第八讲 数列综合
★★★高考在考什么 【考题回放】
1.(宁夏)已知a b c d ,,,成等比数列,且曲线2
23y x x =-+的顶点是()b c ,,则ad 等于( B )
A.3 B.2 C.1 D.2-
2.(江西)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1221S =,则25811a a a a +++=
.7
3.(辽宁卷) 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则
n S 等于
A .1
2
2n +- B.3n C. 2n D.31n -
【解析】因数列{}n a 为等比,则1
2n n a q -=,因数列{}1n a +也是等比数列,
则
22121122212
(1)(1)(1)22(12)01
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?=
即2n a =,所以2n S n =,故选择答案C 。
4.(湖南)设集合{123456}M =,,,,,, 12k S S S ,,,都是M 的含两个元素的子集,且满足:对任意的{}i i i S a b =,,{}j j j S a b =,(i j ≠,{123}i j k ∈、,,,,),都有
min min j j i i i i j j a b a b b a b a ??????
≠??????????
,,(min{}x y ,表示两个数x y ,中的较小者),则k 的最大
值是( B )
A .10
B .11
C .12
D .13
5.(陕西卷) 已知正项数列{a n },其前n 项和S n 满足10S n =a n 2
+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列,
求数列{a n }的通项a n .
解析:解: ∵10S n =a n 2+5a n +6, ① ∴10a 1=a 12
+5a 1+6,解之得a 1=2或a 1=3.
又10S n -1=a n -12
+5a n -1+6(n ≥2),②
由①-②得 10a n =(a n 2-a n -12
)+6(a n -a n -1),即(a n +a n -1)(a n -a n -1-5)=0 ∵a n +a n -1>0 , ∴a n -a n -1=5 (n ≥2).
当a 1=3时,a 3=13,a 15=73. a 1, a 3,a 15不成等比数列∴a 1≠3;
当a 1=2时,a 3=12, a 15=72, 有a 32
=a 1a 15 , ∴a 1=2, ∴a n =5n -3.
6.(广东卷)已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9,无穷等比数列{}
2
n
a 各项的和为
81
5
. (I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ; (II)对给定的(1,2,3,,)k k n =,设()k T 是首项为k a ,公差为21k a -的等差数列,求(2)T 的
前10项之和;
解: (Ⅰ)依题意可知,???
??==????????=-=-32358119
112121
q a q a q a
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1
323-?
?
?
???=n n a ,所以数列)
2(T
的的首项为221==a t ,公差
3122=-=a d ,
15539102
1
21010=???+?=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155.
★★★高考要考什么
本章主要涉及等差(比)数列的定义、通项公式、前n 项和及其性质,数列的极限、无穷等比数列的各项和.同时加强数学思想方法的应用,是历年的重点内容之一,近几年考查的力度有所增加,体现高考是以能力立意命题的原则.
高考对本专题考查比较全面、深刻,每年都不遗漏.其中小题主要考查1()a d q 、、
n n n a S 、、间相互关系,呈现“小、巧、活”的特点;大题中往往把等差(比)数列与函
数、方程与不等式,解析几何 等知识结合,考查基础知识、思想方法的运用,对思维能力要求较高,注重试题的综合性,注意分类讨论.
高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起,再加以导数和向量等新增内容,使数列综合题新意层出不穷.常见题型:
(1)由递推公式给出数列,与其他知识交汇,考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力.
(2)给出S n 与a n 的关系,求通项等,考查等价转化的数学思想与解决问题能力.
(3)以函数、解析几何的知识为载体,或定义新数列,考查在新情境下知识的迁移能力. 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用,注意不等式型的递推数列.
★ ★★ 突 破 重 难 点
【范例1】已知数列{}n a ,{}n b 满足12a =,11b =,且111131144
13144
n n n n n n a a b b a b ----?=++????=++??(2n ≥)
(I )令n n n c a b =+,求数列{}n c 的通项公式; (II )求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S .
解:(I)由题设得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥,即12n n c c -=+(2n ≥) 易知{}n c 是首项为113a b +=,公差为2的等差数列,通项公式为21n c n =+.
(II )解:由题设得111()(2)2n n n n a b a b n ---=
-≥,令n n n d a b =-,则11
(2)2
n n d d n -=≥.
易知{}n d 是首项为111a b -=,公比为12的等比数列,通项公式为11
2
n n d -=. 由
1211
2
n n n n n a b n a b -+=+??
?-=??,
解得 11
22
n n a n =++, 求和得21122n n n S n =-+++.
【变式】(文)在等差数列{}n a 中,11a =,前n 项和n S 满足条件
242
,1,2,1
n n S n n S n +==+,
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)记(0)n a
n n b a p p =>,求数列{}n b 的前n 项和n T 。
解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,由
2421n n S n S n +=+得:12
1
3a a a +=,所以22a =,即211d a a =-=,又1
211122()42212
n n n n n n a nd a n S a nd a n a a n S a a n ++?+++===
+++?=2(1)
1n n a n a +++,所以n a n =。
(Ⅱ)由n a
n n b a p =,得n n b np =。所以23123(1)n n n T p p p n p np -=+++
+-+,
当1p =时,1
2
n n T +=; 当1p ≠时,
234123(1)n n n pT p p p n p np +=+++
+-+,
23
1
1
1(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p
p np
np p
-++--=+++
++-=--
即11
,12(1),11n n
n n p T p p np p p
++?=??
=?-?-≠?-?。
(理)已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点,其导函数为'
()62f x x =-,数列{}
n a 的前n 项和为n S ,点(,)()n n S n N *
∈均在函数()y f x =的图像上。
(Ⅰ)、求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)、设11n n n b a a +=
,n T 是数列{}n b 的前n 项和,求使得20
n m
T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ;
解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax 2
+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x -2,得
a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x 2-2x.
又因为点(,)()n n S n N *
∈均在函数()y f x =的图像上,所以n S =3n 2
-2n.
当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(3n 2
-2n )-[
]
)1(2)132
---n n (
=6n -5. 当n =1时,a 1=S 1=3×12
-2=6×1-5,所以,a n =6n -5 (n N *
∈)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知13+=
n n n a a b =[]5)1(6)56(3---n n =)1
61
561(21+--n n ,
故T n =
∑=n
i i
b
1
=
2
1?????
?+--++-+-)161561(...)13171()711(n n =21(1-161+n ). 因此,要使
21(1-161+n )<20m (n N *∈)成立的m,必须且仅须满足21≤20
m ,即m ≥10,所以满足要求的最小正整数m 为10.
【范例2】已知函数2()1f x x x =+-,,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>,'()f x 是f (x)的导数;设11a =,1()
'()
n n n n f a a a f a +=-(n=1,2,……) (1)求,αβ的值;
(2)证明:对任意的正整数n ,都有n a >a ; (3)记ln
n n n a b a a
β
-=-(n=1,2,……),求数列{b n }的前n 项和S n 。 解析:(1)∵2()1f x x x =+-,,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>,∴
αβ=
; (2)'()21f x x =+,21
115
(21)(21)12
442121
n n n n
n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++ =5114
(21)4
212n n a a ++
-
+,∵11a =,
∴有基本不等式可知20a >
(当且仅当1a
时取等号),∴20a >
同,样3a >
,……,n a α>=(n=1,2,……),
(3)1()()(1)2121
n n n n n n n n a a a a a a a a αββ
ββα+----=--=++++,而1αβ+=-,即1αβ+=-,
21()21n n n a a a ββ+--=+,同理21()21n n n a a a αα+--=+,12n n b b +=,
又113l n l n l n
1b βα-===-
2(2n n S =-【文】已知函数2
()1f x x x =+-,α、β是方程()0f x =的两个根(αβ>),()
f x '是的导数
设11a =,1()
()
n n n n f a a a f a +=-',(1,2,)n =. (1)求α、β的值;
(2)已知对任意的正整数n 有n a α>,记ln n n n a b a β
α
-=-,(1,2,)n =.求数列{n b }的前n 项和n S .
解、(1) 由 2
10x x +-=
得x =
α∴=
β= (2) ()21f x x '=+ 22
111
2121
n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=
++
(
2
2221111n n n n n n n n n a a a a a a a a ββαα+++??++++ ???--==== ?
--??
∴ 12n n b b += 又
1111ln
4ln
2a b a βα-===- ∴数列{}n b 是一个首项为
,公比为2的等比数列; ∴
)(
)12242112n n n S -=
=-- 【变式】对任意函数f (x ),x ∈D ,可按图示3—2构造一个数列发生器,其工作原理如下:
①输入数据x 0∈D ,经数列发生器输出x 1=f (x 0);
②若x 1?D ,则数列发生器结束工作;若x 1∈D ,则将x 1反馈回输入端,再输出x 2=f (x 1),并依此规律继续下去. 现定义f (x )=
1
2
4+-x x . (Ⅰ)若输入x 0=
65
49
,则由数列发生器产生数列{x n }.请写出数列{x n }的所有项; (Ⅱ)若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据x 0的值;
(Ⅲ)(理)若输入x 0时,产生的无穷数列{x n }满足:对任意正整数n ,均有x n <x n +1,求x 0的取值范围.
解:(Ⅰ)∵f (x )的定义域D =(-∞1)∪(-1,+∞) ∴数列{x n }只有三项x 1=
19
11,x 2=51
,x 3=-1
(Ⅱ)∵f (x )=
1
24+-x x =x 即x 2
-3x +2=0,∴x =1或x =2 即x 0=1或2时,x n +1=1
2
4+-n n x x =x n ,故当x 0=1时,x 0=1;当x 0=2时,x n =2(n ∈
N )
(Ⅲ)解不等式x <1
2
4+-x x ,得x <-1或1<x <2,要使x 1<x 2,则x 2<-1或1<x 1
<2
对于函数f (x )=1
6
4124+-=+-x x x 。若x 1<-1,则x 2=f (x 1)>4,x 3=f (x 2)<x 2
当1<x 1<2时,x 2=f (x )>x 1且1<x 2<2依次类推可得数列{x n }的所有项均满足x n +1>x n (n ∈N )
综上所述,x 1∈(1,2),由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2)
【范例3】已知()n n n A a b ,(n ∈N*)是曲线x
y e =上的点,1a a =,n S 是数列{}n a 的
前n 项和,且满足222
13n n n S n a S -=+,0n a ≠,234n =,,,
…. (I )证明:数列2n n b b +??
?
???
(2n ≤)是常数数列; (II )确定a 的取值集合M ,使a M ∈时,数列{}n a 是单调递增数列; (III )证明:当a M ∈时,弦1n n A A +(n ∈N*)的斜率随n 单调递增
解:(I )当2n ≥时,由已知得222
13n n n S S n a --=.
因为10n n n a S S -=-≠,所以2
13n n S S n -+=. …… ① 于是2
13(1)n n S S n ++=+. ……②
由②-①得163n n a a n ++=+. …… ③ 于是2169n n a a n +++=+. …… ④ 由④-③得26n n a a +-=, …… ⑤
所以226
2n n n n a a a n a n b e e e b e ++-+===,即数列2(2)n n b n b +??????
≥是常数数列.
(II )由①有2112S S +=,所以2122a a =-.由③有3215a a +=,4321a a +=,所以
332a a =+,4182a a =-.而 ⑤表明:数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ,3a 为首项,6
为公差的等差数列,
所以226(1)k a a k =+-,2136(1)k a a k +=+-,2246(1)()k a a k k +=+-∈N*, 数列{}n a 是单调递增数列12a a ?<且22122k k k a a a ++<<对任意的k ∈N*成立.
12a a ?<且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+- 1234a a a a ?<<<915
1223218244
a a a a a ?<-<+<-?
<<.
即所求a 的取值集合是9154
4M a
a ??
=<???.
(III )解法一:弦1n n A A +的斜率为1111n n
a a n n n n n n n
b b e e k a a a a ++++--==
-- 任取0x ,设函数0
0()x x e e f x x x -=-,则002
0()()()()x x x e x x e e f x x x ---=-
记00()()()x
x x g x e x x e e =---,则00()()()x x x x
g x e x x e e e x x '=-+-=-,
当0x x >时,()0g x '>,()g x 在0()x +∞,
上为增函数, 当0x x <时,()0g x '<,()g x 在0()x -∞,上为减函数,
所以0x x ≠时,0()()0g x g x >=,从而`()0f x '>,所以()f x 在0()x -∞,和0()x +∞,
上都是增函数.
由(II )知,a M ∈时,数列{}n a 单调递增,
取0n x a =,因为12n n n a a a ++<<,所以11n n a a n n n e e k a a ++-=-22n n
a a n n e e a a ++-<
-. 取02n x a +=,因为12n n n a a a ++<<,所以12112n n a a n n n e e k a a +++++-=-2
2
n n a a n n e e a a ++->
-. 所以1n n k k +<,即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增.
解法二:设函数1
1
()n a x n e e f x x a ++-=-,同解法一得,()f x 在1()n a +-∞,和1()n a ++∞,
上都是增函数,
所以111111lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++-+++--=<=--→,2111
11211
lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++++
+++++--=>=--→. 故1n n k k +<,即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增.
【文】设n S 是数列{}n a (n ∈N*)的前n 项和,1a a =,且2
22
13
n n n S n a S -=+,0n
a ≠,
234n =,,,.(I )证明:数列2{}n n a a +-(2n ≥)是常数数列;
(II )试找出一个奇数a ,使以18为首项,7为公比的等比数列{}n b (n ∈N*)中的所有
项都是数列{}n a 中的项,并指出n b 是数列{}n a 中的第几项.
解:(I )当2n ≥时,由已知得222
13n n n S S n a --=.
因为10n n n a S S -=-≠,所以2
13n n S S n -+=. …………………………① 于是2
13(1)n n S S n ++=+. …………………………………………………②
由②-①得:163n n a a n ++=+.……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+.……………………………………………………④ 由④-③得:26n n a a +-=.…………………………………………………⑤ 即数列2{}n n a a +-(2n ≥)是常数数列. (II )由①有2112S S +=,所以2122a a =-. 由③有1215a a +=,所以332a a =+,
而⑤表明:数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ,3a 为首项,6为公差的等差数列.
所以22(1)6626k a a k k a =+-?=-+,213(1)6623k a a k k a +=+-?=+-,k ∈N*.
由题设知,1187n n b -=?.当a 为奇数时,21k a +为奇数,而n b 为偶数,所以n b 不是数列21{}
k a +中的项,n b 只可能是数列2{}k a 中的项.
若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项,由18626k a =-+得036a k =-,取03k =,得3a =,
此时26k a k =,由2n k b a =,得11876n k -?=,1
37n k -=?∈N*,从而n b 是数列{}n a 中
的第1
67
n -?项.
(注:考生取满足36n a k =-,n k ∈N*的任一奇数,说明n b 是数列{}n a 中的第
126723
n a
-?+
-项即可) 【变式】(文)已知a 1=2,点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2
+2x 的图象上,其中=1,2,3,… (1) 证明数列{lg(1+a n )}是等比数列;
(2) 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n ),求T n 及数列{a n }的通项; (3) 记b n =
211++n n a a ,求{b n }数列的前项和S n ,并证明S n +1
32-n T =1.
解:(Ⅰ)由已知2
12n n n a a a +=+, 211(1)n n a a +∴+=+
12a = 11n a ∴+>,两边取对数得
1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+,即
1lg(1)
2lg(1)
n n a a ++=+
{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知1
1lg(1)2lg(1)n n a a -+=?+ 1122lg3lg3n n --=?= 1
213n n a -∴+=(*)
12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a ) 0
1
2
222333=????n-1
2…3 2
122
3+++=n-1
…+2=n 2-1
3
由(*)式得1
2
31n n a -=-
(Ⅲ)
2
102n n a a a +=+1(2)n n n a a a +∴=+ 11111
()22
n n n a a a +∴
=-+
1
112
2n n n a a a +∴
=-+ 又112n n n b a a =
++1
112()n n n b a a +∴=- 12n S b b ∴=++n …+b 122311111112(
)n n a a a a a a +=-+-+-…+11
11
2()n a a +=- 1
221131,2,31n n
n n a a a -+=-==-2
2131
n
n S ∴=-
-
又21
3n n T -=2
131
n n S T ∴+
=-
(理)在数列{}n a 中,1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*
+==++-∈N ,,其中0λ>.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S ; (Ⅲ)证明存在k *
∈N ,使得
11n k n k
a a
a a ++≤对任意n *∈N 均成立. (Ⅰ)解法一:222
22(2)22a λλλλ=++-=+,
2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+, 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+.
由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n
n a n λ=-+.
以下用数学归纳法证明.
(1)当1n =时,12a =,等式成立.
(2)假设当n k =时等式成立,即(1)2k k
k a k λ=-+,
那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k
k λλλλλ++=-+++-
11[(1)1]2k k k λ++=+-+.
这就是说,当1n k =+时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式(1)2n n
n a n λ=-+对
任何n *
∈N 都成立.
解法二:由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*
+=++-∈N ,0λ>,
可得1
1
1221n n
n n
n n a a λλλλ+++??
??
-=-+ ?
???
??
, 所以2n
n n a λλ????
??-?? ???????为等差数列,其公差为1,首项为0,故21n n n a n λλ??-=- ???,
所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n
n a n λ=-+. (Ⅱ)解:设234
123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=+++
+-+-, ①
345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=+++
+-+- ②
当1λ≠时,①式减去②式, 得212
3
1
1(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλ
λλ
+++--=++
+--=---,
211212
22
(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---.
这时数列{}n a 的前n 项和2121
2
(1)22(1)
n n n n n n S λλλλ+++--+=+--.
当1λ=时,(1)2n n n T -=
.这时数列{}n a 的前n 项和1
(1)222
n n n n S +-=+-. (Ⅲ)证明:通过分析,推测数列1n n a a +???
?
??
的第一项2
1
a a 最大,下面证明: 21214
,22
n n a a n a a λ++<=≥. ③ 由0λ>知0n a >,要使③式成立,只要2
12(4)(2)n n a a n λ+<+≥, 因为222(4)(4)(1)(1)2n n
n a n λλλλ+=+-++
124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+?=-+·
1212222n n n n a n λ++++=,≥≥.
所以③式成立. 因此,存在1k =,使得
1121
n k n k a a a
a a a ++=≤对任意n *∈N 均成立.
高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 条件中,使得()*∈ A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则 a 1= ,S 5= . 【答案】1 121 上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、(2016年上海高考)无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 2、(2015年上海高考)记方程①:x 2+a 1x+1=0,方程②:x 2+a 2x+2=0,方程③:x 2+a 3x+4=0,其中a 1,a 2,a 3是正实数.当a 1,a 2,a 3成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是( ) A .方程①有实根,且②有实根 B . 方程①有实根,且②无实根 C .方程①无实根,且②有实根 D . 方程①无实根,且②无实根 3、(2014年上海高考)设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,若()134lim n n a a a a →∞ =++ +,则q = . 4、(虹口区2016届高三三模)若等比数列{}n a 的公比1q q <满足,且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、(浦东新区2016届高三三模)已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若 533S S =,则53 a a = 6、(杨浦区2016届高三三模)若两整数a 、 b 除以同一个整数m ,所得余数相同,即 a b k m -=()k Z ∈,则称a 、b 对模m 同余,用符号(mod )a b m ≡表示,若10(mod 6)a ≡(10)a >,满足条件的a 由小到大依 次记为12,,,,n a a a ??????,则数列{}n a 的前16项和为 7、(黄浦区2016届高三二模) 已知数列{}n a 中,若10a =,2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=,则满足2100i i a a +≥的i 的最小值 为 8、(静安区2016届高三二模)已知数列{}n a 满足181a =,1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?,则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、(闵行区2016届高三二模)设数列{}n a 的前n 项和为n S , 2 2|2016|n S n a n (0a >),则使得1 n n a a +≤(n ∈* N )恒成立的a 的最大值为 . 10、(浦东新区2016届高三二模)已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+,* n N ∈,则这个数列的前 n 项和n S =___________. 11、(徐汇、金山、松江区2016届高三二模)在等差数列{}n a 中,首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连 第8讲数列 [考情分析]数列为每年高考必考内容之一,考查热点主要有三个方面:(1)对等差、等比数列基本量和性质的考查,常以客观题的形式出现,考查利用通项公式、前n项和公式建立方程(组)求解,利用性质解决有关计算问题,属于中、低档题;(2)对数列通项公式的考查;(3)对数列求和及其简单应用的考查,主、客观题均会出现,常以等差、等比数列为载体,考查数列的通项、求和,难度中等. 热点题型分析 热点1等差、等比数列的基本运算及性质 1.等差(比)数列基本运算的解题策略 (1)设基本量a1和公差d(公比q); (2)列、解方程(组):把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量. 2.等差(比)数列性质问题的求解策略 (1)解题关键:抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解; (2)牢固掌握等差(比)数列的性质,可分为三类:①通项公式的变形;②等差(比)中项的变形;③前n项和公式的变形.比如:等差数列中,“若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q(m,n,p,q∈N*)”;等比数列中,“若m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q(m,n,p,q∈N*)”. 1.已知在公比不为1的等比数列{a n }中,a 2a 4=9,且2a 3为3a 2和a 4的等差中项,设数列{a n }的前n 项积为T n ,则T 8=( ) A.12×37-16 B .310 C.318 D .320 答案 D 解析 由题意得a 2a 4=a 23=9.设等比数列{a n }的公比为q ,由2a 3为3a 2和a 4 的等差中项可得4a 3=3a 2+a 4,即4a 3=3a 3 q +a 3q ,整理得q 2-4q +3=0,由公比 不为1,解得q =3.所以T 8=a 1·a 2·…·a 8=a 81q 28=(a 81q 16 )·q 12=(a 1q 2)8·q 12=a 83· q 12=94×312=320.故选D. 2.(2019·江苏高考)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5 +a 8=0,S 9=27,则S 8的值是________. 答案 16 解析 解法一:由S 9=27?9(a 1+a 9) 2=27?a 1+a 9=6?2a 5=6?2a 1+8d =6 且a 5=3.又a 2a 5+a 8=0?2a 1+5d =0, 解得a 1=-5,d =2.故S 8=8a 1+8×(8-1) 2d =16. 解法二:同解法一得a 5=3. 又a 2a 5+a 8=0?3a 2+a 8=0?2a 2+2a 5=0?a 2=-3. ∴d =a 5-a 2 3=2,a 1=a 2-d =-5. 故S 8=8a 1+8×(8-1) 2 d =16. 20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结 等差数列 知识要点 1.递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式:推广:通项公式:递推关系: 为常数) 即:特征:m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数,(m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2.等差中项: 若c b a ,,成等差数列,则b 称c a 与的等差中项,且2 c a b +=;c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3.前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ; 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征:B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4.等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+,则若反之,不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2 ⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5.判断或证明一个数列是等差数列的方法: ①定义法: )常数)(*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法: )22 1*++∈+=N n a a a n n n (?{}n a 是等差数列 ③通项公式法: ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法: ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 练习:1.等差数列 {}n a 中, ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A .14 B .15 C .16 D .17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2.等差数列 {}n a 中,12910S S a =>,,则前10或11项的和最大。 解:0912129 =-=S S S S , 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ,又,, ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3.已知等差数列{}n a 的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为-110 解:∵ ,,,,,1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列,公差为D 其首项为 10010=S ,前10项的和为10100=S 解 2011高考数学压轴题专题训练--数列(36页WORD ) 第六章 数列 高考题 三、解答题 22.(2009全国卷Ⅰ理)在数列{}n a 中,1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ (I )设n n a b n = ,求数列{}n b 的通项公式 (II )求数列{}n a 的前n 项和n S 分析:(I )由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) (II )由(I )知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型, 易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析:09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.(2009北京理)已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ;对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤,i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . (Ⅰ)分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ,并说明理由; 1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中,使得()*∈ 2. 4、如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N , 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ,(P Q P Q ≠表示点与不重合). 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=,为△的面积,则 22 23 A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 24 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36 2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S n +2?S n =36,则n = A .5 B .6 C .7 D .8 【答案】D 【解析】解法一:由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+,S n +2=(n +2)2,由S n +2?S n =36得,(n +2)2?n 2=4n +4=36,所以n =8. 解法二:S n +2?S n =a n +1+a n +2=2a 1+(2n +1)d =2+2(2n +1)=36,解得n =8.所以选D . 【易错点】对S n +2?S n =36,解析为a n +2,发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中,若28641,2a a a a ==+,则a 6的值是________. 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0),∵a 2=1,则由8642a a a =+得6422q q q =+,即42 20q q --=,解得q 2=2, ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差(比)数列基本量的计算是解决等差(比)数列题型时的基础方法,在高考中常有所体现,多以选择题或填空题的形式呈现,有时也会出现在解答题的第一问中,属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路: (1)设基本量a 1和公差d (公比q ). (2)列、解方程组:把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量. 专题08 数列大题部分 【训练目标】 1、 理解并会运用数列的函数特性; 2、 掌握等差数列,等比数列的通项公式,求和公式及性质; 3、 掌握根据递推公式求通项公式的方法; 4、 掌握常用的求和方法; 5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。 【温馨小提示】 高考中一般有一道小题,一道大题,小题侧重于考等差数列与等比数列的性质,熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量;大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式,求和的方法。总之,此类题目难度中等,属于必拿分题。 【名校试题荟萃】 1、(宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学(理)试卷)设数列{}n a 的前n 项和, 且123,1,a a a +成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)记数列1 { }n a 的前n 项和n T ,求使得成立的n 的最小值. 【答案】(1)2n n a = (2)10 (2)由(1)可得 112n n a ?? = ??? ,所以, 由 ,即21000n >,因为 ,所以10n ≥,于是使得 成立的n 的最小值为10. 2、(宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学(理)试卷)设等差数列{}n a 的公差为d ,点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上(*n N ∈) 。 (1)若12a =-,点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上,求数列{}n a 的前n 项和n S ; (2)若11a =,函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1 2ln 2-,求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】(1) (2) (2)由 函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为 所以切线在x 轴上的截距为21 ln 2 a -,从而,故22a = 从而n a n =,2n n b =, 2n n n a n b =q a (D )7.08.0,01-<<-
上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练:数列
高考理科数学专题复习题型数列
高考数学数列知识点及题型大总结
2011高考数学压轴题专题训练
最新高考数学数列题型专题汇总
q a (D )7.08.0,01-<<-
2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练及参考答案
数列大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]