二次函数与相似的结合
题型一：动点在线段上
如图，平面直角坐标系xOy 中,已知(1,0)B -,一次函数5y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别
交于点A 、C 两点,二次函数2
y x bx c =-++的图像经过点A 、点B ； （1）求这个二次函数的解析式;
（2)点P 是该二次函数图像的顶点，求△APC 的面积;
(3）如果点Q 在线段AC 上,且△ABC 与△AOQ 相似，求点Q 的坐标;
如图，抛物线2
2y ax ax c =++(0)a >与x 轴交于(3,0)A -、B 两点(A 在B 的左侧)，与
y 轴交于点
(0,3)C -，抛物线的顶点为M ；
（1）求a 、c 的值； (2)求tan MAC ∠的值;
（3)若点P 是线段AC 上一个动点,联结OP ；问是否存在点P ,使得以点O 、C 、P 为顶点
的三角形与△ABC 相似?若存在,求出P 点坐标；若不存在，请说明理由;
如图,已知抛物线2
y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点为A （-1，０），顶点为B . 点C （５,ｍ）在抛物线上,直线BC 交x 轴于点E . （1） 求抛物线的表达式及点E 的坐标； （2） 联结AB ，求∠B 的正切值;
（3） 点G 为线段A Ｃ上一点，过点G 作C Ｂ的垂线交x 轴于点M (位于点Ｅ右侧）,
当△C ＧＭ与△A ＢE 相似时,求点M 的坐标．
【参考答案】24.(本题满分1２分,第(1)小题4分，第(2）小题3分，第（３）小题5分)
解：(1）∵抛物线2
y ax x c =-+的对称轴为直线x =1,∴12
a =
. ∵抛物线与x 轴的一个交点为A （-1,0），∴3
2
c =-
. ∴抛物线的表达式为213
22
y x x =
--.………………………………………………(2分） ∴顶点Ｂ(1，-2).…………………………………………………………………（1分） ∵点C (5，m )在抛物线上,∴6m =. ∴C 点坐标为（5,６）．
设直线BC 的表达式为y =ｋx +ｂ(ｋ≠０), 则652k b k b =+??
-=+?,∴2,
4.
k b =??=-?即BC 的表达式为ｙ=2x －4.
∴E (2,0).……………………………………………………………………………(1分) （2)作ＣＨ⊥x 轴,垂足为Ｈ,作ＢP ⊥x 轴，垂足为P , ∵C (5,６），A （－1,0),∴CH ＝6=AH . ∴∠CA Ｈ=４５°. ∵B （１，-2)，A （－１，0），∴ＢP ＝2=ＡP ．∴∠BAP ＝４5°.
∴∠C ＡB ＝90°. …………………………………………………………………………（1分) ∵CH =6＝AH ,C Ｈ⊥ｘ轴,∴6 2.
AC =
∵BP =２=AP ，BP ⊥x 轴,∴2 2.
AB =
∴tan 3.AC
B AB
∠=
=…………………………………………………………………（２分) x y
A B
E C O （第24题图）
（3）∵∠CAB=90°,∴∠B +∠ＡCB =90°.
∵GM ⊥ＢC ，∴∠CGM +∠A ＣB =90°.∴∠CG Ｍ=∠B . ………………………………（１分) ∵△ＣGM 与△ABE 相似，∴∠ＢＡE =∠ＣＭＧ或∠BA Ｅ=∠ＭCG . 情况1:当∠BAE =∠ＣMG 时，
∵∠BAE =４5°，∴∠C ＭG =45°. ∵GM ⊥B Ｃ,∴∠M ＣE =45°．∴∠ＭCE =∠EAB .
∵∠ＡEB =∠C ＥＭ，∴△ABE ∽△CME . ……………………………………………(1分） ∴
BE AE EM CE =.即535
EM =.∴EM =５. ∴M （7，0）. ……………………………(１分) 情况2：当∠B ＡE =∠ＭCG 时，
∵∠BA Ｅ=∠CA Ｍ，∴∠ＭCG =∠CAM .∴M Ｃ=MA . ………………………………（１分） 设M （x,０)，∵C (5，6）,A (-１,0),∴2
2
2
(1)(5)6.x x +=-+∴x=5.
∴M （5，0）. …………………………………………………………………………（1分）
题型二:动点在线段的延长线上
如图7,已知抛物线32
++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B (点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OC OB =,点D 是抛物线的顶点，直线AC 和BD 交于点E 。 （1）求点D 的坐标;
（2）联结BC CD 、,求DBC ∠的余切值;
（3）设点M 在线段CA 延长线上，如果EBM △和ABC △相似,求点M 的坐标。
【答案】(1）D 1,4（）(2）3(3)
6
3,)55
-（- 【解析】(1）∵抛物线2
y 3x bx =-++与轴的交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧） ，
与y 轴交于点C ，)3,0(C ,且OC OB =，)0,3(B ∴9330,b=b -++=解得2
∴2
23;D 1,4y x x =-++∴（）
（2)OB OC =∵45OCB OBC ∴∠=∠=?y=45DC 。
∴∠； 180245=90DCB =?-???∴∠；
cot 3
BC DBC DC ∠=
== (3）由2
23y x x =-++,可得,在AO Ｃ和BCD 中,
3CO BC
AO CD
==, 90AOC DCB ∠=∠=?AOC BCD ∴??∽，
又ACO CBD ∴∠=∠;ACB ACO OCB E CBD ∠=∠+=∠+∠ 45E OCB ∴∠=∠=?;
当EBM ABC ??和相似时,可知E CBA ∠=∠;
又点在线段的延长线上,ACB EBA ∠=∠,可得EMB ACB ∠=∠;
MB BC ∴==
由题意,得直线的表达式为y 33x =+;设(,33)M x x +．
2(3)(33)18x x ∴-++=,解得126
,05x x =-=(舍去)
∴点M 的坐标是63
,)55
-（-
题型三：动点在对称轴上
如图，抛物线c bx x y ++-=2
经过点)0,3(B ,)3,0(C ，D 为抛物线的顶点。 （1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
（2)点C 关于抛物线c bx x y ++-=2
的对称点为E 点，联结BC ，BE ，求CBE ∠的正切值;
（３）点M 是抛物线对称轴上一点，且△DMB 和△BCE 相似，求点M 的坐标。
【答案】(1)322
++-=x x y ；)4,1(D (２)
21(３) ()2,1-M 或??
?
??32,1M 【解析】（１）∵抛物线c bx x y ++-=2
经过点)0,3(B ,)3,0(C
∴??
?==++-3039c c b 可解得 ???==3
2
c b
∴ 322
++-=x x y 顶点坐标)4,1(D (2)过点E 作EH 垂直于BC 交于点H
∵点C 与点E 关于对称轴1=x 对称 ∴)3,2(E ,2=CE ,CE 平行于x 轴 ∵3==OB OC
∴?=∠=∠45ECB OBC ,23=BC 在等腰直角三角形ECH 中,2=CE ∴2=
=EH CH
在直角三角形EHB 中,22=-=CH BC BH ,
2=EH
∴2
1
222tan ===
∠BH EH CBE ∴CBE ∠的正切值为
2
1 （3）设抛物线对称轴1=x 交x 轴与点F
∵在直角三角形DFB 中,4=DF ,2=BF ∴ 2
1
tan ==
∠DF BF BDF , CBE BDF ∠=∠ ∴点M 在点D 的下方
∴当DMB ?与BCE ?相似时，有下列两种情况: ①当
BE BC
DB DM = 时,即 10
2352=
DM 可解得6=DM ∴()2,1-M
②当
BC BE DB DM = 时，即 2
31052=
DM 可解得310
=DM ∴??
?
??32,
1M 综上所述： ()2,1-M 或???
??32,1M
2）动点在平移后的对称轴上
在平面直角坐标系中，点)0,4(A 是抛物线c x ax y ++=22
上的一点，将此抛物线向下平移
6个单位以后经过点)2,0(B ,平移后的新抛物线的顶点记为C ，新抛物线的对称轴和线段
AB 的交点记为P 。
（1）求平移后得到的新抛物线的表达式,并求出点C 的坐标;
（2）求CAB ∠的正切值；
（3）如果点Q 是新抛物线对称轴上的一点，且BCQ △和ACP △相似,试求点Q 的坐标。
【答案】（1）222
++-=x x y ；)3,1(C （２)1tan 3CAB ∠=（3))2
5
,1(1Q 或)1,1(2-Q 【解析】
（1)∵点)0,4(A 是抛物线c x ax y ++=22
上的一点,代入得:0816=++c a ①
又∵抛物线向下平移6个单位以后经过点)2,0(B ,平移后的抛物线解析式为：
622-++=c x ax y 。
代入得：8,26==-c c ②，由①②得：8,1=-=c a
平移后得到的新抛物线的表达式：222
++-=x x y ，顶点)3,1(C （2）∵)0,4(A 、)2,0(B 、)3,1(C ，易得52,23,2===
BA CA CB
由勾股定理逆定理得ABC △是直角三角形，3
1
tan ==∠CA CB CAB
（3）设抛物线对称轴与x 轴相交于点H
ABO APH ∽△△,2321==
AH PH ,2
3=CP 易得
45=∠=∠ACP BCP ，2
3
,23,2=
==
CP CA CB ∴点Q 只能在对称轴点C 的下方，BCQ △和ACP △相似，有以下两种情况：
①CA CP CB CQ =
，2
323
2=CQ ，21=CQ ，)25
,1(1Q ②
CP CA CB CQ =
,2
32
32
=CQ ，4=CQ ，)1,1(2-Q 综上,)2
5,1(1Q 或)1,1(2-Q 题型四：动点在某直线上
如图，已知抛物线22y ax x c =-+经过ABC ?的三个顶点，其中点(0,1)A ,点(9,10)B ，
AC x ∥轴.
(1)求这条抛物线的解析式; （2)求tan ABC ∠的值;
（3)若点D 为抛物线的顶点，点Ｅ是直线AC 上一点，
当CDE ?与ABC ?相似时,求点E 的坐标.
【参考答案】24.解:（1)∵抛物线2
2y ax x c =-+经过点(0,1)A 和点(9,10)B ∴1
811810
c a c =??
-+=?……………………………………………………1分
y
A O
C
B
x
（第24题图）
解得131
a c ?=???=?………………………………………………………………2分
∴这条抛物线的解析式为2
1213
y x x =
-+………………………………１分 （2)过点B 作BH AC ⊥，垂足为H AC x ∥轴,(0,1)A ,(9,10)B 9,1H ∴（）
9BH AH ==∴又90BHA ∠=? HAB ∴△是等腰直角三角形
45HAB ∠=?∴………………………………………………………１分
AC x ∥轴,(0,1)A ,点C 也在该抛物线上
6,1C ∴（）
过点C 作CG AB ⊥，垂足为点G
sin 45CG AC =?=∴
cos 45AG AC =?=又∵在R ｔ△ABH
中，sin 45BH
AB =
=?
∴BG ==…………………………………………………1分 ∴在Rt △BCG 中,1
tan 2
CG ABC BG ∠=
=……………………………1分 （３)过点D 作DK AC ⊥,垂足为K
∵点D 是抛物线21
213
y x x =-+的顶点∴(3,2)D -………………1分
∴(3,1)K
∴3CK DK ==又∵90CKD ∠=?∴△CDK 是等腰直角三角形 ∴45DCK ∠=? 又∵45BAC ∠=?
∴DCK BAC ∠=∠………………………………………………………１分 ∴当△CD Ｅ与△AB Ｃ相似时，存在以下两种情况:
1?
AC EC AB CD
=∴EC=2(4,1)E ∴……………1分
2?
AC DC
AB EC
=∴EC=9(3,1)E -∴…………1分
题型五:动点在x 轴上
如图９,在平面直角坐标系xoy 中,顶点为M 的抛物线2
(0y ax bx a =+>）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO OB == 2，0120AOB ∠=． (１）求这条抛物线的表达式；
(2)联结OM ，求AOM ∠的大小；
（3）如果点C 在x 轴上,且△ABC 与△AOM 相似,求点C 的坐标．
M
A
B O
y
图9
２０1７年青浦一模2４】已知,如图8,在平面直角坐标系中，抛物线142
+-=ax ax y 与x 轴正半轴交于点A 和点B ,与y 轴交于点C ，且OC OB 3=,点P 是第一象限内的点，联结
BC ,△PBC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形．
（1）求这个抛物线的表达式； （2）求点P 的坐标;
（3）点Q 在x 轴上，若以P O Q 、、为顶点的三角形与以点B A C 、、为顶点的三角形相似,求点Q 的坐标．
【答案】（1）134
312+-=
∴x x y (２)
)2,2(P ∴（3）点Q 坐标为)0,2(-或)0,4(- 【解析】(1)由题意可得)1,0(C ?33==∴OC OB )0,3(B ∴?代入142
+-=ax ax y 得
31=a ?13
4
312+-=∴x x y
（2）过点P 作轴轴x PF y PE ⊥⊥,
PBC ? 为等腰直角三角形 PB PC =∴
?=∠+∠=∠+∠90CPF FPB CPF EPC FPB
EPC ∠=∠∴)(AAS PFB Rt PCE Rt ??∴≌BF EC =∴
可证四边形PEOF 为正方形BF OB OC EC -=+∴3,1==OB OC
BF EC -=+∴31,解得1==BF EC 2==∴OF OE P 在第一象限内)2,2(P ∴
（3）2,2==
AB AC )0,1(),1,0(A C OA OC =∴,可得AOC ?为等腰直角三角形
?=∠∴45OAC ?=∠∴135CAB ,则点Q 在y 轴左侧
i
．
CAB
OP Q ??∽1?
AB
CA
OP OQ =1,
2222
2
1=?=?
=AB CA OP OQ )0,2(1-∴Q ii.CAB POQ ??∽2
AB CA OQ OP =2?42222=?=?=AC
AB OP OQ ?)0,4(2-∴Q ?若点Q 在y 轴右侧,不存在?
综上所述：点Q 坐标为)0,2(-或)0,4(-
在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2
+c y x bx =-+与x 轴相交点(1,0)A -和点B ,与y 轴相交于点(0,3)C ,抛物线的顶点为点D ,联结AC ，BC ,DB DC 。
（1） 求这条抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2） 求证：ACO DBC ∽?
（3） 如果点E 在x 轴上，且在点B 的右侧，BCE ACO ∠=∠,求点E 的坐标。
【答案】(１）
；
(２)略（3)(6,0)E 【解析】(１）∵抛物线过点A(
)和点
，
∴将两点坐标代入解析式可得:
可解得
∴
根据顶点公式可得
（2）代入0y
到2
1
4y x 求得11x ,2
3x ,所以有3,0B
可以求得：1OA ,3OC
22
1310AC
, 2
2
43102CD 22
3332BC
22
40
24
20BD
,
在ACO 和DBC 中,有
==2CD BC BD
AO OC AC
,
ACO DBC ∽?
（3）在O Ｃ上取一点F 使得ＯF=OA ，
人教版初中数学二次函数专项训练及解析答案 一、选择题 1．已知抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，则函数y＝的大致图象是（）A．B． C．D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可求m＜﹣2，即可求解． 【详解】 ∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点， ∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0 ∴m＜﹣2 ∴函数y＝的图象在第二、第四象限， 故选B． 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键． 2．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（） A．原数与对应新数的差不可能等于零 B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】
解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 故答案选：D ． 【点睛】 本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号． 3．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b +＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝2 22ax bx +， 且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．②④ C ．②⑤ D ．②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】 解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则- 2b a =1，b=-2a
中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 （） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.
【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点 和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④ （为实数）；⑤当时，，其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A
人教版中考数学压轴题24道：二次函数专题 1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值； （3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标； （3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位
置时，PC+PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 4．已知函数y ＝（n 为常数） （1）当n ＝5， ①点P （4，b ）在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为A （2，2）、B （4，2），当此函数的图象与线段 AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围． （3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于 4，求n 的取值范围． 5．在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y ＝x 2 ﹣2x ，其顶点为A ． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ． ①试求抛物线y ＝x 2 ﹣2x 的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y ＝x 2﹣2x ，使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴 与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式．
2019年山东十七地市数学中考题二次函数解答题 1．（2018德州）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D． （1）求m、n的值及该抛物线的解析式； （2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD 的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD 相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2（2018东营）．（12分）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （1）求线段OC的长度； （2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2018菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D． （1）求此抛物线的表达式； （2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积； （3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
二次函数综合题 1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A (1，0)、B (3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC. （1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为的形式； （2）若点H (1，y)在BC上，连接FH，求△FHB的面积； （3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒，在点M的运动过程中，当t为何值时，? （4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）∵抛物线与x轴交于A (1，0)、B (3，0)两点 ∴解得：∴该抛物线解析式为： （2）设直线BE的解析式为∵B (3，0)、E， ∴解得：，∴直线BE的解析式为. 因为F是抛物线与BE的交点∴整理得： 解得：、（舍去）∴∴F（） 连接AH，与BE交于点G，设直线BC的解析式为∵B (3，0)、C
∴∴∴直线BC的解析式为∵H (1，y)在BC上∴H (1，) ∵A (1，0) ∴AH // y轴设点G坐标为∵G在BE上 ∴G (1，) ∴，过点F作FK⊥GH于K，∴∵S △FHB =S △FHG + S △BHG ∴ （3）延长MD与x轴交于点N，∴MN⊥x轴，垂足为N，由题意可知：DM = t ∵D (2，)，∴N (2，0)，∴， ∵∴又∵ ∴而∴Rt△ONM∽Rt△MNB ∴即∵，，∴ ∴，（舍去）∴秒时， （4）符合条件的P点坐标为(，) 理由如下：作点F关于x轴的对称点F’，由（2）知：F（），∴点F’（）连接BF’，∵B (3，0) 设直线BF’的解析式为∴ 解得：∴直线BF’的解析式为联立抛物线 有整理得：解得：、（舍去）
1 / 17 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是
( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 2 / 17 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac
二次函数 （一）、二次函数的平移 1.（2015湖北荆州第4题3分）将抛物线y =x 2﹣2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ） A ．y =（x ﹣1）2+4 B ．y =（x ﹣4）2+ 4 C ．y =（x +2）2+6 D ．y =（x ﹣4）2+6 2.（2015?山东临沂,第13题3分）要将抛物线平移后得到抛物线 ，下列平移方法正确的是（ ） (A ) 向左平移1个单位，再向上平移2个单位. (B ) 向左平移1个单位，再向下平移2个单位. (C ) 向右平移1个单位，再向上平移2个单位. (D ) 向右平移1个单位，再向下平移2个单位. 3.（2015上海,第12题4分）如果将抛物线y ＝x 2＋2x －1向上平移，使它经过点A (0，3)，那么所得新抛物线的表达式是_______________． （二）、二次函数的性质 1.（2015湖南邵阳第18题3分）抛物线y =x 2+2x +3的顶点坐标是 （﹣1，2） ． 2. （2015?四川乐山,第6题3分）二次函数的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．（2015·湖南省益阳市，第8题5分）若抛物线y =（x ﹣m ）2+（m +1）的顶点在第一象限，则m 的取值范围为（ ） A ． m ＞1 B ． m ＞0 C ． m ＞﹣1 D ． ﹣1＜m ＜0 4．(2015?江苏苏州,第8题3分)若二次函数y =x 2＋bx 的图像的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx =5的解为 A ．120,4x x == B ．121,5x x == C ．121,5x x ==- D ．121,5x x =-= 5．（2015·四川甘孜、阿坝，第9题4分）二次函数y =x 2+4x ﹣5的图象的对称轴为（ ） A ．x =4 B ．x =﹣4 C ．x =2 D ．x =﹣2 （三）、二次函数a 、b 、c 符号的确定 1.（2015?山东莱芜,第9题3分）二次函数的图象如图所示， 则一次函数的图象不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
人教版初中数学二次函数难题汇编及答案 一、选择题 1．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 1 2 > ；④b ＞1，其中正确的结论个数是（ ） A ．1个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】 由图象可得， a ＞0，b ＞0，c ＜0， ∴abc ＜0，故①错误， 当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确， 当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0， 由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ， 则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确， ∵12b a - >-，a ＞0，得1 22b a >>，故③正确， 故选C ． 【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b +＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝2 22ax bx +， 且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）
A ．①②③ B ．②④ C ．②⑤ D ．②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】 解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则- 2b a =1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0； 由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确） ：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误） ⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=2 11ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1- x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b a a a -=-=2 （故⑤正确） 故选D ． 考点：二次函数图像与系数的关系. 3．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ）
2021年广东省中考数学总复习第15讲：二次函数 一．选择题（共27小题） 1．（2020?广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论： ①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0， 正确的有（） A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2020?深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（） A．abc＞0 B．4ac﹣b2＜0 C．3a+c＞0 D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根 3．（2020?广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（） A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3 4．（2020?禅城区二模）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式﹣2m2+2m+2020的值为（） A．2018B．2019C．2020D．2021 5．（2020?深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2020?盐田区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A．abc＞0B．a+b+c＝0C．4a﹣2b+c＜0D．b2﹣4ac＜0 7．（2020?南沙区一模）已知A（﹣3，y1），B（?3 2，y2），C（1，y3）为二次函数y＝﹣x 2 ﹣4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（） A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 8．（2020?罗湖区一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（） A．b2＜4ac B．ac＞0C．a﹣b+c＝0D．2a﹣b＝0 9．（2020?福田区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x ＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x2＜1，有下列结论：①b2﹣4ac＞0； ②4a﹣2b+c＞﹣1；③﹣3＜x1＜﹣2；④当m为任意实数时，a﹣b≤am2+bm；⑤3a+c ＝0．其中，正确的结论有（）
2018中考数专题二次函数 (共40题) 线于点G . (1 )求抛物线 y= - x 2+bx+c 的表达式; (2)连接GB , E0,当四边形GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标; (3)①在y 轴上存在一点 H ,连接EH , HF ,当点E 运动到什么位置时，以 A , E , 顶点的四边形是矩形？求出此时点 E , H 的坐标; ②在①的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为O E 上一动点，求 (x -3)与x 轴交于A , B 两点，与y 轴的正半轴交于点 C,其 (1) 写出C, D 两点的坐标(用含 a 的式子表示); (2 )设 & BCD ： Sz\ABD =k ,求 k 的值； (3)当厶BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式. 1.如图，抛物线 y=- x 2+bx+c 与直线AB 交于A (- 4, - 4) , B (0, 4)两点，直线 -_ x 2 -6交y 轴于点C .点E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作EF 丄x 轴交AC 于点F , AC: y= 交抛物 F ，H 为 AM+CM 它 顶点为D .
3.如图，直线y=kx+b ( k 、b 为常数)分别与 x 轴、y 轴交于点A (- 4, 0)、B (0, 3),抛 物线y=- X 1 2+2X +1与y 轴交于点 C . (1) 求直线y=kx+b 的函数解析式; (2) 若点P ( X , y )是抛物线y=- X 2+2X +1上的任意一点，设点 P 到直线AB 的距离为d , 求d 关于x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点P 的坐标; (3)若点E 在抛物线y=- X 2+2X +1的对称轴上移动，点 F 在直线AB 上移动，求CE+EF 的最 1 求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标. 2 动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 X 轴正方向运动，同时动点 N 从 点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达A 点时，M 、N 同 时停止运动.过动点 M 作X 轴的垂线交线段 AB 于点Q ,交抛物线于点 P ,设运动的时间为 t 秒. ① 当t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形. ② 当t >0时，△ BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由. (0, 3),与X 正半轴相交于点 B,对 称轴是直线X =1
2015年中考真题初中数学---二次函数（1） 一．选择题（共30小题） 1．（2015?兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（） A ．y=3x﹣1 B ． y=ax2+bx+c C ． s=2t2﹣2t+1 D ． y=x2+ 2．（2015?宁夏）函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（） A ．B ． C ． D ． 3．（2015?锦州）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（） A ．B ． C ． D ． 4．（2015?沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（） A ．B ． C ． D ． 5．（2015?泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（） A ．B ． C ． D ．
6．（2015?安徽）如图，一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2 +bx+c 图象相交于P 、Q 两点，则 函数y=ax 2 +（b ﹣1）x+c 的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．（2015?咸宁）如图是二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2 +bx+c 的最大值为4； ②4a+2b+c ＜0； ③一元二次方程ax 2 +bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0． 其中正确的个数有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 8．（2015?衢州）下列四个函数图象中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的是（ ） A ． B ． C ． D ．
人教版初中数学二次函数解析 一、选择题 1．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：P （1，0）、Q （2，﹣2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2（m ＞0）与x 轴交于点A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是（ ） A ．12≤m ＜1 B ．12＜m ≤1 C ．1＜m ≤2 D ．1＜m ＜2 【答案】B 【解析】 【分析】 画出图象，利用图象可得m 的取值范围 【详解】 ∵y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2＝m （x ﹣2）2﹣2且m ＞0， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x ＝2． 由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意． ①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意． 将（1，﹣1）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1＝m ﹣4m +4m ﹣2．解得m ＝1． 此时抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +2． 由y ＝0得x 2﹣4x +2＝0．解得12120.622 3.42 x x ==- ≈+≈，． ∴x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意． 则当m ＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意． ∴m ≤1．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】 答案图1（m ＝1时） 答案图2（ m ＝时） ②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意． 此时x 轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意． 将（0，0）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0＝0﹣4m +0﹣2．解得m ＝12 ．
x D x O y A y x O B y x O O y C 2018年中考江苏十三市二次函数汇编 1. （常州）已知函数2 2y x x c =-++的部分图象如图所示,则c=______,当x______时,y 随x 的增大而减小. 2．宿迁在平面直角坐标系中,函数1+-=x y 与 2)1(2 3 --=x y 的图象大致是 3、泰州二次函数342 ++=x x y 的图象可以由二次函数 2 x y =的图象平移而得到，下列平移正确的是 A 、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B 、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C 、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D 、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 4、（常州）如图,抛物线2 4y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ,它的顶点为A ,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l ,设P 是直线l 上一动点. (1) 求点A 的坐标; (2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写 出这些特殊四边形的顶点P 的坐标; (3) 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当 462682S +≤≤+时,求x 的取值范围. 5、徐州.已知二次函数的图象以A （－1，4）为 （第7题） o x 13l y x -1-2 -1 -2 -4 -3 1 24 3 5123
顶点，且过点B（2，－5） ①求该函数的关系式； ②求该函数图象与坐标轴的交点坐标； ③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′， 求△O A′B′的面积. 27.解：（1）223 y x x =--+ （2）（0,3），（－3,0），（1,0） （3）略 6、南京26．（8分）已知二次函数2 y x bx c =++中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x (1) -01234… y…1052125… （1）求该二次函数的关系式； （2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？ （3）若 1 () A m y ，， 2 (1) B m y +，两点都在该函数的图象上，试比较 1 y与 2 y的大小． 7、镇江．福娃们在一起探讨研究下面的题目： 参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（） 贝贝：我注意到当0 x=时，0 y m =>． 晶晶：我发现图象的对称轴为 1 2 x=． 欢欢：我判断出 12 x a x <<． 迎迎：我认为关键要判断1 a-的符号． 函数2 y x x m =-+（m为常数）的图象如左图， 如果x a =时，0 y<；那么1 x a =-时，函数值（） A．0 y
二次函数中含45度角题型 1. 如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ， 两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°， 求点P 的坐标． 2. 如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数22 53 y x b x =-++的图像与x 轴、y 轴的公共点分 别为A （5，0）、B ，点C 在这个二次函数的图像上，且横坐标为3． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求∠BAC 的正切值； （3）如果点D 在这个二次函数的图像上， 且∠DAC = 45°，求点D 的坐标． A C D O x y （第24题图） B
Q P M A B C O y x 3．如图10，已知抛物线 c bx x y ++-=2过点A （2，0），对称轴为y 轴，顶点为P . (1) 求该抛物线的表达式，写出其顶点P 的坐标，并画出其大致图像； (2) 把该抛物线先向右平移m 个单位，再向下平移m 个单位(m > 0 )，记新抛物线的顶点为B ，与y 轴的交点为C . ① 试用m 的代数式表示点B 、点C 的坐标； ② 若∠OBC =45°，试求m 的值. 4．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题9分） 如图，抛物线22y ax ax b =-+经过点30,2C ? ?- ?? ?，且与x 轴交于点A 、点B ，若 2 3 tan ACO ∠= ． （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为M ，点P 是线段OB 上一动点（不与点B 重合），45MPQ ∠=，射线PQ 与线段BM 交于点Q ，当△MPQ 为等腰三角形时，求点P 的坐标． y A O x ( 图10 ) 1 1
人教版初中数学二次函数图文解析 一、选择题 1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A ．a +c ＝0 B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2 C ．当函数在x ＜110 时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜ 2a 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可． 【详解】 解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)， ∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2， ∴a +c ＝0，b ＝﹣2， ∴A 正确； ∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2， ∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ， ∴△＝4+4a 2＞0， ∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点， ∵x 1+x 2＝2a ，x 1x 2＝﹣1， ∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确； 二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣ 2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜ 110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误； ∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0， ∴m +n ＜0， 2a ＞0， ∴m +n ＜2a ；
∴D正确， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（） A．0＜t＜5 B．﹣4≤t＜5 C．﹣4≤t＜0 D．t≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x＜4时﹣4≤y＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x＝2， ∴b＝﹣4， ∴y＝x2﹣4x， 关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，∵﹣1＜x＜4， ∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5， ∴﹣4≤t＜5； 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．抛物线y＝-x2+bx+3的对称轴为直线x＝-1．若关于x的一元二次方程-x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（） A．-12＜t≤3B．-12＜t＜4 C．-12＜t≤4D．-12＜t＜3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2?2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3?t＝0的实数根看做是y＝－x2?2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解. 【详解】 解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1， ∴b＝?2， ∴y＝－x2?2x＋3，
1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标； （4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）． 已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）． （1）求d（点O，△ABC）； （2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围； （3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）． （1）求线段AB的长； （2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点 H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；
（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M． ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．
中考复习《二次函数的综合》精选 1．如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ??? ? ? -29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用） 解：⑴ ∵抛物线经过点D (2 9 ,3-) ∴29)3(212=+-?-c ∴c=6. ⑵过点D 、B 点分别作AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，设AC 与BD 交点为M ， ∵AC 将四边形ABCD 的面积二等分，即：S △ABC =S △ADC ∴DE =BF 又∵∠DME =∠BMF ， ∠DEM =∠BFE ∴△DEM ≌△BFM ∴DM =BM 即AC 平分BD ∵c =6. ∵抛物线为621 2+-=x y ∴A （0,32-）、B （0,32） ∵M 是BD 的中点 ∴M （ 4 9 ,23） 设AC 的解析式为y =kx +b ，经过A 、M 点
∴ ? ? ? ? ? = + = + - 4 9 2 3 3 2 b k b k 解得 ? ? ? ?? ? ? = = 5 9 10 3 3 b k ∴直线AC的解析式为 5 9 10 3 3 + =x y. ⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=43，于是以A点为圆心，AB=43为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP． 2．已知一次函数y＝1 2 1 + x的图象与x轴交于点A．与y轴交于点B；二次函数c bx x y+ + =2 2 1 图象与一次函数y＝1 2 1 + x的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点的坐标为)0,1(（1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEF的面积S； （3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）∵由题意知:当x=0时,y=1, ∴B（0，1）,当y=0时,x=－2, ∴A（－2，0） ∴ ?? ? ? ? = + + = 2 1 1 c b c 解得 ?? ? ? ? - = = 2 3 1 b c ,所以1 2 3 2 1 2+ - =x x y （2）当y=0时, 0 1 2 3 2 1 2= + -x x,解得x1=1,x2=2,∴D(1,0) E(2,0) ∴AO=3,AE=4. S=S△CAE －S△ABD，S=OB AD AE? - ? 2 1 3 2 1 ，S=4.5, (3)存在点P(a,0),当P为直角顶点时,如图,过C作CF⊥x轴于F, ∵Rt△BOP∽Rt△PFC, 由题意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE，
人教版初中数学二次函数知识点 一、选择题 1．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确； 根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：- 2b a =3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确； 根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确. 点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论. 2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ）
1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P，N． ①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； ②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值． 2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数表达式； （2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围． （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
3．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M 的关联点． （1）当⊙O的半径为2时， ①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是． ②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B （3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C． （1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式； （2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值． 5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD．