八年级初二数学 数学平行四边形的专项培优练习题(及解析
一、选择题
1．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点，CE 、DF 交于点G,连接AG 、HG ．下列结论：①CE ⊥DF ；②AG=DG;③∠CHG=∠DAG ．其中，正确的结论有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2．□ABCD 中，∠A=60°，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，DE=DF ，且∠EBF=60°．若AE=2，FC=3，则EF 的长度为（ ）
A ．21
B ．25
C ．26
D ．5
3．如图，在平行四边形ABCD 中，272BC AB B CE AB =∠=?⊥，，于E F ，为AD 的中点，则AEF ∠的大小是( )
A ．54?
B ．60?
C ．66?
D ．72?
4．如图，点E 在正方形ABCD 外，连接AE BE DE ，，，过点A 作AE 的垂线交DE 于
F ，若210AE AF BF ===，，则下列结论不正确的是( )
A ．AFD AE
B ??? B ．点B 到直线AE 的距离为2
C ．EB E
D ⊥
D ．16AFD AFB S S ??+=
5．如图，在矩形ABCD 中，把矩形ABCD 绕点C 旋转，得到矩形FECG ，且点E 落在
AD 上，连接BE ，BG ，BG 交CE 于点H ，连接FH ，若FH 平分EFG ，则下列结论：
①AE CH EH +=；
②2DEC ABE ∠=∠； ③BH HG =；
④2CH AB =，其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图，点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点，点F 是边CD 上一点，连接ED ，EF ，ED 平分∠AEF ，过点D 作DG ⊥EF 于点M ，交BC 于点G ，连接GE ，GF ，若FG ∥DE ，则AB
AD
的值是( )
A ．
32
B ．
22
C ．2
D ．3
7．已知点M 是平行四边形ABCD 内一点(不含边界)，设
12MAD MBA θθ∠=∠=，，3 MCB θ∠=，4MDC θ∠=．若
110,AMB ∠=? 90CMD ∠=?，60BCD ∠=?，则( )
A ．142310θθθθ+--=?
B ．241330θθθθ+--=?
C ．142330θθθθ+--=?
D ．241340θθθθ+--=?
8．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为（ ）
A．0.5 B．2.5 C．2D．1
9．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，己知正方形ABCD的边长为4， P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，
PF⊥CD于点F，连接AP， EF，给出下列结论：①PD=2EC；②四边形PECF的周长为8；
③△APD一定是等腰三角形；④AP=EF；⑤EF的最小值为22；⑥AP⊥EF，其中正确结论的序号为（）
A．①②④⑤⑥B．①②④⑤C．②④⑤D．②④
二、填空题
，顶点D坐标为11．如图，菱形ABCD的BC边在x轴上，顶点C坐标为(3,0)
(0,4)，点E在y轴上，线段//
EF x轴，且点F坐标为(8,6)，若菱形ABCD沿x轴左右运动，连接AE、DF，则运动过程中，四边形ADFE周长的最小值是_______．
△和等12．已知：点B是线段AC上一点，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边ABD
边BCE，点M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若AC=6，设BC=2，则线段MN的长是__________．
13．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③
ABCD 1
9
CEF S S ?=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．
14．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，
EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填
序号）．
15．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______
16．如图，矩形ABCD 的面积为36，BE 平分ABD ∠，交AD 于E ，沿BE 将ABE ?折叠，点A 的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F 处．则ABE ?的面积为________．
17．已知：一组邻边分别为6cm 和10cm 的平行四边形ABCD ，DAB ∠和ABC ∠的平分线分别交CD 所在直线于点E ，F ，则线段EF 的长为________cm ．
18．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=?，45ABC ∠=?，22BC =，则
DF =_________．
19．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．
20．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =OB ，E 为AC 上一点，BE 平分∠ABO ，EF ⊥BC 于点F ，∠CAD =45°，EF 交BD 于点P ，BP =5，则BC 的长为_______．
三、解答题
21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，
AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长． 22．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．
（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，
CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；
（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．
（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形
ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．
23．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则
2222AB CD AD BC +=+．
（1）请帮助小明证明这一结论；
（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边
AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．
24．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶
点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=?．
（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ．
（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60?，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．
25．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==． 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．
（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________．
（2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ?是等腰三角形，求相应t 的值． 26．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．
（1）求证：四边形BFEP 为菱形；
（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动． ①当点Q 与点C 重合时， （如图2），求菱形BFEP 的边长；
②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围． 27．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α?<
（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数； （3）联结AF ，求证：2DE =
．
28．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．
（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α． ①按要求补全图形；
②∠EBF =______________（用含α的式子表示）； ③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．
（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明． 29．如图，ABC ?是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ?是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线
AC 于点F ，连接BE ．
（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由； （2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；
（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．
30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；
（3）当
32
5
t 时，点O是否在线段AP的垂直平分线上？请说明理由．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，容易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，容易证得CE⊥DF与AH⊥DF，故①正确；根据垂直平分线的性质，即可证得AG=AD，继而AG=DC，而DG≠DC，所以
AG≠DG，故②错误；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=1
2 DC，
∠CHG=2∠GDC，根据等腰三角形的性质，即可得∠DAG=2∠DAH=2∠GDC．所以∠DAG=∠CHG，④正确，则问题得解．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°，
∵点E. F. H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE=FC
∴△BCE≌△CDF，
∴∠ECB=∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠ECD+∠CDF=90°，
∴∠CGD=90°，
∴CE⊥DF，故①正确；连接AH，
同理可得：AH⊥DF，
∵CE⊥DF，
∴△CGD为直角三角形，
∴HG=HD=1
2 CD，
∴DK=GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG=AD=DC，
在Rt△CGD中，DG≠DC，
∴AG≠DG，故②错误；
∵AG=AD, AH垂直平分DG
∴∠DAG=2∠DAH,
根据①，同理可证△ADH≌△DCF
∴∠DAH=∠CDF，
∴∠DAG=2∠CDF,
∵GH=DH，
∴∠HDG=∠HGD，
∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，
∴∠GHC=∠DAG，故③正确，
所以①和③正确选择C.
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用边角边，容易证明
△BCE≌△CDF，从而根据全等三角形的性质和等量代换即可证∠ECD+∠CDF=90°，从而①可证；证②时，可先证AG=DC，而DG≠DC，所以②错误；证明③时，可利用等腰三角形的性质，证明它们都等于2∠CDF即可.
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
由DE=DF，AE=2，FC=3可知AB-BC=1，过点E作EM⊥AB于M，根据30°角所对的直角等于斜边的一半可得AM=1，进而得出BM=BC，将△BEM顺时针旋转120°得
△BEN，连接FN，可证△BEF≌△BFN，即可得出EF=FN，过点N作NG⊥DC交DC的延长线于点G，利用勾股定理即可求出答案.
【详解】
解：过点E作EM⊥AB于M，在Rt△AEM中，∠A=60°，
∴∠AEM=30°，
∴AM=1
2
AE=1，
∴3
又∵DE=DF，AE=2，FC=3，
∴DC-AD=1，即AB-BC=1，
∴BM=BC，
将△BEM顺时针旋转120°得△BEN，连接FN，则3BE=BN，∵∠EBF=60°，∠EBN=120°，
∴∠NBF=60°，
∴∠EBF=∠NBF
又∵BE=BN，BF=BF，
∴△BEF≌△BFN，
∴EF=FN，
过点N作NG⊥DC交DC的延长线于点G，
∵∠GCN=180°-60°-90°=30°，
∴NG=1
2
3 ()2
233
3
22
??
-=
?
?
??
∴FG=3+3
2
=
9
2
2
2
93
21 22
??
??
+=
?
? ?
????
21
21.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，合理添加辅助线是解题关键.
3．A
解析：A
【分析】
过F作AB的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt△BCE斜边上的中点，由此可得BC＝2EG＝2FG，即△GEF、△BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数，只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG＝∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG的度数，由此得解．
【详解】
解：过F作FG∥AB交BC于G，连接EG，
∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴FG∥AB∥CD，
∵FG∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AF＝BG，
又∵F为AD中点
∴G是BC的中点；
∵BC＝2AB，F为AD的中点，
∴BG＝AB＝FG＝AF，
∵在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，
∴BG＝GE＝FG＝1
2 BC；
∴∠BEG＝∠B＝72°，
∴∠AEG＝∠AEF＋∠FEG＝180°﹣∠BEG＝108°，∵AE∥FG，
∴∠EFG＝∠AEF，
∵GE＝FG，
∴∠EFG＝∠FEG，
∴∠AEF＝∠FEG＝1
2
∠AEG＝54°，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出辅助线是解决问题的关键．
4．B
解析：B 【分析】
A 、首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD ≌△AE
B ； B 、利用全等三角形的性质和对顶角相等即可解答；
C 、由（1）可得∠BEF ＝90°，故BE 不垂直于AE 过点B 作BP ⊥AE 延长线于P ，由①得∠AEB ＝135°所以∠PEB ＝45°，所以△EPB 是等腰Rt △，于是得到结论；
D 、根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可． 【详解】
解：在正方形ABCD 中，AB ＝AD ， ∵AF ⊥AE ，
∴∠BAE ＋∠BAF ＝90°，
又∵∠DAF ＋∠BAF ＝∠BAD ＝90°， ∴∠BAE ＝∠DAF ， 在△AFD 和△AEB 中，
AE AF BAE DAF AB AD =??
∠∠??=?
＝ ∴△AFD ≌△AEB （SAS ），故A 正确；
∵AE ＝AF ，AF ⊥AE ， ∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴∠AEF ＝∠AFE ＝45°，
∴∠AEB ＝∠AFD ＝180°?45°＝135°， ∴∠BEF ＝135°?45°＝90°， ∴EB ⊥ED ，故C 正确； ∵AE ＝AF 2， ∴FE 2AE ＝2，
在Rt △FBE 中，BE 221046FB FE -=-= ∴S △APD ＋S △APB ＝S △APE ＋S △BPE ， ＝
11
222622
? 16=D 正确；
过点B 作BP ⊥AE 交AE 的延长线于P ， ∵∠BEP ＝180°?135°＝45°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴BP＝2
63?=，
即点B到直线AE的距离为3，故B错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
如图，作BM⊥EC于M．证明△BEA≌△BEM（AAS），△BMH≌△GCH（AAS），利用全等三角形的性质即可一一判断．
【详解】
解：如图，作BM⊥EC于M．
∵CB=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠AEB=∠MEB，
∵∠A=∠BME=90°，BE=BE，
∴△BEA≌△BEM（AAS），
∴AE=EM，AB=BM．
∵∠BMH=∠GCH=90°，∠BHM=∠GHC，BM=AB=CG，
∴△BMH≌△GCH（AAS），
∴MH=CH，BH=HG，
∴EH=EM+MH=AE+CH，故①③正确，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴2∠AEB+2∠ABE=180°，
∵∠DEC+∠AEC=180°，∠AEC=2∠AEB，
∴∠DEC+2∠AEB=180°，
∴∠DEC=2∠ABE ，故②正确， ∵FH 平分∠EFG ， ∴∠EFH=45°， ∵∠FEH=90°， ∴AB=EF=EH ， ∵EH ＞HM=CH ， ∴CH ＜AB ，故④错误． 故选：C ． 【点睛】
本题考查性质的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．C
解析：C 【分析】
由题意得△AED ≌△MED 、△BEG ≌△MEG 、△MGF ≌△CGF ，设CG=x ，用含x 的式子表示
AD =2x ，AB =，即可得出AB AD 2x
==【详解】 ∵ED 平分∠AEF ∴∠AED=∠DEM
在矩形ABCD 中，∠A=∠B=∠BCD=90° ∵DG ⊥EF
∴∠DME=∠EMG=∠GMF=90° ∴∠A=∠DME=90° ∵DE=DE ∴△AED ≌△MED ∴ME=AE
∵点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点 ∴AE=BE ∴ME=BE
∵∠EMC=∠B=90°， EG=EG ∴Rt △BEG ≌Rt △MEG ∵AD ∥BC ∴∠ADG=∠CGD ∵ED ∥GF ∴∠EDM=∠FGM ∴∠ADE=∠CGF ∴∠CGF=∠FGM ∴△MGF ≌△CGF
∴MG=CG=BG 设CG=x ∴BC=2x ∴AD=DM=2x ∴DG=3x
根据勾股定理可得
CD =
∴AB =
∴
AB AD ==故选：C 【点睛】
本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握和全等三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键．
7．D
解析：D 【分析】
依据平行四边形的性质以及三角形内角和定理，可得θ2-θ1=10°，θ4-θ3=30°，两式相加即可得到θ2+θ4-θ1-θ3=40°． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD=60°，
∴∠BAM=60°-θ1，∠DCM=60°-θ3，
∴△ABM 中，60°-θ1+θ2+110°=180°，即θ2-θ1=10°①， △DCM 中，60°-θ3+θ4+90°=180°，即θ4-θ3=30°②， 由②+①，可得（θ4-θ3）+（θ2-θ1）=40°，
2413 40θθθθ∴+--=?；
故选：D. 【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
8．B
解析：B 【分析】
由题意分析可知，点F 为主动点，G 为从动点，所以以点E 为旋转中心构造全等关系，得到点G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG 最小值． 【详解】
由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹
上运动，
如图，将ΔEFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到ΔEFB?ΔEHG，
从而可知ΔEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
如图，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则
135
1=2.5
222
CM MP CP HE EC
=+=+=+=.
故选B．
【点睛】
本题考查了线段极值问题，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是解本题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
想办法证明S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题.
【详解】
连接AF、EC．
∵BC＝4CF，S△ABC＝12，
∴S△ACF＝1
3
×12＝4，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥AC，
∴S△DEB＝S△DEC，
∴S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，
∵EF∥AC，
∴S△AEC＝S△ACF＝4，
∴S阴＝4．
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．A
解析：A
【分析】
①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，
DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得DP=2EC．
②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；
③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；
④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP=EF；
⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于22；
⑥证明∠PFH+∠HPF=90°，则AP⊥EF．
【详解】
①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC=45°
∴∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC=DF ，
∴在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，
∴EC ．故①正确； ②∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，∠BCD=90°， ∴四边形PECF 为矩形，
∴四边形PECF 的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8，故②正确； ③∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∠ADP=45度， ∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD 是等腰三角形， 除此之外，△APD 不是等腰三角形， 故③错误．
④∵四边形PECF 为矩形， ∴PC=EF ，
由正方形为轴对称图形， ∴AP=PC ， ∴AP=EF ， 故④正确； ⑤由EF=PC=AP ， ∴当AP 最小时，EF 最小，
则当AP ⊥BD 时，即AP=12BD=1
2
时，EF 的最小值等于，故⑤正确； ⑥∵GF ∥BC ， ∴∠AGP=90°， ∴∠BAP+∠APG=90°， ∵∠APG=∠HPF ， ∴∠PFH+∠HPF=90°， ∴AP ⊥EF ， 故⑥正确；
本题正确的有：①②④⑤⑥； 故选：A ． 【点睛】
本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
二、填空题
11．18 【分析】
由题意可知AD 、EF 是定值，要使四边形ADFE 周长的最小，AE ＋DF 的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，此时AE ＋DF 的和即为E 1F 1，再求四边形ADFE 周长的最小值．
【详解】
在Rt △COD 中，OC ＝3，OD ＝4， CD ＝22OC +OD =5， ∵ABCD 是菱形， ∴AD ＝CD ＝5，
∵F 坐标为(8,6)，点E 在y 轴上， ∴EF ＝8，
作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1， 则E 1（0，2），F 1（3，6）， 则E 1F 1即为所求线段和的最小值，
在Rt △AE 1F 1中，E 1F 1＝222
11EE +EF =-+(8-5)=5
2(62)， ∴四边形ADFE 周长的最小值＝AD ＋EF ＋AE ＋DF ＝ AD ＋EF ＋ E 1F 1＝5＋8＋5＝18．
【点睛】
本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大．
1221
【分析】
如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得
//,4ME AB ME AB ==，再根据平行线的性质可得60FEM C ∠=∠=?，然后利用直角
三角形的性质、勾股定理可得2,23EF MF ==，从而可得3FN =，最后在Rt FMN 中，利用勾股定理即可得． 【详解】