第7章 三角函数
基础过关卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.（2020春?闵行区校级期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（
）
A ．2k π与k π
B ．2k π+π与4k π±π
C ．k π
与2k π±
D ．
与k π±
【解答】解：2k π（k ∈Z ）表示终边在x 轴非负半轴上的角的集合，k π（k ∈Z ）表示终边在x 轴上的角的集合，两组角终边不同；
2k π+π与4k π±π（k ∈Z ）都表示终边在x 轴非正半轴上的角的集合，两组角终边相同； k π
（k ∈Z ）表示终边与和
终边相同的角的集合，2k π±（k ∈Z ）表示终边与和
终边
相同的角的集合，两组角终边不同；
（k ∈Z ）表示终边在坐标轴上的角的集合，k π±（k ∈Z ）表示终边在y 轴上的角的集合，两组角终边不同； 故选：B ．
2．要得到y ＝cos ?
?
???2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π
8个单位
B ．向右平移π
8个单位
C ．向左平移π
4个单位 D ．向右平移π
4个单位
【答案】A
【解析】因为y ＝cos ? ????2x －π4＝sin ??????? ????2x －π4＋π2＝sin ? ????2x ＋π4＝sin 2? ??
??x ＋π8， 所以将y ＝sin 2x 的图象向左平移π
8个单位，
得到y ＝cos ? ?
?
??2x －π4的图象．
3．（2019秋?浉河区校级月考）已知，b ＝（cos α）sin α，c ＝（sin α）cos α，
则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b
C ．b ＜a ＜c
D ．c ＜a ＜b
【解答】解：因为，所以0＜sin α
cos α＜1，所以b ＝（cos α）sin α＞（sin α）sin α
＞（sin α）cos α，
所以b ＞a ＞c ；即c ＜a ＜b ； 故选：D ．
4．（2020?北京模拟）下列函数中，最小正周期为的是（ ） A ．y ＝sin|x |
B ．y ＝cos|2x |
C ．y ＝|tan x |
D ．y ＝|sin2x |
【解答】解：由于函数y ＝sin|x |不是周期函数，故排除A ； 由于函数y ＝cos|2x |＝cos2x 的周期为
π，故B 不正确；
由于函数y ＝|tan x |的周期为π，故排除C ；
由于函数y ＝|sin2x |的周期为?，故D 正确，
故选：D ．
5．（2020?茂名二模）已知cos （π+α）
，则sin （α）的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：因为，
所以．
故选：C ．
6．若cos(α－β)＝5
5，cos 2α＝10
10，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )
A.π6
B.π4
C.3π4
D.5π6 答案 C
解析 sin(α－β)＝－
255(－π2<α－β<0)．sin 2α＝310
10
，∴cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋????31010×???
?－255＝－22，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝
3π
4
. 7．（2020?新课标Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cos α＝5，则sin α＝（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：由3cos2α﹣8cos α＝5，得3（2cos 2α﹣1）﹣8cos α﹣5＝0， 即3cos 2α﹣4cos α﹣4＝0，解得cos α＝2（舍去），或cos
．
∵α∈（0，π），∴α∈（，π），
则sin α．
故选：A ．
8．（2020·厦门市湖滨中学高三其他（理））函数()sin()f x A x ω?=+ (0,0,2
A π
ω?＞＞＜
)的部
分图象如图所示，若12,,63x x ππ??
∈-
??
?，且()()12f x f x =，则12()f x x +=（ ）
A ．1
B ．
12
C D 【答案】D
【解析】由图象可知，
1,()2362
T A πππ
==--=，即T π=，所以2ω=，即()sin(2)f x x ?=+， 又因为()03
f π=，则sin(2)03
π
??
+=，解得2,3
k k Z π
?π=-
+∈， 又由2π?＜，所以3π
?=，所以()sin(2)3
f x x π
=+，
又因为()
36212
ππ
π+-=，所以图中的最高点坐标为,112π?? ???
.
结合图象和已知条件可知122126
x x ππ+=?
=，
所以122()()sin(2)sin 6
633f x x f ππ
ππ+==?
+==
， 故选D.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。） 9．（2019秋?三明期末）已知函数
，则下列关于f （x ）的判断正确的是（ ）
A ．在区间上单调递增
B ．最小正周期是π
C ．图象关于直线
成轴对称
D ．图象关于点成中心对称
【解答】解：A ．x ∈?x ∈（，）；故单调递增；A 正确
B ．函数f （x ）的最小正周期是＝π，故B 正确，
C ．正切函数没有对称轴，故C 错误，
D ．令x
?x
，k ∈Z ；
则f （x ）图象关于点（，0）成中心对称，故D 正确，
故选：ABD．
10．（2019秋?佛山期末）函数部分图象如图所示，对不同x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有f（x1+x2），则（）
A．a+b＝πB．C．D．
【解答】解：根据函数部分图象如图所示，
所以函数的周期为，
故：b﹣a，
由图象知A＝2，则f（x）＝2sin（2x+φ），
在区间[a，b]中的对称轴为x，
由f（x1+x2）得，x1，x2也关于x，对称，则，即x1+x2＝a+b，
则f（a+b）＝f（x1+x2），故D正确，
故选：BD．
11．（2019秋?漳州期末）要得到的图象，可以将函数y＝sin x的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
B．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
C．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
【解答】解：将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到y＝sin（x），再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin（2x）．
也可以将函数y＝sin x的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin2x，
再把所得各点向右平行移动个单位长度得到y＝sin2（x）＝sin（2x）．
故选：AD．
12．（2020?青岛模拟）将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g （x）的图象，若函数g（x）在区间上是单调增函数，则实数ω可能的取值为（）A．B．1C．D．2
【解答】解：将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，
得函数y＝g（x）＝sin（ωx）的图象，
若函数g（x）在区间上是单调增函数，
则，
解得0＜ω，
所以实数ω可能的取值，1，． 故选：ABC ．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数()()()sin 0f x x ω?ω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移π
4
个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于__________. 【答案】4 【解析】由题得
12=,4,()42n n n Z π
πωω
??∴=∈, 因为0>ω，所以ω的最小值等于4. 故答案为：4
14. （2020·河南安阳一中高三其他（理））2223164sin 20sin 20cos 20
?
??
-+=__________． 【答案】32.
解：因为222222313cos 20sin 20sin 20cos 20sin 20cos 20?-?
-=
????
)
2
sin20sin201sin 404
?+?
?-?
=
?
()()
2
2os 20302os 20301sin 404
c c ?-??+?=
? 216os10os501680sin 40sin40c c sin ???
=
=??
3240os4032os40sin40sin c c ??==??
所以
()2
22
31164sin 2032os40641os4032sin 20cos 202
c c -+?=?+?-?=?? 故答案为32
15. （江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试）若πcos α2cos α4?
?=+
??
?
，则πtan α8?
?+= ??
?______．
【答案】
1
3
【解析】
πcos α2cos α4??=+ ???，ππππcos α2cos α8888???
?∴+-=++ ? ????
?，
ππππππππcos αcos sin αsin 2cos αcos 2sin αsin 88888888???????
?∴+++=+-+ ? ? ? ????????
?，
化为：ππππcos αcos 3sin αsin 8888????+=+ ? ?
????， ππ3tan αtan 188?
?∴+= ??
?，
2π2tan
π8tan 1π41tan 8
=
=-，解得πtan 218
=-．
π1tan α83?
?∴+==
??
?， 故答案为
1
3
16. （江苏省南通市海安市2019-2020学年高三下学期3月月考）已知函数3cos(
)2
y x π
π=+，55,66x t t ???
?∈>???????
?既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是_______.
【答案】
31326t <≤或52
t >
【解析】
3
cos sin
2
y x x
π
ππ
??
=+=
?
??
令m x
π
=.则由
55
,
66
x t t
????
∈>
???
?????可得
5
,
6
m t
π
π
??
∈?
???
则
5
sin,,
6
y m m t
π
π
??
=∈?
???.要使其既有最小值又有最大值
若最大值为1
2
则
313
26
t
ππ
π
<≤,解得
313
26
t<≤
若最大值为1,则
5
2
t
π
π>,解得
5
2
t>.综上所述:
313
26
t<≤或
5
2
t>.
故答案为: 313
26
t<≤或
5
2
t>.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（2019秋?广安期末）已知．
（1）化简f（α）；
（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．
【解答】解：（1）
＝﹣cosα．
（2）∵α是第三象限角，且，
∴sinα，
∴cosα，
∴f（α）＝﹣cosα．
18.（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知()
π02α∈，，()
ππ
2β∈，，1cos 3
β=-，()7sin 9
αβ+=.
（1）求sin α的值； （2）求tan +
2βα??
??
?
的值. 【答案】（1）
13（2
【解析】（1）因为1,,cos 23πβπβ??
∈=-
???
,
所以
sin β=== 又0,
2πα??
∈ ??
?
,故3,22
ππαβ??+∈
???
,
所以cos()9αβ+===-, 所以sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+
711
93933
???=?---?= ? ???? （2）由（1）得,1sin 3α=
,0,2πα??
∈ ???
,
所以cos α===
,
所以sin tan cos ααα=
=
, 因为2222
2
2
2
2
cos sin 1tan 222cos cos sin 2
2
cos sin 1tan 2
2
2
ββββ
β
ββ
β
β
--=-=
=++且1cos 3
β=-
, 即
2
21tan 1
231tan 2
β
β-=-+,解得2tan 22β=,
因为,2πβπ??
∈ ???
,所以,242βππ??∈ ???,所以tan 02β>,
所以tan
2
β
=
所以tan tan
24tan 1221tan tan 122
β
αβαβα+??+===
???-?- 19. （2020·武功县普集高级中学高一月考）在已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中
0,0,02
A π
ω?>><<
）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
2
π
，且图象上一个最低点为2,23M π??
-
???
. (1)求()f x 的解析式；
(2)当,122x ππ??∈????
时，求()f x 的值域． 【解析】（1）依题意,由最低点为2,23M π??
-
???
,得2A =,又周期T π=,∴2ω=． 由点2,23M π??- ???在图象上,得42sin 23π???
+=- ???
, ∴
4232k ππ?π+=-+，k Z ∈,1126k k Z π?π∴=-+∈，． ∵0,2π???
∈ ??
?
，∴6
π
?=
,∴()2sin 26f x x π??
=+
??
?
． 由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
,k Z ∈，得3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，．
∴函数()f x 的单调增区间是(),3
6k k k Z π
πππ??
-
+
∈???
?
．
(2)
,122x ππ??
∈????
,∴72,636x πππ??+∈????．
当26
2x π
π
+
=
,即6
x π
=
时,()f x 取得最大值2；
当7266x ππ+=,即2
x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．
20.（2020·江苏鼓楼南京师大附中高三其他）某处有一块闲置用地，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧AB 和两条线段AC ，BC 构成.已知圆心O 在线段AC 上，现测得圆O 半径为2百米，
23
AOB π
∠=
，BC AC ⊥.现规划在这片闲置用地内划出一片梯形区域用于商业建设，该梯形区域的下底为AC ，上底为MN ，点M 在圆弧AD （点D 在圆弧AB 上，且OD OA ⊥）上，点N 在圆弧BD 上或线段BC 上.设AOM θ∠=.
（1）将梯形ACNM 的面积表示为θ的函数；
（2）当θ为何值时，梯形ACNM 的面积最大？求出最大面积.
【答案】（1）()()()2sin cos 2,0,,3sin 4cos 3,,;
32S πθθθθππθθθ???+∈ ?
????
=????+∈ ?????
（2）当3πθ=时，梯形ACNM 的面积取得
平方百米. 【解析】
（1）因为点M 在圆弧AD 上，OD OA ⊥，当点M 分别与点A ，D 重合时，梯形不存在，
所以0,2πθ??∈ ???
.
过点B 作//BB CA '，且BB '交圆弧AD 于点B ′，连结B O '，因为OD OA ⊥，所以BB OD '⊥. 由垂径定理可知OD 垂直平分BB '， 因此2326
B OD BOD AOB AOD πππ∠'=∠=∠-∠=
-=，2
6
3
AOB AOD B OD π
π
π
∠'=∠-∠'=
-
=
，
因此，当,32ππθ??∈ ???时，点N 在圆弧BD 上，当0,3πθ??
∈ ???
上时，点N 在线段BC 上. 设OD
MN H =，
①当,32ππθ??
∈
??
?时，因为//MN CA ，所以HMO AOM θ∠=∠=. 又OD OA ⊥，所以MN OD ⊥.
由垂径定理可知HM HN =，在Rt OHM △中，cos 2cos HM OM OMH θ=∠=，
sin 2sin HO OM OMH θ=∠=，
因为BC AC ⊥，所以在Rt OBC 中，2COB AOB 33
ππ
ππ∠=-∠=-
=，cos 2cos
13
CO OB BOC π
=∠==，
所以梯形ACNM 的面积()()()11
222
S OH MN AC OH MH AO OC θ=
?+=?++ ()sin 4cos 3θθ=+；
②当0,
3πθ?
?
∈ ??
?
时，因为BC AC ⊥，OD OC ⊥，MN OD ⊥，
所以四边形OCNH 为矩形，故1NH OC ==， 所以梯形ACNM 的面积
()()()11
22
S OH MN AC OH MH NH AO OC θ=?+=?+++
()2sin cos 2θθ=+.
综上，()()()2sin cos 2,0,,3sin 4cos 3,,.
32S πθθθθππθθθ???+∈ ?????
=?
???+∈ ?????
（2）①当,32ππθ??
∈
???
时，()()sin 4cos 3S θθθ=+， ()()()2cos 4cos 3sin 4sin 8cos 3cos 4S θθθθθθθ'=++-=+-.
因为,32ππθ??∈
???时，1cos 0,2θ??∈ ???
， 所以()2
111
S 8cos 3cos 48340422
θθθ'=+-
+?-=-<， 故()S θ在,32ππ?? ???上单调递减，(
)sin 4cos 33332S S πππθ????<=?+=
? ?????
.
②当0,3πθ??∈ ???
时，()()2sin cos 2S θθθ=+，
()()()22cos cos 22sin sin 4cos 4cos 2S θθθθθθθ'=++-=+-.
因为0,
3πθ??
∈ ??
?
时，1cos ,12θ??∈????
，
所以()2
11
4cos 4cos 24421042
S θθθ'=+-≥?
+?-=>， 故()S θ在0,3
π?? ??
?
上单调递增，(
)2sin cos 23332S S πππθ????≤=?+=
? ?????
.
综上，当且仅当3
π
θ=
时，梯形ACNM
平方百米. 21. （2020?普陀区二模）设函数f （x ）＝2sin 2（
）sin （ωx ）﹣1．
（1）当0＜ω＜1时，若函数f （x ）的最大值为f （），求函数f （x ）的最小正周期； （2）若函数f （x ）在区间（π，2π）内不存在零点，求正实数ω的取值范围． 【解答】解：（1）函数f （x ）＝2sin 2（
）
sin （ωx
）﹣1
2sin（ωx）．由于函数f（x）的最大值为f（），
所以，当0＜ω＜1时，
故．
所以f（x），故函数的最小正周期为．
（2）由于函数f（x）＝2sin（ωx）
函数f（x）在区间（π，2π）内不存在零点，
则：函数f（x）在（π，2π）内单调递增或单调递减．
①当函数单调递增时：（k∈Z），
整理得：（k∈Z），
所以（k∈Z），
故：，整理得：，
由于ω为正实数，所以．
②当函数单调递减时，（k∈Z），
（k∈Z），
所以（k ∈Z ），
故：，整理得：．
故ω的取值范围是（]∪[．
22.（2017·福建连城高三期中）已知函数()2
2sin 24f x x x π??
=+
???
. (1) 求()f x 的最小正周期和单调递增区间； (2) 若关于x 的方程()2f x m -=在x ,42ππ??
∈?
???
上有解,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)T π=，单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ??-+∈???
?.(2)[]0,1m ∈. 【解析】：
(1)()2
224f x sin x x π??
=+-
???
1cos 222x x π??
=-+- ???
1sin 22x x =+
2sin 213x π?
?=-+ ??
?，
最小正周期T π=，
函数的单调递增区间满足，2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，
解得()f x 的单调递增区间为()5,12
12k k k Z π
πππ?
?
-
+
∈???
?
. (2),42x ππ??
∈?
???
，所以22363x πππ??-∈????，，
1sin 2132x π?
???-∈ ???????
，，
所以()f x 的值域为[]
2,3.
而()2f x m =+，所以[]22,3m +∈，即[]
0,1m ∈.