[高等代数(下)课外习题--第七章-线性变换]

第七章 线性变换

一、判断题

1、 在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-, 则σ是3R 的一个线性变换. ( ).

2、σ是向量空间V 的线性变换, 向量组12,,

,m ααα线性相关, 那么

12(),(),

,()

m σασασα也线性相

关

.

( ).

3 在向量空间[]n R x 中, 则微商'

(())()f x f x σ=是一个线性变换. ( ). 4、 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ). 5、 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ). 6、向量空间V 的线性变换σ的象与核都是σ的不变子空间. ( ). 7、 属于线性变换σ同一特征根0λ的特征向量的线性组合仍是σ的特征向量. ( ). 8、 σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化. ( ). 9、设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有

1()(0).V V σσ-=⊕ （ ）

10、n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ．( ) 11、.最小多项式是特征多项式的因式. （ ） 12、相似的矩阵有相同的特征多项式 （ ） 13、设n

n P A ?∈，A 的特征多项式有n 个单根，则存在可逆矩阵n

n P T ?∈，使AT T

1

-具

有对角形。（ ）

14、若A 是数域P 上n 维线性空间的线性变换，A 的特征值为r λλλ,,,21 ，则A 可对角化?特征子空间的维数之和等于n 。（ ） 15、 A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，则V V =A +A -)0(1

。（F ）

二、填空题

1、在3V 的基123{,,}εεε下σ的矩阵是11

121321

222331

32

33a a a A a a a a a a ??

?= ? ???

那么σ关于基3121{,,2}εεεε+的矩阵是_____________.

2、 在3F 中的线性变换12312231(,,)(2,,)x x x x x x x x σ=-+, 那么σ关于基

123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===的矩阵是________________.

3、0()0I A X λ-=的___________都是A 的属于0λ的特征向量.

4、 设V 是数域F 上的n 维向量空间, (),L V σσ∈的不同的特征根是12,,,t λλλ, 则σ

可对角化的充要条件是_____________.

5、 矩阵327024005?? ?

? ???

的特征根是______________.

6、复矩阵()ij n n A a ?=的全体特征值的和等于________ ，而全体特征值的积等于_______ .

7、数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为_______维线性空间，它与________同构.

8、设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征

值为________ . 9、设????

??=2231A ，则向量?

??

?

??11是A 的属于特征值 的特征向量． 10、若???

?

?

??--=100001011A 与????? ??--1010101k k B 相似，则k = ．

11、n 阶方阵A 满足A A =2

，则A 的特征值为 ．

12、设A 是有限维空间V 的线性变换，f (λ)是A 的特征多项式，那么f (A)=________ 13、已知三阶实对称矩阵A 的特征值为1，2-

，3，则1-A 的

特征值为 。

14、21,A A 的最小多项式分别是)(),(21x g x g ，则矩阵????

?

?21

0A A 的最小多项式

是 。

15、设四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为4

3211

,

1

,

1

,

1

λλλλ，则行列式=--E B 1

。

三、单选题：

1、“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（ ）条件。

.A 充分 .B 必要 .C 充分必要 D. 以上都不对

2、若线性变换σ与τ是（ ），则τ的象与核都是σ 的不变子空间。

.A 互逆的 .B 可交换的 .C 不等的 D. 不可换的

3、同一个线性变换在不同基下的矩阵是（ ）

①合同的； ②相似的； ③相等的； ④正交的。

4、设三阶方阵A 有特征值为2,1,1321=-==λλλ，其对应的特征向量分别是321,,x x x ，设(),,,123x x x P =，则AP P 1-=( )

A. ??????????-200010001

B. ??????????-200010001

C. ??????????-100010002

D.????

?

?????-100010002 5、设A 为可逆方阵，则A 的特征值（ ）

A ．全部为零 B.不全部为零 C.全部非零 D.全为正数

6、设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征值,*A 为A 的伴随矩阵,则*

A 的特征值之一( )

A. n A 1

-λ

B. A 1-λ

C. A λ D . n

A λ

7、 设A 、B 为n 阶方阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位阵，则（ ）。

（A ）B E A E -=-λλ （B ）A 与B 有相同的特征值和特征向量 （C ）A 与B 相似于一个对角矩阵 （D ）对任意常数t ，B tE A tE --与相似 8、n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是（ ）。 （A ）A 的n 个特征值互不相同 （B ）A 可逆

（C ）A 无零特征值 （D ）A 有n 个线性无关的特征向量

9、设可逆矩阵A 有一个特征值为2，则12)3

1(-A 有一个特征值为（ ）。

（A ） 21 （B ） 41 （C ） 34 （D ） 4

3

10、n 阶方阵A 具有n 个线性无关的特征向量是A 与对角阵相似的（ ）

（A ）充要条件 (B) 充分而非必要条件

（C ）必要而非充分条件

（D ）既非充分亦非必要条件

四、计算题

1、设?

??

?

?

??----=a A 33242111与????? ??=b B 00020002相似．

（1）求b a ,的值； （2）求可逆矩阵，使B AP P =-1．

2、3F 中，线性变换σ关于基)1,1,1(1-=α，)1,0,1(2-=α，)1,1,0(3=α的矩阵为

????

?

??-=121011101A

（1）求σ关于标准基321,,εεε的矩阵；

（2）设3216αααα-+=,321εεεβ+-=,求)(),(βσασ关于基},,{321ααα的坐标．

3、设α是3

R 的线性变换,)2,,2(),,(32132321321x x x x x x x x x x x -++-+=α

（1）求)Im(σ的一个基和维数； （2）求)(σKer 的一个基和维数．

4、判断矩阵A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T ，使成对角形.

133313331A ?? ?= ? ???

5、在线性空间P n

中定义变换σ：122(,,,)(0,,,)n n x x x x x σ=

（1）证明：σ是P n

的线性变换. （2）求()n

P σ与1

().o σ

-

6、已知矩阵A=????? ??x 10100002与B=???

?

?

??-1000y 0002相似，求x 和y 的值，并求A 的特征向量。

7、 3

R 的线性变换σ为12312323123(,,)(2,33,2)x x x x x x x x x x x σ=+++-++ 求σ的象与核的维数.

8、 设三阶实对称矩阵A 的特征值为,11=λ,232==λλ11=λ对应的特征向量为

????

? ??=1111ξ，

（1） 求232==λλ对应的特征向量； （2） 求矩阵A 。

9、设3阶对称矩阵A 的特征值为6，3，3，与特征值6对应的特征向量为???

?

??=1111ξ，求A 。

10、()3,,ij A a AB O ==设3阶方阵的每行元素之和为且满足其中

120

120B ?? ?= ? ?-??

判断矩阵A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T ，使成对角形.。 五、证明题

1、证明：若某向量组在线性变换下象线性无关，则该向量组也线性无关。

2、[]F x 的两个线性变换为：对任意()[]f x F x ∈，(())(),(())()f x f x f x xf x στ'== 证明：σττσι-=.

3、证明：若(),()f g σθσθ==，则()d σθ=，其中()d x 是[]F x 中多项式()f x 与()g x 的最大公因式。

4、令123(,,)x x x ξ=是3

R 中任意向量，σ是线性变换:12232()(,,)x x x x x σξ=+-

试证σ可逆。

5、设V 的两个线性变换σ与τ是可变换的。试证τ的象Im()τ与核()Ker τ都是σ的不变子空间。

6、若A 是一个n 阶矩阵，且A 2

＝A ，则A 的特征值只能是0和1.

1．设A 是n 阶矩阵，且有n I A r I A r =-++)()(，I A ≠，证明：-1是A 的特征值． 7、设A 与B 为n 阶矩阵，0≠A ，则AB 与BA 相似。

8、设A 为正定矩阵，证明：1>+E A 。

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）