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第1讲计算综合（一）繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．

1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：

甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．

2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．

3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．

4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．

5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级

[第1讲循环小数与分数]．

1．计算：

711

47 18262

1358 133

3416

?+

?

-÷

【分析与解】原式=

7123

72317 4612

24 14

88128 1312

33

+

?=?=

-

2．计算：

【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5

19

9

．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5

19

9

后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为

1995×0.5． 具体过程如下：

原式=59

19(3 5.22)

19930.41.6

910()527

19950.5199519(6 5.22)950+-?÷+?-+

=5

191.32

19930.440.40.5

9()5

19950.419950.5191.329

-???÷+??-

=199320.41()19950.5+÷?=0.410.5÷

=114

3．计算：1

111111987

-+

-

【分析与解】原式=1

1198711986-+

=198613973-=19873973

4．计算：已知=18

1111+

12+

1x+4

=，则x 等于多少

【分析与解】方法一：1118x 68

114x 112x 7111+11148x 62+214x 1x+4

+====++++

+++

交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25． 方法二：有1113

1118821x 4

+

==++

+

，所以18222133x 4

+

==++；所以13x 42+=，那么x =1.25．

5．求94

4,43,443,...,44...43123个这10个数的和．

【分析与解】方法一： ={104

4(441)(4441)...(44...41)+-+-++-个

={104

444444...44...49++++-个=109

4

(999999...999...9)99

?++++-123个

=100

4

[(101)(1001)(10001)...(1000...01)]99?-+-+-++--14243个

=91

4

111.1009=49382715919

?-14243个. 方法二：先计算这10个数的个位数字和为39+4=31?；

再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为

36339+=；

再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为

32335+=；

再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为

28331+=；

再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为

24327+=；

再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为

20222+=；

再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16218+=；

再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12113+=；

再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为

819+=；

最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4．

6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少

【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：

7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△

2.9=2.9△

3.5=2.9．请计算：23155

(0.625)(0.4)

333841235(0.3)( 2.25)3104

?+V d d V 【分析与解】原式

8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果

111

(16)(17)(17)

-=?，那么方框内应填的数是多少

【分析与解】

111(17)(

)1(16)(17)(17)(16)=-÷=-=161718111516175

??-=??. 9．从和式11

1111

2

4681012

+++++中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分

数之和等于1 【分析与解】 因为1116124+

=，

所以12,14,16,112的和为l ，因此应去掉18与1

10

. 10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如1.8是多少

【分析与解】 有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918……较大，于是最大的为9.291892915g

g

．

11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个

分数的分母谁也不是谁的约数”.

【分析与解】 有11461015+

=，11110156+=，111

351410

+= 评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢 注意到

11c a a b c b a b c ++=????，当a c b +=时，有11c a 1

a b c b a b c a c

++==

?????． 当a 、b 、c 两两互质时，显然满足题意．

显然当a 、b 、c 为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2，不妨设a 为2，那么有2c b +=，显然b 、c 为一对孪生质数．

即可得出一般公式：111

2(c 2c (c 2)2c

+=?+?+?），c 与c+2均为质数即可.

12．计算：111(11...(1)22331010

-

?-??-???）（） 【分析与解】 原式=

(21)(21)(31)(31)(101)(101)

(22331010)

-?+-?+-?+???

??? =13243546576879810911223344 (1010)

?????????????????????????

=12334455...991011223344...991010??????????????????????

=121011221010??????=1120

. 13．已知11661267136814691570

a=10011651266136714681569

?+?+?+?+???+?+?+?+?.问a 的整数部分是多

少？

【分析与解】

=

11(651)12(661)13(671)14(681)1569110011651266136714681569?++?++?++?++?+??+?+?+?+?（）

=

1112131415

110011651266136714681569

+++++??+?+?+?+?（） =1112131415

1001001165+1266136714681569

+++++

???+?+?+?. 因为11121314151001165+1266136714681569++++???+?+?+?＜1112131415100

10011121314+156565

++++?=+++?（）

所以a ＜10035

100+1016565

=.

同时

111213141510011651266136714681569++++??+?+?+?+?＞1112131415100

10011121314+156969

++++?=

+++?（） 所以a ＞10031

1001016969+＝.

综上有3110169＜a ＜35

10165．所以a 的整数部分为101．

14．问135799...2468100?????与1

10

相比，哪个更大，为什么

【分析与解】方法一：令135799...2468100A ?????＝，2468100

(3579101)

B ?????＝，

有13579924681001

(24681003579101101)

A B ????????????＝＝

. 而B 中分数对应的都比A 中的分数大，则它们的乘积也是B ＞A ，

有A×A＜4×B 1101（＝

）＜1111001010?＝，所以有A×A＜111010?，那么A ＜1

10

． 即135799...2468100?????与110相比，110

更大． 方法二：设13579799

(246898100)

A ??????＝，

则21133559999

(224466100100)

A ????????

＝ =1335577...9797999912244668...969898100100????????????????????????， 显然1322??、3544??、5766??、…、97999898??、99100都是小于1的，所以有A 2＜1100，于

是A ＜1

10

.

15．下面是两个1989位整数相乘：1989119891

111...11111...11?1424314243个个．问：乘积的各位数字之和

是多少

【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为19891

111...1114243个能被9整

除，所以将一个19891

111...1114243个乘以9，另一个除以9，使原算式变成：

=19890

19881000......001123456790......012345679-?1424314444244443个共位数

（）

=198819890

1988123456790......012345679000......00123456790......012345679-144442444431424314444244443共位数

个共位数

=19881980123456790......012345679123456789876543209 (987654320987654321144442444431444442444443)

共位数

共位数

得到的结果中有1980÷9=220个“和“及一个“和一个“，所以各位数之和为：

+1234567898765432117901++++++++++++++++=（）（）

M×k 9

999...9123个的数字和为9×k ．(其中M ≤k 9

999...9123个)．可以利用上面性质较快的

获得结果．

第2讲 计算综合（二）

本讲主要是补充[计算综合(I)]未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算．

1．n×(n+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n ×(n+1)]÷3； 2．从1开始连续n 个自然数的平方和的计算公a 式： 3．平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b)． 1．

已知a=

11,,112211331

11

9999100

b =

+++++

++

g g g g g g 试比较a 、b 的大小.

【分析与解】

其中A=99,B=99+

1.100因为A98+1

B

， 11

22,11

3311

4411119898A B +>+++

++

++

++

g g g g g g 所以有a < b ．

2.试求11

11

2111

3111

43114120052005

+

++

++

++

++

+

g g g g g g 的和？ 【分析与解】 记1

,1

31

412005

x =+

+

+

g g g 则题目所要求的等式可写为：

11,1211x x ++++而1111 1.122211x x x x x

++=+=+++++

所以原式的和为1．

评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想． 2．

试求1+2+3+4+…4+100的值

【分析与解】 方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050．

方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+… 97+ 98+ 99+

100

100+ 99+ 98+ 97+ 96+…4+ 3+ 2+

1,

上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为 10l×100 ÷2=5050． 方法三：整数裂项(重点)，

原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+…+100×2)÷2 =[]122(31)3(42)4(53)100(10199)2?+?-+?-+?-++?-÷g g g

=(12?23+?12-?34+?23-?45+?34-?10010199100++?-?g g g )2÷ =1001012?÷ =5050. 3．

试求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+…+99×100．

【分析与解】方法一：整数裂项

原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+…+99×100×3)÷3

=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+…+99×100×(101-98)]÷3

(123??234+??123-??345+??234-??456+??345-??567+??456-??991001019899100++??-??g g g )3991001013331011003333100333300.

÷=??÷=??=?=方程二：利用平方差公式12+22+32+42+…+n 2=2(1)(21)

.6

n n n n ?+?+=

原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+…+992+99 =12+22+32+42+52+…+992+1+2+3+4+5+…+99 =

9910019999100

62

???+

=328350+4950 =333300． 5．计算下列式子的值：

0.1×0.3+0.2?0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.8?10.0

【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算．即先计算1×3+2?4+3×5+4?6+…+97?99+98×100。再除以100．

方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法．

0.1×0.3+0.2?0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.8?10.0 =(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×100)÷100

=[(l×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+…+(97×98+97)+(98×99+98)]÷100

=[(1×2+2×3+3×4+4×5+…+97×98+98×99)+(1+2+3+4+…+97+98)]÷100 =(13

×98×99×100+12

×98×99)÷100 =3234+48.51 =3282.51

方法二：可以使用平方差公式进行计算．

0.1×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.8×10.0 =(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×l 00)÷100 =(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+…+992-1)÷100 =(11+22+32+42+52+…+992-99)÷100 =(16×99×100×199-99)÷100 =16.5×199-0.99 =16.5×200-16.5-0.99 =3282.51

评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的．下面简单介绍一下整数裂项． 1×2+2×3+3×4+…+(n -1)×n

=13×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+(n -1)×n×3]

=1

3×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+…+(n -1)×n[n+1-(n-2)]} =1232312343423451(1)(2)(1)(1)3n n n n n n ??-??+??-??+??+????

?--??-+-??+??

g g g =1(1)(1)3

n n n ?-??+ 6.计算下列式子的值： 【分析与解】 虽然很容易看出

111111,23234545

=-=-????????可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面

的式子，每一项的分母容易让我们想到公式12+22+32+…+n 2=

16

×n×(n+1)×(2n+1)，于是我们又有

222216

.123(1)(21)

n n n n =++++?+-g g g

减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢

=11124(

)23452021?++-???g g g 111

6()123235101112?+++??????g g g =11124()23452021?++-???g g g 111

24()243465202221

?+++??????g g g

=11111124()()()23243

454652*********??

?-+-++-?????????????g g g

=111

24(

)24462022?++???g g g =1116()12231011?++???g g g

=1

6(1)11?-

=6011

7．计算下列式子的值：

【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律. 显然12+1=2;

所以原式=198012×2=396024． 习题

计算17×18+18×19+19×20+…+29×30的值．

提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n 的平方和的公式. 答案：(29×30×31-16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358.

第3讲 多位数的运算

多位数的运算，涉及利用9

9999k L 14243

个＝10k

-1，提出公因数，递推等方法求

解问题．

一、9

9999k L 14243

个＝10k

-1的运用 在多位数运算中，我们往往运用9

9999k L 14243

个＝10k -1来转化问题； 如：20043

3333L 14243个×59049

我们把20043

3333L 14243个转化为20049999L 14243个9

÷3，

于是原式为20043

3333L 14243个×59049=（20049999L 14243个9

÷3）×59049=20049999L 14243个9

×59049=

（200410000L 14243个0

-1）×19683=19683×200410000L 14243个0

-19683

而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；

20049

1968299999999644474448

L 个+1

如：20049

19999

19999

1968299999999119683

19682999803161

1968299980317

+-+644474448L 644474448L 644474448L 个个个，于是为199991968299980317L 144424443个． 简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数． 原式=20043

3333L 14243个×2×3×3×20083333L 14243个3

=20043

3333L 14243个×2×3×20089999L 14243个9

=2003199998L 14243个9

×（200810000L 14243个0

-1）

=2003199998L 14243个9

×200810000L 14243个0

-2003199998L 14243

个9

=

2003920089

20039

20039

2003020039

20030

1999979999999991

1999981999979998000011199997999800002+-+647486447448L L L 14243

644744864748L L L L 144244314243

个个个个个个个,于是为20039

20030

199997999800002L L 144244314243

个个. 2．计算1111L 1232004个1

－2222L 142431002个2

=A ×A ，求A ．

【分析与解】 此题的显着特征是式子都含有1111L 123n 个1

，从而找出突破口.

1111L 1232004个1

－2222L 142431002个2

=1111L 1231002个1

0000L 142431002个0

－111

1L 1231002个1

=1111L 1231002个1

×（10000L 142431002个0

-1）

=1111L 1231002个1

×（9999L 142431002个9

）

=1111L 1231002个1×（1111L 123

1002个1

×3×3）=A 2 所以，A ＝3333L 142431002个3

.

3．计算6666L 142432004个6

×6666L 142432003个6

×25的乘积数字和是多少

【分析与解】我们还是利用9999L 14243k 个9

=100001-L 14243k 个0

来简便计算，但是不同于上

式的是不易得出凑成9999L 14243k 个9

，于是我们就创造条件使用：

6666L 142432004个6

×66667L 142432003个6

×25=[23×（20049999L 14243个9

）]×[2

3

×（20049999L 14243个9

）+1]×25 =[23×（100001-L 142432004个0

）]×[2

3

×（10000L 142432004个0

）+1]×25 =13×13

×[2×10000L 142432004个0

-2]×[2×（10000L 142432004个0

）+1]×25

=25

9×[4×10000L 142434008个0-2×10000L 142432004个0-2] =

1009×9999L 142434008个9-509×20049999L 14243个9

=100×40081111L 123个1

-50×20041111L 123个1

=40081

20045

11110055550-L L 1424314243

个个(求差过程详见评注) =1

20045

1111055550L L 1424314243

2004个个 所以原式的乘积为1

20045

1111055550L L 1424314243

2004个个 那么原式乘积的数字和为1×2004+5×2004=12024． 评注：对于40081

20045

11110055550-L L 1424314243

个个的计算，我们再详细的说一说． =20051

20031

20050

20045

1111000011110055550+-L L L L 1231231424314243

个个个个 =20041

20031

20059

20045

111109999111110055550++-L L L L 1231231424314243

个个个个

=20041

20031

20044

1111044449111101+L L L 12312314243

个个个 =20041

20045

111105555L L 12314243个个

4．计算19982

19982

22222222?L L 1424314243个个的积

【分析与解】 我们先还是同上例来凑成k 9

9999L 14243个；

＝19982

199892999922229?

??? ? ???L L 1424314243个个 ＝19982

19980

210000122229

?

??-? ? ??

?

L L 1424314243个个 ＝1998419980110000144449?

??-? ? ???L L 1424314243个个 ＝19984

19984

19980

14444000044449

?

??- ? ??

?

L L L 142431424314243个个个 ＝19974

19975

1

44443555569

?L L 1424314243个个(求差过程详见评注) 我们知道94

4444L 14243个

又知1997个4，9个数一组，共221组，还剩下8个4，则这样数字和为8×4=32,加上后面的3，则数字和为35，于是再加上2个5，数字和为45，可以被9整除． 我们知道5555L 142439个5

这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5，而6个5和1个、6，数字和36，可以被9整除． 55556L 14243

6个5

能被9整除，商为0617284． 于是，最终的商为：

评注：对于19984

19980

44440000L L 1424314243个个-19984

444

4L 14243个计算，我们再详细的说一说． 19984

19980

44440000L L 1424314243个个-19984

444

4L 14243个 ＝19974

1998444439999L L 1424314243个个9

+1-19984

444

4L 14243个

＝19974

1998444435555L L 1424314243个个5

+1

＝19974

19974444355556L L 1424314243

个个5

. 二、提出公因式

有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等．

(19981998)

L 144424443个199819981998）÷ (19981999)

L 144424443个199919991999）×1999

【分析与解】19981998

L 144424443个199819981998＝1998×19981001

L 1442443个100110011001

(19981001)

L 1442443个100110011001）÷［1999× (19981001)

L 1442443个100110011001）

］×1999＝1998÷1999×1999＝1998.

6．试求1993×123×999999乘积的数字和为多少

【分析与解】 我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与(1000000—1)的乘积，但是1993×123还是有点繁琐．

设1993×123=M，则(1000×123＝)123000

则M ×999999＝M ×（1000000-1）＝1000000M-M ＝000000abcdef -abcdef ＝()1999999abcdef f -+1－abcdef

＝()()()()()()()1999999abcdef f a b c d e f -------+1 ＝()()()()()()()19999991abcdef f a b c d e f -------+

那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f －1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+(9－f +1)=9×6=54． 所以原式的计算结果的数字和为54．

评注：M ×k 9

9999L 14243个的数字和为9×k ．(其中M 的位数为x ，且x ≤k)．

7．试求9×99×9

9999L 14243256个×9

9999L 14243512个×9

9999L 142431024个乘积的数字和为多少

【分析与解】 通过上题的计算，由上题评注：

设9×99××…×9

9999L 14243256个×9

9999L 14243512个×9

9999L 142431024个＝M ，

于是M×9

9999L 142431024个类似

的情况，于是，确定好M 的位数即可；

注意到9

9999L 14243256个×9

9999L 14243512个＝M ，

则×…×2560

10000L 14243个×0

10000L 14243512个＝0

10000L 14243k 个

其中k=1+2+4+8+16+…+512=1024－l=1023； 即M<0

10000L 142431023个，即M 最多为1023位数，所以满足

的使用条件，那

么M 与9

9999L 142431024个乘积的数字和为1024×9=10240—1024=9216．

原式的乘积数字和为9216． 三、递推法的运用

有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法．

8．我们定义完全平方数A 2=A×A，即一个数乘以自身得到的数为完全平方数；已知：

【分析与解】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：

121＝112；12321＝1112；1234321＝11112……

于是，我们归纳为1234…n…4321=（1111L 123

n 个1

）2

22×72=77777772．所以，题中原式乘积为7777777的平方．

评注：以上归纳的公式1234…n…4321＝（1111L 123

n 个1

）2，只有在n<10时成

立．

9.①2004420038

444488889L L 1424314243

个个=A 2

，求A 为多少 ②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？

【分析与解】 方法一：问题①直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：

①注意到有20044

20038

444488889L L 1424314243个个可以看成4

8

444488889L L 1424314243n 个n-1个，其中n ＝2004；

寻找规律：当n=1时，有49=72； 当n=2时，有4489=672； 当n=3时，有444889=6672； …… ……

于是，类推有2004420038444488889L L 1424314243个个=2

20036

666

67L 14243个 方法二：下面给出严格计算：

20044

20038

444488889L L 1424314243个个=444440000L L 14243142432004个2004个0+2004888

8L 14243个8

+1； 则4

44440000L L 14243142432004个2004个0

+2004888

8L 14243个8

+1＝1111L 1232004个1×（4×0

10000L 142432004个+8）+1 ＝1111L 1232004个1

×［4×（9

9999L 142432004个+1）+8］+1

＝1111L 1232004个1

×［4×（9

9999L 142432004个）+12］+1

＝（1111L 1232004个1）2

×36+12×1111L 1232004个1

+1

＝（1111L 1232004个1

）2×62+2×（6×1111L 1232004个1

）+1

＝（66667L 14243

2003个6

）2

②由①知4

444488889L L 1424314243 n 个n-1个8

＝2666

67L 14243n-1个6

，于是数字和为(4n+8n 一8+9)=12n+1=2005；

于是，n=167，所以4444488889L L 1424314243

167个166个8=2

66667L 14243166个6

，所以存在，并且为4

444488889L L 1424314243 167个166个8

.

10．计算6666

L

14243

2008个6×9×3333

L

14243

2008个3

的乘积是多少

【分析与解】采用递推的方法6×9×3=162；

66×9×33=19602；

666×9×333=1996002；

…………

于是，猜想6666

L

14243

n个6×9×3333

L

14243

n个3

=

19

96

n

L

14243

个

19990000

L

14243

n-1个0

2

6666

L 14243

2008个6×9×3333

L

14243

2008个3

=

9

96

L

14243

2007个

19990000

L

14243

2007个0

2

评注：我们与题l对比，发现题1为6666

L

14243

2008个6×9×3×3333

L

14243

2004个3

使用递推的方

法就有障碍,9999

L

14243

k个9

=10k—l这种方法适用面要广泛一点．

练习1．设N=6666

L

14243

2000个6×9×7777

L

14243

2007个7

，则N的各位数字之和为多少

练习2．乘积9999

L

14243

1999个9×9999

L

14243

1999个9

的积是多少各位数字之和又是多少

练习3．试求1111

L

123

2008个1×1111

L

123

2008个1

的各位数字之和是多少

第4讲比例和百分数

成本、利润、价格等基本经济术语，以及它们之间的关系．各种已知数据或所求结果中包含比例与百分数的应用题，有时恰当选取较小的量作为一个单位，司以实现整数化计算．

1．迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的56％，如果再生产5040台，总产量就超过计划产量的16％．那么，原计划生产插秧机多少台【分析与解】 :5040÷(1+16％-56％)=8400(台)．

2．圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每支多少元

【分析与解】:设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则20支圆珠笔和21支铅笔的价格为20×4+21×3=143，则单位“1”的价格为71.5÷143：

0.5元．

所以圆珠笔的单价是O.5×4=2(元)．

3．李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内．已知东院养鸡40只；现在把西院养鸡总数的14卖给商店，13

卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50％.原来东、西两院一共养鸡多少只

【分析与解】：方法一：设原来东西两院一共养鸡x 只，那么西院养鸡()40x -只．

依题意：．()1

1

1

40140432

x x ??

-?--+= ??

?,解出280x =. 即原来东、西两院一共养鸡280只．

方法二：50％即12

，东、西两院剩下的鸡等于东院的12

加上西院的12

，即20+12

西院原养鸡数．

有东院剩下40只鸡，西院剩下原11

5

143

12

--=

的鸡． 所以有西院原养鸡(40—20)÷15212??

- ???

=240只，即原来东、西两院一共养鸡40+240=280只．

4．用一批纸装订一种练习本．如果已装订120本，剩下的纸是这批纸的

40％；如果装订了185本，则还剩下1350张纸．这批纸一共有多少张 【分析与解】 方法一：装订120本，剩下40％的纸，即用了60％的纸． 那么装订185本，需用185×(60％÷120)=92．5％的纸，即剩下1-92．5％=7．5％的纸，为1350张．

所以这批纸共有1350÷7．5％=18000张．

方法二：120本对应(1-40％=)60％的总量，那么总量为120÷60％=200

本．

当装订了185本时，还剩下200-185：15本未装订，对应为1350张，所

以每本需纸张：1350÷15=90张，那么200本需200×90=18000张． 即这批纸共有18000张．

5．有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5％，总人数增加16人．那么现有男同学多少人

【分析与解】男生增加25人，女生减少5％，而总人数增加了16人，说明女生减少了25-16=9人，那么女生原来有9÷5％=180人，则男生有325-180=145人．

增加25人后为145+25=170人，所以现有男同学170人．

6．有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16块水果糖后，奶糖就只占

25％那么，这堆糖果中有奶糖多少块 【分析与解】方法一：原来奶糖占

45910020=，后来占251

1004

=，因此后来的

糖果数是奶糖的4倍，也比原来糖果多16粒，从而原来的糖果是

16+(9

420

?

- 1)=20块. 其中奶糖有20×9

20

=9块．

方法二：原来奶糖与其他糖(包含水果糖)之比是45％：(1-45％)=9：11, 设奶糖有9份，其他糖(包含水果糖)有11份． 现在奶糖与其他糖之比是25％：(1-25％)=1：3=9：27,

奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增

加了16块，所以，l 份即1块．奶糖占9份，就是9块奶糖． 7．甲乙两包糖的重量比是4：l ，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的重量比变为7：5．那么两包糖重量的总和是多少克

学而思小学奥数知识点梳理

学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出 现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主 编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共 五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充 相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 ⑵ 一般而言： ① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ② 乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2． 简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ① 运算定律的综合运用 ② 连减的性质 ③ 连除的性质 ④ 同级运算移项的性质 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如 ： 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若， 则 c>b>a. 。形如： 5． 定义新运算 6． 特殊数列求和 运用相关公式： ，则 。 一、 计 算 四则混合运算繁分数 运算顺序 分数、小数混合运 算技巧 1． ⑴

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 1+2+3+4???( n-1 ) +n+ ( n-1 ) +-4+3+2+1=n 5． 一般地，如果a 是整数，b 是整数(b 工0),那么一定有另外两个整数 q 和r , Ow r < b,使得a=bx q+r 当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。 当r 工0时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商(亦简称为商)。 用带余数除式又可以表示为 a * b=q ... r, 0 w r < b a=b x q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 x p2 x ... x pk 7. 约数个数与约数和定理 设自然数n 的质因子分解式如 n= p1 x p2 x ... x pk 那么： n 的约数个数： d(n)=(a1+1)(a2+1) . (ak+1) n 的所有约数和：(1+P1+P1 + …p1 )( 1+P2+P2 + …p2 )???( 1+Pk+Pk + …pk ) 8. 同余定理 ① 同余定义：若两个整数 a ，b 被自然数m 除有相同的余数，那么称 a ，b 对于模m 同余，用式子表 示为 a = b(mod m) ② 若两个数a ，b 除以同一个数c 得到的余数相同，则 a ， b 的差一定能被 c 整除。 ③ 两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和。 二、 数论 1． 奇偶性问题 奇 奇=偶 奇 偶=奇 奇x 偶=偶 偶 偶=偶 偶x 偶=偶 2． 位值原则 形如： =100a+10b+c 3． 数的整除特征： 整除数 特 征 2 末尾是 0、 2、4 、6、8 3 各数位上数字的和是 3的倍数 5 末尾是 0 或 5 9 各数位上数字的和是 9 的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和， 4 和 2 5 末两位数是 4(或 25)的倍数 8 和 125 末三位数是 8(或 125)的倍数 7、 11、13 末三位数与前几位数的差是 4． 整除性质 ① 如果 c|a 、 c|b ， 那么 c|(a b) 。 ② 如果 bc|a ，那么 b|a ， c|a 。 ③ 如果 b|a ， c|a 且( b,c ) =1, 那么 11 的倍数 a 整除。 如果 a 个连续自然数中必恰有一个数能被 带余 除法 两者之差是 7(或 11 或 13)的倍数 bc|a 。 c|b,b|a, 那么 c|a.

小升初奥数知识点奥数必考30个知识点大全

小升初奥数知识点—奥数必考30个知识点大全 1.和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式①(和-差)÷2=较小数 较小数+差=较大数 和-较小数=较大数 ②(和+差)÷2=较大数 较大数-差=较小数 和-较大数=较小数 和÷(倍数+1)=小数 小数×倍数=大数 和-小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数+差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2.年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的;

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的; 3.归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量; 4.植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树 基本公式棵数=段数+1 棵距×段数=总长棵数=段数-1 棵距×段数=总长棵数=段数 棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5.鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来; 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;

③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因; ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数=(兔脚数×总头数-总脚 数)÷(兔脚数-鸡脚数) ②把所有兔子假设成鸡：兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数) 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6.盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量. 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量. 基本题型： ①一次有余数，另一次不足; 基本公式：总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差 ②当两次都有余数; 基本公式：总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的

学而思小学奥数知识点梳理

学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数 形如： 3．估算 求某式的整数部分：扩缩法 4．比较大小 ①通分 a. 通分母 b. 通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质 若，则c>b>a.。形如：，则。 5．定义新运算

6．特殊数列求和 运用相关公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 二、数论 1．奇偶性问题 奇奇=偶奇×奇=奇 奇偶=奇奇×偶=偶 偶偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如：=100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 × p2 ×...×pk 7. 约数个数与约数和定理

如何攻克小升初奥数必考的知识点

如何攻克小升初奥数必考的知识点如何攻克小升初奥数必考的知识点 何谓"数、行、形、算"，也就是数论，行程，图形、计算四个问题。数论难在它的抽象，这是区分尖子生和普通生的关键;行程问题 复杂就在其应用，孩子在做这类题目的时候，要求的不仅是其思维，还有其表述;图形问题(几何问题)杂而难，重点要求的是面积的计算，这是中学教育的开始;计算是基础，是孩子取得高分的必要保障。 由于这四个问题，学生容易入门，但不易熟练，时常犯错误，因此成为近年来重点中学考试的热点，据统计清华附中近年来的这几 大问题的考题占据全部了80%左右，北师大附属实验中学，RH学校 六年级等对这些问题的考察也十分偏重，而数论和行程问题的.考察 更是重中之重，往往占到一张试卷的50%.如何复习这四方面的内容呢? 对于图形问题，我们要说的就是培养孩子的形象思维，重点加强的是面积的计算。计算的技巧和方法也是在做题的总结和加强的， 这里重点介绍一下数论和行程问题的复习方法。 数论在数论学习中学生往往容易犯如下几个错误： 1、读题障碍。数论的题目叙述往往只有几句话，甚至只有一行，可就这短短的几句话，却表达了很多意思，学生如果读不出题中的 意思，题目通常会解错。 2、知识僵化。由于数论问题非常抽象，大多数学生往往采用死 记硬背的方法来"消化"所学的内容，导致各个知识点都似曾相识， 但遇到实际题目却一筹莫展。例如，说起奇偶性都知道怎么回事， 马上就开始背："奇数+奇数=偶数……"可是在做题的时候就想不到用。

3、只见树木，不见森林。对于数论定理的灵活运用很欠缺。提起定理都能一字不差的背下来，但是对各个概念和性质缺乏整体上的认识和把握，更不用说理解各知识点之间的内部联系了。 知识体系： 整除问题： (1)数的整除的特征和性质(小升初常考内容) (2)位值原理的应用(用字母和数字混合表示多位数) 质数合数： (1)质数、合数的概念和判断(2)分解质因数(重点) 约数倍数： (1)最大公约最小公倍数(2)约数个数决定法则(小升初常考内容) 余数问题： (1)带余除式的理解和运用;(2)同余的性质和运用;(3)中国剩余定理奇偶问题：(1)奇偶与四则运算;(2)奇偶性质在实际解题过程中的应用完全平方数：(1)完全平方数的判断和性质(2)完全平方数的运用整数及分数的分解与分拆(重点、难点)

六年级下册数学知识大全-小学奥数知识点梳理-通用版

小学奥数知识点梳理 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、 计算 1． 四则混合运算繁分数 ⑴ 运算顺序 ⑵ 分数、小数混合运算技巧 一般而言： ① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ② 乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2． 简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ① 运算定律的综合运用 ② 连减的性质 ③ 连除的性质 ④ 同级运算移项的性质 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷ 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分 a. 通分母

b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若111a b c >>，则c>b>a.。形如：312123m m m n n n >>，则312123 n n n m m m <<。 5． 定义新运算 6． 特殊数列求和 运用相关公式： ①()2 1321+= ++n n n ②()()612121222++=+++n n n n ③()2 1n a n n n n =+=+ ④()()4121212 22333+=++=+++n n n n ⑤131171001???=?=abc abc abcabc ⑥()()b a b a b a -+=-2 2 ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 2 二、 数论 1． 奇偶性问题 奇±奇=偶 奇×奇=奇 奇±偶=奇 奇×偶=偶 偶±偶=偶 偶×偶=偶 2． 位值原则 形如：abc =100a+10b+c 3． 数的整除特征： 整除数 特 征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数

小升初奥数知识点汇总

小升初奥数知识点讲解汇总 1、年龄问题的三大特征 年龄问题：已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。 年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的;②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;③两个人的年龄的倍数是发生变化的; 解题规律：抓住年龄差是个不变的数(常数)，而倍数却是每年都在变化的这个关键。 例：父亲今年54岁，儿子今年18岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍? ⑴ 父子年龄的差是多少? 54 – 18 = 36(岁) ⑵ 几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍? 7 - 1 = 6 ⑶ 几年前儿子多少岁? 36÷6 = 6(岁) ⑷ 几年前父亲年龄是儿子年龄的7倍? 18 – 6 = 12 (年) 答：12年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍。 2、归一问题特点 归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量;复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。 由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。 3、植树问题总结 植树问题 基本类型： 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树 基本公式： 棵数=段数+1

学而思小学四年级数学教材

学而思小学四年级数学 教材 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

小学四年级数学知识点归纳 四年级上册 知识点概括总结 1.大数的认识： （1）亿以内的数的认识： 十万：10个一万； 一百万：10个十万； 一千万：10个一百万； 一亿：10个一千万； 2.数级：数级是为便于人们记读阿拉伯数的一种识读方法，在位值制（数位顺序）的基础上，以三位或四位分级的原则，把数读，写出来。通常在阿拉伯数的书写上，以小数点或者空格作为各个数级的标识，从右向左把数分开。 3.数级分类 （1）四位分级法 即以四位数为一个数级的分级方法。我国读数的习惯，就是按这种方法读的。如：万（数字后面4个0）、亿（数字后面8个0）、兆（数字后面12个0，这是中法计数）……。这些级分别叫做个级，万级，亿级……。 （2）三位分级法

即以三位数为一个数级的分级方法。这西方的分级方法，这种分级方法也是国际通行的分级方法。如：千，数字后面3个0、百万，数字后面6个0、十亿，数字后面9个0……。 4.数位：数位是指写数时，把数字并列排成横列，一个数字占有一个位置，这些位置，都叫做数位。从右端算起，第一位是“个位”，第二位是“十位”，第三位是“百位”，第四位是“千位”，第五位是“万位”，等等。这就说明计数单位和数位的概念是不同的。 5.数的产生：阿拉伯数字的由来：古代印度人创造了阿拉伯数字后，大约到了公元7世纪的时候，这些数字传到了阿拉伯地区。到13世纪时，意大利数学家斐波那契写出了《算盘书》，在这本书里，他对阿拉伯数字做了详细的介绍。后来，这些数字又从阿拉伯地区传到了欧洲，欧洲人只知道这些数字是从阿拉伯地区传入的，所以便把这些数字叫做阿拉伯数字。以后，这些数字又从欧洲传到世界各国。 阿拉伯数字传入我国，大约是13到14世纪。由于我国古代有一种数字叫“筹码”，写起来比较方便，所以阿拉伯数字当时在我国没有得到及时的推广运用。本世纪初，随着我国对外国数学成就的吸收和引进，阿拉伯数字在我国才开始慢慢使用，阿拉伯数字在我国推广使用才有100多年的历史。阿拉伯数字现在已成为人们学习、生活和交往中最常用的数字了。 6.自然数：用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由

小升初数学必考知识点总结

2020小升初数学必考知识点总结！ 1算术1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。2、加法结合律：a + b = b + a3、乘法交换律：a × b = b ×a4、乘法结合律：a × b ×c = a × (b ×c)5、乘法分配律：a ×b + a ×c = a ×b + c 6、除法的性质：a ÷b ÷c = a ÷(b ×c) 7、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数，商不变。O除以任何不是O的数都得O. 简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。 8、有余数的除法：被除数=商×除数+余数 2方程、代数与等式等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质：等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数，等式仍然成立。方程式：含有未知数的等式叫方程式。一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。代数：代数就是用字母代替数。代数式：用字母表示的式子叫做代数式。如：3x =ab+c 3分数分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。分数大小的比较：同分母

的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较;若分子相同，分母大的反而小。 分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。倒数的概念：1.如果两个数乘积是1，我们称一个是另一个的倒数。这两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。分数除以整数(0除外)，等于分数乘以这个整数的倒数。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外)，分数的大小分数的除法则：除以一个数(0除外)，等于乘这个数的倒数。真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1.带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外)，分数的大小不变。 4体积和表面积三角形的面积=底×高÷2. 公式S= a×h÷2正方形的面积=边长×边长公式S= a2长方形的面积=长×宽公式S= a×b平行四边形的面积=底×

学而思小学六年级奥数电子版教材

测试1·计算篇 1． 计算=?+++++++ 128)288122411681120180148124181( 2． =++?++++-+++?+++)11 19171()131111917151()1311119171()111917151 ( 3． 计算：2004×2003－2003×2002＋2002×2001－2001×2000＋…＋2×1= 4．有一列数：……第2008个数是________ . 5．看规律13 = 12，13 + 23 = 32，13 + 23 + 33 = 62 ……，试求63 + 73 + … + 143

第1讲 小升初专项训练·计算 四五年级经典难题回顾 例1 求下列算式计算结果的各位数字之和：2576666666 200562006??321Λ321Λ个个 例2 求数19 11211111011++++Λ的整数部分是几？ 小升初重点题型精讲 例1 =÷+÷+÷5 95491474371353251 . 例2 =+??÷+--+)1995 6.15.019954.01993(22.550 276951922.510939519 例3 =++÷++)251 18100412200811()25138100432200831 ( . 巩固 计算：=+?+?+ ?+?41602434014321 4016940146 .

例4 计算：=?++?+?+?101 99507535323112 222Λ . 拓展 计算：=??++??+??10 981943273215Λ . 例5 1?2+2?3+3?4+4?5+5?6+6?7+7?8+8?9+9?10= . 巩固：2?3+3?4+4?5+…+100?101= . 拓展 计算：1?2?3+2?3?4+3?4?5+…+9?10?11= . 例6 ［2007 –（8.5?8.5-1.5?1.5）÷10］÷160-0.3= . 巩固 计算：53×57 – 47×43 = . 例7 计算：11×19 + 12×18 + 13×17 + 14×16 = .

小学奥数知识点梳理(免费下载)

学而思小学奥数知识点梳理 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质

⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷ 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若 111 a b c >>， 则c>b>a.。形如：3 12123 m m m n n n > >，则 3 12123 n n n m m m <<。 5． 定义新运算 6． 特殊数列求和 运用相关公式： ①()2 1321+=++n n n ② ()()6 12121222++= +++n n n n ③()21n a n n n n =+=+ ④() ()4 121212 22 333+= ++=+++n n n n ⑤131171001???=?=abc abc abcabc ⑥()()b a b a b a -+=-22

⑦1+2+3+4…（1）（1）+…4+3+2+12 二、数论 1．奇偶性问题 奇±奇=偶奇×奇=奇 奇±偶=奇奇×偶=偶 偶±偶=偶偶×偶=偶2．位值原则 形如：abc=10010 3．数的整除特征：

小升初奥数常考知识点：数论

小升初奥数常考知识点：数论查字典数学网小编今天为大家带来的小升初奥数常考 知识点：数论，以供大家参考练习! 数论，是小学数学的难点，也是郑州小升初数学考试的重点。小编整理了数论知识点，供同学们复习查看。 一、数的整除 1、能被2整除的数的特征：个位数字是0、 2、4、6、8的整数。 2、能被5整除的数的特征：个位数字是0或者5. 3、能被3(或者9)整除的数的特征：各个数位数字之和能被3(或者9)整除。 例如：537 因为各个数位数字之和为：5+3+7=15能被3整除，所以537可以被3整除。 4、能被4(或者25)整除的数的特征：末两位数能被4(或者25)整除。 例如：1864 因为末两位数64能被4整除，所以1864能被4整除。 5、能被8(或者125)整除的数的特征：末三位数能被8(或者125)整除。 6、能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上得数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。 例如：判断12345这个数能否被11整除

这个数奇数位数字之和为：1+3+5=9，偶数位上的数字之和是2+4=6，因为9-6=3,3不能被11整除，所以12345不能被11整除 7、能被7(11或13)整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(用大减小)能被7(11或13)整除。 例如：判断1059282是否能被7整除 把1059282分为两个数：1059和282，因为1059-282=777,777可以被7整除，所以1059282可以被7整除。 二、质数、合数、分解质因数 1、特别注意：1不是质数也不是合数 2、自然数中最小的质数：2 3、100以内的所有质数：分类来学习 第一类：20以内的质数，共8个：2、3、5、7、11、13、17、19。 第二类：个位数字是3或9，十位数字相差3的质数，共6个：23、29、53、59、83、89。 第三类：个位数字是1或7，十位数字相差3的质数，共4个：31、37、61、67。 第四类：个位数字是1、3或7，十位数字相差3的质数，共5个：41、43、47、71、73。 第五类：还有2个持数是79和97。

【数学】学而思网校内部奥数习题集.低年级(第1-4套)

内部习题集——第一套 一. 填空题 1.计算：8+9+10+11+12+13=（） 2.右图中有（）个正方形 3.请在括号里填上适当的数 （）÷3=7......1 （）÷5=3 (4) 51÷（）=8......3 43÷（）=8 (3) 4.两人共有钱300元．如果甲借给乙60元，那么甲、乙两人的钱数相等。那 么甲有（）元，乙有（）元。 5.育民小学三年级的部分学生排成一个实心方阵，最外面一层有学生48人 .那 么除了最外面一层的学生，这个方阵一共有（）名学生 . 6.把一根木料截成4段用12分钟。照这样的速度，要是把同样的木料截成8段， 要用（）分钟 7.将2到7这六个数，填入下图的圈中，使得每条线上的三个数的和相等.相等 的和是（） 8.用l6个边长为2分米的小正方形拼成一个大正方形．大正方形的周长是 （）分米 9.有A、B、C三个人，这三个人中，一位是经理，一位是会计，一位是司机。 已经知道C的年龄比会计大，A和司机的年龄不相同，司机的年龄比B小. 那么A是（）职位. 10.今年哥哥26岁，弟弟18岁，问（）年前，哥哥的年龄是弟弟的3倍 二. 解答题 11.有一批水果，第一天卖出一半，第二天卖出剩下的一半，这时还剩4箱水果 . 问：这批水果一共有几箱

12.1只河马的体重等于2只大象的体重，1只大象的体重等于10匹马的体重，1 匹马的体重是320千克，这只河马的体重是多少千克 13.一个数加上12，再用4除，然后减去15，再乘以10，恰好是100 .这个 数是多少 14.1只菠萝的重量等于2只梨的重量，也等于4只香蕉的重量，还等于2只 苹果、1只梨、1只香蕉的重量之和 .那么1只菠萝等于几只苹果的重量 15.生活中的数学问题 理发店同时近来三位顾客，甲理发、刮胡子不吹风，乙只刮胡子不理发，丙理发、吹风还刮胡子，店里只有一个理发师，请安排一个合理的先后顺序 . 答案部分 1.分析与解答：原式=(8+13)+(9+12)+(10+11)=21×3=63. 2.分析与解答：设法将正方形分类，将每一类的总数相加就得到所有的正方形 的个数，由两块小三角形构成的正方形有4个，由四块小三角形构成的正方形有4个，由八块小三角形构成的正方形有1个，由十六块小三角形构成的正方形为1个。由一、

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完整小学学而思合集高清无密 (2013-06-02 01:18:14) 转载▼ 分类：小学 标签： 教育 毛继东作文三步法： 二年级奥数和阅读写作： 【2801】2011一升二年级数学竞赛班-8讲 【3211】2011秋季二年级数学竞赛班-12讲 【4716】2012春季二年级数学竞赛班-14讲 【3746】2012寒假二年级数学竞赛班-8讲 【2802】2011暑期二升三数学竞赛班-12讲 【6031】糖果星球探秘：二升三年级“畅享语文”成长计划暑期班12讲【3747】精灵旅行团：2012年寒假二年级说话写话训练营10讲 6531：小柿子星球探秘：二年级“畅享语文”成长计划秋季班（6级）共11讲三年级奥数和阅读写作： 【3212】2011秋季三年级奥数竞赛班-16讲 【3779】2012寒假三年级奥数竞赛班-10讲 【4860】2012春季三年级奥数竞赛班-16讲 【4861】2012春季三年级奥数零基础班-10讲

【6039】三升四奥数暑期班14讲 4863人教春季三年级数学同步8讲 6055人教版三年级上册数学满分班16讲 7429北师版三年级下册数学满分班（教材精讲+奥数知识拓展）14讲4209+2012年寒假五年制小学三年级数学超常班12讲 【6032】杮子星球探秘，三升四年级畅想语文成长计划暑期班12讲【3230】精灵旅行团：2011秋季三年级阅读写作训练营12讲【3783】精灵旅行团：2012寒假三年级阅读写作训练营8讲【4865】精灵旅行团：2012春季三年级阅读写作训练营12讲 四年级奥数及阅读写作： 【2799】2011暑期三升四数学强化班共14讲 [6040]2012四升五年级奥数暑期班18讲 【3297】2011秋季四年级上册人教数学课内同步班8讲 【4772】人教四年级下册数学同步8讲 【3208】2011秋季四年级数学强化班，18讲 【3947】2012寒假奥数强化班10讲 【6057】人教版四年级上册数学满分班14讲 【4770/4771】2011春季四年级数学竞赛班18讲 7088第13届中环杯四年级初赛冲刺VIP班12讲

学而思培优 2017-2018 一年级数学知识点第一讲

第一讲 孙行者有几个名字 一、 枚举法 有序思考 目标：不重复，不漏掉 二、 排列（有顺序 ） 1、 类型：名字、卡片、位置 魏雅楠老师 2、 方法：先固定开头，后交替位置 三、 组合（无顺序） 1、 类型：握手、击掌、打电话、搭配 2、 方法：连线法

【例1】布莱克、树桩、简乐、石磊磊合照留念，树桩只能在从左往右的第二个位置，他们一共有多少种不同的排法呢？ 解析：首先四个人肯定有四个位置，先把四个位置写上。看到树桩只能站在②号位置，给它一个特殊的符号，比如▲，布莱克用A 表示，简乐用B 来表示，石磊磊用C 来表示。先确定树桩在②，接下来有序思考，先让A 站在一号位，两种；B 站在①号位，两种；C 站在①号位，两种。一共六种。具体如下： ① ② ③ ④ A ▲ B C A ▲ C B B ▲ A C B ▲ C A C ▲ A B C ▲ B A 2+2+2=6（种） 答：一共有6种不同的站法。 【例3】四只猴子互相击掌庆祝胜利，想一想如果每两只猴子击一次掌（不能重复计数），他们一共需要几次击掌？

解析：首先给四只猴子起个名字，A 、B 、C 、D ，第一个猴子A 先开始，分别找B 、C 、D 击掌；然后第二个猴子B ，已经跟A 击过掌了，那就不用再回去击掌了，只要往后面继续就行，所以找C 、D ；接下来是C ，还是只要往后继续，所以只有找D ，如下图： A B C D 3+2+1=6(次) 【例 5】用下面的服装搭配一下，可以有几种不同的穿法？ 解析：首先上衣穿一件，下装穿一件，两两搭配，由于思考，先看第一件上衣可以搭配几种，连线连出来，再看第二件上衣，同样连线，如下图： 答：可以有6种不同的搭配。 、

学而思三年级奥数第9讲.数阵图进阶

把8，9，10，11，12，14，16这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于46． 把1，2，4，5，6，8，10这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于20． 数阵图进阶 第九讲 第4级下·提高班·学生版

第4级下·提高班·学生版 把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈中，使两个正方形中四个数之和都等于19． 将5，9，13，14，17，21，25这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都等于44．

第4级下·提高班·学生版 将5，6，9，11，14，15这6个数分别填入图中的圆圈里，使两个大圆上4个数的和都等于40． 把1，5，9，10，16，21这6个数分别填入图中的○里，使每一个大圆上的四个数之和都等于36．

第4级下·提高班·学生版 1． 把5，6，7，8，9这5个数分别填在下图的 内，使横行、竖列3个数的和都等于( )中的 数． 把1，3，4，5，6，8，11，15这8个数分别填入图中的圆圈里，使得每个大圆上5个数的和都等于33．

第4级下·提高班·学生版 2. 把3，5，7，9，11，13，15这7个数分别填入图中的圆圈内，使每条直线上的3个数的和都等于 27． 3. 把2，4，6，8，10，12，14，16，18这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数 的和都等于24．

4.把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈内，使两个正方形中四个数之和都等于21． 5.把1，2，4，5，6，11这6个数分别填入图中的○里，使每个圆圈上的四个数之和都等于22． 第4级下·提高班·学生版

学而思培优 2017-2018 一年级数学知识点第九讲

第九讲 无敌的剪刀 一． 剪图形：用直线分割图形 1. 边到边（原来图形有几个角，剪完增加一个角） 2. 边到角（原来图形有几个角，剪完角的个数不变） 3. 角到角（原来图形有几个角，剪完减少一个角） 二． 剪绳子 1. 折成几段中间剪一刀 中间剪一刀后段数增加1 2. 对折几次中间剪一刀 先算出对折之后变成几段，中间剪一刀之后段数增加1 对折次数 对折成几段 剪一刀后变成几段 不对折 1段 +1 2段 对折一次 1+1=2段 +1 3段 对折两次 2+2=4段 +1 5段 对折三次 4+4=8段 +1 9段 ? ? ? 三． 拼图形：照着目标补完整 方法：1、把最接近的补齐 2 、从好画的部分下手——王艳老师

例1：一张正方形的纸，剪去一个角，可能还有几个角？ 解析：剪去一个角，其实就是用直线分割图形。我们要考虑的就是剪刀是从 正方形的一条边剪到另外一条边，或者是从正方形的一条边剪到一个角，或 者是从一个角剪到另外一个角。这样一共分别对应了三种情况。 ① ③ ①边到边（原来图形有4个角，剪完增加一个角变成5个角） ②边到角（原来图形有4个角，剪完角的个数不变还是4个角） ③角到角（原来图形有4个角，剪完减少一个角变成3个角） 例2：一根绳子折成3段（如下图）从中间剪一刀，可以剪成多少段？一根 绳子折成5段，从中间剪一刀，可以剪成多少段？折成10段呢？ ① ② ③ ④

解析：将绳子折成3段，是指折完之后变成3段，沿着中间剪一刀，如上图红 色的线，将绳子分成了4段，我们列算式的时候可以写成3+1=4，表示剪后线 段增加1，所以将绳子折成5段的时候，从中间剪一刀，可以变成6段。折成 10段的时候，可以变成11段。 例3：把一根绳子对折，然后从中间一刀剪开，这根绳子剪成了几段？一根绳子 对折2次，然后从中间一刀剪开，这根绳子剪成了几段？对折了三次呢？ 解析：对折一次就是将一根绳子变成相等的两段，然后从中间剪一刀，剪成了几 段只需要拿对折后的段数加1就可以了； 将一根绳子对折两次，就是折成 2+2=4段，从中间剪一刀后，就是4+1=5段； 对折3次，就是折成4+4=8 段，从中间剪一刀后，就是8+1=9段。 共6题：前3题为自编题，后3题按课后作业改编（均需给 出分析与解答） 1、 一张梯形的纸剪一刀， 剪掉一个角后可以让它变成三角形？把它变成一个四边形？可以把它变成一个五边形？ 解析：三角形有三个角，所以就是比梯形少一个角，我们如果要变成三角形，就 要从梯形的一个角剪到另外一个角；四边形有四个角，和梯形的角一样多，所以 我们要从梯形的一个角剪到一条边；五边形有五个角，所以比梯形多了一个角， 所以要从一条边剪到相邻的另外一条边。

2019小升初数学七大专题知识点复习汇总

2019小升初数学七大专题知识点复习汇总 专题一：计算 我一直强调计算，扎实的算功是学好数学的必要条件。聪明在于 勤奋，知识在于积累。积累一些常见数是必要的。如 1/8,1/4,3/8,1/2,5/8，3/4,7/8的分数，小数，百分数，比的互化要 脱口而出。100以内的质数要信手拈来。1-30的平方，1-10的立方的 结果要能提笔就写。对于整除的判定仅仅积累2，3，5的是不够的。9 的整除判定和3的方法是一样的。还有就是2和5的n次方整除的判 定只要看末n位。如4和25的整除都是看末2位，末2位能被4或25整除则这个数能够被4或25整除。8和125就看末3位。7，11，13 的整除判定就是割开三位。前面部分减去末三位就能够了如果能整除7或11或13，这个数就是7或11或13的倍数。这其实是判定1001的 方法。此外还有一种方法是割个位法，望同学们至少掌握20以内整除 的判定方法。 接下来讲下数论的积累。1搞清楚什么是完全平方数，完全平方 数个位只能是0，1，4，5，6，9.奇数的平方除以8余1，偶数的平方 是4的倍数。要掌握如何求一个数的约数个数，所有约数的和，小于 这个数且和这个数互质数的个数如何求。如何估计一个数是否为质数。 计算分为一般计算和技巧计算。到底用哪个呢?首先基本的运算 法则必须很熟悉。不要被简便运算假象迷惑。这里重点说下技巧计算。首先要熟练乘法和除法的分配律，其次要熟练a-b-c=a-(b+c)a-(b- c)=a-b+c 还有连除就是除以所有除数的积等。再者对于结合交换律都应该 很熟悉。分配律有直接提公因数，和移动小数点或扩大缩小倍数来凑 出公因数。甚至有时候要强行创造公因数。再单独算尾巴。 分数的裂项：裂和与裂差等差数列求和，平方差，配对，换元，拆项约分，等比定理的转化等都要很熟悉。还有就是放缩与估计都要

学而思小学奥数36个专题总汇(下)

第13讲植树问题 内容概述 几何图形的设计与构造，本讲讲解一些有关的植树问题． 典型问题 1．今有10盆花要在平地上摆成5行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案， 画图时用点表示花，用直线表示行． 【分析与解】如下图所示： 2．今有9盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一 种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行． 【分析与解】如下图所示： 3．今有10盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一种设计方 案，画图时用点表示花，用直线表示行· 【分析与解】如下图所示： 4．今有20盆花要在平地上摆成18行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计 方案，画图时用点表示花，用直线表示行． 【分析与解】如下图所示： 5．今有20盆花要在平地上摆成20行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行． 【分析与解】如下图所示：

第14讲数字谜综合 内容概述 各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题． 典型问题 1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少? 【分析与解】因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小． A显然只能为1，则BCD+EFG=993， 当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234×759是满足条件的最大乘积； 当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759×234是满足条件的最小乘积； 它们的差为1234×759—1759×234=(1000+234)×759一(1000+759)×234=1000×（759—234)=525000． 2.有9个分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是1 3 , 1 7 , 1 9 , 1 11 , 1 33 另外4个数的分母个 位数字都是5．请写出这4个分数． 【分析与解】 l一(1 3 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + 1 33 )= 2101 33711 ? ??? = 1010 335711 ? ???? 需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×1l的约数．因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693． 经试验得693+231+77+9=1010． 所以，其余的4个分数是：1 5 , 1 15 , 1 45 , 1 385 . 3. 请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式． 【分析与解】1988=2×2×7×7l=4×497， 1 12 + 1 4 ＝ 1 3 ，在等式两边同时乘上 1 497 ，就得 1 5964+ 1 1988 ＝ 1 1491 ．显然满足题意． 又 1 35 + 1 14 = 1 10 ，两边同乘以 1 142 ，就得 1 4970 + 1 1988 ＝ 1 1420 ．显然也满足．1 3053+ 1 1988 ＝ 1 1204 ， 1 8094 + 1 1988 ＝ 1 1596 均满足. 4．小明按照下列算式：乙组的数口甲组的数○1= 对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14—1的表中．有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正．问改正后的两个数的和是多少?