第二十二讲正弦定理和余弦定理
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4.测距离的应用
5.测高的应用
6.仰角?俯角?方位角?视角
(1)在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做
仰角,在水平线下方的角叫做俯角,如下左图所示.
(2)如上右图所示,P点的方向角为南偏东60°.
(3)由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做
视角.
7.△ABC 的面积公式有
()22a a 1(1)2
11(2)2h (h a );(r );;2241(3)()2
1([p a b c ].4)()()()2
S a sinBsinC abc S absinC R sinAsinBsinC a sinA R S r a b c S p p a p b p c ======++=--=+-+g 表示边上的高为内切圆半径其中
1.ABC ,a ,B 60,A (
)A.135 B.90C.45 D.2,033b ==???
??
=V 已知中那么角等于232,,.23
2
:sin 23,A a A B,A 45.
a b sinA sinB sinA b ==<===<=?解析由正弦定理得可得又所以所以答案:C
2.ABC a b c,a 1,c ,B 45,ABC 23
.5.2.(
)2
A B C D ===?V V 的边分别为??且则的面积为ABC 1122:S 14si 522
n4.acsinB ==????=V 解析答案:C
()2223.ABC ,A B C a b c,a c b tanB B 3,..6
352..6()
633
ac A B C D π
πππ
ππ
+-=V 在中角??的对边分别为、、若则角的值为或或
()2
2
22223,313.22:a c 232,,b tanB B sinB (0,).22B 33
ac a c b cosB cosB ac tanB sinB
ππππ=+-===+-≠∴==g 解析由联想到余弦定理并代入得显然在内或答案:D
4.在△ABC 中,角A,B,C 的对边为a,b,c,若B=45°,则角A 等于( )
A.30°
B.30°或
105°C.60° D.60°或120°
3,2,a b ==
:sinA A ),A ,3.2
2(,.43.3
A D a b sinA sinB
asinB b ππ
ππ∴∈∴=====Q 解析由正弦定理得又或故选答案:D
5.(2010·湖南)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c.若∠C=120°, a,则( )A.a>b
B.a C.a=b D.a 与b 的大小关系不能确定解析:c 2=a 2+b 2-2abcos120°?a 2-b 2-ab=0?b= 答案:A 2 c =52a a -+ 类型一正弦定理和余弦定理的应用 解题准备:1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起来运用. 2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解. 3.综合运用正?余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式的运用:A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-,,.2222 A B C A B C tanC sin cos cos sin ++== 【典例1】在△ABC 中,若∠B=30°, AC=2,求△ABC 的面积. [解]解法一:根据正弦定理有∴sinC=由AB>AC 知∠C>∠B,则∠C 有两解. 23,AB =,AB AC sinC sinB =12332.22ABsinB AC ?== (1)当C 为锐角时,∠C=60°,∠A=90°,由三角形面积公式得: S= AB ·AC ·sinA= ×2×sin90°= . (2)当C 为钝角时,∠C=120°,∠A=30°,由三角形面积公式得:S= AB ·AC ·sinA= ∴△ABC 的面积为或12 1232?312112323,22 ???=3 3. 解法二:由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|·|BC|cosB,即:4=12+|BC|2-2××|BC|× ∴|BC|2-6|BC|+8=0,∴|BC|=2或|BC|=4. (1)当|BC|=2时,S △= |AB|·|BC| ·sinB (2)当|BC|=4时,S △= |AB|·|BC| · sinB ∴△ABC 的面积为或33,21 2 11 232 3. 22??==?1 2112342 3. 22 ?=?=?3 3.
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