天一大联考
2017—2018学年高二年级阶段性测试(三)
数学(文科)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若的实部与虚部相等，则实数（）
A. -2
B.
C. 2
D. 3
【答案】B
【解析】分析：首先将所给的复数利用四则运算法则进行计算，然后结合实部虚部的表达形式得到关于实数a的方程，解方程即可求得实数a的值.
详解：由题意可得：，
该复数的实部与虚部相等，则：，
求解关于实数a的方程可得：.
本题选择B选项.
点睛：复数中，求解参数(或围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数围的基本思想是复数问题实数化.
2.有下列数据：
1 2 3
3 12.0
4 26.59
下列四个函数中,模拟效果最好的为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：把三组数据代入选项，逐一进行验证即可.
详解：将代入四个选项，可得A模拟效果最好.
故选：A
点睛：本题考查哪个数学模型模拟效果最好，考查数据处理能力，属于基础题.
3. 在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所的等高条形图，则（）
..............................
A. 两个分类变量关系较强
B. 两个分类变量关系较弱
C. 两个分类变量无关系
D. 两个分类变量关系难以判断
【答案】A
【解析】分析：利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.
详解：从等高条形图中可以看出2，在中的比重明显大于中的比重，所以两个分类变量的关系较强. 故选：A
点睛：等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确的给出所得结论的可靠程度，考查识图用图的能力.
4. 若 (为虚数单位)，则使的值可能是（）
A. 0
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析：首先计算的结果，结合所得的结果分别令实部、虚部相等，得到关于的三角方程，求解三角方程即可求得的值.
详解：由题意可得：
，
结合可得：，对比选项可知：.
本题选择B选项.
点睛：复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题畴.
5. 用反证法证明命题“等腰三角形的底角必是锐角”,下列假设正确的是（）
A. 等腰三角形的顶角不是锐角
B. 等腰三角形的底角为直角
C. 等腰三角形的底角为钝角
D. 等腰三角形的底角为直角或钝角
【答案】D
【解析】分析：反证法的假设需要写出命题的反面，结合题意写出所给命题的反面即可.
详解：反证法的假设需要写出命题的反面.
“底角必是锐角”的反面是“底角不是锐角”，即底角为直角或钝角.
本题选择D选项.
点睛：应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.
6. 由变量和的一组数据，用最小二乘法求得回归直线方程为，下列结论正确的是（）
A. 求得的相关系数-0.12接近于0，说明与的相关性较弱
B. 当变量时，变量的值一定为2.35
C. 当变量增加1个单位时，变量大约增加2.71个单位
D. 当变量增加1个单位时，变量大约减少0.12个单位
【答案】D
【解析】分析：根据回归直线方程为进行简单的命题判断.
详解：对于A，回归直线方程中的-0.12并不是相关系数，不能判断x与y的相关性强弱，故A错；
对于B，回归直线方程对预报变量的值可以作大概的估计，不能求出确定的值，故B错；
对于C，回归直线方程中x的系数为-0.12，所以判断C项错误.
故选:D
点睛：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，注意区分回归直线方程的一次项系数与相关系数.
7. 如图是一个程序框图，运行后输出的值为（）
A. 2
B. 5
C. 13
D. 24
【答案】C
【解析】分析：根据框图流程依次计算运行的结果，直到不满足条件，程序运行终止，输出的值．
详解：进入循环后，运行过程为,此时跳出循环，输出b的值为13.
故选：C
点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
8. 华在检查自己的学习笔记时,发现“集合”这一节的知识结构图漏掉了“集合的含义”,他添加这一部分的最合适位置是（）
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
【答案】B
【解析】分析：根据结构图的含义，知识结构图是用图形直观地再现出知识之间的关联，由集合的含义是集合的一种，从而得出正确答案．
详解：这是“集合”的知识结构图，所以“集合”是最高级别的，而“集合的含义”应该属于“集合”这个框的下级分支，与“集合间的基本关系”“集合的运算”是同一级别，所以添加在②的位置比较合适. 故选：B
点睛：本题考查了知识结构图的应用问题，解题的关键是理解知识结构图的作用及知识之间的上下位关系，是基础题．
9. 已知，的对应数据如下表：
15 20 25 30 35
6 12 14 20 23
若由上表数据所得的线性回归方程是，则时，（）
A. 15.6
B. 31.8
C. 43.8
D. 52.4
【答案】B
【解析】分析：先计算平均数，利用线性回归方程恒过样本中心点，求出，即可得到结论.
详解：由表中数据，得又因为回归直线必过样本中心点，所以所以线性回归方程为得.
故选：B
点睛：本题考查线性回归方程，考查学生的基本运算能力，抓住线性回归方程恒过样本中心点是解题的关键．
10. 观察下面的三个图形，根据前两个图形的规律，可知第三个图中（）
A. 9
B. 36
C. 49
D. 100
【答案】D
【解析】分析：把外围的四个数开算术平方，然后累加即中间数.
详解：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的算术平方根的和，所以“x“处该填的数字是100. 故选：D
点睛：本题主要考查对图形中数字变化的归纳概括能力，抓住中间与周围四数关系是解题的关键.
11. 在如图所示的复平面，复数，，对应的向量分别是，，，则复数对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】C
【解析】分析：由图形得到复数，，，然后进行四则运算，即可求出此复数对应的点.
详解：由题图知则，
所以其在复平面对应的点为，在第三象限.
故选：C
点睛：复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可;复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．
12. 老师和甲、乙两名同学都知道桌上有6扑克牌：红桃3、红桃6、黑桃5、黑桃A、方块10、梅花6.老师从中挑选一,将这牌的花色告诉甲同学,将牌上的点数告诉乙同学.随后发生了下面一段对话：
甲：“我不知道这牌是什么.”
乙：“我本来也不知道这牌是什么，但是听了你说的话，我就知道了.”
甲：“现在我也知道了.”
根据他们的对话,这牌是
A. 红桃3
B. 红桃6
C. 黑桃
D. 梅花6
【答案】B
【解析】分析：由题意首先分析甲的说法，然后结合甲的说法分析乙的说法，据此即可确定老师挑选的牌面.
详解：一开始，甲仅凭花色无法判断这牌是什么，说明这牌的花色在6牌里不是唯一的，可能是红桃或黑桃；乙仅凭数字无法判断这牌是什么，说明这牌的数字也不是唯一的，只能是6，结合甲的话，乙就知道了这牌是红桃6，甲根据乙的话也就知道答案了.所以这牌是红桃6.
本题选择B选项.
点睛：虽然合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法作出的探索性的判断，经历观察、试验、猜想、证明等数学活动即可得出正确合理的结论.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 用独立性检验的方法来验证性别与是否喜爱喝酒的关系，得到的，则__________ （填“有”或“没有”)99%的把握认为性别与是否爱喝酒有关(临界值表参见18题)．
【答案】没有
【解析】分析：根据条件中所给的观测值，同所给的临界值进行比较，即可得到二者是否有99%的把握相关．
详解：，所以没有99%的把握认为性别与是否爱喝酒有关.
故答案为：没有
点睛：本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义，本题是一个基础题．
14. 已知，则复数__________．
【答案】
【解析】分析：设，由复数相等即可解出复数.
详解：设，由题知，
所以，
∴
故答案为：
点睛：本题考查了复数相等及模运算，属于基础题.
15. 某工程的工序流程图如图所示，现已知工程总工时数为9天，工序所需工时为（）天，则的最大值为__________．
【答案】4
【解析】分析：根据该工程的工序流程图，得出工序流程是，根据工程总天数即可求出答案．
详解：设工序a所需工时为y（）天，由题意知：
按所需工时为（天），
按所需工时为（天），所以y只能为0，
故按按所需工时为（天），故x的最大值为4.
故答案为：4
点睛：本题考查了工序流程图的应用问题，在解答的过程当中充分体现了优选法的利用、读图表审图表的能力以及问题的转化和分析能力，是中档题．
16. 对偶数构成的数列2,4,6,8,10,…进行如下分组：第一组含一个数；第二组含两个数；第三组含三个数；第四组含四个数.……试观察猜想每组各数之和与组的编号数的关系式为__________．
【答案】
【解析】分析：由题意结合所给的前四组数据归纳出和的特点，然后结合归纳出的算式计算与组的编号数的关系式即可.
详解：由于，，
，，，
据此猜想第n组各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)=n3+n.
点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设复数（其中).
（Ⅰ）若复数为纯虚数，求的值；
（Ⅱ）若复数在复平面对应的点在第二或第四象限，数的取值围.
【答案】（1）；（2）的取值围是.
【解析】分析：(Ⅰ)复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，据此可得：，解得；(Ⅱ)由题意可知实部虚部符号相反，据此得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数的取值围是.
详解：（Ⅰ）因为复数为纯虚数，所以所以.
（Ⅱ）因为对应的点在第二或第四象限，所以或
解不等式组得或，
即的取值围是.
点睛：这个题目考查了复数问题，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要部为0，也要求虚部不为0.
18. 山区政府部门为了了解当地的群众是否愿意参与精准扶贫的计划，以制定相应的政策，委托统计部门对山区中的中老年人和青年人进行了心理预期调研，用随杌抽样的方法抽取100人进行统计.已知样本中的中老年人数与青年人数之比是4:6，中老年人愿意与不愿意的人数相同，不原意参与计划的人中，中老年人比青年人多5人.
（Ⅰ）填写下面的列联表：
愿意不愿意总计
中老年人
青年人
总计
（Ⅱ）是否有97.5%的把握认为愿意参与精准扶贫计划与年龄有关.
【答案】(1)见解析；（2）有97.5%的把握认为愿意参与精准扶贫计划与年龄有关.
【解析】分析：（1）根据题意，补全2×2列联表；（2）计算，根据临界值表，作出判断.
详解：（Ⅰ）列联表如下：
（Ⅱ）由表中数据可得
所以有97.5%的把握认为愿意参与精准扶贫计划与年龄有关.
点睛：点睛：本题主要考查古典概型概率公式、离散型随机变量的分布列与期望，以及独立性检验，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式
计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）
19. 某大型餐饮集团计划在某省会城市开设连锁店，为了确定在该市开设连锁店的个数，该集团对其他省会城市经营情况的数据作了初步处理后得到下列表格.记表示在其他省会城市开设的连店的个数，表示这个连锁店的年收入之和.
（个） 2 3 4 5 6
（百万元） 2 2.5 4 5.5 6
（Ⅰ）画出年收入之和关于连锁店数量的散点图；
（Ⅱ）求关于的线性回归方程；
（Ⅲ）据（Ⅱ）的结果，若在该省会城市开设8个连锁店，估计这8个连锁店的年收入之和是多少. 附：，其中，
【答案】(1)见解析；（2）；（3）这8个连锁店的年收入之和是8.4百万.
【解析】分析：(1)根据表中数据得到年收入之和关于连锁店数量的散点图；
（2）求出回归系数，可得y关于x的线性回归方程；
（3）根据（2）中求出的线性回归方程，代入，估计这8个连锁店的年收入之和.
详解：（Ⅰ）作出的散点图如下图所示.
(Ⅱ)由表中数据得,，
，，
∴
∴，∴.
（Ⅲ）令， (百万元)
所以若在该省会城市开设8个连锁店，估计这8个连锁店的年收入之和是8.4百万.
点睛：：求线性回归直线方程的步骤
（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；
（2）求系数：公式有两种形式，即。当数据较复杂时，题目一般会给出部
分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求；
（3）求：；
（4）写出回归直线方程
20. 现有结论：对于函数，若对任意，，，则的图象关于点
中心对称，关于直线轴对称.
（Ⅰ）利用上述结论，证明函数的图象关于点中心对称，关于直线轴对称.设点到直线的距离为，给出函数的最小正周期与的关系式.
（Ⅱ）若函数的图象关于点中心对称，关于直线轴对称，其中，猜想：函数是否为周期函数？如果是，用表示周期并证明，如果不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】分析：(1)利用对称条件证明函数的图象关于点中心对称，关于直线轴对称，进而得到最小正周期与的关系式； (2)利用周期性定义验证是函数的周期.
详解：（Ⅰ）因为，
所以的图象关于点中心对称.
因为，
所以的图象关于直线轴对称.
因为函数的最小正周期为，点到直线的距离为，
所以.
（Ⅱ）猜想：函数是周期函数，且周期.
因为
，
所以，
所以函数是周期函数，且周期.
点睛：函数的图象关于点中心对称，关于直线轴对称，其中，则周期为，函数的图象关于直线对称，关于直线轴对称，则周期为，函数的图象关于点中心对称，
关于点中心对称，则周期为.
21. 已知直线的参数方程为（为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）将直线的参数方程化为普通方程，并求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线与曲线交点的极坐标
【答案】(1) 线的直角坐标方程为;(2) 直线与曲线交点的极坐标为和.
【解析】分析：（1）利用代入消元法把直线的参数方程化为普通方程，利用把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）把直线方程与圆的方程联立得到交点坐标，进而得到交点的极坐标. 详解：（Ⅰ）由消去得，，
即直线的普通方程为.
因为，所以，所以，
即曲线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）由与.
消去得，，解得或，
所以直线与曲线交点的直角坐标为和，
所以直线与曲线交点的极坐标为和.
点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
22. 已知函数，且的解集是.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）当时，求的最小值.
【答案】(1) 解集为;(2) 最小值为6.
【解析】分析：(1)由的解集是确定值，而，从而问题转化为二次不等式的解集问题； (2)利用三元形式的均值不等式求最值即可.
详解：（Ⅰ），因为的解集是，
所以解得.所以.
不等式即，
所以，，.
所以不等式的解集为.
(Ⅱ)当时，.
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为6.
点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．
23. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求直线与曲线的交点的直角坐标；
（Ⅱ）求曲线上一点到直线距离的最大值.
【答案】(1) 交点坐标为或;(2) 曲线上一点到直线距离的最大值为.
【解析】分析：(1)先把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线的参数方程化为普通方程，二者联立得到交点的直角坐标；(2) 设曲线上一点，利用点到直线距离公式表示距离，结合余弦型函数的有界性求最值即可.
详解：（Ⅰ）直线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
曲线的参数方程化为普通方程为，
所以由解得或
所以交点坐标为或.
（Ⅱ）设曲线上一点，
则它到直线的距离，其中，
即曲线上一点到直线距离的最大值为.
点睛：此题主要考查曲线的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，以及参数方程在求最值中的应用等方面的知识与运算能力，属于中档题型，也是常考题.在参数方程求最值问题中，设动点的参数坐标，根据距离公式可得所求距离关于参数的解析式，结合三角函数的知识进行运算，从而问题可得解.
24. 已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若的解集包含，求的取值围.
【答案】(1) 的解集是;(2) 满足条件的实数的取值围是.
【解析】分析：（1）对x分类讨论，转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集；（2）由题意可得，当x∈[0，2]时，|x+a|≤恒成立，等价于，根据且，求得a的围．
详解：（Ⅰ）当时，不等式化为.
当时，由式，得，∴.
当时，由式知，解集为.
当时，由式，得，∴.
综上可知，的解集是.
（Ⅱ）原不等式等价于，
当时，式化为，
解得.
由于是的解集的子集，
∴且，则，
故满足条件的实数的取值围是.
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．