等比数列的前n项和
一、教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教版）第二章第5节第一课时。从在教材中的地位与作用来：看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
二、学生学习情况分析
从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。
三、设计思想
《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。对这一目标本人认为更加注重培
养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。心理学家研究发现，9~22岁的学生正处于创新思维的培养期，高中生正好处于这一关键年龄段，作为数学教师应因势力导，培养学生的创新思维能力。利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。在生生、师生交流的过程中，体现对弱势学生更多的关心。
四、教学目标
理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
五、教学重点、难点
教学重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用。
教学难点是公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导
所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
五、教学过程设计：
学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，
尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：
（一）创设情境，提出问题
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印 度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？
【设计意图】：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学 生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。
此时我问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引
导学生写出麦粒总数
。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时我对他们的这种思路给予肯定。
【设计意图】：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍 不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。
（二）师生互动，探究问题
在肯定他们的思路后，我接着问： 是什么数??????23631+2+2+2++2??????2363
1+2+2+2++2??????2363
1+2+2+2++2
列？有何特征？ 应归结为什么数学问题呢？
【学情预设】：探讨1：设 ，记为
（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）
探讨2： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，
（1）式两边同乘以2则有 ，记为（2）式。比较（1）(2）两式，你有什么发现？
【设计意图】：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n
项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。
经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同
的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：
。老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？
【设计意图】：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。
（三）类比联想，解决问题
这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列{}n a ，首 项为1a ，公比为q ，如何求前n 项和n S ？这里，让学生自主完成，并
喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。
???236364S =1+2+2+2++2???236364642S =2+2+2++2+2646421S =-
【设计意图】：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已 知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。
【学情预设】：在学生推导完成后，我再问：由n
n 11(1-q)s =a -a q 得n
11n a -a q s =1-q
对不对？这里的q 能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？1q =时是什么数列？此时n S =？（这里引导学生对q 进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。）
再次追问：结合等比数列的通项公式11n n a a q -=,如何把n S 用
1a 、n a 、q 表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）
【设计意图】：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认 识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。
（四）讨论交流，延伸拓展
在此基础上，我提出：探究等比数列前n 项和公式，还有其
它方法吗？我们知道,
n-21111=a +q(a +a q++a q )L 那么我们能否利用这个关系而求出n S 呢？根据等比数列的定义又有234n 123n-1a a a a =====q a a a a L ，能否联想到等比定理
从而求出n S 呢？
【设计意图】：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让 2n-1n 1111s =a +a q+a q ++a q L
学生主动观察、思考、讨论的氛围. 以上两种方法都可以化归到 11n n S a qS -=+, 这其实就是关于n S 的一个递推式，递推数列有非
常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源 于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.
（五）变式训练,深化认识
例1：求等比数列???1111,,,, 24816
前8项和； 变式 1、等比数列???1111,,,, 24816前多少项的和是6364
； 变式2、等比数列???1111,,,, 24816
求第5项到第10项的和；
首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结。
【设计意图】：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认 识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成。通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识。
（六）课后作业，分层练习
必做：P66练习1：(1)、(2)；2
选作：思考题：（1）求和.23n x+2x +3x ++nx L
（2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请 问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？
【设计意图】：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教， 让学有余力的学生有思考的空间。
六、教学反思：对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。
等比数列的前n项和学情分析
从认知结构看，前面学生已经深入学习过函数、等差数列及其前n项和等知识，一方面容易把本节内容与等差数列前n项和进行类比，另一方面，本节的公式推导所要求的计算量更大，思维的深刻性更高。对高二学生而言，虽然具有一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维上具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
从学生的思维特点看，很难想到变加为减。在学完等差数列的前n项和的基础上，大部分学生会容易把本节内容与其从公式的形成、推导、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。但其实本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这其中需要学生强烈的探究及观察能力。另外对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在使用公式的过程中容易出错。
等比数列前n项和效果分析
根据学生的特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，案例为浅层次要求，使学生有概括印象。公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固所学，反馈验证本节教学目标的
落实。其中，案例是基础，使学生感知教材；公式为关键，使学生理解教材；练习为应用，使学生巩固知识，举一反三。
在这三步教学中，以启发性强的小设问层层推导，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路，而且学生通过“案例—公式—应用”，由浅入深，由感性到理性，由直观到抽象，不仅加深了学生理解巩固与应用，也培养了学生的思维能力。
等比数列的前n项和教材分析
《等比数列的前n项和》是高中数学人教A版必修5第二章第五节的内容，分两个课时完成，第一课时侧重于公式的推导及记忆，第二课时侧重于公式的灵活应用。等比数列前n项和是教材中很重要的一块内容，是“等差数列”，“等差数列前n项和”与“等比数列”内容的延续，具有承上启下的作用。它对学生进一步理解等比数列以及数列的知识有很重要的作用。此公式的推导过程中所渗透的类比，分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
等比数列前n项和评测练习
一、单选题
1．等比数列中，，则的前4项和为（）A．48 B．60 C．81 D．124
2．已知等比数列的首项，公比，则( ) A．B．C．D．
3．在等比数列{}n a中，若14
==，则{}n a的前5项和5S等于（）
2,16
a a
A．30B．31C．62D．64
4．在等比数列{}n a 中，已知5127=?a a ，则=???111098a a a a （ ）
A.10
B.50
C.25
D.75
5．设首项为l ，公比为的等比数列的前项和为，则 ( ) A ．
B ．
C ．
D ． 6．在等比数列{}n a 中，若公比32,7q S ==，则6S 的值为（ ）
A ． 64
B ． 63
C ． 58
D ． 56
二、填空题
7．若数列满足，则的前6项和等于______ ．
8．在等比数列中，，，则数列的前项和
__________．
9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 12a =， 2q =，则8S =___________.
10．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________.
11．在等比数列{}n a 中， 126442n n a a S ==-=-，，，则公比q 等于______． 三、解答题
12．已知等比数列{a n }中， 12a =且a 1＋a 2＝6. 求数列{a n }的前n 项和为S n 的值；
13．已知等比数列{a n }满足 38312,8a a ==记其前n 项和为 n S
(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若93n S = ，求n.
等比数列的前n 项和课后反思
本节教学设计重视“过程与方法”。符合新课标理念，把重点放在公式的推导及应用上。
一、创设教学情境，引起学生的兴趣
情境创设是为了发展学生的心理机能，激发学生的兴趣、求知欲等来增强教学效果而营造的课堂氛围。创设教学情境，让学生“触境生情”，既可以掌握数学知识和技能，又可以体验教学内容中的情感，使原本枯燥抽象的数学知识变得生动有趣。本节课通过数学史料引进课题，即可以扩展学生的数学视野，又能提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。
二、不断探索讨论，激活学生的思想
高中数学新课程的基本理念是要丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法。在教学中，教师鼓励学生积极参与教学活动，教授过程中要有教师的讲授和指导，更要有学生的自主探索与合作交流。鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。 等比数列前n 项和公式的推导用了错位相减法，这种方法学生很难想到，求和都是用加，怎么会变成减法了呢？如果课上有足够的时间，可以让学生充分思考，说不定可以得到其他解答方法。比如：
q a a a a a a n n ====-12312K Θ q a a a a a a n n =++++++∴-12132K K 即
q a S a S n n n =--1)1(11≠--=∴q q q a a S n n
或者：
112111--++++=n n n q a q a q a a S K
()
()q a qS a a S q a qS a q a q a a q a n n n n n n -+=-+=+=++++=--111121111K q
a a qS S n n n -=-∴1 )1(11≠--=∴q q q a a S n n
三、例题设计层层深入，有效地帮助学生掌握公式
例题设计由浅入深，采用变式教学题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式——变式运用公式——研究公式特点循序渐进，让全体学生都参与其中，调动思维，勇于回答。
四、归纳小结，帮助学生巩固所学
以问题的形式出现，引导学生回顾公式的生成过程、推导方法，鼓励学生积极回答，培养口头表达能力。然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。
这节课在民主和谐的课堂气氛里，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索，不断创新的思维品质。
等比数列的前n 项和课标分析
一、教学内容分析
《等比数列的前n 项和》是高中数学人教A 版必修5第二章第五节的内容，分两个课时完成，第一课时侧重于公式的推导及记忆，第
二课时侧重于公式的灵活应用。等比数列前n项和是教材中很重要的一块内容，是“等差数列”，“等差数列前n项和”与“等比数列”内容的延续，具有承上启下的作用。它对学生进一步理解等比数列以及数列的知识有很重要的作用。此公式的推导过程中所渗透的类比，分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．
二、教学目标：
1、知识与技能目标：通过本节学习，使学生会用方程的思想认识等比数列前n项和公式，会用等比数列前n项和公式及有关知识解决现实生活中存在着的大量的数列求和问题，将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题。
2、过程和方法目标：通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生数学素养、培养学生分类与整合的数学思想及学生的逻辑思维。
3、情感态度与价值观目标：通过解决生产实际和社会生活中的实际问题，了解社会，认识社会，形成科学的世界观和价值观。
三、教学的重点与难点
重点：等比数列前n项和公式的推导及灵活应用，及生产和社会生活中有关的实际问题。
难点：建立等比数列模型，用等比数列知识解决有关生产实际及社会生活中的热点问题。
全国高中数学说课大赛获奖优秀说课稿汇编 一、教学理念 教师的教学方案必须建立在学生的基础之上。新课程标准指出，“数学课程不仅要考虑教学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发……数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验基础之上。” 笔者认为教学中成功的关健在于： 教师的“教”立足于学生的“学”。 1、从学生的思维实际出发，激发探索知识的愿望，不同发展阶段的学生在认知水平、认知风格和发展趋势上存在差异，处于同一阶段的不同学生在认知水平、认知风格和发展趋势上也存在着差异。人的智力结构是多元的，有的人善于形象思维，有的人长于计算，有的人擅长逻辑思维，这就是学生的实际。教学要越贴近学生的实际，就越需要学生自己来探索知识，包括发现问题，分析、解决问题。在引导学生感受算理与算法的过程中，放手让学生尝试，让学生主动、积极地参与新知识的形成过程中，并适时调动学生大胆说出自己的方法，然后让学生自己去比较方法的正确与否，简单与否。这样学生对算理与算法用自己的思维方式，既明于心又说于口。 2、遇到课堂中学生分析问题或解决问题出现错误，特别是一些受思维定势影响的“规律性错误”比如学生在处理商的小数点时受到小数加减法的影响。教师针对这种情况，是批评、简单否定还是鼓励大胆发言、各抒己见，然后让学生发现错误，验证错误？当然应该是鼓励学生大胆地发表自己的意见、看法、想法。学生对自己的方法等于进行了一次自我否定。这样对教学知识的理解就比较深刻，既知其然，又知其所以然。而且学生通过对自己提出的问题，分析或解决的问题提出质疑，自我否定，有利于学生促进反思能力与自我监控能力。 数学教学活动应该是一个从具体问题中抽象出数学问题，并用多种数学语言分析它，用数学方法解决它，从中获得相关的知识与方法，形成良好的思维习惯和应用数学的意识，感受教学创造的乐趣，增进学生学习数学的信心，获
等比数列的通项公式(教案) 一、教学目标 1、掌握等比数列的通项公式，并能够用公式解决一些相关问题。 2、掌握由等比数列的通项公式推导出的相关结论。 二、教学重点、难点各种结论的推导、理解、应用。 三、教学过程 1、导入复习等比数列的定义： 通项公式： 用归纳猜测的方法得到，用累积法证明 2、新知探索例1 在等比数列中，（1）已知；（2）已知、，分析（1）根据等比数列的通项公式，得（2）可以根据等比数列的通项公式列出一个二元一次方程组解得所以问：上面的第（2）题中，可以不求而只需求得q就得到吗?分析在归纳猜测等比数列的通项公式时，有这样一系列式子：注意观察等式右边各项的下标与q的次方的和，可以发现，的表达式中，始终满足结论1 数列是等比数列，则有。再来看一下例1中（2）的另一种解法：，所以q=2，所以习题2、3（1） 2、在等比数列中，（1）已知；（2）已知、分析（1）可以根据定义和结论1给出两种解法。方法一方法二，所以q=3，所以。（2），所以例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数
成等比数列。分析设此三个数为，公比为q，则由题意得243，，3成等比数列；，所以得故插入的三个数为81，27，9或-81，27，-9、问：观察一下例2中，当时，这5个数分别为243，-81，27，-9，3，可以发现什么规律？答：在等比数列中，当公比小于零时，数列中的奇数项同号，偶数项同号。习题2、3（1） 6、在等比数列中，，，求的值。分析得，同理得例3 已知等比数列的通项公式为，求首项和公比q、分析在例3中，等比数列的通项公式为，是一个常数与指数式的乘积，因为数列是特殊的函数，故表示这个数列的各点均在函数的图像上。问：如果一个数列的通项公式为，其中，都是不为零的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？分析，，所以是等比数列。一般可以看作是等比数列通项公式的变形，，其中结论2 等比数列的通项公式均可写成（，为不等于零的常数）的形式。反之成立。习题2、3（1） 5、在等比数列中，（1）是否成立？是否成立？（2） （n>2）是否成立？（3）你能得到更一般的结论吗？分析 （1），所以成立。（2），所以成立。（3）从（1）（2）可以看出，等式两边各项的下表和相等，左边是同一项的平方，如果把左边换成两个不同项的乘积呢？同时，类比等差数列中的一个结论：在等差数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有，可以猜测：在等比数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有、证，所以、结论3 在等比数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是
课 题：数列通项公式的求法 课题类型：高三第一轮复习课 授课教师：孙海明 1、知识目标：使学生掌握数列通项公式的基本求法：（1）利用公式求通项（2）累加法 求通项（3）累乘法求通项，并能灵活地运用。 2、能力目标：通过例题总结归纳数列通项公式基本求法，培养学生观察、辨析、运用的 综合思维能力，掌握由特殊到一般、无限化有限的化归转化的数学思想, 提高学生数学素质。 3、情感目标：通过本节的学习，进一步培养学生的“实践—认识—再实践”的辨证唯物 主义观点。 教学重点、难点： 重 点：数列通项公式的基本求法 难 点：复杂问题的化归转化 教学方法与教学手段： 教学方法：引导发现法（注重知识的发生过程，培养学生创新精神和实践能力） 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程： 一、创设情境，引出课题： 1、数列在历年的高考中都占有非常重要的地位。以近三年的高考为例：每年都出一道选择或填空、一道解答题，总分值为17分，占高考总成绩的百分之十。所以，希望同学们认真总结归纳基本方法，灵活运用解题。请同学们思考解决数列问题的关键是什么？（同学们一起回答：通项公式），那么这节课我们就来总结一下数列通项公式的基本求法。 《板书标题：数列通项公式的求法》 [设计意图] 使学生掌握数列在高考中的地位，从而使学生对数列的学习引起足够的 重视，提高学习的积极性。 二、启发诱导、总结方法 1、利用公式求通项 《先给出例题，分析总结方法》 师生互动： 请同学分析叙述解题过程，老师板书。 {}{}{}{}的通项公式求且数列是各项都为正数的等比 为等差数列设高考卷一例、n n n n b a b a b a b a b a ,,13,21,1,,)07(355311=+=+=={}{}1 2223545322)1(212,202 74,1341,21210,,-==-+===>-===++=+=++=+>n n n n n b n n a d q q q q q d b a q d b a q q b d a ，，则所以所以（舍）因为或解得依题得的公比为等比数列的公差为解：设等差数列
3.4.1等比数列教案 临澧一中高一数学组 颜干清 课题 ：3.4.1等比数列(一) 教学目标 （一） 教学知识点 1、 等比数列的定义. 2、 等比数列的通项公式. （二） 能力训练要求 1、 掌握等比数列的定义. 2、 理解等比数列的通项公式及推导. （三） 德育渗透目标 1、 培养学生的发现意识. 2、 提高学生的逻辑推理能力. 3、 增强学生的应用意识. 教学重点 等比数列的定义及通项公式. 教学难点 灵活应用等比数列的定义及通项公式解决一些相关问题. 教学方法 比较式教学法 采用比较式教学法,从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用. 教学过程 Ⅰ复习回顾 前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容 1、等差数列定义：a n -a n-1=d （n ≥2）(d 为常数) 2、等差数列性质： ①若a 、A 、b 成等差数列，则A= ②若m+n=p +q ，则，a m + a n = a p + a q , ③S k ，S 2k - S 3k ，S 2k …成等差数列. 3、等差数列的前n 项和公式：d n n na a a n s n 2 )1(2)(21-+=+= Ⅱ新课讲授 下面我们来看这样几个数列，有何时共特点？ 1，2，4，8，16，…，263 ；① a +b 2
5，25，125，625，…； ② 1，- ， ，- ，…； ③ 仔细观察数列，寻其共同特点： 数列①：)2(2;21 1≥==--n a a a n n n n ； 数列②: )2(5;51 ≥==-n a a a n n n n 数列③: )2(2 1;21 )1(111≥-=?-=---n a a a n n n n n 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.(也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的式都具有“相等”的特点) 1、定义 等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0）,即：a n ：a n-1= q （q ≠0） 数列①②③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，- ，与等差数列比较，仅一字之差。 总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”这常数，则为等差数列，之“比”这常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”. 注意公差①“d ”可为0，②公比“q ”不可为0. 2、等比数列的通项公式 请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一推等比数列的通项公式. 解法一：由定义式可得 a 2=a 1q a 3=a 2q =( a 1q )q = a 1q 2 a 4=a 3q =( a 2q )q =((a 1q )q )q = a 1q 3 …… a n =a n-1q = a 1q n-1（a 4，q ≠0），n=1时，等式也成立，即对一切n ∈N *成立. 解法二：由定义式可得：（n-1）个等式 1 2 1 8 1 2 1 4 a 2 a 1 = q a 3 a 2 = q ① ②
等比数列的定义教案 内 容： 等比数列 教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义； 2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法； 3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。 授课类型：新授课 课时安排：1课时教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。 教学难点：等比数列通项公式的探求。 教具准备：多媒体课件 教学过程： （一）复习导入 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式及其推导方法 3.公差的确定方法. 4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？ （二）探索新知 1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？ （１）－2，1，4，7，10，13，16，19，…（２）8，16，32，64，128，256，… （３）1，1，1，1，1，1，1，… （４）1，2，4，8，16，…263 请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列. 2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．． ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．． ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠， 3.递推公式：1n a +∶(0)n a q q =≠ 对定义再引导学生讨论并强调以下问题 （1） 等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0； （3）公比不为0. （4）非零常数列既是等比数列也是等差数列； 问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？ 3．等比数列的通项公式： 【傻儿子的故事】 古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。 第二天,这人想请一个姓万的人来家里吃饭,就让他儿子帮忙写一张请帖,他儿子从早上一直写到中午也没有写好,这人觉得奇怪,就去看看,只发现他儿子在纸上划了好多横线,就问他儿子什么意思.他儿子一边擦头上的汗一边埋怨道:“爸,
等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1. 准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解 决等差数列的相关问题 2. 通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生 对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力 3?激情参与、惜时高效，禾U 用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值 【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用 【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用 【学法指导】 1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法 ； 2.完成教材助读设置的问题，然后结 合课本的基础知识和例题，完成预习自测； 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑” 一、知识温故 1?数列有几种表示方法？ 2?数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？ 教材助读 1?一般地，如果一个数列从第 ________ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ___________ ，公差通常用字母 ___________________________ 表示。 2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a 与b 的等差数列即 3. 如果数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则a 2 a 1 a 5 a 1 4.通项公式为a n =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗? ,a 3 a 1 a 4 a 1 1. 等差数列a 2d , a ,a 2d ?' A . a n a (n 1)d B. C . a n a 2(n 2)d D. 2.已知数列｛, a n } 的通项公式为 a n A . 2 B. 3 C. 2 3. 已知a 1 b - 1 ?的通项公式是（ a (n 3)d a 2nd 2n ，则它的公差为（ D. 3 ，则a 与b 的等差中项为 【预习自测】 a n a n
第 10课时：§2.3 等比数列（4） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n 项求和公式解决相关问题， 2.提高学生分析、解决问题能能力。理解这种数列的模型应用． 二、过程与方法 通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 三、情感、态度与价值观 在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。 【教学重点与难点】： 重点：用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 难点：将实际问题转化为数学问题（数学建模）． 【学法与教学用具】： 1. 学法： 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1．等比数列的定义：n n a a 1+=q （+∈N n ,0≠q ） 2.等比数列的通项公式:)0(111≠??=-q a q a a n n ， 3．性质：①b G a ,,成等比数列?G 2 =ab （0≠ab ） ②在等比数列中，若m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ?=? 4．等比数列的前n 项和公式： ∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1① 或q q a a S n n --=11② 当1=q 时，1na S n =，当已知1a ,q ,n 时用公式①；当已知1a ,q ,n a 时，用公式②. 5.)1(11==n S a ，)2(1≥-=-n S S a n n n 6．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和， ①当1-=q 且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列. ②当1-≠q 或k 为奇数时，k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列
尊敬的各位专家、评委： 下午好！ 我的抽签序号是＿＿＿，今天我说课的课题是《＿＿＿＿＿＿》第＿＿课时。 我尝试利用新课标的理念来指导教学，对于本节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这样教”为思路，从教材分析、教法学法分析、教学过程分析和评价分析四方面来谈谈我对教材的理解和教学的设计，敬请各位专家、评委批评指正。 一、教材分析 （一）地位与作用 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 （二）学情分析 （1）学生已熟练掌握＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （2）学生的知识经验较丰富，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力。 （3）学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。 （4）学生层次参次不齐，个体差异比较明显。 二、目标分析 新课标指出“三维目标”是一个密切联系的有机整体，应该以获得知识与技能的过程，同时成为学会学习和正确价值观。这要求我们在教学中以知识技能的培养为主线，透情感态度与价值观，并把这两者充分体现在教学过程中，新课标指出教学的主体是学生，因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发，根据＿＿在教材内容中的地位与作用，结合学情分析，本节课教学应实现如下教学目标： （一）教学目标 （1）知识与技能 使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；。 （2）过程与方法
《等比数列》教学设计（共2课时） 第一课时 1、创设情境，提出问题 （阅读本章引言并打出幻灯片） 情境1：本章引言内容 提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？ 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为： 1，2，,2,2,2432 ……，632 （1） 于是发明者要求的麦粒总数是 情境2：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r ，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，……，还款数额依次满足什么规律？ 10000(1+r),100002)1(r +,100003)1(r +,…… （2） 情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？,8 1,41,21…… （3） 问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得7)2 1( 2、自主探究，找出规律： 学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q )0(≠q 表示，即1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠。 如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r,2 1 点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。 ??????23631+2+2+2++2
天津职业技术师范大学 人教A版数学必修5第48-52页 2.4等比数列 理学院数学0801 刘瑞平
等比数列教案 一、 课题：等比数列 二、 课型：新授课 三、 教材分析 等比数列的学习在本章中占很大的比重。在日常生活中，人们经常遇到的像存款利息等问题，都需要用有关等比数列的知识来解决。本节内容可以类比等差数列进行教学。 四、 学情分析 学生已经已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力，在学完等差数列的基础上，也已经具有了必要的与数列相关的知识。因此，可以通过生活中的例子引入等比数列的概念；然后，再类比等差通项的迭加思想引导学生用迭乘的思想推导等比数列的通项公式。这样，学生既学习了知识又培养了能力。 五、 教学目标： 1) 知识目标：使学生理解等比数列的概念；学会利用等比数列的定义判断一个 数列是否为等比数列；利用通向公式求项。 2) 能力目标：让学生感知数学与生活的普遍联系，培养学生类比的思想方法， 掌握迭乘的思想，调动学生积极观察思考。 3) 情感目标：使学生体验数学活动充满着探索，感受数学思维的严谨性，提高 学生数学思维的情趣。 4) 教学重点与教学难点 教学重点：等比数列的概念 教学难点：等比数列通项的推导，有关等比数列的证明。 六、 教学方法：讲授法，讨论法 七、 教学过程： 1、导入，设问激疑 设问激疑 引出课题 巩固定义 严谨思维 类比等差 推导通项 证明等比 揭示内涵 设问思考 积极探索 反思小结 培养能力
师：上课之前，先问大家一个问题：一张报纸（厚度大约为0.1mm ），将它对折50次会有多厚？如果拿它做云梯能到哪？ （师生互动，一起来分析这道题目）报纸厚度为 初始 0.1mm 折叠1次 0.1?2 = 0.1?21 折叠2次 0.1?2?2 = 0.1?22 折叠3次 0.1?2?2?2 = 0.1?23 折叠4次 0.1?2?2?2?2 = 0.1?24 …… 可以猜想得出 ，折叠50次之后，报纸厚度为 0.1?250 。lg 250 ≈15.05 ，也就是说250 是一个15位整数，2 50 ?0.1mm=1000 10001 .0250??km ，这个数字我们不 知道他确切的值是多少，但可以知道它是一个八位数。而地球到月球的距离仅有 385400km （六位数）。（让学生感受事实与想象之间的差距） 2、新课引入 回过头来，再次分析报纸的折叠问题。将报纸每次折叠后的厚度，看成是一个数列。 初始 0.1mm 折叠1次 0.1?2 = 0.1?21 折叠2次 0.1?2?2 = 0.1?22 折叠3次 0.1?2?2?2 = 0.1?23 折叠4次 0.1?2?2?2?2 = 0.1?24 ……
人教版高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案 教案说明： 设计思想：建构主义认为，学习不是知识由教师向学生的传递，而是学生建构自己的知识的过程。学生不是被动的信息吸收者，而是意义的主动建构者，这种建构不可能由其他人代替，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。教师应该时刻注意让学习任务始终处于学生的“最近发展区”，并提供一定的“支架”和辅导。学生应该在教师的帮助下，发展自己控制学习过程的能力。因此，本节课教师做为学习的引导者，通过同学之间的合作交流激发学生亲身经历数学建构的过程。 教学内容分析：数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，本章对数列的定位是做为一种函数结合数列自身的特点来学习的，在通过实际问题引入数列概念后，使学生体会数列的函数背景，感受数列是研究现实问题情景的数学模型。等比数列做为特殊的数列也是函数，实际上就是指数函数，是反映自然规律的重要的数学模型之一，与等差数列一样在现实生活中也有广泛的应用。因此，数列是高中数学的重要内容，同时也是高考重点考察的内容。等比数列是在等差数列学习的基础上进行的，对应指数函数的模型，因此对思维能力有更进一步的要求。一方面考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等比中项及等比数列的性质的灵活运用，这一部分主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿；另一方面常和函数、不等式、方程、解析几何、立体几何等相关内容交汇在一起综合，加以导数和向量等新增内容，使数列题更有了施展的舞台；因此,这类题目从已知条件给出的信息,求解目标需求的信息,解题过程所用的方法都相当丰富,并且对于考查逻辑推理, 演绎证明,运算求解,归纳抽象等理性思维能力以及数学联结能力都是很好的素材.等比数列的概念和通项公式做为等比数列学习的基础，更起到至关重要的作用。 本节课的教法特点：学生对等差数列的定义和基本性质都已经有了初步的理
数列求通项公式教学设计 教学目标： 1、知识目标：使学生掌握数列通项公式的基本求法：（1）利用 公式求通项（2）累加法求通项（3）累乘法求通项， （4）构造法求通项并能灵活地运用。 2、能力目标：通过例题总结归纳数列通项公式基本求法，培养 学生观察、辨析、运用的综合思维能力，掌握由特 殊到一般、无限化有限的化归转化的数学思想,提高 学生数学素质。 3、情感目标：通过本节的学习，进一步培养学生的“实践—认识 —再实践”的辨证唯物主义观点。 教学重点、难点： 重点：数列通项公式的基本求法 $ 难点：复杂问题的化归转化 教学方法与教学手段： 教学方法：引导发现法（注重知识的发生过程，培养学生创新精神和实践能力） 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程： 一、创设情境，引出课题： 1、数列在历年的高考中都占有非常重要的地位。以近三年的高考为例：每年都出一道选择或填空、一道解答题，总分值为17分，占高考总成绩的百分之十。所以，希望同学们认真总结归纳基本方法，
灵活运用解题。请同学们思考解决数列问题的关键是什么（同学们一起回答：通项公式），那么这节课我们就来总结一下数列通项公式的基本求法。 《板书标题：数列通项公式的求法》 ( [设计意图] 使学生掌握数列在高考中的地位，从而使学生对数列的学习引起足够的重视，提高学习的积极性。 二、启发诱导、总结方法 1、回顾上节课讲过的公式法，已知n S 求n a ，累加法及其简单应用 给出练习题目，引导学生自主做题，并让一位学生黑板演示 教师引导学生分析例题题干，总结特点：“明确数列是用何种求和方法” 《多媒体》给出同类的练习让学生巩固方法及解题过程。 、 2、累乘法求通项 回忆等比数列定义及通项公式的推导过程，引出“累乘法求通项”，利用类比的方法引导学生自己总结累乘法所适合的结构类型：已知数列相邻两项之比。给出例题让学生分析叙述解题过程。 例：已知数列}{n a ，满足 n n a a n n 11+=+，且21=a ，求该数列的通项公式 引导学生类比累加法，思考解题方法。并逐步给出答案，引导学生怎样分析解决问题。给出练习 练习1.已知数列}{n a 满足n n n a a 2.1=+，且11=a ，求该数列的通项公式 [
高中数学必修5《等比数列》教案 答案：1458或128。 例2、正项等比数列{an}中，a6 a15+a9 a12=30，则log15a1a2a3 a20 =_ 10 ____. 例3、已知一个等差数列：2，4，6，8，10，12，14，16，，2n，，能否在这个数列中取出一些项组成一个新的数列{cn}，使得{cn}是一个公比为2的等比数列，若能请指出{cn}中的第k项是等差数列中的第几项? (本题为开放题，没有唯一的答案，如对于{cn}：2，4，8，16，，2n，，则ck=2k=2 2k-1，所以{cn}中的第k项是等差数列中的第2k-1项。关键是对通项公式的理解)
1、小结： 今天我们主要学习了有关等比数列的概念、通项公式、以及它的性质，通过今天的学习 我们不仅学到了关于等比数列的有关知识，更重要的是我们学会了由类比猜想证明的科学思维的过程。 2、作业： P129：1，2，3 思考题：在等差数列：2，4，6，8，10，12，14，16，，2n，，中取出一些项：6，12，24，48，，组成一个新的数列{cn}，{cn}是一个公比为2的等比数列，请指出{cn}中的第k项是等差数列中的
第几项? 教学设计说明： 1、教学目标和重难点：首先作为等比数列的第一节课，对于等比数列的概念、通项公式及其性质是学生接下来学习等比数列的基础，是必须要落实的;其次，数学教学除了要传授知识，更重要的是传授科学的研究方法，等比数列是在等差数列之后学习的因此对等比数列的学习必然要和等差数列结合起来，通过等比数列和等差数列的类比学习，对培养学生类比猜想证明的科学研究方法是有利的。这也就成了本节课的重点。 2、教学设计过程：本节课主要从以下几个方面展开： 1) 通过复习等差数列的定义，类比得出等比数列的定义; 2) 等比数列的通项公式的推导;
等比数列的概念 亳州三中 范图江 一、教学目标 1、 体会等比数列特性，理解等比数列的概念。 2、 能根据定义判断一个数列是等比数列，明确一个数列是等比数列的限定条件。 3、 能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导出等比数列的通项公式。 二、教学重点、难点 重点：等比数列定义的归纳及应用，通项公式的推导。 难点：正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列为等比数列，通项公式的推导。 三、教学过程 1、 导入 复习等差数列的相关内容: 定义：*1,()n n a a d n N +-=∈ 通项公式：()*1(1),n a a n d n N =+-∈ 等差数列只是数列的其中一种形式，现在来看这两组数列1、2、4、8……， 1、1 2、14、18 …… 问：这两组数列中，各组数列的各项之间有什么关系？ 2、 探究发现，建构概念 问：与等差数列的概念相类比，可以给出这种数列的概念吗？是什么？ <1>定义：如果一个数列从地2项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数，则称此数列为的不过比数列。这个常数就叫做公比，用q 表示。 <2>数学表达式：*1,()n n a q n N a +=∈ 问：从等比数列的定义及其数学表达式中，可以看出什么？也就是，这个公式在什么条件下成立？ 结论1 等比数列各项均不为零，公比0q ≠。 带领学生看45P 页的实例，目的是让学生知道等比数列在现实生活中的应用，从而知道其重要性。 3、 运用概念 例1 判断下列数列是否为等比数列： （1）1、1、1、1、1； （2）0、1、2、4、8； （3）1、11 1124816 -、、-、.
数列公式数学学科导学案 教师寄语：做对国家有用的人 课题：数列的概念和通项公式 班级 17级姓名陈兆侠组别二年级 一、学习目标： 1.知识与能力： （1）理解数列及其有关概念； （2）理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； （3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式． 2.过程与方法： 理解数列的定义，表示法，分类，初步学会求数列通项公式的方法。 3.情感态度价值观： 提高观察，分析能力，理解从特殊到一般，从一般到特殊思想。 二、学习重、难点： 重点：了解数列的概念及其表示方法，会写出简单数列的通项公式 难点：数列与函数关系的理解，用归纳法写数列的通项 三、学习过程【导、探、议、练】 导 知识点一：数列及其有关概念 思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？ 梳理: (1)按照________排列的________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_____.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的__________(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这个数列的……排在第n位的数称为这个数列的__________. (2) 数列的一般形式可以写成，简记为_________. 知识点二：通项公式 思考1:数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？ 思考2 数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ 知识点三:数列的分类 思考:对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？ 梳理: (1)按项数分类，项数有限的数列叫做__________数列，项数无限的数列叫做__________数列． (2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做___________；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做；各项相等的数列叫做；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做_____________. 探、议 （一）自主探究 类型一:由数列的前几项写出数列的一个通项公式
教案设计 高中数学 《等比数列》 ●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导； 过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。 情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比数列的定义及通项公式 ●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +） 等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本P41页的4个例子： ①1，2，4，8，16，… ②1，12，14，18，116 ，… ③1，20，220，320，420，… ④10000 1.0198?，210000 1.0198?，310000 1.0198?，410000 1.0198?，510000 1.0198?，…… 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1 -n n a a =q （q ≠0） 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）2? 隐含：任一项00≠≠q a n 且 “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件． 3? q= 1时，{a n }为常数。 2.等比数列的通项公式1: ) 0(111≠??=-q a q a a n n 由等比数列的定义，有： q a a 12=； 21123)(q a q q a q a a ===； 312134)(q a q q a q a a ===； … … … … … … … ) 0(1111≠??==--q a q a q a a n n n 3.等比数列的通项公式2: ) 0(11≠??=-q a q a a m m n 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系： 等比数列｛n a ｝的通项公式)0(111≠??=-q a q a a n n ,它的图象是分布在曲线1x a y q q =（q>0）上的一些孤立的点。 当10a >，q >1时，等比数列｛n a ｝是递增数列； 当10a <，01q <<，等比数列｛n a ｝是递增数列；
精品文档 高中数学优秀说课稿等差数列 等差数列（第一课时）的内容。3.2本节课讲述的是人教版高一数学（上）§一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点 二、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、 四、学法指导在引导分析 精品文档． 精品文档 留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学程序 本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用举例（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，
6．3 等比数列的通项公式 一、教学目标 1.知识目标： （1）理解等比数列的定义； （2）理解等比数列通项公式． 2.能力目标： （1）应用等比数列的通项公式，解决数列的相关计算，培养学生的计算技能； （2）应用等比数列知识，解决生活中实际问题，培养学生处理数据技能和分析解决问题的能力． 3.情感目标： （1）经历等比数列的通项公式的探索，增强学生的创新思维； （2）关注数学知识的应用，形成对数学的兴趣。 二、教学重难点 1.教学重点：等比数列的通项公式． 2.教学难点：等比数列通项公式的推导． 三、教学过程 （一）创设情境兴趣导入 做一做：将一张纸连续对折5次，列出每次对折纸的层数 （二）动脑思考探索新知 新知识： ?=（层）； 第1次对折后纸的层次为122 ?=（层）； 第2次对折后纸的层次为224 第3次对折后纸的层次为428 ?=（层）； 第4次对折后纸的层次为8216 ?=（层）； 第5次对折后纸的层次为16232 ?=（层）． 各次对折后纸的层次组成数列 2，4，8，16，32． 这个数列的特点是，从第2项起，每一项与它前面一项的比都等于2．如果一个数列的首项不为零，且从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母q来表示．
由定义知，若{}n a 为等比数列，q 为公比，则1a 与q 均不为零，且有1n n a q a +=，即 1n n a a q +=? (6.5) （三）巩固知识 典型例题 例１ 在等比数列{}n a 中，15a =，3q =，求2a 、3a 、4a 、5a ． 解 213243545315, 15345, 453135, 1353405.a a q a a q a a q a a q =?=?==?=?==?=?==?=?= 试一试：你能很快地写出这个数列的第９项吗？ 如何写出一个等比数列的通项公式呢？ （四）动脑思考 探索新知 与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关系，分析、探求规律． 设等比数列{}n a 的公比为q ，则 ()()2123211234311, , ,a a q a a q a q q a q a a q a q q a q =?=?=??=?=?=??=? …… 依此类推，得到等比数列的通项公式： .11-?=n n q a a 知道了等比数列{}n a 中的1a 和q ，利用公式（6.6），可以直接计算出数列的任意一项. 想一想：等比数列的通项公式中,共有四个量：n a 、1a 、n 和q ，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ （五）巩固知识 典型例题 例2求等比数列
等差数列的概念、等差数列的通项公式 从容说课 本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提高.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究. 在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化. 教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题. 教学难点(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用; (2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式. 教具准备多媒体课件，投影仪 三维目标 一、知识与技能 1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 二、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力； 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性. 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识. 教学过程 导入新课 师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子) (1)0，5，10，15，20，25，…; (2)48，53，58，63，…; (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…; (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，…. 请你们来写出上述四个数列的第7项. 生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510. 师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说. 生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7