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第二讲一阶微分方程
【教学内容】
齐次微分方程、一阶线性微分方程
【教学目的】
理解齐次微分方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。
【教学重点与难点】
齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法
【教学过程】 、齐次微分方程: 形如
凹f （-）的微分方程；叫做齐次微分方程
dx x
u ■y 原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。
x
此方程是可分离变量的微分方程。按可分离变量微分方程的解法，求出方程的通解，再将变量 为y
，所得函
数就是原方程的通解。
x
解：方程可化为
1 C)2
X 2(乂) x
分离变量，则有
u
1 u 2
两边积分，得
例1、 求微分方程（x
)dx 2xydy ，满足初始条件y
x 1
0的特解。
它是齐次方程。令u
，代入整理后，有
du
dx 2xu
对它进行求解时，只要作变换
于是有
dy y ux,亠 u dx du dx du x 一 dx f(u) u
x
pl ，从而原方程可化为 u x —— f （u ），
dx u 还原
dy
dx
2
x_ 2xy
du
2x dx
(2)ln(1 u 2) (2)ln x (1
)ln c
cx(1 u 2) 1
将u y 代入上式，于是所求方程的通解为
x
x 2
二、一阶线性微分方程 形如
的方程称为一阶线性微分方程，其中
P （x ）、Qx ）都是连续函数。
当Qx ） = 0时，方程
y P (x)y 0
称为一阶线性齐次微分方程;
当Qx ）工0，方程称为一阶线性非齐次微分方程。 1. 一阶线性齐次微分方程的解法 将方程
P(x)y 0
分离变量得
两边积分得
方程的通解为
求微分方程
y 2xy
0的通解。
c(x 2
y 2
) x 2
把初始条件y
0代入上式，求出c 1，故所求方程的特解为
y P (x)y
Q(x)
dy
P(x)dx
In y
P(x)dx InC
Ce
P （x ）dx
（C 为任意常数）
解法1 （分离变量法）
所给方程是一阶线性齐次方程
将P (x ) =2 X 代入通解公式，得通解
2. 一阶线性非齐次微分方程的解法
y Ce P(x)dx
y C(x)e P(x)dx
(C(x)是关于x 的函数)
的结构及导数运算的规律
我们有理由推测非齐次方程的解形如
代入非齐次方程，得
C(x) Q(x)e P (x )d
Xdx C
一阶非齐次线性方程通解的公式为:
[Q(x)e
P(x)dx
dx C]
的通解
e_Pgdx Q$x)e 卩°叫
非齐 的特解
Ce
P(x)d
x
齐次方程 的
通解
P(x)dx
P(x)dx Q 严')dx
非齐次方程 的特解
上述求解方法称为常数变易法
变量分离得巴
y
2xdx
两边积分得In
2 x Ci
x 2
e
C
1
e C
1
方程的通解为
x
2
y Ce
解法
(公式法)
y Ce
P(x)dx
Ce
2xdx
Ce x2
非齐次方程与齐次方程的差异仅是方程右边的项
Qx )。从齐次方程的通解
用常数变易法求一阶非齐次线性方程通解的步骤为: (1 )先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解; (2 )利用常数变易法设出非齐次线性方程的一个特解; (3)将所设特解代入非齐次线性方程，解出
Cx )，写出非齐次线性方程的通解
例3、求微分方程
2 y
解法1 (常数变易法)
原方程变形为：
代入原方程得
对应的齐次方程为
1 2y
得通解为
Ce
P(x)dx
1 -x Ce 2
设原方程的解为
C(x)e
从而 1
-x 2
^C(x)e
化简得
1 -x
2 C (x)e 2
1 2 C
(x)e 1 2C(x)e
1 -x 2
1 x 2e
两边积分,
C(x)
1 x 2e
C(x)
所以，原方程的通解
1 -x
2 y C （x ）e 2
解法2 （用公式法）
初始条件为下
y （0） 0
由y y 0分离变量并积分,
x
y ce
Ce 2 P(x)
1
2
, Q(x)
1 x 2e
把它们代入公式得 2)dx
2e x
-dx
e 2
dx C
e 2
( 1e x e
2
2
dx C)
e 2
(
e 2
C ）
例4、已知曲线过点（0, 0），且该曲线上任意点 P （X , y ）处的切线的斜率为该点的横坐标与纵坐标之和,
求此曲线方程。 解法1 （采用常数变易法求解）
设所求的曲线方程为 y=y （ x ），由导数的几何意义有
令 y u(x)e x
，则 y u (x) e x u(x)e x ，把 y ，
y 代入方程中，于是有
