第一章习题
1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还
是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.
(1) √2是无理数.
是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1
(2) 5能被2整除.
是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0
(3)现在在开会吗?
不是命题.
(4)x+5>0.
不是命题.
(5) 这朵花真好看呀!
不是命题.
(6) 2是素数当且仅当三角形有3条边.
是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p?q真值:1
(7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.
是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p?q真值:0
(8) 2008年10月1日天气晴好.
是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯
一.
(9) 太阳系以外的星球上有生物.
是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.
(10) 小李在宿舍里.
是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一.
(11) 全体起立!
不是命题.
(12) 4是2的倍数或是3的倍数.
是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1
(13) 4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学.
是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一.
(15) 蓝色和黄色可以调配成绿色.
是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1
1.3 判断下列各命题的真值.
(1)若 2+2=4,则 3+3=6.
(2)若 2+2=4,则 3+3≠6.
(3)若 2+2≠4,则 3+3=6.
(4)若 2+2≠4,则 3+3≠6.
(5)2+2=4当且仅当3+3=6.
(6)2+2=4当且仅当3+3≠6.
(7)2+2≠4当且仅当3+3=6.
(8)2+2≠4当且仅当3+3≠6.
答案:
设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题.
(1)p→q,真值为1.
(2)p→┐q,真值为0.
(3)┐p→q,真值为1.
(4)┐p→┐q,真值为1.
(5)p?q,真值为1.
(6)p?┐q,真值为0.
(7)┐p?q,真值为0.
(8)┐p?┐q,真值为1.
1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。
（1）如果今天是1号，则明天是2号。
p:今天是1号。
q:明天是2号。
符号化为：p→q
真值为：1
（2）如果今天是1号，则明天是3号。
p:今天是1号。
q:明天是3号。
符号化为：p→q
真值为：0
1.5将下列命题符号化。
（1）2是偶数又是素数。
（2）小王不但聪明而且用功。
（3）虽然天气很冷，老王还是来了。
（4）他一边吃饭，一边看电视。
（5）如果天下雨，他就乘公共汽车上班。
（6）只有天下雨，他才乘公共汽车上班。
（7）除非天下雨，否则他不乘公共汽车上班。(意思为：如果他乘公共汽车上班，则天下雨或如果不是天下雨，那么他就不乘公共汽车上班)
（8）不经一事，不长一智。
答案：（1）设p：2是偶数，q：2是素数。符号化为：p∧q （2）设p：小王聪明，q：小王用功。符号化为：p∧q
（3）设p：天气很冷，q：老王来了。符号化为：p∧q
（4）设p：他吃饭,q：他看电视。符号化为：p∧q
（5）设p：天下雨，q：他乘公共汽车。符号化为：p→q
（6）设p：天下雨，q：他乘公共汽上班。符号化为：q→p
（7）设p：天下雨，q：他乘公共汽车上班。符号化为：q→p 或?q→?p
（8）设p：经一事，q：长一智。符号化为：?p→?q
1.6设p,q的真值为0；r,s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)
（2）(p?r)∧(?p∨s)
（3）(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)
（4）?(p∨(q→(r∧?p))→(r∨?s)
解：（1）p∨(q∧r)
p q r q∧r p∨(q∧r)
0 0 1 0 0
(2) (p?r)∧(?p∨s)
p q r s p?
r ?p ?p∨
s
(p?r)∧(?p
∨s)
0 0 1 1 0 1 1 0 (3)(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)
p q r s q∨
r p∧(q
∨r)
p∨
q
r∧
s
(p∨q)∧(r
∧s)
(p∧(q∨r))
→(p∨q)∧(r
∧s)
0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 (4) ?(p∨(q→(r∧?p))→(r∨?s)
p q r s ?
p r∧
?p
q→(r∧
?p)
(p∨(q→(r
∧?p))
(r∨
?s)
?(p∨(q→(r
∧?p))→
(r∨?s)
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1．7 判断下列命题公式的类型。
（1）p→(p∨q∨r)
解：
p q r p∨q p∨q∨
r p→(p∨q ∨r)
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
由真值表可知，该命题公式为重言式。
（2）（p →┑p）→┑p
p
┑p p →┑p （p →┑p）→┑p
0 1 1 1
1 0 0 1
由真值知命题公式的类型是：重言式
（3）┐(q→p)∧p
p q q→p┐（q→p）┐(q→p)∧p
0 0 1 0 0
0 1 0 1 0
1 0 1 0 0
1 1 1 0 0
此命题公式是矛盾式。
(4)(p→q)→(﹁q→﹁p)
解:
其真值表为:
p q ﹁
p ﹁q p→q ﹁q→
﹁p
(p→q)→(﹁q
→﹁p)
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 1 1 1 由真值表观察,此命题为重言式.
(5)( ﹁p→q)→(q→﹁p)
解:
其真值表为:
p q ﹁
p ﹁p
→q
q→﹁
p
(﹁p→q)→(q
→﹁p)
0 0 1 0 1 1
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0
由真值表观察,此命题为非重言式的可满足式. （7）（p∨?p）→((q∧?q)∧?r)
解：
p q r p∨?p q∧?q?r(q∧
?q)∧
?r （p∨?p）→((q∧?q)∧
?r)
0 0 0 1 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 0 0
1 0 1 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1 0
1 1 1 1 0 0 0
结论：此命题为矛盾式
1.7(8)
(p?q)→﹁(p∨q).
p q (p?q)(p∨q)﹁(p∨q)(p?q)→﹁(p
∨q)
0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 0 0
由此可以知道，上式为非重言式的可满足式.
(9) ((ｐ→ｑ)∧(ｑ→ｒ))→(ｐ→ｒ)
解:
p ｑｒｐ→
ｑｑ→
ｒ
（ｐ→ｑ）∧
（ｑ→ｒ）
ｐ→
ｒ
A
0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0 1 1
1 1 0 1 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 该命题为永真式
（10）（（p∨q）→r）?s
解：
p q r s p
∨q （p∨q）→r （p∨q）→r）
?s
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 1 1
0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 1 1
0 1 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1 0
1 1 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 1 0
1 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 1
结论：此命题为非重言式可满足式
1.8 用等值演算法证明下列等值式
（1）（p∧q）∨(p∧﹁q) ?p
证明：
（p∧q）∨(p∧﹁q) （分配律）
?p∧(q∨﹁q) （排中律）
?p∧1 (同一律)
?p
（3）?（p ? q）? ( ( p ∨ q ) ∧? ( p ∧ q ) )
证明：?（p ? q）
?? ( ( p → q ) ∧ (q → p ) )
?? ( (? p ∨ q ) ∧ (? q ∨ p ) )
?? (? p ∨ q ) ∨? ( ?q ∨ p )
? ( p ∧? q ) ∨ ( q ∧? p )
? ( ( p ∧? q ) ∨ q ) ∧ ( (p ∧? q ) ∨? p )
? ( ( p ∨ q ) ∧ ( ? q ∨ q ) ) ∧ ( ( p ∨? p ) ∧ ( ? q ∨? p) ) ? (( p ∨ q ) ∧1) ∧ (1 ∧ ( ? q ∨? p) )
? ( p ∨ q ) ∧ ( ? q ∨? p)
? ( p ∨ q ) ∧? ( p ∧ q )
1.9 用等值演算法判断下列公式的类型。
（1）?（（p∧q）→p）.
解：（1）?（（p∧q）→p）
??（?（p∧q）∨p）蕴含等值式
??（?（p∧q））∧?p 德·摩根律
?p∧q∧?p 双重否定律
? p∧?p∧q 交换律
?0∧q 矛盾律
?0 零律
即原式为矛盾式.
(2)((p→q)∧ (q→p))?(p?q)
解：((p→q)∧ (q→p))?(p?q)
?(p?q) ?(p?q)
?((p?q) → (p?q)) ∧((p?q) → (p?q))
?(P?q) → (p?q)
??(p?q) ∨(p?q))
?1
即((p→q)∧ (q→p))?(p?q)是重言式。
(3) (?p→q)→(q→?p).
解：(?p→q)→(q→?p)
??((p∨q))∨ (?q∨?p)
? (?p∧?q)∨(?q∨?p)
?(?p∨(?p∧?q))∧(?q∨(?q∨?p))
?( (?p∨?p)∨?q)∧((?q∨?q)∨?p]
? (?p∨?q)∧(?p∨?q)
? (?p∨?q)
或(?p→q)→(q→?p)
??((p∨q))∨ (?q∨?p)
? (?p∧?q)∨(?q∨?p)
?（(?p∧?q)∨?q）∨?p结合律
??p∨?q 吸收律
结论：该公式为可满足式。
1.12(1)求下面命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）
?←(p∨(q∧r))∨(p∧q∧r)
? (?p∧(?q∨?r)) ∨(p∧q∧r)
? (?p∧?q)∨(?p∧?r)∨(p∧q∧r)
? ((?p∧?q)∧(r∨?r)) ∨((?p∧?r)∧(q∨?q))∨(p∧q∧r)
?(?p∧?q∧r)∨(?p∧?q∧?r)∨(?p∧?q∧?r)∨(?p∧q∧?r)∨(p∧q∧r)
? (?p∧?q∧r)∨(?p∧?q∧?r)∨(?p∧q∧?r)∨(p∧q∧r)
? ((?p∧?q∧?r)∨(?p∧?q∧r)∨(?p∧q∧?r)∨(p∧q∧r)
?m0∨m1∨m2∨m7
?∑(0,1,2,7)
故其主析取范式为
(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）?∑(0,1,2,7)
由最小项定义可知道原命题的成真赋值为
(0,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)
成假赋值为(0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)
由主析取范式和主合取范式的关系即可知道主合取范式为
(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）?∏(3,4,5,6)
（3）?（p→q）∧q∧ r
解：?（p→q）∧q∧ r
??（?p∨q）∧q∧r
?p∧?q∧q∧r
?0
既?（p→q）∧q∧ r是矛盾式。?（p→q）∧q∧ r的主合取范式为M0 ∧M1 ∧M2∧M3 ∧M4 ∧M5 ∧M6 ∧M7，成假赋值为：000，001，010，011，100，101，111．
13.通过求主析取范式判断下列各组命题公式是否等值。∨∨∧（1）①p→(q→r);② q→(p→r).
解：p→(q→r)?﹁p∨ (q→r)
?﹁p∨ (﹁q∨r)
?﹁p∨﹁q∨r
?(﹁p∧(q∨﹁q)∧(r∨﹁r))∨((p∨﹁p)∧﹁q∧(r∨﹁r))∨((p∨﹁p)∧(q∨﹁q) ∧r)
?(﹁p∧q∧r)∨(﹁p∧q∧﹁r)∨(﹁p∧﹁q∧r)∨(﹁p∧﹁q∧﹁r)∨(p∧﹁q∧r)∨ (p∧﹁q∧﹁r)∨ (﹁p∧q ∧r)
?∑(0,1,2,3,4,5,7)
q→(p→r)?﹁q∨ (﹁p∨r)
?﹁p∨﹁q∨r
?∑(0,1,2,3,4,5,7)
所以两式等值。
（2）① p↑q
?←(p∧q)
?(p∧(q∨←q))∨(q∧(p∨←p))
? (p∧q)∨(←p∧←q) ∨(←q∧p) ∨(←p∧←q)
? (←p∧q) ∨(←p∧←q) ∨(p∧←q)
离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（pr）∧(﹁q∨s) ?（01）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1） (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例）
第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p)
第一章习题 1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还 是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值. (1) √2是无理数. 是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0 (3)现在在开会吗? 不是命题. (4)x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p?q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p?q真值:0 (8) 2008年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1 (13) 4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1)若 2+2=4,则 3+3=6. (2)若 2+2=4,则 3+3≠6. (3)若 2+2≠4,则 3+3=6. (4)若 2+2≠4,则 3+3≠6. (5)2+2=4当且仅当3+3=6. (6)2+2=4当且仅当3+3≠6. (7)2+2≠4当且仅当3+3=6. (8)2+2≠4当且仅当3+3≠6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1)p→q,真值为1. (2)p→┐q,真值为0. (3)┐p→q,真值为1. (4)┐p→┐q,真值为1. (5)p?q,真值为1. (6)p?┐q,真值为0. (7)┐p?q,真值为0. (8)┐p?┐q,真值为1. 1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号。 p:今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：p→q 真值为：1 （2）如果今天是1号，则明天是3号。 p:今天是1号。
离散数学练习题 第一章 一?填空 1?公式(p q) ( p q)的成真赋值为01; 10 2?设p, r为真命题，q, s为假命题，则复合命题(p q) ( r s)的真值为0 3?公式(p q)与(p q) ( p q)共同的成真赋值为01 ；10 4?设A为任意的公式，B为重言式，则A B的类型为重言式 5. 设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二.将下列命题符合化 1. ■ 7不是无理数是不对的。 解：(p)，其中p：. 7是无理数；或p,其中p: . 7是无理数。 2?小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：p q,其中p:小刘怕吃苦，q :小刘很爱钻研 3?只有不怕困难，才能战胜困难。 解：q p，其中p:怕困难，q:战胜困难 或p q，其中p:怕困难，q:战胜困难 4?只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：r (p q)，其中p:别人有困难，q:老王帮助别人，r:困难解决了 或：(r p) q，其中p：别人有困难，q:老王帮助别人，r:困难解决了 5?整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：p q，其中p:整数n是偶数，q:整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5, q：旧金山是美国的首都，r：在中国一年分四季
1. ((p q) r) (r (p q)) 2?((q p) (r p)) (( p q) r 解：p, q为假命题，r为真命题 1. (( p q) r) (r (p q))的真值为0 2. (( q p) (r p)) (( p q) r 的真值为1 四、判断推理是否正确 设y 2x为实数，推理如下： 若y在x=0可导，则y在x=0连续。y在x=0连续，所以y在x=0可导。 解：y 2x，x为实数，令p: y在x =0可导，q: y在x=0连续。P为假命题，q为真命题，推理符号化为：(p q) q p，由p, q得真值可知，推理的真值为0,所以推理不正确。 五、判断公式的类型 1，( (q p) ((p q) ( p q))) r 2. (p (q p)) (r q) 3. (p r) (q r)
离散数学测试题 一．选择题（10*2） 1.设L (x )：x 是演员，J (y )：y 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老 师”符号化为( ) (A) ),()(y x A x xL →? (B) ))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? (C) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? (D) )),()()((y x A y J x L y x →∧?? 2.令F(x):x 是有理数，G(x):x 是实数。将命题“所有的有理数都是实数，但有的有实数不是有理数”符号化为 （ ） A.?x(F(x)∧G(x))∧?x(G(x)→?F(x)) B.?x(F(x)→G(x))∧?x(G(x)∧?F(x)) C.?x(F(x)∧G(x))∧?x(G(x)∧?F(x)) D.?x(F(x)→G(x))∧?x(G(x)→?F(x)) 3．设R 是集合A={a,b,c,d}上的二元关系， R={
第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式 (3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1
离散数学试题 第一部分选择题 一、单项选择题 1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ） A．p∧┐p∧q B．┐p∨q C．┐p∧q D．┐p∨p∨q 2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ） A．p→┐q B．p∨┐q C．p∧q D．p∧┐q 3．下列语句中是命题的只有（ A ） A．1+1=10 B．x+y=10 C．sinx+siny<0 D．x mod 3=2 4．下列等值式不正确的是（ C ）
A．┐(?x)A?(?x)┐A B．(?x)(B→A(x))?B→(?x)A(x) C．(?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x) D．(?x)(?y)(A(x)→B(y))?(?x)A(x)→(?y)B(y) 5．谓词公式(?x)P(x,y)∧(?x)(Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z)中量词?x的辖域是（ C ） A．(?x)Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z)) B．Q(x,z)→(?y)R(x,y,z) C．Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z) D．Q(x,z) 6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={
7．设A={?}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{?,{?}}∈B B．{{?,?}}∈B C．{{?},{{?}}}∈B D．{?,{{?}}}∈B 8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ） A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z) B．(X-Y)-Z=(X-Z)-Y C．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z) D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z) 9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b) B．a*b=a+b C．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数) D．a*b=a(mod b)
《离散数学》测试题答 案 https://www.doczj.com/doc/7b11897077.html,work Information Technology Company.2020YEAR
测试题 ——离散数学 一、选择题 1、G是一棵根树，则（）。 A、G一定是连通的 B、G一定是强连通的 C、G只有一个顶点的出度为0 D、G只有一个顶点的入度为1 2、下面哪个语句不是命题（）。 A、中国将成功举办2008年奥运会 B、一亿年前地球发生了大灾难 C、我说的不是真话 D、哈密顿图是连通的 3、设R是实数集合，在上定义二元运算*：a，b∈R，a*b=a+b-ab，则下面的论断中正确的是（）。 A、0是*的零元 B、1是*的幺元 C、0是*的幺元 D、*没有等幂元 4、下面说法中正确的是（）。 A、所有可数集合都是等势的 B、任何集合都有与其等势的真子集 C、有些无限集合没有可数子集 D、有理数集合是不可数集合 5、无向完全图K3的不同构的生成子图有（）个。 A. 6 B.5 C. 4 D. 3 6、下面哪一种图不一定是无向树? A、无回路的连通图 B、有n个顶点n-1条边的连通图 C、每对顶点间都有通路的图 D、连通但删去一条边则不连通的图 7、设集合A＝{{1,2,3},{4,5},{6,7,8}}，则下列各式为真的是( )。 A.1 A B.{{4,5}} A C. {1,2,3} A D.A 8、在有界格中，若一个元素有补元，则补元( )。 A、必惟一 B、不惟一 C、不一定惟一 D、可能惟一 9、设集合A={1,2,3,…,10}，下面定义的哪种运算关于集合A是不封闭的（） A、 x*y=max{x,y} B、 x*y=min{x,y} C、 x*y=GCD(x,y)，即x,y的最大公约数 D、 x*y=LCM(x,y)，即x,y的最小公倍数
离散数学(屈婉玲版)第四章部分答案
4.1 （1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。如果R=Is ，则（A ）；如 果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。 （2）设有序对
《离散数学1-5章》练习题答案第2，3章(数理逻辑) 1.答：（2），（3），（4） 2.答：（2），（3），（4），（5），（6） 3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是 （4）是，T （5）不是（6）不是 4.答：（4） 5.答：?P ，Q→P 6.答：P(x)∨?yR(y) 7.答：??x(R(x)→Q(x)) 8、 c、P→(P∧(Q→P)) 解：P→(P∧(Q→P)) ??P∨(P∧(?Q∨P)) ??P∨P ? 1 (主合取范式) ? m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式） d、P∨(?P→(Q∨(?Q→R))) 解：P∨(?P→(Q∨(?Q→R))) ? P∨(P∨(Q∨(Q∨R))) ? P∨Q∨R ? M0 (主合取范式) ? m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 9、
b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S) 证明： （1） P 附加前提 （2） Q 附加前提 （3） P→(Q→R) 前提 （4） Q→R （1），（3）假言推理 （5） R （2），（4）假言推理 （6） R→(Q→S) 前提 （7） Q→S （5），（6）假言推理 （8） S （2），（7）假言推理 d、P→?Q，Q∨?R，R∧?S??P 证明、 (1) P 附加前提 （2） P→?Q 前提 （3）?Q （1），（2）假言推理 （4） Q∨?R 前提 (5) ?R （3），（4）析取三段论 (6 ) R∧?S 前提 （7） R （6）化简 （8） R∧?R 矛盾（5），（7）合取 所以该推理正确 10.写出?x(F(x)→G(x))→(?xF(x) →?xG(x))的前束范式。 解：原式??x(?F(x)∨G(x))→(?(?x)F(x) ∨ (?x)G(x)) ??(?x)(?F(x)∨G(x)) ∨(?(?x)F(x) ∨ (?x)G(x)) ? (?x)((F(x)∧? G(x)) ∨G(x)) ∨ (?x) ?F(x)
离散数学考试题(后附详细答案) 一、命题符号化(共6小题,每小题3分,共计18分) 1.用命题逻辑把下列命题符号化 a)假如上午不下雨,我去瞧电影,否则就在家里读书或瞧报。 设P表示命题“上午下雨”,Q表示命题“我去瞧电影”,R表示命题“在家里读书”,S表示命题“在家瞧报”,命题符号化为:(?P?Q)∧(P?R∨S) b)我今天进城,除非下雨。 设P表示命题“我今天进城”,Q表示命题“天下雨”,命题符号化为:?Q→P或?P→Q c)仅当您走,我将留下。 设P表示命题“您走”,Q表示命题“我留下”,命题符号化为: Q→P 2.用谓词逻辑把下列命题符号化 a)有些实数不就是有理数 设R(x)表示“x就是实数”,Q(x)表示“x就是有理数”,命题符号化为: ?x(R(x) ∧?Q(x)) 或??x(R(x) →Q(x)) b)对于所有非零实数x,总存在y使得xy=1。 设R(x)表示“x就是实数”,E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为: ?x(R(x) ∧?E(x,0) →?y(R(y) ∧E(f(x,y),1)))) c) f 就是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B,使得f(a)=b、 设F(f)表示“f就是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为:F(f)??a(A(a)→?b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧?c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b)))) 二、简答题(共6道题,共32分) 1.求命题公式(P→(Q→R))?(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式,并写出所有成真赋 值。(5分) (P→(Q→R))?(R→(Q→P))?(?P∨?Q∨R)?(P∨?Q∨?R) ?((?P∨?Q∨R)→(P∨?Q∨?R)) ∧ ((P∨?Q∨?R) →(?P∨?Q∨R))、 ?((P∧Q∧?R)∨ (P∨?Q∨?R)) ∧ ((?P∧Q∧R) ∨(?P∨?Q∨R)) ?(P∨?Q∨?R) ∧(?P∨?Q∨R) 这就是主合取范式 公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为 (?P∧?Q∧?R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R) 2.设个体域为{1,2,3},求下列命题的真值(4分) a)?x?y(x+y=4) b)?y?x (x+y=4) a) T b) F 3.求?x(F(x)→G(x))→(?xF(x)→?xG(x))的前束范式。(4分) ?x(F(x)→G(x))→(?xF(x)→?xG(x)) ??x(F(x)→G(x))→(?yF(y)→?zG(z))??x(F(x)→G(x))→?y?z(F(y)→G(z)) ??x?y?z((F(x)→G(x))→ (F(y)→G(z))) 4.判断下面命题的真假,并说明原因。(每小题2分,共4分) a)(A?B)－C=(A-B) ?(A-C) b)若f就是从集合A到集合B的入射函数,则|A|≤|B| a) 真命题。因为(A?B)－C=(A?B)?~C=(A?~C)?(B?~C)=(A-C)?(B-C) b) 真命题。因为如果f就是从集合A到集合B的入射函数,则|ranf|=|A|,且ranf?B,故命题 成立。
第一章习题 1.1 &1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命 题?并将命题符号化，并讨论它们的真值. (1) V 2是无理数. 是命题,简单命题.p:V2是无理数?真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除?真值:0 (3) 现在在开会吗？ 不是命题. ⑷ x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀！ 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.旷q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p q真值:0 (8) 2008 年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立！ 不是命题. (12) 4 是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p V q 真值:1 (13) 4 是偶数且是奇数. 是命题,复合命题P:4是偶数.q:4是奇数.p A q真值:0
(14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p:李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1) 若2+2=4,则3+3=6. ⑵若2+2=4,则3+3工6. (3)若2+2 工4,则3+3=6. ⑷若2+2工4,则3+3工6. ⑸2+2=4当且仅当3+3=6. ⑹2+2=4当且仅当3+3工6. (7) 2+2工4当且仅当3+3=6. (8) 2+2工4当且仅当3+3工6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1) p -q,真值为1. (2) p q,真值为0. ⑶门p-q,真值为1. ⑷门p-n q,真值为1. (5) p「q,真值为1. (6) p?门q,真值为0. ⑺门p q,真值为0. (8) n p n q,真值为1. 1. 4将下列命题符号化，并讨论其真值。 (1)如果今天是1号，贝V明天是2号。 p：今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：旷q 真值为：1 (2)如果今天是1号，则明天是3号。
离散数学第一部分测试题一、填空题 1．当p,q,r 分别取1，0，1时，(p→q)(p→r)的真值为假，或02．设P ：他富有，Q ：他幸福，“他既不富有也不幸福”的符号化为┐P ∧┐Q 3．“所有的人都长着黑头发”用谓词表达式符号化为M(x):x 为人，F(x):x 长着 黑头发， x(M(x)→F(x)) 4．如果6大于4，则4大于5用谓词表达式符号化为G(x,y):x ﹥y ,G(6,4)→G(4,5) 二、选择题 1.2x+3<4（C ） A.是命题也是复合命题 B.是命题但不是复合命题 C.不是命题 D.以上都不对2.下列语句是命题的有（D ） A.什么时候开会呀？ B.请快开门！ C.x+y>10。 D.苹果树和梨树都是落叶乔木。3.设p 表示命题“天下大雨”，q 表示命题“他乘公共汽车上班”，r 表示命题“他骑自行车上班”。则命题“如果天不下大雨，他乘公共汽车上班或者骑自行车上班。”符号化为（B ） A ．(?p ∧q)→r B ．?p →(q ∨r ) C ．?p ∧(q →r ) D ．p →(q ∧r ) 三、计算题 1．求(p ∨q)→r 的主析取范式解本公式含有三个命题变项，所以极小项均 含有三个文字。 7 5310)()()()()()()()()()()() )()(()()()()()(m m m m m r q p r q p r q p r q p r q p r q p r q p r q p r q p r q p r q p r q q p p r r q p r q p r q p r q p ∨∨∨∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧?∧?∨?∧?∧??∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧?∧?∨∧?∧?∨?∧?∧??∧∨?∧∨?∨∨?∧?∧??∨?∧??∨∨??→∨2．求公式的主合取范式：()() R Q Q P ∧→∨
离散数学习题答案 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： | （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 ； 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式： （1）()()p q p r ∨∨?∧ 解：公式的真值表如下：
, 由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式 1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨ 习题三及答案：（P52-54） 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：,,,p q q r r s p ?∨?∨→ 结论：s 证明： ① p 前提引入 ② p q ?∨ 前提引入 — ③ q ①②析取三段论 ④ q r ?∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入 ⑦ s ⑤⑥假言推理 15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论：p u → 证明：用附加前提证明法。 ' ① p 附加前提引入 ② p q ∨ ①附加 ③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入
天津理工大学中环信息学院《离散数学》第一、二章检测题 请将填空题答案填入下面相应位置 1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. ； 8. ； 9. ；10. ； 11. ；12. ；13. ；14. ；15. 。 一、填空题（每空2分，共30分） 1．设P 表示“我将去书店”， Q 表示“我有时间”，则命题“我将去书店，仅当我有时间”符号化为 。P Q → 2．设P 表示“天下雨”， Q 表示“我骑自行车上班”，则命题“除非下雨，否则我骑自行车上班”符号化为 。 P Q ?→ 3 4．设命题公式A 则命题公式A 的主析取范式为 ， 主合取范式为 。 ()()()P Q R P Q R P Q R ?∧∧?∨∧?∧?∨∧?∧ ()()()()()P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ∨∨∧∨∨?∧∨?∨?∧?∨?∨∧?∨?∨? 5．设个体域{,,}A a b c =，消去公式中的量词，则()()x P x ?∧()()x Q x ??
。 ()()()(()()())P a P b P c Q a Q b Q c ∧∧∧∨∨ 6．命题公式P Q →的逆反式是 。Q P ?→? 7．设命题公式?（P Q ?）的主析取范式为()()P Q Q P ∧?∨∧? 。 8．谓词公式 )()()(x x P x ???? , )()()(x x P x ???? 。 (),()P x P x ?? 9．设()G x 表示“x 是金子”， ()F x 表示“x 是闪光的”，则命题“金子是闪光的，但闪光的不一定是金子”符 号化 为 。 ()(()())()(()())x G x F x x F x G x ?→∧??→ 或()(()())()(()())x G x F x y F y G y ?→∧?∧? 10．N 个命题变元可以构成互不等价的命题公式 个。 ( 22N ) 二、单项选择题（每小题2分，共20分） 1．设)(x S 表示x 是演员。)(x T 表示x 是老师，),(y x A 表示x 钦佩y 。则命题“所有演 员都钦佩某些老师”符号化为（ 2 ）。 (1)．(()(,))x S x A x y ?→； (2)．))),()(()((y x A y T y x S x ∧?→?； (3)．()()(()()(,))x y S x T y A x y ??∧∧； (4)．()()(()()(,))x y S x T y A x y ??∧→． ２．下列蕴含式不成立的是（ 1 ）. (1)．(()())()()x F x G x xF x xG x ?∨??∨?； (2)．(())()x F x G xF x ?∧??； (3)． (()())()()x F x G x xF x xG x ?∧??∧?； (4)．(())()x F x G xF x ?∧??. ３．下列等价式不成立的是（ 2 ）. (1)．(()())()()x F x G x xF x xG x ?∧??∧?; (2)．(()())()()x F x G x xF x xG x ?∧??∧? (3)．(())()x F x G xF x G ?∧??∧ (4)．(())()x F x G xF x G ?∧??∧
离散数学练习题 第一章 一．填空 1. 公式(p q) ( p q )的成真赋值为01 ；10 2. 设p, r 为真命题，q, s 为假命题，则复合命题(p q) ( r s) 的真值为0 3. 公式(p q)与(p q) (p q )共同的成真赋值为01；10 4. 设A为任意的公式，B为重言式，则A B 的类型为重言式 5．设p, q 均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。二．将下列命题符合化 1. 7 不是无理数是不对的。 解：( p) ，其中p: 7 是无理数；或p，其中p: 7 是无理数。 2. 小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：p q, 其中 p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 3. 只有不怕困难，才能战胜困难。 解：q p ，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 或p q ，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 4. 只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：r (p q)，其中p: 别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了 或：( r p) q ，其中p: 别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了 5. 整数n是整数当且仅当n 能被2 整除。 解：p q，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5，q ：旧金山是美国的首都，r ：在中国一年分四季 1. ((p q) r) (r (p q)) 2. (( q p) (r p)) (( p q) r 解：p, q 为假命题，r 为真命题 1. ((p q) r) (r (p q)) 的真值为0
2. (( q p) (r p)) (( p q) r 的真值为1 四、判断推理是否正确 设y 2x 为实数，推理如下： 若y在x=0可导，则y在x=0连续。y 在x=0连续，所以y在x=0可导。 解：y 2x，x为实数，令p: ｙ在ｘ=0可导，q: y 在x=0连续。P为假命题，q为真命题，推 理符号化为：(p q) q p，由p，q 得真值可知，推理的真值为0，所以推理不正确。 五、判断公式的类型 1 ( (q p)((p q) ( p q))) ， (p(q p)) (r q) 2. 3.(p r)(q r) 解：设三个公式为A,B,C 则真值表如下： 由上表可知A为重言式，B 为矛盾式，C为可满足式 第二章练习题 一．填空 1. 设A为含命题变项p, q, r 的重言式，则公式A ((p q) ) 的类型为重言式 2. 设B为含命题变项p, q, r 的重言式，则公式B ((p q) )的类型为矛盾式 3. 设p, q 为命题变项，则( p q) 的成真赋值为01 ；10 4．设p,q 为真命题，r, s 为假命题，则复合函数(p r) ( q s) 的成真赋值为__0___ 5. 矛盾式的主析取范式为___0 _____ 6. 设公式A为含命题变项p, q, r 又已知A的主合取范式为M0 M 2 M 3 M 5则A 的主合取范式为m1 m4 m6 m7
离散数学考试题详细答案
离散数学考试题(后附详细答案) 一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计 18分） 1.用命题逻辑把下列命题符号化 a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（?P?Q）∧(P?R∨S) b)我今天进城，除非下雨。 设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：?Q→P或?P→Q c)仅当你走，我将留下。 设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： Q→P 2.用谓词逻辑把下列命题符号化 a)有些实数不是有理数 设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为： ?x(R(x) ∧?Q(x)) 或??x(R(x) →Q(x))
b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。 设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为： ?x(R(x) ∧?E(x,0) →?y(R(y) ∧E(f(x,y),1)))) c)f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A 存在唯一的b∈B，使得f(a)=b. 设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x ∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)??a(A(a)→?b(B(b) ∧E(f(a),b) ∧?c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b)))) 二、简答题（共6道题，共32分） 1.求命题公式(P→(Q→R))?(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。（5分） (P→(Q→R))?(R→(Q→P))?（?P∨?Q∨R）?(P∨?Q∨?R) ?(（?P∨?Q∨R）→(P∨?Q∨?R)) ∧((P∨?Q∨?R) →（?P∨?Q∨R）).
离散数学考试题详细 答案
离散数学考试题(后附详细答案) 一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分） 1.用命题逻辑把下列命题符号化 a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（?P?Q）∧(P?R∨S) b)我今天进城，除非下雨。 设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：?Q→P或?P →Q c)仅当你走，我将留下。 设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： Q→P 2.用谓词逻辑把下列命题符号化 a)有些实数不是有理数 设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为：?x(R(x) ∧?Q(x)) 或??x(R(x) →Q(x)) b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。 设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为：?x(R(x) ∧?E(x,0) →?y(R(y) ∧E(f(x,y),1)))) c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.
设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)??a(A(a)→?b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧?c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b)))) 二、简答题（共6道题，共32分） 1.求命题公式(P→(Q→R))?(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出 所有成真赋值。（5分） (P→(Q→R))?(R→(Q→P))?（?P∨?Q∨R）?(P∨?Q∨?R) ?(（?P∨?Q∨R）→(P∨?Q∨?R)) ∧ ((P∨?Q∨?R) →（?P∨?Q∨R）). ?(（P∧Q∧?R）∨ (P∨?Q∨?R)) ∧ ((?P∧Q∧R) ∨（?P∨?Q∨R）) ?(P∨?Q∨?R) ∧(?P∨?Q∨R) 这是主合取范式 公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为 （?P∧?Q∧?R)∨（?P∧?Q∧R)∨（?P∧Q∧?R)∨（P∧?Q∧?R)∨（P∧?Q∧R)∨ （P∧Q∧R) 2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分） a)?x?y(x+y=4) b)?y?x (x+y=4) a) T b) F 3.求?x(F(x)→G(x))→(?xF(x)→?xG(x))的前束范式。（4分） ?x(F(x)→G(x))→(?xF(x)→?xG(x)) ??x(F(x)→G(x))→(?yF(y)→?zG(z))??x(F(x)→G(x))→?y?z(F(y)→G(z)) ??x?y?z((F(x)→G(x))→ (F(y)→G(z))) 4.判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分）
6.1(5) 5S =n M (R),+为矩阵加法，则S 是（群） 答：满足封闭性，因为矩阵加法可结合所以为半群，且幺元为e ＝0的矩阵,故为独异点。又因为以任一n 阶矩阵的逆元存在是它的负矩阵，所以是群。 评语：答案太简单 6.2 （1）因为可结合，交换，幺元为1，但不存在逆元 所以是半群 （2）因为可交换，结合，幺元为0，是有限阶群并且是循环群，G 中的2阶元是2，4阶元是1和3 6.4 设Z 为正数集合，在Z 上定义二元运算 ° ，? x,y ∈Z 有 x ° y=x+y-2, 那么Z 与运算 ° 能否构成群？为什么？ 解： 设 ? a,b,c ∈Z （a ° b ）° c = (a+b-2) ° c = a+b- 2+ c-2 =a+b+c-4 a ° ( b ° c) = a ° (b+c-2) =a + b+c-2-2 =a+b+c-4 对2∈Z ，? x ∈Z 有 x ° 2=x+2-2=x=2° x, 可见 , 存在幺元，幺元为2。 对? x ∈Z 有4-x ∈Z,使x ° （4-x ）= (4-x) ° x=2 所以 x-1 = 4-x 所以Z 与运算 ° 能构成群 。 6.7 下列各集合对于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格？ （1）L={1,2,3,4,5}. （2）L={1,2,3,6,12}. （3）L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}. （4）L={1,2,2(2),…,2(n)}. （1）L={1,2,3,4,5}. 解：由它的哈斯图可以知道，该偏序集不是格，因为3和4、5和4 、3和5有最大下届是1，但是没有最小上届。 （2）L={1,2,3,6,12}. 解：由它的哈斯图可以知道，该偏序集是格。因为L 中的任意俩个元素都有最大下结和最小上届。 （3）L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}. 解：由它的哈斯图可以知道，该偏序集是格。因为L 中的任意俩个元素都有最大下结和最小上届。 （4）L={1,2,2(2),…,2(n)}.