E D C B A A B C
D
E
A B
C D E F G C A
B P
锐角三角函数
1．在ABC Rt ?中，?=∠90C ，cosA=2
1, 则________=∠B .
30tan 260tan 45cos 2+-=_________ 2．在△ABC 中，∠C=90°, BC=3 , AB=5 ,则sinA=__________
3．在ABC ?中，?=∠90C ，AB =15，sin A =3
1
，则BC=____________.
4．在?ABC CD BE AB AC 中，、分别为与上的高， ∠=?∠=?EBC DCB 4530，，DC =12，
求BE= .
第4题 第5题 第6题 第7题图
5．在1615
9085ABC C b A ?∠=?=∠中，，，的平分线是
，则∠B= ，AB= . 6．如图，已知=∠===∠??A S AC AB B ABC ABC ，，，是钝角，中，141
______，tanC ＝_______． 7．已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为 ．
8．Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC 为一边，在△ABC 外部作等腰直角三角形 ACD ，则线段BD 的长为 。 9．如图，Rt △ABC 中，∠C=90, ∠ABC=30，AB=6.点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA=DE ，则AD 的取值范围是 .
第9题图 第10题图 第11题图
10．已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以
Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的
斜边长是 ．
11．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图是一棵由
正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S 1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S 2，…，第n 个正方形和第n 个直角三角形的面积之和为S n ．设第一个正方形的边长为1．请解答下列问题：
（1）S 1＝__________； （2）通过探究，用含n 的代数式表示S n ，则S n ＝__________． 12．如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，点P 是边BC 上的动点，则AP 长不可能．．．是 ( ) A ．2.5 B ．3 C ．4 D ．5
13．如图，ABC ?和DCE ?都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则
BD 的长为（ ） （A ）3 （B ）23 （C ）33 （D ）43
14．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重
合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）
（A ）4 cm （B ）5 cm （C ）6 cm （D ）10 cm 15．如图，每个小正方形的边长为1，ABC ?的三边c b a ,,的大小关系式（ ）
（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）a b c <<
第12题图 第
13题图 第14题图 第15题图
16．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若DPB α
∠=，那么
CD
AB
等于（）
Ａ．sinαＢ．cosαＣ．tanαＤ．
1
tanα
17．计算：sin30°－
2
2
cos45°+
1
3
tan260°01
1
82sin45(2π)()
3
-
?+--
18．在△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于D,tan∠ACD=
3
2
,DB=2cm.求AC,BC的值.
19．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为第二象限内一点，且AO＝5，cosα
25
5
⑴求点A的坐标；
⑵在x轴上，是否存在一点P，使得cos∠APO=
12
13
，若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 20．在Rt ABC
?中，90
C
∠=，
1
tan
2
A=，5
AB=若点D是AC边上的一个动点（不与点A、C 重合），设CD x
=，ABD
?的面积为y.
（1）请你写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当ABD
?是等腰三角形时，求出ABD
?的面积.
C
D
A B
α
P
O N
M
图3
图2
解直角三角形
1．在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=1，sin A=
2
3
. 则tan A＝________，BC＝________
2．Rt△ABC中，若sin A＝
4
5，AB＝10，那么BC＝，tan B＝
3．一次函数y ax b
=+的图像过点()
1,2
P，且与x轴交于点A，与y轴交于点B，若
1
tan
2
PAO
∠=，则点B的坐标是.
4．如图，将宽为2cm的纸条折叠，折痕为MN，若∠MON＝60°，则折叠后重叠部分的面积是cm2. 5．如图，自40m高的甲楼楼顶测得乙楼楼顶的仰角为30，楼底的俯角为45，那么乙楼的楼高为m.
第4题图第5题图第6题图第7题图第8题图
6．如图，在某人工湖的改造中，需测量湖东西两岸A、B两点间的距离.设计人员由点A向正南方向前进了600米到达C，在点C测得点B在西北方向，则A、B两点间的距离（）
A．300米B．600米C．3002米D．6002米
7．如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45，若点D到电线杆底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为（）
A．a B．2a C．
3
2
a D．
5
2
a
8．如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC=6，D是AC上一点，tan∠DBA=
1
5
，则AD的长（）.
A． 2 B．22C．2 D．1
9．在△ABC中，∠C为直角，且b=2，a=6，解这个三角形．
10．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=2，BC=42，求DC的长．11．如图，已知AD BC
∥，AB=CD, 对角线CA平分BCD
∠，AD=5，
4
tan
3
B=.求：BC的长.
A
B
D
C
图1
D C B
A A
B
C D
12．一个等腰三角形的一个角是30o，一条边是6，求这个三角形各边的长.
13．如图，瞭望台AB 高20 米，从瞭望台底部B 测得对面塔顶C 的仰角为60?
，从瞭望台顶部A 测得塔顶C 的仰角为45?
，已知瞭望台与塔CD 的底部处于相同的水平面，求塔高CD.
14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，CD ＝5㎝，求AB 的长．
15.如图,电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，若CD 与地面成?45 角，?=∠60A ，m CD 4=，m BC )2264(-=，则电线杆AB 的长为多少米？
16．如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠D=120°，BC=2，AD=1，求：四边形ABCD 的周长.
17．已知：菱形ABCD ，AC=8，BD=6，若将此菱形沿一条对角线剪开成为两个三角形，在平面上把这两
个三角形拼成一个不重叠的凸四边形，画出所有拼成的四边形的示意图，并写出所拼四边形（不包括菱形）的对角线的长（不要求写计算过程）.
18．如图，AB = 3AC ，BD = 3AE ，又BD ∥AC ，点B ，A ，E 在同一条直线上.
(1) 求证：△ABD ∽△CAE ；
(2) 如果AC =BD ，AD =22BD ，设BD = a ，求BC 的长.
D C B A
O
C B A O B E C
D
A O D B
A C
O C
B A D
E
D C
B A
O F E
D C B
A 圆的基本性质
1．如图，AB 是⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC AB ⊥于点D ，交⊙O 于点C ，且1CD =，则弦AB 的长是
2．如图，AB 为直径，20BAC
，D 为AC 上的任意一点，则D ＝ 度
3．如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥，E 为BC 上一点，28CEA ∠=，则 ABD ∠=
4．如图，在⊙O 中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC 的周长为________．
5．如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，O 为圆心，OD ⊥AB ，垂足为D ，OE ⊥AC ，?垂足为E ，?若DE=3，
则BC=________．
第 1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
6．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，D 为AC 的中点，DE ⊥AB 于E 交AC 于F ，若AF=2，则DF 的长为 ．
7．
O 的半径为1，AB 是O 的一条弦，且3AB =，则弦AB 所对圆周角为_________ 8．已知O 中弦2AB =，3AC =，则BAC ∠= 度
9．如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=，则AOB ∠=（ ）
A ）40
B ）50
C ）80
D ）100
10．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD 等于（ ） A ．100° B ．110° C ．120° D ．130°
第6题图 第9题图 第10题图 第11题图
11．如图，在⊙O 中，C 、D 三等分AB ，AD 、BC 相交于点E ，若CE=2，AE=4，则CD=（ ） (A)3
(B)3
(C) 23 (D) 4
12．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，?且AE=BF ，请你指出AC 与BD 的数量关系，并给予证明．
13．已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成，一圆过A 、D 、E 三点，
求该圆半径的长．
M
O
D
B
A C 14．如图，△ABC 是等边三角形，⊙O 过点
B 、
C ，且与BA ，CA 的延长线分别交于点
D ，
E . 弦D
F ∥AC ，EF 的延长线交BC 的延长线于点
G . ⑴ 求证：△BEF 是等边三角形； ⑵ 若BA ＝4，CG ＝2，求BF 的长.
15．已知：如图，AB 是半圆的直径，P 在BA 延长线上，且DO ∥CA ，若6
5
PC PA =，AD=4，求半径的长。
16．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是BE 延长线上的
一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合. （1）求证：△AHD ∽△CBD ；（2）若CD=AB=2，求HD+HO 的值.
17．如图，已知点,,,A B C D 顺次在⊙O 上，且,AB BD BM AC =⊥，求证：AM DC CM =+．
和圆有关的位置关系
C
O
B
D
P A
O D B H E C
A
B C Q P
1．已知∠ABC=60°，点O 在∠ABC 的平分线上，OB=5cm ，以O 为圆心3cm 为半径作圆，则⊙O 与BC 的位置关系是________．
2．已知⊙O 的直径为9cm ,如果一条直线和圆心O 的距离为9cm ,那么这条直线和这个圆的位置关系为 3．如图，在ABC △中，5,4,3AB AC BC ===，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA CB ，分别相交于点P Q ，，则线段PQ 长度的最小值是_________．
4．如图，AB 是直径，CD 是弦，过C 点的切线与AD 的延长线交于E 点，若56,64A B ∠=∠=，则
CED ∠=_________．
5．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ） A ．与x 轴相离、与y 轴相切 B ．与x 轴、y 轴都相离 C ．与x 轴相切、与y 轴相离 D ．与x 轴、y 轴都相切
6．如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，连结PO 交⊙O 于点A ，PA=?2，PO=5，则PB 的长度为（ ） A ．4 B ．10 C ．26 D ．43 7．如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（ ） A ．130° B ．100° C ．50° D ．65° 8．已知两圆的半径分别为3和4，圆心距为8，?那么这两个圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外离 D ．外切 9．若⊙A 和⊙B 相切，它们的半径分别为8cm 和2cm ，?则圆心距AB 为（ ）
A ．10cm
B ．6cm
C ．10cm 或6cm
D ．以上答案均不对 10．如图，正方形ABCD 中，
E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为
半径的圆弧外切，则
EB
AE
的值为（ ） A ．43 B ．34 C ．45
D ．
3
5
第3题图 第4题图 第6题图 第7题图 第10题图
11．如图，AB 为⊙O 的直径，割线PCD 交⊙O 于C 、D, PDA PAC ∠=∠. （1）求证：PA 是⊙O 的切线；
（2）若PA=6，CD=3PC ，求PD 的长. 12．如图，PA 是O 的切线，切点是A ，过点A 作AH OP ⊥于点H ，交O 于点B ．求证：PB 是O
的切线．
13．如图，AC 是O ⊙的直径，P A ，PB 是O ⊙的切线，A ，B 为切点，AB =6，P A =5．求：
P
B A O H
A B
C
D E O
P A B C
O
D G
C
A
E
F
B （1）O ⊙的半径；（2）sin BA
C ∠的值． 14．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径.求证：AE 与⊙O 相切 15．已知：如图，以ABC △的边AB 为直径的O 交边AC 于点
D ，且过点D 的切线D
E 平分边BC ．求
证：BC 是O 的切线
16．如图，⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上，⊙O 经过C 、D 两点，与斜边AB 交于点E ，连结BO 、ED ，有BO ∥ED ，作弦EF ⊥AC 于G ，连结DF ． （1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为5，sin ∠DFE=5
3
，求EF 的长．
17．A 是以BC 为直径的
O 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作O 的切线，与CA 的延长线相交于
点E G ，是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF EF =；
（2）求证：PA 是O 的切线；
（3）若FG BF =，且
O 的半径长为32BD 和FG 的长度．
圆中的计算
A O B
C D
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm ，则扇形的弧长是_______cm ，扇形的面积是________cm 2．
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2．如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，那么这个圆锥的侧面积是_______cm 2．
3．如图，PA 切圆O 于A ，OP 交圆O 于B ，且PB=1，3，则阴影部分的面积S=______．
4．如图是一个供滑板爱好者使用的U 形池，该U?型池可看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m 的半圆，?其边缘AB=CD=20m ，点E 在CD 上，CE=2m ，一滑板爱好者从A 点滑到E 点，?则他滑行的最短距离约为______m （边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数） 5．如图，AB 为半圆O 的直径，,C D 是AB 上的三等分点，若⊙O 的半径为1,E 为线段AB 上任意一点，则图中阴影部分的面积为________．
6．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r ，扇形的半径为R ，扇形的圆心角等于120°，则r 与R 之间的关系是（ ?）
A ．R=2r
B ．R=r
C ．R=3r
D ．R=4r 7．用半径为30cm ，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，?则圆锥的底面半径为（ ）
A ．10cm
B ．30cm
C ．45cm
D ．300cm 8．将直径为64cm 的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为（ ） A ．15 B ．17cm C ．3cm D ．16cm
9．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，?一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是（ ） A ．2π B ．2 C ．3 D ．5
10．如图，把直角△ABC 的斜边AC 放在定直线l 上，按顺时针的方向在直线l 上转动两次，使它转到△
222A B C 的位置，设3,1AB BC ==，则顶点A 运动到点2A 的位置时，点A 所经过的路线为( )
A 、253(12π
B 、43(3π
C 、2π
D 3π
第6题图 第9题图 第10题图
11．如图，AB 为半圆O 的直径，C 为AO 的中点，CD AB ⊥交半圆于点D ，以C 为圆心，CD 为半径画弧DE 交AB 于E 点，若8cm AB =，求图中阴影部分的面积（取准确值）．
12．半径为1的圆的内接正三角形、正四边形、正六边形的边心距分别为多少？它们的长不能构成三角形吗？若能将构成什么形状的三角形？若不能说明理由．
特殊四边形与解直角三角形
1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝AD ＝2，BC ＝4．求∠B 的度数及AC 的长．
A A
A
B
C C
B
l
2．
四
边
形
ABCD
中，6,53,6,135,120AB BC CD ABC BCD ==-=∠=∠=，则=AD _____．
3．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ∠=?．点E 是DC 的中点，过点E 作DC 的垂线交AB 于点P ，交CB 的延长线于点M ．点F 在线段ME 上，且满足AD CF =，MF MA =． （1）若 120=∠MFC ，求证：MB AM 2=； （2）求证：FCM MPB ∠-
=∠2
1
90 ．
4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB =75o，以CD 为一边的等边△DCE 的
另一顶点E 在腰AB 上．
M P F E D
C
B A
（1）求∠AED的度数；（2）求证：AB=BC；
（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30o．求DF
FC的值．
5．在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．
（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝2MD；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：。
（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝7
2，求tan∠ACP的值．
圆与直角三角形的综合
1．如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E、F分别是线段CD，AB上的动
O
x
y 4 4
O
x
y 4 4
B ． O
x
y 4 4
C ． O
x
y
4 4
D ．
点，设AF =x ，AE 2－FE 2=y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（ ）
2．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(21)，，点B 的坐标为(101)，
，点C 到直线AB 的距离为4，且ABC △是直角三角形，则满足条件的点C 有 个．
3．如图，以正方形ABCD 的边AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O ，CG 切半圆于E ，交AD 于F ，交BA 的延长线于G ，GA ＝8。
（1）求∠G 的余弦值； （2）求AE 的长。
4．已知30MAN ∠=°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心，2为半径作O ，交AN 于D E ，两点，设
AD x =．
（1）如图（1），当x 取何值时，O 与AM 相切。
（2）如图（2），当x 取何值时，O 与AM 相交于B C ，两点，且90BOC ∠=°
5．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ，OE ⊥BC ， OE ＝1
2
BC ．
（1）求∠BAC 的度数．
C
D
E F
A
B A D
M
E N
O
(1)
A D
M
E
N
O
(2) B C
（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形．
（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．
6．在平面直角坐标系中，直线y kx b
=+（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为5个单位长度．
⑴如图，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．
①求k的值；
②若b=4，点P为直线y kx b
=+上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．
⑵若
1
2
k=-，直线y kx b
=+将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．
A
F
C
D
E
G
B
O
解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=
二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm
解直角三角形应用篇 1．（2019山东泰安中考）（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km． A．30+30B．30+10C．10+30D．30 2．（2019山东淄博中考）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（） A．130°B．120°C．110°D．100° 3（.2019山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45，底端D点的仰角为 30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4（如图② 所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.40.89， cos63.40.45，tan63.42.00，21.41，31.73）
的
4. (2019甘肃中考7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户设计遮阳篷”这-课 题进行了探究: 出: 1是某住户窗户上方安装的，要求设计的遮阳篷既能最大限度夏天 炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射. 方案设计: 2,该数学课题研究小组通过调查研究设AC 的遮阳篷CD 数据收集: 通过查阅:兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太DA 与遮阳篷C D 的夹角∠A D C 最大(∠A D C =77.44°):冬至这一天的正午时刻，太 DB 与遮 阳篷CD 的夹角 ∠BDC 最小(∠BDC=30.56°);窗户的高度AB=2m 决: 根据上述方案及数据，求遮阳篷C . (结果0.1m,参考数据:sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86,tan30.56°≈0.59)
题目：解直角三角形 第一课时： 复习内容：三角函数的概念，特殊角的三角函数值，解直角三角形 复习建议： （一）知识梳理： 1、锐角三角函数定义： 在△ABC 中，∠C=90°，斜边的对边A A ∠= sin ，斜边 的邻边 A A ∠=cos ， 的邻边 的对边 A A A ∠∠= tan
3、解直角三角 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c. 则锐角之间：∠A+∠B=90°. 三边之间：222c b a =+； 边角之间：b a A c b A c a A === tan ,cos ,sin ； a b B c a B c b B ===tan ,cos ,sin . 4.勾股定理逆定理 (二)相关题目: 1、计算：0)1 51(30sin 2273--?+ 含有30°、45°、60°角的三角函数式的值的计算 2、在Rt △ABC 中，∠C=90°. (1)已知31 sin =B ，求tanA; (2)已知32 cos =A ,c=12,求b; (3)已知21 tan =B ，510=c ,求a; (4)已知 30=∠B ,c=18,求a. 运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题 3、如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AC 边上的中点，DE ⊥AB 于E,若 2 1 tan =A ,BE=7，求DE 的长. 本题是利用公共角∠A ，通过设k 的思想解决问题 4、在△ABD 中， 30=∠B ， 45=∠C ,322+=BC ,求AC 的长 . 本题是解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题
初三解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB= 二、选择题
1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ）A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm 三、求下列各式的值 1、sin 2600+cos 2600 2、sin600－2sin300cos300 3. sin300－cos 2450 4. 2cos450+|32 |
解直角三角形 知识要点： 1、 锐角三角函数：正弦、余弦、正切、余切 sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边 A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边 的邻边 A A ∠∠ (1)平方关系：1cos sin 2 2=+A A ； (2)倒数关系：1cotA tanA =?； (3)商的关系：tanA= A A cos sin (4)互余两角的正余弦、正余切关系： 如果ο 90=∠+∠B A ，那么B A A cos )90cos(sin =-=ο ；tanA=cot （90°-A ）=cotB 2、 解直角三角形 3、 解直角三角形的应用：坡度问题、测量问题、航海问题 关键是把实际问题转化为数学问题来解决 (构造直角三角形) 几个专用名词：俯角、仰角、坡角、坡度（或坡比）、方向角 一：转化思想在解直角三角形中的应用 转化的思想在数学中应用十分广泛，在不含直角三角形的图形中（如斜三角形、梯形等），我们应通过作适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形问题，希望同学们在不断地学习中总结这种添加垂线的技巧例1. 在△ABC 中，已知AB=6，∠B=45°，∠C=60°，求AC 、BC 的长． 已知条件 解法 一边及 一锐角 直角边a 及锐角A B ＝90°-A ，b ＝a·tanA，c= sin a A 斜边c 及锐角A B ＝90°-A ，a ＝c·sinA，b ＝c·cosA 两边 两条直角边a 和b ，B ＝90°-A ， 直角边a 和斜边c sinA= a c ，B ＝90°-A ，
例2. 如图所示，△ABC中，∠BAC=120°，AB=5，AC=3，求sinB·sinC的值． 例3．如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，则 CD AC AB- 等于（）． A .sin A B. cos A C . tan A D . cot A 例4．如图所示，在ΔABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的值． 例5．已知：在ΔABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5，求ΔABC的面积． 例6．如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值． 二：可解的非直角三角形的类型与解法 解这类三角形一般都需要三个条件，它的解题思路是：作垂线，构造含特殊角的直角三角形来解决，下面分类举例说明，供同学们参考． 一、“SSS”型：例1．已知：如图１，BC=2，AC=6，AB=31 +，求△ABC各内角的度数． B A D C 图1
解直角三角形和应用题 解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题： 一、重点难点 解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。 二、中考导向 掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 【典型例题】 例1. 如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ ABC=45o ，∠ACB=30o ，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。 解：在中，Rt ABH BH AH ?=?tan45 在中，Rt ACH CH AH ?=? tan30 ∴?+? =AH AH tan tan 45301000 ∴=->AH 5003500300 ∴不会穿过 例2. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得，从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H ，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。 （1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A 、D 间距离，用m 表示；如果测D 、C 间距离，用n 表示；如果测角，用α、β、γ表示）。 （2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG （用字母表示，测倾器高度忽略不计）。 B H C
解直角三角形单元测试题 一、选择题： 1、在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC:CA:AB=5:12:13，则sinA的值是( ) A. B. C. D. 2、已知∠A为锐角，且sinA≤，则（） A.0°≤A≤60° B.60°≤A ＜90° C.0°＜A ≤30° D.30°≤A≤90° 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值为（） A.1 B. C. D. 4、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） A． B． C． D． 5、如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上 的一点，则cos∠APB的值是（） A．45° B．1 C． D．无法确定 6、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到 △AC′B′，则tanB′的值为（） A． B． C． D． 7、如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那 么△AEF和△ABC的周长比为（） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 8、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大 树的方向前进4 m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6 m,则这棵树的高 度约为(结果精确到0.1 m,≈1.73)( ) A．3.5 m B．3.6 m C．4.3 m D．5.1 m 9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处， 测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向 上，则A，B之间的距离是( ) A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里
第19章解直角三角形 19、1 测量 教学目标 使学生了解测量是现实生活中必不可少的，能利用图形的相似测量物体的高度，培养学生动手知识解决问题的能力和学习数学的兴趣。 教学过程 一、引入新课 测量在现实生活中随处可见，筑路、修桥等建设活动都需要测量。当我们走进校园，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，我们也许会想，高高的旗杆到底有多高，能否运用我们所学的知识把旗杆的高度测量出来呢? 二、新课 1．根据同学们课前预习的，书上阐述的测量旗杆高度的方法有几种?你是如何理解的呢?(待同学们回答完毕后再阐述，这里重要的是让同学们画出示意图) 课上阐述测量旗杆的方法。 第一种方法：选一个阳光明媚的日子，请你的同 学量出你在太阳下的影子的长度和旗杆影子的长 度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。(如 图所示) 由于太阳光可以把它看成是平行的，所以有∠BAC＝∠B1A1C1，又因为旗杆和人都是垂直与地面的，所以∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，所以，△ ACB∽△A1C1 B1，因此，BC AC＝B1C1 A1C1，则BC＝ AC×B1C1 A1C1，即可求得旗杆 BC的高度。 如果遇到阴天，就你一个人，是否可以用其他方法测出旗杆的高度呢?
第二种方法：如图所示，站在离旗杆的底部10米处的D点，用所制作的测角仪测出视线与水平线的夹角∠BAC=34°,并且已知目高AD为1米,现在请你按1:500(根据具体情况而定,选合适的即可)比例将△ABC画在纸上，并记作△A1B1C l，用刻度尺量出纸上B l C l的长度,便可以计算旗杆的实际高度。 由画图可知: ∵∠BAC＝∠B l A l C l＝34°，∠ ABC＝∠A1B1C l＝90° ∴△ABC∽△A l B1C l ∴B l C1＝ 1 500 ∴BC＝500B l C l，CE＝BC＋BE，即可求得旗杆的高度。 2．带领同学们到操场上分别用两种方法测得相应的数据，并做好记录。(指导学生使用测角仪测出角度) 三、小结 本节课是用相似三角形的性质来测量旗杆的高度，同学们在学习中应掌握其原理，并学会应用知识解决问题的方法。 四、作业 1．课本第99页习题19．1。 2．写出今天测量旗杆高度的步骤，画出图形，并根据测量数据计算旗杆的高度。
解直角三角形 本章知识结构梳理 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿ 2、直角三角形AB 1C 1 和直角三角形ABC 有什么关系? 边之间的关系呢？ 3、三角函数定义： 注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的sin ，cos ，tan 是没有意义的，其中A 前面的“∠”一般省略不写 例1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 例2、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 例3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA= 23 ，则tanB 等于（ ） 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 ⑴、正弦； ⑵、余弦； ⑶、正切。 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3、各锐角三角函数间关系 ⑴、定义； ⑵、直角三角形的依据 ⑶、解直角三角形的应用。 ①、三边间关系； ②、锐角间关系； ③、边角间关系。
A ． 35 B ．3 C ．2 5 D ． 2 例4、已知：α是锐角，tan α= 7 24 ，则sin α=_____，cos α=_______． 4、取值范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度（坡比） 方向角度 俯角仰角 例6、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB ?的值． 例7、如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD ，根据此图求tan15°的值．
解直角三角形练习题1 一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则tanE=（ ） A. 43 B. 34 C. 53 D. 3 5 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 2 1 B. 33 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若2 2cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角 形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ） A. EG EF G = sin B. EF EH G = sin C. FG GH G = sin D. FG FH G = sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ） A. sin65°
初三数学解直角三角形 1、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫解直角三角形． 2、解直角三角形的依据 （1）三边之间的关系：a2＋b2=c2．（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B=90°． （3）边角之间的关系： 例1如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，tanB=cos∠DAC． （1）求证：AC=BD；（2）若BC=12，，求AD的长． 3、仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫俯角．如图所示： 例2、汶川地震后，抢险队派一架直升机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米的上空P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°，如图所示，求A、B两个村庄之间 的距离．（精确到1m．参考数据） 4、方向角：指北或指南方向与目标方向线所成的小于90°的夹角叫方向角．如图所示：例3某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h．交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度监测点A，在如图所示的坐标系中，点A在y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．1）请在图中画出表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置； 2）点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； 3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15s，请你通过计算判断汽车在这段限速公路 上是否超速行驶（本问中取1.7） 1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，则a=（） A．B． C． D．6 2、一等腰梯形的高为4，下底长为8，下底的底角的正弦值为0.8，那么它的上底和腰长分别为（）A．4和5 B．2和5 C．2和4 D．4和10 3、王师傅在楼顶的A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，又知水平距离BD为10m，楼高AB为24m，则树高CD为（）m．
解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长 线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)． 2 2 (D)．22 2、如果α是锐角，且5 4 cos = α，那么αsin 的值是（ ）． （A ） 259 （B ） 54 （C ）53 （D ）25 16 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ） 513 （B ） 1213 （C ）10 13 （D ）512 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且5 3 cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ） 316 （C ）320 （D ）5 16 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( ) （A ）13 5 （B ）1312 （C ）125 （D ）512 A B C D E ?15020米30米
初中数学解直角三角形八
第十一章解直角三角形 考点一、直角三角形的性质（3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 1AB 可表示如下：?BC= 2 ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下：?CD=21AB=BD=AD D为AB的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边 c的平方，即2 2c 2 a= + b 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是 两直角边在斜边上的摄影的比例中 项，每条直角边是它们在斜边上的摄
影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22 c b a =+， 那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin = ∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦， 记为cosA ，即c b cos =∠=斜边 的邻边A A
圆与解直角三角形的综合 1．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于( ) A. 5 5 B. 25 5 C．2 D. 1 2 2．如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8 cm，则sin∠OAP的值是( ) A.3 4 B. 4 5 C. 3 5 D. 4 3 3. 如图，⊙A经过点E、B、O、C，且C(0，8)，E(－6，0)，O(0，0)，则cos∠OBC的值为( )
A.3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 3 16 4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值是( ) A.1 2 B. 1 3 C. 5 5 D. 3 2 5．如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，AB＝8，则tan∠CBD的值等于( )
A.4 3 B. 4 5 C. 3 5 D. 3 4 6．如图，在半径为6的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB＝8，CD＝6，垂足为E，则tan∠OEA的值是( ) A.3 4 B. 6 3 C. 15 6 D. 215 9 7．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OC，⊙O的半径为3，且sinB＝5 6 ，则弦AC的长为( )
A.11 B ．5 C.56 D.5 3 8．如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD ＝2，tan ∠OAB ＝1 2 ，则AB 的长是 ____． 9．在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为1和 2 ，则∠BAC 的度数为 ． 10．在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，cos B ＝3 5 ，如果圆O 的半径为210， 且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 __________． 11．如图所示，以锐角△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交AC 、BC 于E 、 D 两点，若AC ＝14，CD ＝4，7sin C ＝3tan B ，则BD ＝ _____．
坡度、坡角在实际中的应用 1、如图,一段河坝的断面为梯形ABCD,试根据图中数据,求出坡角α和坝底宽AD(结果果保留根号 ). 2、学校校园内有一小山坡AB,经测量,坡角∠ABC=30°,斜坡AB 长为12米。为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD 的坡比是1:3(即为CD 与BC 的长度之比).A ，D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度 AD. 3、如图,小山岗的斜坡AC 的坡度是34,在与山脚C 距离200米的D 处,测得山顶A 的仰角为26.6°,求小山岗的高AB(结果取整数) 参考数据：sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6° =0.50). 4、如图,广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米,高8米,背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横截面为梯形ABCD)急需加固。经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF 的坡比 i=1:2. (1)求加固后坝底增加的宽度AF 的长； (2)求完成这项工程需要土石多少立方米?
专题：解直角三角形的几种模型 类型一：“背靠背”型 5、如图,A、B两座城市相距100千米,现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路(即线段AB).经测量,森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向,B 城市的北偏西45°方向上。已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内。请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区?为什么? 类型二：“叠合”型 6、如图,在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC,李明同学为了测量信号塔的高度,在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°,然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处,又测得信号塔顶端C的仰角为60°,CD⊥AB与点E,E、B. A在一条直线上。请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度(结果保留 整数,3≈1.7,2≈1.4 ) 类型三：“母抱子”型 7、如图所示,某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路,需要测量山坡的坡度,即tanα的值。测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔,测得塔尖C的仰角为37°,塔底B的仰角为26.6°.已知塔高BC=80米,塔所在的山高OB=220米,OA=200米,图中的点O、B. C. A. P在同一平面内,求山坡的坡度.(参考数据sin26.6°≈0.45,tan26.6°≈0.50;sin37°≈0.60,tan37°≈ 0.75) 类型四：“斜截”型 8、某片绿地的形状如图所示,其中∠A=60°,AB⊥BC,AD⊥CD,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的长.(精确到1m,3√≈ 1.732)
在RT ABC ?中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则： sin A a A c ∠= =的对边斜边 cos A b A c ∠==的邻边斜边 tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边 c o t A b A A a ∠==∠的邻边的对边 常用变形：sin a c A = ；sin a c A =等，。 二、 锐角三角函数的有关性质： 1、 当0°<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；cot 0A > 2、 在0°--90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、 cot ）的值，随角度的增大而减小。 三、 同角三角函数的关系： 22sin cos 1A A += t a n c o t 1A A = sin tan cos A A A = c o s c o t sin A A A = 常用变形：2 sin 1cos A A =- 2c o s 1s i n A A =- 四、 正弦与余弦，正切与余切的转换关系： 如图1，由定义可得：sin cos cos(90)a A B A c = ==?- 同理可得： sin cos(90)A A =?- cos sin(90)A A =?-tan cot(90)A A =?- c o t t a n (90A A =?- 五、 特殊角的三角函数值： 三角函数 sin α cos α tan α cot α 30° 12 32 33 3 45° 22 22 1 1 60° 32 12 3 33 六、 解直角三角形的基本类型及其解法总结： 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A = ，cos b c A = 60° 30° 32 1 B C A 45° 22 2 B C A
一 填空题（每小题6分，共18分）： 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cos A ＝ ，sin B ＝ ，tan B ＝ ，cot B ＝ ； 2．直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sin A ＝ ； 3．等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的余切值为 . 二 选择题：（每题5分，共10分）： 1．sin 2θ＋sin 2(90°－θ) (0°＜θ＜90°）等于………………………………（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2sin 2θ 2． β ββ βcot sin tan cos ?? (0°＜β＜90°）等于…………………………………………（ ） （A ）sin β （B ）cos β （C ）tan β （D ）cot β 三 计算题（每小题6分，共18分）： 1．tan 30°cot 60°＋cos 230°－sin 245°tan 45° 2．sin 266°－tan 54°tan 36°＋sin 224°； 3． 50 cos 40sin 0cos 45cot 30cos 330sin 145tan 41222-+-+． 四 解直角三角形（△ABC 中，∠C ＝90°，每小题6分，共24分）： 1．已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B 、a 、b ． 2．已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B 、b 、c . 3．已知：c ＝26-，a ＝3－1 ， 求∠A 、∠B 、 b . 4．已知：a ＝6，b ＝23，求 ∠A 、∠B 、c . 五 在直角三角形ABC 中，锐角A 为30°，锐角B 的平分线BD 的长为8cm ，求这个三角形的三条边的长． 六 某型号飞机的翼形状如图所示，根据图中数据计算AC 、BD 和 CD 的长度（精确到0.1米）． A B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B, C, D,使 得AB1BC, CD1BC,点E 在BC 上，并且点A, E, D 在同一条直线上.若测得BE=20m, CE=10m, CD=20m,则河的宽度AB 等于( A. 60m B. 40m 已知,如图，E ( - 4, 2) , F ( - 1, EFO 缩小，点E 的对应点的坐标() A. ( - 2, 1) B. (2, - 1) C. 2, - 1) ) C. 30m D. 20m ?1)以0为位似中心，按比例尺1： 2把左 或(-2, 1) D. ( - 2, 1)或(2, - 1) 6.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1,点A 、B 、。都在格点上，则ZAOB 的正弦值是() A. 3^/10 C. D ? V10 10 7.如图，CD 是。0的直径，弦AB1CD 于E, 是() (7) 连接BC 、BD,下列结论中不一定正确的 (8) 与解直角三角形 —.选择题(共12小题) 1. 如果两个相似多边形面积的比为1： 5,贝U 它们的相似比为() A. 1： 25 B. 1： 5 C. 1： 2.5 D. 1：双 2. 如图，圆内接四边形ABCD 的BA, CD 的延长线交于P, AC, BD 交于E,则图中相似 三 角形有() A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 (2) (3) (4) (5) 3. 如图，巳知Z\ABC 和Z\ADE 均为等边三角形，D 在BC ±, DE 与AC 相交于点F, AB=9, BD=3,则CF 等于() B. 1
解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结） 1、解直角三角形的类型与解法 已知、解法 三角 类型 已 知 条 件 解 法 步 骤 Rt △ABC B c a A b C 两 边 两直角边（如a ，b ） 由tan A ＝a b ，求∠A ；∠B ＝90°－A ， c ＝ 2 2b a + 斜边，一直角边（如c ，a ） 由Sin A ＝a c ，求∠A ；∠B ＝90°－A ，b ＝22a -c 一 边 一 角 一角边 和 一锐角 锐角，邻边 （如∠A ，b ） ∠B ＝90°－A ，a ＝b ·Sin A ，c ＝b cosA cosA 锐角，对边 （如∠A ，a ） ∠B ＝90°－A ，b ＝a tanA ，c ＝a sinA 斜边，锐角（如c ，∠A ） ∠B ＝90°－A ，a ＝c ·Sin A ， b ＝c ·cos A 2、测量物体的高度的常见模型 1）利用水平距离测量物体高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 侧倾器 皮尺 α、β、 水平距离a tan α＝1 x ι ，tan β＝2x ι ι＝a ·tan α·tan βtan α＋tan β 直角 三角 形的 边角 关系 tan α＝ x a +ι tan β＝ x ι ι＝a ·tan α·tan β tan β－tan α 2)测量底部可以到达的物体的高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 皮尺 镜子 目高a 1 水平距离a 2 3a h ＝2 1a a ，h ＝231a a a 反射 定律 β α a x 1 x 2 ι α β x a ι 镜子 1a 2a 3a h
初中数学解直角三角形综合讲义 一、理解概念 1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系 2 明确概念：解直角三角形 阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。由直角三角形中除 直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形 定对象： 特殊的求解过程 定角度： 已知元素 新事物： 求出未知元素 举例：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4， ∠B=42°6′，解这个直角三角形。 解：（1）∠A=90°- 42°6′=47°54′ （2）∵ cosB= c a , ∴a=c cosB=287.4×0.7420≈213.3 （3）∵ sinB=c b , ∴b=c sinB=287.4×0.6704≈192.7 二、研究概念 1.条件： 直角三角形 2.构成和本质 [边] 两条直角边 [角] 有一个直角 [角] 两锐角互余 3.特征： [角] 两锐角互余，∠A+∠B=90° [边] 勾股定理，a 2+b 2=c 2 [等式的性质] a 2 =c 2 —b 2 b 2= c 2 —a 2 勾股定理逆定理 [边、角] 锐角三角函数 [重要线段] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 [圆] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [特殊角] 30°角所对的直角边是斜边的一半 45°角所对的直角边是斜边的2 倍 4.下位 无 5.应用：
三、例题讲解 1、在R t △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a ，∠B=α，那么AD 等于 （ ） （A 级） A 、 asin 2α B 、acos 2 α C 、asin αcos α D 、asin αtan α 对象：R t △ABC 中，AD 角度： 三角函数 分析：R t △ABC cosB=BC AB cos α= a AB AB= a ·cos R t △ABD sin α=AB AD AD= sin α·AB AD= asin αcos α 2、 正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是 ，BD= 对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P 角度： 直角三角形 分析：设P 到边的距离为PE 。分四种情况： BP=22 （1） P 到边BC 的距离为PE=2，∠DBC=45° BE=PE=2 [BP∶PD=1∶2] PD=42 BD=62 正方形的边长为6 （2） P 到边AB 的距离为PE=2、P 到边AD 的距离为PE=2 、P 到边CD 的距离为PE=2方法照上。 3、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3， AC=3，则BD= 对象：Rt △ABC 中BD 角度：相似三角形 分析：△ABC ～△CBD BC 2 =BD ·AB BC=3，AC=3 AB=32 BD=2 1 4、在△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ都是锐角，且ｓｉｎＡ＝2 1 ，ｔａｎＢ＝3，ＡＢ＝１０。 求△ＡＢＣ的面积。 对象：△ＡＢＣ的面积 角度：锐角函数值 分析：ｓｉｎＡ＝ 2 1，ｔａｎＢ＝3 ∠A=30°，∠B=60° ∠C=90° △ＡＢＣ是以AB 为斜边的直角三角形 [ＡＢ＝１０，∠A=30°，∠B=60°] △ＡＢＣ的面积为2 3 25 AC=5 3,BC=5 5、河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°， 测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50米。 C A D B