江西省重点中学赣中南五校高三入学第一次联合考试数学试卷（理）
数 学 科 试 题 部 分
（满分150分，考试时间：120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，{||1}B x x =<，则（ ）
A.
B. C.
D.[1,2]
2.设x R ∈,则“1x <”是“2x ≠”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 3.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3， 则正视图中的x 的值是（ ） A.2 B.92
C.32
D.3
4.设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ） A.若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B.若αβ⊥,m α?,m β⊥,则//m α C.若m β⊥,m α?,则αβ⊥ D.若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥
5.将函数π()2tan 36x f x ??
=+
???
的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函
数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ）
A.π()2tan()134x g x =+-
B.π
()2tan()134x g x =-+
C.π()2tan()1312x g x =-+
D.π
()2tan()1312
x g x =--
6.设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2
＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半 径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是 ( ) A.(0,2) B.[0,2] C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)
7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满足01<+n n S S 的正整数n 的值为（ ）
A.13
B.12
C.11
D. 10
8.设函数()g x 是二次函数,2,||1
(),||1
x x f x x x ?≥=?
2
{|20}A x x x =--<()A B =R (1,2)(1,2][1,2)（第3题图） 正视图 侧视图
x
()g x 的值域是( )
A.(,1][1,)-∞-+∞
B.[0,)+∞
C.(,1][0,)-∞-+∞
D.[1,)+∞
9.若是一个集合，τ是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于τ，φ属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集
合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合τ： ①； ②； ③； ④． 其中是集合上的拓扑的集合τ的序号是( )
A.①
B.②
C.②③
D.②④
10.设函数2
()2,()ln 3x
f x e x
g x x x =+-=+-,若实数,a b 满足()()0f a g b ==,则( ) A.()0()g a f b << B.()0()f b g a << C.0()()g a f b << D.()()0f b g a <<
第Ⅱ卷 （非选择题共100分）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）
11.已知函数则=_______________．
12.若点M （y x ,）为平面区域??
?
??≤≥++≥+-0010
12x y x y x 上的一个动点，则y x 2+的最大值是_______
13.若数列{}n a 的前n 项和21
3
n n S a =
+,则4a =___________ 14.已知cos sin 6?
?-+= ???παα，则7sin 6
??+= ???πα .
15.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2
＝a 24
的切线，切点为E ，延长FE 交双
曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．
16.已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的最大值是______ 17.函数，其中，若动直线与函数
的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存
在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，
直接填写“不存在”______________
三、解答题(本大题共5小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.已知函数2()sin
cos 333
x x x f x =. X X X τX {}X a b c =，
，{{}{}{}}a c a b c τ=?，，，，，{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=?，，，，，，，{{}{}{}}a a b a c τ=?，，，，，{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=?，
，，，，，，，X ,0,()ln ,0,
x e x
f x x x ?<=?>?1
[()]f f e {}
()min 2f x x =-{},min ,,a a b
a b b a b ≤?=?
>?
y m =()y f x =123,,x x x 123x x x ??
(Ⅰ)求该函数图象的对称轴；
(Ⅱ)在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足2b ac =,求()f B 的取值范
围.
19.已知等差数列的各项均为正数，133,7a a ==，其前项和为，为等比数列,
，且．
(Ⅰ)求与； （Ⅱ）若
对任意正整数和任意恒成立，求实数的取值范围．
20.如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，
E F ，分别是BC PC ，的中点． （Ⅰ）证明：AE PD ⊥；
（Ⅱ）若2,2AB PA ==,求二面角E AF C --的余弦
值．
21.已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率23=e ，并且经过定点)2
1
3(，P .
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
{}n a n n S {}n b 12b =2232,b S =n a n b 212
11
1
1n
x ax S S S +++
≤++n x ∈R a P
B
E
C
F
A
（Ⅱ）设,A B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线4=x l ：上的一动点(点P 不在x 轴上），连
AP 交椭圆于C 点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得
BCD ACD S S ??=λ成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
22.已知函数2
()2||f x x x a =--.
（Ⅰ）若函数()y f x =为偶函数，求a 的值； ，求函数()y f x =的单调递增区间； （Ⅲ）当0>a 时，若对任意的[0,)x ∈+∞，不等式(1)2()f x f x -≥恒成立，求实数a 的
取值范围.
联考数 学(理）参考答案
一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．
二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分． 11
．__
1e __ 12．___1____ 13． _-8 14． ____3
5-____ 15．
2
6 17． 1
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解：(Ⅰ)2
3)332sin(2332cos 2332sin 21)32cos 1(2332sin 21
)(++=++
=++=πx x
x x x x f
由2sin()133x π+=±即231
()(),33224
x k k k z x k z ππππ+=+∈=+∈得 即对称轴为31
(),24
k x k z π=+∈……………………6分
（Ⅱ）由已知b 2=a c
2222221
cos 2222
125cos 1023333922sin()1sin()13333a c b a c ac ac ac B ac ac ac B B B B B ππππππ+-+--==≥=∴≤<∴<≤∴<+≤<+≤++≤+，
，，，
即()f B 的值域为]2
3
1,3(+.……………………14分
19．解：（1）设{}n a 的公差为d ，且0;d >{}n b 的公比为q
13223(1),2327
(6)23222
n n n a n d b q a d S b d q d q -∴=+-=∴=+==+?==?∴?=? 21,2n
n n a n b ∴=+=…………………7分
（2） ，
35(21)(2)n S n n n =++
++=+
∴
，（10分）
问题等价于的最小值大于或等于，
即，即，解得。…………………14分
20. 解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，60
ABC
∠=，可得ABC
△为正三角形．因为E 为BC的中点，所以AE BC
⊥．
又BC AD
∥，因此AE AD
⊥．
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA AE
⊥．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA AD A
=，
所以AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，
所以AE PD
⊥．（7分）（Ⅱ）解法一：因为PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD．
过E作EO AC
⊥于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS AF
⊥于S，连接ES，
则ESO
∠为二面角E AF C
--的平面角，
在Rt AOE
△中，
3
sin30
EO AE
==，
3
cos30
2
AO AE
==，
又F是PC的中点，在Rt ASO
△中，
32
sin45
4
SO AO
==，
又SE===，在Rt ESO
△中，
cos
5
SO
ESO
SE
∠===，
12
1111111
132435(2)
n
S S S n n
+++=++++
???+
11111111
(1)
2324352
n n
=-+-+-++-
+
1111
(1)
2212
n n
=+--
++
3233
42(1)(2)4
n
n n
+
=-<
++
2
()1
f x x ax
=++
3
4
23
1
44
a
-≥21
a≤11
a
-≤≤
P
B
E C
F
A
O
S
即所求二面角的余弦值为
5
． （14分） 解法二：由（Ⅰ）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，所以
(000)10)0)(020)A B C D -，，，，，，，，，，
1(002)0)12P E F ?
????，，，，，，，， 所以31(300)122AE AF ??
== ? ???
，，，，，． 设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，
则00
AE AF ?=?
?=??，，m m 因此111101
022
x y z =++=?，． 取11z =-，则(021)=-，，m ， 因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A
=，
所以BD ⊥平面AFC ， 故BD 为平面AFC 的一法向量．
又(0)BD =-，，
所以cos 5BD BD BD
<>==
=
，
m m m
因为二面角E AF C --为锐角，
所以所求二面角的余弦值为
5
．
21．解：（Ⅰ）由题意：2c e a =
=且22311a b
+=，又222c a b =- 解得：2
2
4,1a b ==，即：椭圆E 的方程为2
214
x y += （1）……………5分 （Ⅱ）存在，3λ=。
设00(4,)(0)P y y ≠，又(2,0)A -，则0
6
AP y k =
B
故直线AP 的方程为：0
(2)6
y y x =
+，代入方程（1）并整理得： 2222
000(9)44360y x y x y +++-=。
由韦达定理：2
02
0429A C C y x x x y +=-+=-+
即2
02
1829C y x y -=+，02069C y y y ∴=+ 同理可解得：200
22
00
222,11D D y y x y y y --==++ 02
023C D CD C D y y y k x x y -∴=
=--
故直线CD 的方程为()CD C C y k x x y =-+，即2
00(3)2(1)0y y y x -+-+=
∴直线CD 恒过定点(1,0).…………………12分
∴sin 3
3sin 1
ACD BCD CD AE AEC AE S S CD EB BEC EB λ?∠=====∠.…………………15分
22．解：（Ⅰ）任取x R ∈，则有()()f x f x -=恒成立， 即2
2
()2||2||x x a x x a ----=--恒成立
||||x a x
a ∴+=-恒成立，22ax ax ∴=-平方得：
恒成立 0a ∴=
（特殊值法求出酌情给分）…………………3分
2
2
21
21()12()2||1221()2
x x
x f x x x x x x ?-+≥??=--=?
?+-
（Ⅲ）不等式()()12f x f x -≥化为
*）
对任意的[)0,x ∈+∞恒成立………………7分 因为0a >，所以分如下情况讨论：
①当0x a ≤≤时，不等式（*）化为2
4()2[(1)]21x a x a x x --+-+≤+-恒成立 即24120[0,]x x a x a ++-≥?∈对恒成立
………………9分 ②当1a x a <≤+时，不等式（*）化为
24()2[(1)]21x a x a x x -+-+≤+-恒成
立
即24160(,1]x x a x a a -++≥?∈+对恒成立 由①知1
02
a <≤
，2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减
22a a ∴≤-≥
11
62222
a -<
≤≤ ………………12分 ③当1x a >+时，不等式（*）化为2
4()2[(1)]21x a x a x x ---+≤+-恒成立 即2230(,)x a x a +-≥?∈++∞对恒成立
22
min ()2301,)()(1)420
x x a a x a a a ???=+-≥++∞∴=+
=+-≥在
(上单调递增
只需
22a a ∴
≤-≥
由②得1
22
a ≤
≤ ………………14分 综上所述，a 1
22
a ≤≤ ………………15分
命题人：龙港高中 范文丹 审核人：温州八高 毛传挺
2min ()4120[0,]()(0)1201
02
g x x x a a g x g a a =++-≥∴==-≥∴<≤
在上单调递增只需2min ()(1)420h x h a a a ∴=+=+-≥只需