环球雅思学科教师辅导讲义讲义编号：组长签字: 签字日期:
3．(20１１·陕西）设(x 1，y１),(x2,y2)，…，(xｎ，y n)是变量x和ｙ的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图）,以下结论中正确的是（)．
A．x和y的相关系数为直线l的斜率
B．x和y的相关系数在0到1之间
C．当ｎ为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
D.直线l过点(错误!，错误!)
解析因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值,它的
绝对值越接近1,两个变量的线性相关程度越强,所以Ａ、B错误．C中n
为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以Ｃ错误．根据回
归直线方程一定经过样本中心点可知D正确,所以选D.
答案 D
4.(２01１·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到５号每
天打篮球时间ｘ（单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系:
时间x 1234 5
命中率y 0.40.50.60.60.4 小李这５天的平均投篮命中率为＿_＿___＿＿;用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为＿___＿_＿_.
解析小李这5天的平均投篮命中率
错误!=错误!=0.5，
可求得小李这5天的平均打篮球时间错误!＝3.根据表中数据可求得错误!=０．01，错误!＝
0.47，故回归直线方程为错误!=0．4７＋0.０１x，将ｘ＝6代入得６号打６小时篮球的
投篮命中率约为0．53.
答案0.５０．5３
5.(2０1１·辽宁）调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单位:万元),调查显示年收入x与年
饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程:错误!＝0.2５4x＋０.321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加＿_______万元.
解析由题意知[0.２54(x+１)＋0.321]-（0.2５４x+0.321)＝０.254.
答案０.254
６．（2０１1·安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:
＼o( ,i=1
)x i y i=184９，则其线性回归方程为（）
Ａ.错误!=11.47＋２．６2ｘ B.错误!＝-1１．４7+2.６2x
C.错误!=2.62＋１1.47x
D.错误!=11.47-2．62ｘ
4．下表是某厂1~４月份用水量(单位:百吨)的一组数据:
月份x 123 4
用水量y 4.543 2.5
由散点图可知，用水量ｙ与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是错误!＝-0．7x＋a,则a等于___＿__．
5.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验,得到的数据如下:
零件的个数x(个)234 5
加工的时间y(小时) 2.534 4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;
（2)求出y关于x的线性回归方程错误!＝bx+a，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工１0个零件需要多少小时？
他们分别记录了201０年12月１日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每10０颗种子中的发芽数，得到如下表:
日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日
温差x(℃)101113128
发芽数y(颗)2325302616 该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的３组数据求线性回归方程，再对被选取的２组数据进行检验．
(１)求选取的２组数据恰好是不相邻的2天数据的概率;
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出ｙ关于ｘ的线性回归方程错误!＝bx+a;
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得到的线性回归方程是否可靠?
解析(１)设抽到不相邻的两组数据为事件Ａ，因为从5组数据中选取2组数据共有１0种情况:(1,２）,（1,3),(1,4)，（1,5)，(２，3)，（２，４）,(２,5），(3，4)，(3,5),(4,5)其中数据为12月份的日期数.
每种情况都是可能出现的，事件A包括的基本事件有6种：
所以P(A）＝错误!=错误!.所以选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是错误!.
(2)由数据，求得错误!=１2,错误!=27.
由公式，求得b=＼ｆ(5,２），a=错误!－ｂ错误!＝-3．
所以y关于x的线性回归方程为ｙ＾＝错误!ｘ-３.
(3）当x=10,错误!＝错误!×１0-３=22,|２2－2３|＜2;
同样，当x=８时，错误!=错误!×8－３＝17,|17-1６|＜2；
所以,该研究所得到的回归方程是可靠的．
１1.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验,得到的数据如下:
零件的个数x(个)234 5
加工的时间y(小时) 2.534 4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;
（2）求出ｙ关于x的线性回归方程错误!=bx＋ａ，并在坐标系中画出回归直线;
(3)试预测加工1０个零件需要多少小时？
（注：b=错误!，ａ=错误!－b错误!）
解析(1）散点图如图．
(2)由表中数据得：错误!错误!ｘi y i ＝5２．5，
错误!＝３．５,错误!＝３.5，错误!错误!x 错误!＝54，
∴ｂ=0.７, ∴ａ=１.05,
∴＼o(y ，＼s ＼ｕｐ６（^）)=0．7x ＋1．0５. 回归直线如图所示.
（3）将ｘ＝10代入回归直线方程,得y ^
=0．7×1０+1.0５=8.０５(小时 )． ∴预测加工１0个零件需要８.05小时.
１２.(2０１０·辽宁卷）为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选２00只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物Ａ,另一组注射药物B .
下表1和表2分别是注射药物A 和B 后的试验结果．（疱疹面积单位：mm 2) 表1:注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 频数 30 40 20 10
表2:注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) 频数 10 25 20 30 15
(ⅰ)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;
（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9% 的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．
表3:
疱疹面积小 于70 mm 2 疱疹面积不小 于70 mm 2 合计 注射药物A a ＝ b ＝ 注射药物B c ＝ d ＝
合计n ＝
附:K2=ｎ(ad－bc)2
(a＋ｂ)(c+ｄ)(a+ｃ)(b＋d)
解析(ⅰ)
可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至７0之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间,，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．
（ⅱ）表3：
疱疹面积小
于70 mm2疱疹面积不小
于70 mm2合计
注射药物A a＝70b＝30100
注射药物B c＝35d＝65100
合计10595n＝200
Ｋ2＝错误!≈2４.５6.
由于K２>1０.828,所以有99.9％的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.
耿老师总结的高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用 第一公式：线性回归方程为???y bx a =+的求法： （1） 先求变量x 的平均值，既1231()n x x x x x n = +++???+ （2） 求变量y 的平均值，既1231()n y y y y y n =+++???+ （3） 求变量x 的系数?b ，有两个方法 法112 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=??-+-++-?? （需理解并会代入数据） 法21 2 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆） []1122222212...,...n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-?=??+++-??（这个公式需要自己记忆，稍微简单些） （4） 求常数?a ，既??a y bx =- 最后写出写出回归方程???y bx a =+。可以改写为：??y bx a =-（?y y 与不做区分） 例．已知,x y 之间的一组数据： 求y 与x 的回归方程： 解：（1）先求变量x 的平均值，既1(0123) 1.54x = +++= （2）求变量y 的平均值，既1(1357)44 y =+++= （3）求变量x 的系数?b ，有两个方法
法1?b = []11223344222212342222()()()()()()()()()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x x x --+--+--+--=??-+-+-+-??--+--+--+--==??-+-+-+-?? 法2?b =[][]11222222222212...011325374 1.5457 ...0123n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-??+?+?+?-??==????+++-+++???? (4)求常数?a ，既525??4 1.577a y bx =-=-?= 最后写出写出回归方程525???77 y bx a x =+=+ 第二公式：独立性检验 两个分类变量的独立性检验： 注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。数 据b 具有两个属性1x ，2y 。数据c 具有两个属性2x ，2y 数据d 具有两个属性2x ，2y 而且列出表格是最重要。解题步骤如下 第一步：提出假设检验问题 （一般假设两个变量不相关） 第二步：列出上述表格 第三步：计算检验的指标 2 2 ()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 第四步：查表得出结论 例如你计算出2K =9大于表格中7.879，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.005，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或095.50 例如你计算出2K =6大于表格中5.024，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.025，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或097.50 上述结论都是概率性总结。切记事实结论。只是大概行描述。具体发生情况要和实际联系！！ ！！
线性回归方程高考题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
线性回归方程高考题 1、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据： 3 4 5 6 3 4 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤（参考数值：） 2、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)统计数据如下: 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 若有数据知y对x呈线性相关关系.求: (1) 填出下图表并求出线性回归方程=bx+a的回归系数,; 序号x y xy x2 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 ∑
(2) 估计使用10年时,维修费用是多少. 3、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四实试验，得到的数据如下： 零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 3 4 （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出y关于x的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间 （注： 4、某服装店经营的某种服装，在某周内获纯利(元)与该周每天销售这种服装件数之间的一组数据关系如下表： 3 4 5 6 7 8 9 66 69 73 81 89 90 91 已知：． (Ⅰ)画出散点图； (1I)求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程． 5、某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据：
线性回归方程分析
环球雅思学科教师辅导讲义讲义编号：组长签字：签字日期：
又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y － )， 所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C. 答案 C 3．(2011·陕西)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个 样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是 ( )． A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间 C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 D ．直线l 过点(x －，y －) 解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的 绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据回 归直线方程一定经过样本中心点可知D 正确，所以选D. 答案 D 4．(2011·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系： 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________． 解析 小李这5天的平均投篮命中率 y －＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4 5 ＝0.5， 可求得小李这5天的平均打篮球时间x －＝3.根据表中数据可求得b ^＝0.01，a ^ ＝ 0.47，故回归直线方程为y ^ ＝0.47＋0.01x ，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的 投篮命中率约为0.53. 答案 0.5 0.53 5．(2011·辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与
112233^ ^^^2 211(,),(,),(,)(,)1,2,3),()()n n i i i i i i n i i i i i i n x y x y x y x y y bx a x i n y bx a y y y a b Q y y bx a y ===+==+-=-=+-∑L L 设有对观察值,两变量符合线生回归设其回归方程为:，把自变量的某一观测值代(入入回归方程得:，此值与实际观测值存在一个差值，此差值称为剩余或误差。现要决定取何值时，才能够使剩余的平方和有最小值，即求11 2 21122 221 1111 22111:,()[()()()]()()()2()()2()()2()() ()2n n n i i i i n n i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i n i i x x y y n n Q bx a y a bx y y y b x x n a bx y y y b x x a bx y y y a bx y x x b x x y y b x x =============+-=+---+-=+-+-+--+---+-----=--∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑的最小值知又22 111 122211()()()()()()()()n n i i i i i n n i i i i i i n n i i i i b x x y y n a bx y y y b x x y y x y nx y b x x x n x a y bx ======--++-+----==--=-∑∑∑∑∑∑此式为关于的一元二次方程,当
线性回归方程高考题讲解
线性回归方程高考题 1、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据： 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? （参考数值：）
2、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)统计数据如下: 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若有数据知y对x呈线性相关关系.求: (1) 填出下图表并求出线性回归方程=bx+a的回归系数,; 序号x y xy x2 1 2 2.2 2 3 3.8 3 4 5.5 4 5 6.5 5 6 7.0 ∑ (2) 估计使用10年时,维修费用是多少.
3、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四实试验，得到的数据如下： 零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5 （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出y关于x的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线； （3）试预测加工10个零件需要多少时间？ （注：
4、某服装店经营的某种服装，在某周内获纯利(元)与该周每天销售这种服装件数之间的一组数据关系如下表： 3 4 5 6 7 8 9 66 69 73 81 89 90 91 已知：． (Ⅰ)画出散点图； (1I)求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程． 5、某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 (1)画出散点图： (2)求回归直线方程；
线性回归方程 1.【2014高考全国2第19题】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表： （Ⅰ）求y关于t的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()() () 1 2 1 n i i i n i i t t y y b t t ∧ = = -- = - ∑ ∑ ，? ?a y bt =- 2.【2016年全国3】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图. 注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014. （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据： 7 1 9.32i i y ==∑，7 1 40.17i i i t y ==∑ 0.55=，≈2.646. 参考公式：()() n i i t t y y r --= ∑ 回归方程y a bt =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ()() ()n i i i n i i t t y y b t t ==--= -∑∑ ，=.a y bt - 3.【2015全国1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
高中数学线性回归方程检测试题（附答案） 高中苏教数学③ 2. 4线性回归方程测试题 一、选择题 1．下列关系属于线性负相关的是（） Ａ．父母的身高与子女身高的关系 Ｂ．身高与手长 Ｃ．吸烟与健康的关系 Ｄ．数学成绩与物理成绩的关系 答案：Ｃ 2．由一组数据得到的回归直线方程，那么下面说法不正确的是（） Ａ．直线必经过点 Ｂ．直线至少经过点中的一个点 Ｃ．直线 a的斜率为 Ｄ．直线和各点的总离差平方和是该坐标平面上所有直线与这些点的离差平方和中最小的直线 答案：Ｂ 3．实验测得四组的值为，则y与x之间的回归直线方程为（） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ．
答案：Ａ 4．为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是，那么下列说法正确的是（） Ａ．直线和一定有公共点 Ｂ．直线和相交，但交点不一定是 Ｃ．必有直线 Ｄ．和必定重合 答案：Ａ 二、填空题 5．有下列关系： （1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系 （2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系 （3）苹果的产量与气候之间的关系 （4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系（5）学生与他（她）的学号之间的关系 其中，具有相关关系的是． 答案：（1）（3）（4） 6．对具有相关关系的两个变量进行的方法叫做回归分析．用直角坐标系中的坐标分别表示具有的两个变量，将数据表
中的各对数据在直角坐标系中描点得到的表示具有相关关 系的两个变量的一组数据的图形，叫做． 答案：统计分析；相关关系；散点图 7．将一组数据同时减去3.1，得到一组新数据，若原数据的平均数、方差分别为，则新数据的平均数是，方差是，标准差是． 答案：；； 8．已知回归直线方程为，则可估计x与y增长速度之比约为． 答案： 三、解答题 9．某商店统计了近6个月某商品的进价x与售价y（单位：元）的对应数据如下： 3 5 2 8 9 12 4 6 3 9 12 14 求y对x的回归直线方程． 解：，， 回归直线方程为． 10．已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下： 45 42 46 48 42 6.53 6.30 9.25 7.580 6.99 35 58 40 39 50
二、多元线性回归模型 在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。 （一）多元线性回归模型的建立 假设某一因变量 y 受 k 个自变量 x 1, x 2 ,..., x k 的影响，其 n 组观测值为（ y a , x 1 a , x 2 a ,..., x ka ）， a 1,2,..., n 。那么，多元线性回归模型的结构形式为： y a 0 1 x 1a 2 x 2 a ... k x ka a （） 式中： 0 , 1 ,..., k 为待定参数； a 为随机变量。 如果 b 0 , b 1 ,..., b k 分别为 0 , 1 , 2 ..., k 的拟合值，则回归方程为 ?= b 0 b 1x 1 b 2 x 2 ... b k x k （） 式中： b 0 为常数； b 1, b 2 ,..., b k 称为偏回归系数。 偏回归系数 b i （ i 1,2,..., k ）的意义是，当其他自变量 x j （ j i ）都固定时，自变量 x i 每变 化一个单位而使因变量 y 平均改变的数值。 根据最小二乘法原理， i （ i 0,1,2,..., k ）的估计值 b i （ i 0,1,2,..., k ）应该使 n 2 n 2 Q y a y a y a b 0 b 1 x 1a b 2 x 2a ... b k x ka min （） a 1 a 1 有求极值的必要条件得 Q n 2 y a y a b 0 a 1 （） Q n 2 y a y a x ja 0( j 1,2,..., k) b j a 1 将方程组（）式展开整理后得：
线性 回归 方程 统计总课时第18课时分课题线性回归方程分课时第1 课时 教学目标了解变量之间的两种关系，了解最小平方法〔最小二乘法〕的思想，会用公式求解回归系数． 重点难点最小平方法的思想，线性回归方程的求解． 线性回归方程 某小卖部为了了解热茶销量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 气温/C ?26 18 13 10 4 -1 杯数20 24 34 38 50 64假设某天的气温是C? -5，那么你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？ 新课教学 1．变量之间的两类关系： 〔1〕函数关系： 〔2〕相关关系： 2．线性回归方程： 〔1〕散点图： 〔2〕最小平方法〔最小二乘法〕：〔3〕线性相关关系： 〔4〕线性回归方程、回归直线：3．公式： [来源:https://www.doczj.com/doc/7a4034265.html,] 4．求线性回归方程的一般步骤： x y Ｏ
例题剖析 例1 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．[来源:学&科&网] 机动车辆数x/千辆95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故数y/千件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 [来源:1ZXXK]
思考：如图是1991年到2000年北京地区年平均气温〔单位：C 〕与年降雨量〔单位：mm 〕的散点图，根据此图能求出它的回归直线方程吗？如果能，此时求得的回归直线方程有意义吗？ 巩固练习 1x /百万元 [来 源:Z+xx+https://www.doczj.com/doc/7a4034265.html,] 2 4 5 6 8 y /百万元 30 40 60 50 70 〔1〕画出散点图； 〔2〕求线性回归方程． 课堂小结 了解变量之间的两种关系，了解最小平方法的思想，会用公式求解回归系数． x y 100 200 300 400 500 600 12.40 12.60 12.80 13.00
多元线性回归的计算方法 摘要 在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭 消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。 多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由 于自变量个数多，计算相当麻烦，一般在实际中应用时都要借助统计软件。这里只介绍多元线性回归的一些基本问题。 但由于各个自变量的单位可能不一样，比如说一个消费水平的关系式中，工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平，而这些影响因素（自变量）的单位显然是不同的，因此自变量前系数的大小并不能说明该因素的重要程度，更简单地来说，同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对消费的影响程度并没有变，所以得想办法将各个自变量化到统一的单位上来。前面学到的标准分就有这个功能，具体到这里来说，就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度。这时的回归方程称为标准回归方程，回归系数称为标准回归系数，表示如下： Zy=β1Zx1+β2Zx2+…+βkZxk 注意，由于都化成了标准分，所以就不再有常数项a 了，因为各自变量都取平均水平时，因变量也应该取平均水平，而平均水平正好对应标准分0，当等式两端的变量都取0时，常数项也就为0了。 多元线性回归模型的建立 多元线性回归模型的一般形式为 Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+i i i i h x υβ+ =1,2,…,n 其中 k 为解释变量的数目，j β=（j=1,2,…,k)称为回归系数 （regression coefficient)。上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为 E(Y∣X1i,X2i,…Xki,)=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXki βj 也被称为偏回归系数（partial regression coefficient) 多元线性回归的计算模型
第二讲 线性回归方程 一、相关关系： 1、?? ?<=1 ||1||r r 不确定关系：相关关系 确定关系：函数关系 2、相关系数：∑∑∑===-? ---= n i i n i i n i i i y y x x y y x x r 1 2 1 2 1 ) () () )((，其中： （1）?? ?<>负相关正相关0 0r r ；（2） 相关性很弱；相关性很强；3 .0||75.0||<>r r 例题1：下列两个变量具有相关关系的是（ ） A.正方形的体积与棱长； B.匀速行驶的车辆的行驶距离与行驶时间； C.人的身高和体重； D.人的身高与视力。 例题2：在一组样本数据),,,2)(,(),,(),,(212211不全相等n n n x x x n y x y x y x ≥的散点图中，若所有样本点),2,1)(,(n i y x i i =都在直线12 1 +-=x y 上，则样本相关系数为（ ） 2 1.2 1. 1.1.- -D C B A 例题3：r 是相关系数，则下列命题正确的是： （1）]75.0,1[--∈r 时，两个变量负相关很强；（2）]1,75.0[∈r 时，两个变量正相关很强； （3）)75.0,3.0[]3.0,75.0(或--∈r 时，两个变量相关性一般； （4）（4）1.0=r 时，两个变量相关性很弱。 3、散点图：初步判断两个变量的相关关系。
例题4：在画两个变量的散点图时，下列叙述正确的是（ ） A.预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上； B.解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上； C.可以选择两个变量中的任意一个变量在x 轴上； D.可以选择两个变量中的任意一个变量在y 轴上； 例题5：散点图在回归分析过程中的作用是（ ） A.查找个体个数 B.比较个体数据的大小 C.研究个体分类 D.粗略判断变量是否线性相关 二、线性回归方程： 1、回归方程：a x b y ???+= 其中2 1 2 1 1 21 )() )((?x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i --= ---=∑∑∑∑====，x b y a ??-=（代入样本点的中心） 例题1：设),(),,(),,(2211n n y x y x y x 是变量n y x 的和个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（过一、二、四象限），以下结论正确的是（ ） A.直线l 过点),(y x B.当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 C.的和y x 相关系数在0到1之间 D.的和y x 相关系数为直线l 的斜率 例题2：工人月工资y （元）依劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为 x y 9060?+=，下列判断正确的是（ ） A.劳动生产率为1000元时，工资为150元； B.劳动生产率提高1000元时，工资平均提高150元； C.劳动生产率提高1000元时，工资平均提高90元；
2.4线性回归方程 重难点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法，回归直线方程在现实生活与生产中的应． 考纲要求：①会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． ②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 经典例题：10．有10名同学高一（x）和高二（y）的数学成绩如下： ⑴画出散点图； ⑵求y对x的回归方程。 当堂练习： 1.下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：若热茶杯数y与气温x近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（） . .
. . A ． B ． C ． D ． 2．线性回归方程表示的直线必经过的一个定点是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．设有一个直线回归方程为 ,则变量x 增加一个单位时 （ ） A ． y 平均增加 1.5 个单位 B. y 平均增加 2 个单位 C ． y 平均减少 1.5 个单位 D. y 平均减少 2 个单位 4．对于给定的两个变量的统计数据，下列说确的是（ ） A ．都可以分析出两个变量的关系 B ．都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C ．都可以作出散点图 D. 都可以用确定的表达式表示两者的关系 5．对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是（ ） A ．|r|越大，相关程度越大 B ．|r|，|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大 杯 数 24 34 39 51 63
C．|r|1且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小D．以上说法都不对 6．“吸烟有害健康”，那么吸烟与健康之间存在什么关系（） A．正相关B．负相关C．无相关D．不确定 7．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（） A．角度与它的余弦值B．正方形的边长与面积 C．正n边形的边数和顶点角度之和D．人的年龄与身高 8．对于回归分析，下列说法错误的是（） A．变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定 B．线性相关系数可正可负 C．如果，则说明x与y之间完全线性相关 D．样本相关系数 9．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立的做10次和15V次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分布为和，已知 . .
高考线性回归方程地 总结
第二讲 线性回归方程 一、相关关系： 1、?? ?<=1 ||1||r r 不确定关系：相关关系 确定关系：函数关系 2、相关系数：∑∑∑===-? ---= n i i n i i n i i i y y x x y y x x r 1 2 1 2 1 ) () () )((，其中： （1）?? ?<>负相关正相关00r r ；（2） 相关性很弱；相关性很强；3 .0||75 .0||<>r r 例题1：下列两个变量具有相关关系的是（ ） A.正方形的体积与棱长； B.匀速行驶的车辆的行驶距离与行驶时间； C.人的身高和体重； D.人的身高与视力。 例题2：在一组样本数据),,,2)(,(),,(),,(212211不全相等n n n x x x n y x y x y x ΛΛ≥的散 点图中，若所有样本点),2,1)(,(n i y x i i Λ=都在直线12 1 +-=x y 上，则样本相关 系数为（ ） 2 1.2 1.1 .1 .- -D C B A 例题3：r 是相关系数，则下列命题正确的是： （1）]75.0,1[--∈r 时，两个变量负相关很强；（2）]1,75.0[∈r 时，两个变量正相关很强； （3）)75.0,3.0[]3.0,75.0(或--∈r 时，两个变量相关性一般； （4）（4）1.0=r 时，两个变量相关性很弱。 3、散点图：初步判断两个变量的相关关系。 例题4：在画两个变量的散点图时，下列叙述正确的是（ ） A.预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上； B.解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上； C.可以选择两个变量中的任意一个变量在x 轴上； D.可以选择两个变量中的任意一个变量在y 轴上；
二、多元线性回归模型 在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。 （一）多元线性回归模型的建立 假设某一因变量 y 受k 个自变量x 1,x 2,...,x k 的影响，其n 组观测值为（y a ,x 1a ,x 2a ,...,x ka ）， a 1,.2..,n 。那么，多元线性回归模型的结构形式为： y a 1x 1a 2x 2a ... k x ka a （3.2.11） 式中： 0,1 ,..., k 为待定参数； a 为随机变量。 如果b 0,b 1,...,b k 分别为 0,1, 2 ... , k 的拟合值，则回归方程为 ?=b 0 b 1x 1 b 2x 2 ... b k x k （3.2.12） 式中： b 0为常数； b 1,b 2,...,b k 称为偏回归系数。 偏回归系数b i （i1,2,...,k ）的意义是，当其他自变量 x j （j i ）都固定时，自变量 x i 每 变化一个单位而使因变 量 y 平均改变的数值。 根据最小二乘法原理， i （i 0,1,2,...,k ）的估计值b i （i 0,1,2,...,k ）应该使 n 2 n 2 Q y a y a y a b 0 b1x1a b2x2a ... bkxk a min （3.2.13） a 1 a1 有求极值的必要条件得 Q n 2 y a y a 0 b 0 a 1 （3.2.14） Q n 2 y a yaxja 0(j 1,2,...,k) b j a1 将方程组（3.2.14）式展开整理后得：
高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用 第一公式：线性回归方程为???y bx a =+的求法： （1） 先求变量x 的平均值，既1231()n x x x x x n = +++???+ （2） 求变量y 的平均值，既1231()n y y y y y n =+++???+ （3） 求变量x 的系数?b ，有两个方法 法112 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=??-+-++-?? （需理解并会代入数据） 法21 2 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆） []1122222212...,...n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-?=??+++-??（这个公式需要自己记忆，稍微简单些） （4） 求常数?a ，既??a y bx =- 最后写出写出回归方程???y bx a =+。可以改写为：??y bx a =-（?y y 与不做区分） 例．已知,x y 之间的一组数据： 求y 与x 的回归方程： 解：（1）先求变量x 的平均值，既1(0123) 1.54x = +++= （2）求变量y 的平均值，既1(1357)44 y =+++= （3）求变量x 的系数?b ，有两个方法
法1?b = []11223344222212342222()()()()()()()()()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x x x --+--+--+--=??-+-+-+-??--+--+--+--==??-+-+-+-?? 法2?b =[][]11222222222212...011325374 1.5457 ...0123n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-??+?+?+?-??==????+++-+++???? (4)求常数?a ，既525??4 1.577a y bx =-=-?= 最后写出写出回归方程525???77y bx a x =+=+ 第二公式：独立性检验 两个分类变量的独立性检验： 注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。数 据b 具有两个属性1x ，2y 。数据c 具有两个属性2x ，2y 数据d 具有两个属性2x ，2y 而且列出表格是最重要。解题步骤如下 第一步：提出假设检验问题 （一般假设两个变量不相关） 第二步：列出上述表格 第三步：计算检验的指标 22 ()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 2K =9大于表格中7.879，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.005，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或095.50 例如你计算出2K =6大于表格中5.024，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.025，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或097.50 上述结论都是概率性总结。切记事实结论。只是大概行描述。具体发生情况要和实际联 系！！！！
环球雅思学科教师辅导讲义讲义编号：组长签字：签字日期：
＝x －1 ＝x ＋1 ＝88＋1 2 x ＝176 解析 因为x －＝174＋176＋176＋176＋178 5＝176， y － ＝ 175＋175＋176＋177＋177 5 ＝176， 又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y － )， 所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C. 答案 C 3．(2011·陕西)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的 n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是 ( )． A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间 C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 D ．直线l 过点(x －，y － ) 解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的 绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据回 归直线方程一定经过样本中心点可知D 正确，所以选D. 答案 D 4．(2011·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系： 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________． 解析 小李这5天的平均投篮命中率 y － ＝错误!＝，
线性回归方程同步练习题（文科） 1．某化工厂为预测产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取8对观测值， 计算，得∑8 i ＝1 x i ＝52，∑8 i ＝1y i ＝228，∑8 i ＝1x 2 i ＝478，∑8 i ＝1x i y i ＝1849，则其线性回归方程为( A ) A.y ^ ＝11.47＋2.62x B.y ^ ＝－11.47＋2.62x C.y ^ ＝2.62＋11.47x D.y ^ ＝11.47－2.62x 解析 利用回归系数公式计算可得a ＝11.47，b ＝2.62，故y ^ ＝11.47＋2.62x . 2.已知x 与y 之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则y 对x 的线性回归方程y ＝bx ＋A. (2,2) B. (1.5,3.5) C. (1,2) D. (1.5,4) 3. 设回归直线方程为y ＝2－1.5x ，若变量x 增加1个单位，则( C )． A. y 平均增加1.5个单位 B. y 平均增加2个单位 C. y 平均减少1.5个单位 D. y 平均减少2个单位 4.已知回归方程为y ?=0.50x-0.81,则x=25时，y ?的估计值为 .答案 11.69 5．下表是某厂1～4月份用水量月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y ^ ＝－0.7x ＋a ，则a 等于______． 解析 x ＝2.5，y ＝3.5，∵回归直线方程过定点(x ，y )，∴3.5＝－0.7×2.5＋a .∴a ＝5.25. 6．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温x (℃) 17 13 8 2 月销售量y (件) 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程y ^ ＝bx ＋a 中的b ≈－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计， 该商场下个月毛衣的销售量约为________件． 答案 46解析 由所提供数据可计算得出x ＝10，y ＝38，又b ≈－2代入公式a ＝y －b x 可得a ＝58， 即线性回归方程y ^ ＝－2x ＋58，将x ＝6代入可得． 7．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y （kg ）依身高x （cm ）的回归方程为y=0.72x-58.5。 张红红同学不胖不瘦，身高1米78，他的体重应在 69.66 kg 左右。 8.观察下列散点图，则①正相关；②负相关；③不相关.它们的排列顺序与图形对应顺序是 . 答案 a,c,b 9.三点（3，10），（7，20），（11，24）的回归方程是 .答案 y ?=1.75x+5.75 10.使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
教学步骤及教学内容 线性回归方程 (参考公式：b＝ ∑ i＝1 n x i y i－n x y ∑ i＝1 n x2i－n x2 ，a＝y－b x) 1．实验测得四组(x，y)的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的回归直线方程为() A.y ^ ＝x＋1 B.y ^ ＝x＋2 C.y ^ ＝2x＋1 D.y ^ ＝x－1 2．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是() A．甲B．乙C．甲、乙相同D．不确定 3．某化工厂为预测产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值，计算，得∑ 8 i＝1 x i＝52，∑ 8 i＝1 y i＝228，∑ 8 i＝1 x2i＝478，∑ 8 i＝1 x i y i＝1849，则其线性回归方程为() A.y ^ ＝11.47＋2.62x B.y ^ ＝－11.47＋2.62x C.y ^ ＝2.62＋11.47x D.y ^ ＝11.47－2.62x 4．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据： 月份x 123 4 用水量y 4.543 2.5 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y ^ ＝－0.7x＋a，则a等于______． 5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x (个) 2 3 4 5 加工的时间y (小时) 2.5 3 4 4.5 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； (2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^ ＝bx ＋a ，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少小时？ 作业 布置 家长 意见 家长签名： 2013 年＿月 ＿日 （第＿ 次） 审阅人：
最小二乘法主要用来求解两个具有线性相关关系的变量的回归方程，该方法适用于求解与线性回归方程相关的问题，如求解回归直线方程，并应用其分析预报变量的取值等．破解此类问题的关键点如下： ①析数据，分析相关数据，求得相关系数r，或利用散点图判断两变量之间是否存在线性相关关系，若呈非线性相关关系，则需要通过变量的变换转化构造线性相关关系． ②建模型．根据题意确定两个变量，结合数据分析的结果建立回归模型． ③求参数．利用回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式，求出b，a，的值．从而确定线性回归方程． ④求估值．将已知的解释变量的值代入线性回归方程y=bx+a中，即可求得y的预测值． 注意:回归直线方程的求解与应用中要注意两个方面：一是求解回归直线方程时，利用样本点的中心（x，y）必在回归直线上求解相关参数的值；二是回归直线方程的应用，利用回归直线方程求出的数值应是一个估计值，不是真实值． 经典例题： 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1,2.，……，17）建立模型①：y=+；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：y=99+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由． 思路分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为2018时所对应的函数值，就得结果，（2）根据折线图知2000到2009，与2010到2016是两个有明显区别的直线，且2010到2016的增幅明显高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的预测. 解析：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–+×19=（亿元）． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+×9=（亿元）． （2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下： （i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–+上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利