72÷6=12(天) 所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽 公式解法： (1)草的生长速度=(207-162)÷(9-6)=15 (2)牧场上原有草=(27-15)×6=72 再把题目中的21头牛分成两部分，一部分15头牛去吃新长的草(因为新长的草每天长15
牛吃草问题 例：有一片牧草，草每天匀速的生长，这片牧草可供100头牛吃3周，可供50头牛吃8周，那么可供多少头牛吃两周 设每头牛每周吃草一份， 100头牛3周吃的草：100×3=300（份） 50头牛8周吃的草：50×8=400（份） 草的生长速度：（400-300）÷（8-3）=20（份） 原有牧草的份数：100×3-3×20=240（份） （240+20×2）÷2=140（头） ~ ①一个牧场,草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将 草吃完。现有一群牛，吃了6天后,卖掉4头牛，余下的牛再吃2天就将草吃完。问没有卖掉4头牛之前，这一群牛一共有多少头 设一头牛一天吃一份草. 17头牛30天吃的草：17×30＝510（份） 19头牛24天吃的草：19×24＝456（份） 每天长草数：（510－456）÷（30－24）＝9（份） 牧场原有草数：510－9×30＝240（份） 8天可吃草数：240＋8×9＝312（份） 设卖牛前有x头： 6x+2（x-4）=312 x=40 ^ ②一片牧草,可供9头牛12天，也可供8头牛吃16天，开始只有4头牛吃，从第7天起增加了若干头牛来吃草，再 吃6天吃完了所有的草，问从第7天起增加了多少头牛 设一头牛一天吃一份草. 9头牛12天吃的草：9×12＝108（份） 8头牛16天吃的草：8×16＝128（份） 每天新增量：（128-108）÷（16-12）=5（份） 原有草量：108-12×5=48（份） 从开始4头牛到6天后增加牛后再吃6天可知前后共计12天，这片草地共有草量：48+5×12=108（份） 开始的4头牛12天吃的草：4×12=48（份） ： 增加的牛数：108-48）÷6=10（头） ③有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天。假设草每天的生长速度不变，现有羊若干只，吃了4天 后又增加了6只，这样又吃了2天，便将草吃完。问：原有羊多少只 设一只羊吃一天的草量为一份． 每天新长的草量：（8×20-14×10）÷（20-10）=2（份） 原有的草量：8×20-2×20=120（份） 若不增加6只羊,这若干只羊吃6天的草量,等于原有草量加上4＋2=6天新长草量再减去6只羊2天吃的草量：120＋2×（4＋2）-1×2×6=120（份） 羊的只数：120÷6=20（只）
解决牛吃草问题的多种算法 历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。 主要类型： 1、求时间 2、求头数 除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。 基本思路： ①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。 ②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。 ③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。 基本公式： 解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶ (1)草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数－吃的较少天数)； (2)原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` (3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)； (4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度 第一种：一般解法
“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。” 一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有： (1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。) (2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。) (3)1天新长的草为：(207－162)÷(9－6)＝15 (4)牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72 (5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(2 1－15)＝72÷6＝12(天) 所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。 第二种：公式解法 有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧1 6头牛，几天可以吃完牧草？(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？ 解答： 1) 草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份) 原有草量：21×8-12×8=72(份) 16头牛可吃：72÷(16-12)=18(天) 2) 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数 所以最多只能放12头牛。
牛吃草问题 一、知识梳理 英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”． “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点． 解“牛吃草”问题的主要依据： ①草的每天生长量不变； ②每头牛每天的食草量不变； ③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 ④新生的草量=每天生长量?天数． 二、方法归纳 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； ⑵草的生长速度=(对应牛的头数?较多天数-对应牛的头数?较少天数)÷(较多天数-较少天数)； ⑶原来的草量=对应牛的头数?吃的天数-草的生长速度?吃的天数；
⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)； ⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度． “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题． 三、课堂精讲 （一）、草匀速增长，不同头数的牛吃同一片次的草： 例1.牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，供25头牛吃多少天？ 【规律方法】掌握牛吃草问题的解题步骤及解题思路。 【搭配课堂训练题】 【难度分级】 A 1. 牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完。假定草的生长速度不变，那么供19头牛几周吃完？ 2.牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？