两角差的余弦公式教案 海南省三亚市第一中学数学组陈艳 一教材分析和目标： 本节课选自人教版.必修四.第三章第一节,是学习了第一章三角函数和第二章平面向量后的内容,其的中心任务是通过以知的向量和三角恒等变换知识,探索建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构.功能及其运用，同时本节内容也是第三章其他十个公式的推导基础。 1. 知识与技能 (1)掌握两角差的余弦公式,并能用之解决简单的问题。 (2)通过对公式的推导,对学生渗透探究思想、类比思想以及分类讨论思想。 2. 过程与方法目标： 通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。 3. 情感与态度目标： 通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。 二教学重点、难点： 重点：通过探索得到两角差的余弦公式，公式的灵活应用。 难点：两角差的余弦公式探索与证明。 教法：问题诱思法，探究法，演练结合法。 学法：自主探究法 三教学流程： 一用熟悉的知识引出课题 二 明确 探索 的目 标和 途径 三 组织 学生 自主 探索 证明 四 通过例 题练习 加强对 公式的 理解 六 布置 作业 五 小 结
四教具:多媒体(幻灯片加几何画板课件演示) 五教学情景设计: 1.我们先看两个问题： （1） cos( π—β)＝? （2） cos( 2π—β)＝? 大家根据诱导公式很快得出了答案，大家接着思考一个问题，当特殊角π和2π被一般角α取代， （3） cos( α－β )＝? 2.大家猜想了多种可能，其中有同学猜想 cos(α－β)＝cosα－cosβ
《3.1.1两角差的余弦公式》教案 玉林高中数学科 授课人：饶蔼 教学目标 1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础. 2. 过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；通过两角差的余弦公式的简单运用,掌握不同方法求值. 3. 情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来源于生活，激发学生的学习积极性. 教学重、难点 1. 重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用. 2. 难点：探究过程的组织和适当引导. 学情分析 学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别. 教法、学法 1. 教法：问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学. 2. 学法：课前预习、小组探究、反思小结等. 教学过程 （一）创设情境，引入课题 金城超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？ 设前进量为x 米，则3430cos 8=?=x 米 提问：当电梯坡度为45度时，其他不变，x 等于多少？
§3.1.1 《两角差的余弦公式》教学设计 主讲教师：卫金娟教学目标 1、知识目标： 通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用其解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。 2、能力目标： 通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题、解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力 3、情感目标： 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 学情分析： 1、知识分析：必修4前两章刚学习了《平面向量》和《三角函数》的知识，学生对前两章知识尚记忆深刻，为第三章第一节“两角差的余弦公式”的学习做了充足的知识准备； 但”两角差的余弦公式”中所涉及的用三角函数线推导公式部分比较难，学生独立探究有一定的困难，需要老师合理引导、并让学生小组讨论合作学习来完成. 2、能力分析：从平时的课堂教学中，我已经培养学生具备了一定的小组讨论和探究合作学习的能力，但由于部分学生学习基础薄弱，课堂参与程度不高，所以我合理分组，让学习基础较好且课堂积极活跃的学生带动小组内其他学生一起完成新课学习； 从学生的归纳总结和语言表达能力来看，学生具有了一定的归纳总结的能力，但对数学中逻辑严密的一般结论，还不能用严格的数学语言来表达. 3、学习习惯与态度：所带班级属于文科班，学习纪律性比较好，听课认真，动笔演算等能力比较好，但作为文科班女生胆子小，回答问题方面不是很活跃，需要合理分组合作学习. 教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式。 教学难点：两次探究过程的组织和引导。 教学方法：讲授法与讨论法相结合，探究学习与合作学习相结合 知识准备：平面向量的数量积、三角函数线、诱导公式 教学准备：多媒体、圆规，三角板 教学流程：
初三数学《两角差的余弦公式》说课稿 初三数学《两角差的余弦公式》说课稿 各位评委、各位老师： 大家上午好。 今天我们上课的内容是《两角差的余弦公式》。 首先，我们看两个问题： (1)cos(π—α)=? (2)cos(2π—α)=? 大家根据诱导公式很快得出了答案，大家接着思考一个问题，当特殊角π和2π被一般角取代， (3)cos(α-β)=? 大家猜想了多种可能，其中有同学猜想cos(α-β)=cosα-cosβ那么这些结论是否成立? 我们一起来用计算器验证。 在这里我们做了与单位圆相交的两个角α，β，现在我们来一起模拟计算下大家猜想的几组结论。首先任意取一组α，β角，模拟计算出cos(α-β);cosα-cosβ;sinα-sinβ;cosα-sinβ;由结果推翻假设(反证法)，那么cos(α-β)到底等于什么呢?现在我们来借助计算机的强大计算功能，由cos(α-β)的.结果模拟可能的答案。 计算机模拟结论 cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ(黑板板书)。
变换不同的α，β角度，结论保持不变。同学们观察分析该结论的构成，右边与向量夹角的坐标表示一致. 联想向量数量积(黑板板书)，用向量法证明: (1)先假设两向量夹角为θ，α–β在[0，π]，α–β=θ此时结论成立，(2)α–β在[π，2π]时两向量夹角θ=2π-(α–β)此时cos[2π-(α–β)]=cos(α–β) (3)α–β在全体实数范围都可以由诱导公式转换到[0，2π]综合三种情况，cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ。得证经过大家的猜想，计算，证明，我们得出两角差的余弦公式，有些同学开始产生疑问，我们最开始的两个诱导公式是否出现了错误，都是两角差的余弦，结论似乎不一致，现在我们一起来探讨，揭开谜底。 用两角差的余弦公式证明问题(1)(2)。 带入具体角度，用两角差余弦公式求cos15°=cos(45°—30°)，同学们试着将15°分成(60°-45°)。(分成17°-2°是否可行) 练习： 证明:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 思考:能否参考两角差的余弦公式进行推导? 我们的新课改提倡“减负”，从数学的角度，减负就是---“加正”， 所以α+β=α-(-β) 由此cos(α+β)
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计 一、教学分析 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等. 2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义. 3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 二、三维目标 1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力. 2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.
《两角和与差的余弦》说课稿 一、教材分析： ㈠、地位和作用： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 ㈡、教学目标： 1、知识目标： （1）使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； （2）使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； （3）使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 （设计依据：建构主义理论认为，学生的能力培养不是单方面的知识教育，而应该是知识、能力、情感三维一体的一个完整体系，因此，我在教学中设计三方面的目标要求。其中知识目标是近期目标，另两个目标是远期目标。）㈢、教学重、难点： 1、平面内两点间的距离公式的推导和应用是本节的一个重点； 2、两角和与差的余弦公式的推导和应用是本节的又一个重点，也是本节 的一个难点。
（设计依据：平面内两点间的距离公式在本节课中是‘两角和余弦公式推导’的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以是本节的一个重点。由于‘两角和与差的余弦公式的推导和应用’对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三角恒等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用，因此也是本节的一个重点。由于其推导方法的特殊性和推导过程的复杂性，所以也是一个难点。） 二、教学方法： 1、创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 （设计意图：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。） 2、教具：多媒体投影系统。 本节课中‘平面内两点间距离公式’虽然以前曾经用过，但其证明对学生来说仍然具有一定难度，为了使学生便于理解，采用几何画板动画演示，增加直观性，减少讲授时间；两角和的余弦公式的推导也通过几何画板动画掩饰来帮助学生认识、理解、加深印象。 （多媒体系统可以有效增加课堂容量，色彩的强烈对比可以突出对比效果；动画的应用可以将抽象的问题直观化，体现直观性原则。） 三、学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别 是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序； 角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 四、教学过程： 教学程序
从变换的角度赏析“两角差的余弦公式”之推导 近期观看了科幻大片《星际穿越》，影片中出现了虫洞、黑洞、第五维空间等一些星际概念，让人感觉宇宙中充满了奇妙的变换.宇宙的研究当然离不开数学，数学是一切自然科学之王，而数学中也充满了各种奇妙的、令人着迷的变换.三角变换就是其中之一，有些人认为三角学是古老的数学，应该弱化.但从现行高中数学教材来看，仍是对三角学比较重视，确实三角学属于经典数学中的知识，之所以经典有其原因所在，三角学中的各种变换蕴含了丰富的数学思想，是开启学生数学智慧之门，引起学生数学探究欲望的良好素材. 数学变换方法有着深刻的哲学思想基础，这是因为辩证法告诉我们：任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是在不断地发展变化[1].由于数学变换方法充分体现了联系、运动、转化的观点，它对数学教育研究必然是有启发性的. 下面以“两角差的余弦公式”推导为例，从变换的视角赏析其生成方式. 1公式推导前奏――两锐角差的余弦公式 从学生认知特点的角度出发，从特殊到一般是比较符合学生认知规律的.所以一般可以考虑从两锐角差的余弦着手，
比如cos（45°-30°）=？有各种变换方法可以求出此三角函数值. 1.1数学动手实验中的变换 明代学者与军事家王守仁说：“知是行之始，行是知之成.”而陶行知老先生说：“行是知之始，知是行之成.”“墨辩”提出三种知识：亲知、闻知、说知.亲知是亲身得来的，就是从“行”中得来的，闻知是从旁人那儿得来的，或由师友口传，或由书本传达.说知是推想出来的知识.陶老先生拿“行是知之始”来说明知识之来源，并不是否认闻知和说知，乃是承认亲知为获取一切知识之根本.闻知与说知必须安根 于亲知里面方能发生效力.古今中外第一流的真知灼见无一 不是从“做”中得来，也就是说“教学”要以“做”为主. 浙江省高中数学特级教师冯寅老师也曾经强调“动手”与“动脑”图1并重的观点.我们可以尝试让学生在动手操作数学实验的过程中推导出两锐角差的余弦公式. （1）你能用这两块三角板（如图1）拼出哪些角度呢？ （2）你能用它们拼出15°的角吗？ （3）你能否利用所拼出的图形（如图2或如图3）求出cos15°的值呢？ （4）若将上面的45°和30°角分别改成锐角α和β，那么会有怎样的结论？cos（α-β）=？ 1.2物理学做功中的变换
3.1.1两角和与差的余弦公式 一、选择题 1．[2014·哈尔滨高一检测]cos195°的值为( ) A. 6＋24 B. －6＋24 C. 6－24 D. 2－64 1．B [解析] cos195°＝cos(180°＋15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－(22×32＋22×12)＝－6＋24 . 2．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 3．cos70°cos335°＋sin110°sin25°的结果是( ) A ．1 B.22 C.32 D.12 4．已知cos α＝513，α∈(3π2，2π)，则cos(α－π4 )的值等于( ) A.5226 B ．－2213 C ．－7226 D.3213 5．cos ????α＋π4sin α－cos α的值是( ) A. 2 B. － 2 C. 22 D. －22 6．[2014·天津三校高一模拟]在△ABC 中，若sin A sin B 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 民族中学 王克伟 [教学目标] 知识与技能目标：理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法， 体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 过程与方法目标：让学生亲身经历“从已知入手，研究对象的性质，再联系所学知识，推导 出相应公式。”这一研究过程，培养他们观察、分析、联想、归纳、推理的 能力。通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题、解决问题的能力。 情感态度与价值观目标：通过对两角和与差的三角恒等变换特点的研究，培养学生主动探索、 勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的 好习惯。 [教学重难点] 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. [教学过程] 一.新课引入 创设情境 引入课题： 想一想：cos15?=o 由上一节所学的两角差的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，同学们很容易想到： 那 这节课我们就来学习两角和与差的正弦、余弦、正切的公式： 二.、讲授新课 探索新知一 两角和的余弦公式 思考：由cos()cos cos sin sin αβαβ αβ-=+，如何求cos()?αβ-= cos15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 304+=-=+=o o o o o o o cos75=o cos(3045)? +=o o cos75?=o 分析：由于加法与减法互为逆运算，()αβαβ+=--，结合两角差的余弦公式及诱导公式，将上式中以-β代β得 cos[()]cos cos()sin sin cos()cos cos sin sin ()ααβαβαααββββ=--=-+--=+ 1、 上述公式就是两角和的余弦公式，记作()c αβ+。 由两角和的余弦公式：()c αβ+，我们现在完成课前的想一想： 探索新知二 思考：前面我们学习了两角和与差的余弦，请同学们猜想一下：会不会有两角和与差的正弦公式呢？如果有，又该如何推导呢？ 在第一章中，我们学习了三角函数的诱导公式，同学们是否还记得如何实现由余弦到正弦的转化呢？ cos()sin 2 παα-= 结合()c αβ+与()c αβ-，我们可以得到 cos[()]cos[()]cos()cos sin()sin 22sin )2(2ππππαβαβααβββα=-++=--=-+- sin cos sin cos αββα=+ 2、 上述公式就是两角和的正弦公式，记作()s αβ+。 那sin()?αβ-= 将上式sin()αβ-sin cos sin cos αββα=+中以-β代β得 sin[()]sin cos()sin()cos sin cos sin cos αβαββααββα+-=-+-=-sin )sin cos cos sin αβαβαβ ++=(cos30cos45sin30sin 45=-o o o o cos75=o cos(3045)+o o 两角差的余弦公式 一、教学目标 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点 1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式； 2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、教学设想： （一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 2cos 45=3cos 30=()cos15cos 4530?=-=猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？ （二）探讨过程： 思考1：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.） 思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？ （1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ （2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- （三）例题讲解 例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差. ()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-= ?-= ()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=-=+= ?+=例2、4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ??∈=- ??? 是第三象限角，求()cos αβ-的值. 解：,2παπ??∈ ???，4sin 5α=由此得3cos 5α===- 又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 2.2.1 直线与平面平行的判定定理 教学目标 1.知识与技能 理解两角差的余弦公式的推导过程；掌握两角差的余弦公式的初步应用。 2.过程与方法 通过提出问题，揭示知识背景，引发学生学习兴趣，并经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。 3.情感态度与价值观 体会探索的乐趣，认识到世间万物的联系与转化，养成用辩证与联系的观点看问题。创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力和数形结合、转化、向量等数学思想方法。 教学重点：掌握两角差的余弦公式及其初步应用。 教学难点：正确使用两角差的余弦公式求值，并能根据具体的问题灵活的使用拆角、变角等方法。 教学方法： （1）自主性学习方法； （2）探究式学习方法； （3）反馈练习法； 教学用具：电脑、实物投影仪。 教学过程设计： 学情分析 基于前两章所学内容：三角函数和平面向量，学生已经积累并掌握的差角余弦公式推导所需要的基础知识，这为公式推导过程的顺利开展奠定的基础。但是我所教授的学生普遍基础较差，大部分学生对于知识的应用能力还有待提高。 我设计教案时，根据学生的情况，循序渐进。通过带领学生探索问题——回顾旧知——应用知识解决问题的过程，帮助学生理解并掌握差角余弦公式的推导及其使用公式解决简单问题。在设计变式时选择了比较简单的题，符合学情。 效果分析 通过本节课的学习，学生基本达成了学习目标，多数同学理解差角余弦公式的推导过程，会用差角余弦公式解决简单的化简、求值问题，会正向、逆向使用差角余弦公式，部分同学能当堂针对具体的问题结合之前学习的诱导公式，以及拆角、变角技巧解决较难的题目。 通过例一的学习，掌握了如何应用差角余弦公式求值，结合练习题再次加强的对公式的记忆及正确使用。当然课堂训练里设计的题目由于用到之前的知识，所以个别同学做起来有点吃力；在例二的学习中，掌握了如何使用条件里给的角所在象限这一条件求所需三角函数值。在紧接着例二的课堂训练里，找的两位同学在黑板上展示自己的解题步骤，能看出他们都能根据所求找所需，只是其中一位在代入求 两角差的余弦公式说课稿 教材分析 1、教材所处的地位和作用： 《两角差的余弦公式》是新课标人教版数学必修四第三章第一课时的教学内容，是本模块第一章《三角函数》和第二章《平面向量》相关知识的延续和拓展。其中心任务是通过已学知识,探索建立两角差的余弦公式。它不仅是前面已学的诱导公式的推广，也是后面其它和（差）角公式推导的基础和核心，具有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。 2、重点，难点以及确定的依据：对本节课来说，学生最大的困惑在于如何得到公式．所以，本节课的教学重点是：两角差的余弦公式的探究和应用；教学难点是：两角差的余弦公式的由来及证明；引导学生通过主动参与, 独立探索。教学目标设计 （1）知识与技能： 本节课的知识技能目标定位在公式的向量法证明和应用上；学会运用分类讨论思想完善证明；学会正用、逆用、变用公式；学会运用整体思想，抓住公式的本质．在新旧知识的冲撞过程中，让学生自主地对知识进行重组、构建，形成属于自己的知识结构体系． （2）过程与方法： 创设问题情景，调动学生已有的认知结构，激发学生的问题意识，展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动，让学生体会从“特殊”到“一般”的探究过程；在探究过程中体会化归、数形结合等数学思想；在公式的证明过程中，培养学生反思的好习惯；在公式的理解记忆过程中，让学生发现数学中的简洁、对称美；在公式的运用过程中，培养学生严谨的思维习惯和自我纠错能力． (3)情感、态度与价值观： 体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、大胆猜想，培养学生的“问题意识” ，使学生感受科学探索的乐趣，激励勇气，培养创新精神和良好的团队合作意识．通过对猜想的验证， 3.1.1两角差的余弦公式 一、教材分析 《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。 二、教学目标 1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构 及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。 2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。 3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。 三、教学重点难点 重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。 难点 探索过程的组织和引导。 四、学情分析 之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。 五、教学方法 1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式. 2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程. 3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课前准备 1.学生准备：预习《两角差的余弦公式》，理解两种方法的推理过程。 2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的0 cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。 教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C 点处往该点正对的地面上的A 点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器) 问题：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0 cos15 （2）0 cos(4530)cos45cos30-=-是否成立？ 设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。 （二）、研探新知 《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计 商州区中学秦明伟 一、学情分析 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。 二、教学内容分析 本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。 由于向量工具的引入，教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。 从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。 基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。 三、教学三维目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。 2、能力目标 通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用，使学生深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 四、教学重点、难点 重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。 难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。 五、教学过程 导入新课 《两角差的余弦公式》教学设计 一、教学目标 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点 1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式； 2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、学法与教学用具 1. 学法：启发式教学 2. 教学用具：多媒体 四、教学设想： （一）导入：我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302 =，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？ 根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程： 在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.） 展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到c o s ()c o s c o s s i n αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构. 思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？ 提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ 2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 展示多媒体课件 比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--????，再利用两角差的余弦公式得出 ()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-???? （三）例题讲解 例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差. ()232162cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin3022224-=+=-=?-?= ()232162cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin3022224 +=-=+=?+?= 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用. 例2、已知4sin 5α= ，5,,cos ,213παπββ??∈=- ??? 是第三象限角，求()cos αβ-的值. 解：因为,2παπ??∈ ???，4sin 5α=由此得2 243cos 1sin 155αα??=--=--=- ??? 又因为5c o s ,13 ββ=-是第三象限角，所以22512sin 1cos 11313ββ??=--=---=- ??? 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ??????-=+=-?-+?-=- ? ? ??????? 两角差的余弦公式 教学目标 1．掌握两角差的余弦公式．(重点) 2．会利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(难点) 3．两角差的余弦和两角余弦的差．(易混点) [基础·初探] 教材整理两角差的余弦公式 阅读教材P124～P126例1以上内容，完成下列问题． cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β． (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角． (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.() (2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．() (3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．() (4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.() 解：(1)×.cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°. (2)×.当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α －β)＝cos α－cos β. (3)√.结论为两角差的余弦公式． (4)√.cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ [小组合作型] 利用两角差的余弦公式化简求值 (1)cos 345°的值等于( ) A ．2－6 4 B ．6－24 C ．2＋64 D ．－2＋6 4 (2)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A ．12 B ．3 2 C ． 3 D ． 2 (3)化简下列各式： ①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； ②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. (1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解． (2)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解． 第三章三角恒等变换 3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．1.1两角差的余弦公式 [A组学业达标] 1．cos 27°cos 57°－sin 27°cos 147°等于() A. 3 2B．－ 3 2 C. 1 2D．－ 1 2 解析：原式＝cos 27°cos 57°－sin 27°cos(180°－33°)＝cos 27°·cos 57°＋sin 27°cos 33°＝cos 27°cos 57°＋sin 27°sin 57°＝cos(57°－27°)＝cos 30°＝ 3 2.故 选A. 答案：A 2．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)等于() A.1 2B．－ 1 2 C. 3 2D．－ 3 2 解析：原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°) －(α＋15°)]＝cos(－60°)＝1 2. 答案：A 3．cos 555°的值是() A. 6 4＋ 2 4B．－ 6 4－ 2 4 C. 6 2－ 2 2 D. 2 2－ 6 2 解析：∵cos 555°＝cos 195°＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)＝－ 2 2× 3 2－ 2 2 ×1 2＝－ 6＋2 4.故选B. 答案：B 4．若cos α＝117，cos(α＋β)＝－47 51，且α，β都是锐角，则cos β的值为( ) A ．－17 B.13 C.403867 D ．－403867 解析：∵β＝(α＋β)－α， 又∵cos α＝117，cos(α＋β)＝－47 51，α，β都是锐角， ∴α＋β是钝角，∴sin α＝ 12217，sin(α＋β)＝142 51. ∵cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， ∴cos β＝－4751×117＋14251×12217＝－47＋33651×17＝28951×17＝1 3. 答案：B 5．已知sin ? ????π6＋α＝35，π 3<α<5π6，则cos α的值是 ( ) A.3－4310 B.4－3310 C. 23－35 D. 3－235 解析：∵π3<α<5π6，∴π2<π 6＋α<π. ∴cos ? ?? ?? π6＋α＝－ 1－sin 2? ?? ?? π6＋α＝－45. ∴cos α＝cos ??????? ????π6＋α－π6＝cos ? ????π6＋αcos π6＋sin ? ???? π6＋α·sin π6＝－45×32＋35×12 ＝3－43 10. 答案：A 6．计算cos 45°·cos 15°＋sin 45°sin 15°＝________． 解析：cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°＝cos ()45°－15°＝cos 30°＝3 2. 答案：32 两角差的余弦公式 一、设计理念 1、教学内容分析： 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（人教A 版）第三章《三角恒等变换》，两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第一课时，是在高一学生学习了三角、向量等知识之后，两角差的余弦公式是对三角和向量数量积知识的一个应用；同时，对于得到两角和差的正弦、正切公式起着重要作用，对于在计算中的化简和实际中的运用也十分必要；因而公式本身的应用十分广泛。 作为一名没有上过本节内容的新教师，根据教学的设想，两角差的余弦公式这部分内容共分为三个层次：第一层次教师根据所学的特殊的三角函数值提出问题，设置悬念，激起学生对于??)cos(=-βα的兴趣；第二层次学生带着质疑和好奇心，在老师的指引下，探索并利用“三角函数线”、“向量法”、“三角形全等法”证明得到两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-； 第三层次运用或逆用公式解决课本的例题和相应的练习，体会公式的实用性。学生通过对两角差的余弦公式的探索和证明过程，感受“提出问题、质疑——探索得到结果的方法——得到结果——进行应用” 这一思维方法，养成善于思考的品质和勇于求真的精神。 2、学情分析： 对与高一的学生来说，已学了三角函数、向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，对于两角和差的余弦、正弦和正切公式有着浓厚的兴趣；但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师通过设置悬念激起学生的兴趣并进行恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生参与分析问题、解决问题并对得到的结果进行应用。 3、设计思想： 建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境和悬念，以“??)cos(=-βα”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，通过生生互动、师生互动等形式，学生通过3种途径得到 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-。使得学生在知识的形成、发展过程中 展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。 两角和与差的余弦公式 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。 二、学情分析： 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过一个学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。 三、教学目标： 1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。 2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 四、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及应用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。 五、教学工具：多媒体 六、教学方法：讲授法，探究法 七、教学过程： cos(12060)-? cos120? cos60? sin120? sin 60? 12 12- 12 32 32 猜想：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=?+?？ 公式推导 通过探究我们猜想得出cos()αβ-的公式，从猜想到结论还需要严格的证明。 提问：前面我们已经学习过任意角的三角比，那么该如何研究βα-的三角比呢？ 设α、β是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与x 轴的正方向重合，如图1，它们的终边OA 、OB 分别与单位圆相交于A 、B 两点。 图1 Q1：你能用α、β的三角比表示A 、B 两点坐标吗？ Q2：AOB ∠角度能用α、β表示吗？ Q3：我们要研究AOB ∠的三角比，必须要把AOB ∠位置放在什么地方？怎样达到目的？ 答：始边旋转到与x 轴的正方向重合。通过旋转达到目的。 Q4：将终边OA 、OB 绕O 旋转β-，转到A O '和B O '的位置，则A '，B '的坐标是什么？ 通过一系列问题的设置找出相等的数量关系，从而推导出公式 O y A )sin ,(cos αα) sin ,(cos ββB x β α3.1.2-两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案
两角差的余弦公式教学设计
高中数学_3.1.1两角差的余弦公式教学设计学情分析教材分析课后反思
两角差的余弦公式的说课稿
3.1.1两角差的余弦公式教案
两角和与差的正弦余弦公式
《两角差的余弦公式》教学设计1
两角差的余弦公式
3.1.1 两角差的余弦公式
两角差的余弦公式-教学设计
两角和与差的余弦公式优质公开课精品教案
相关主题
文本预览