高等数学期末复习
第十二章 无穷级数
一、容要求
1、能用比较判别法，比值判别法，根值判别法，收敛必要条件，运算性质判别级数的审敛性运算性质判别级数的审敛性
2、能判别级数的绝对收敛，条件收敛
3、能用级数运算性质判别级数的审敛性
4、能用级数的相关概念与性质推出一些简单结论
5、会求幂级数的收敛半径
6、会确定幂级数的收敛域
7、会求收敛幂级数的和函数
8、会利用已知幂级数形式将简单函数作幂级数展开 9、能确定函数傅里叶展开式边界点的收敛值
10、会求傅里叶展开式的系数和作函数的傅里叶展开
二、例题习题
1、下列级数中收敛的是( )； A ．
(
)
∑∞=-+1
1n n n B ．∑
∞
=+11
1n n
C ．n
n n n ∑∞
=??
?
??+123 D ．∑∞
=??? ??+1211n n
1
2(1)n =≥≥+，所以(
)
∑∞
=-+1
1n n n 发散；
∑∞
=+111n n 发散，因为11n ∞=∑发散，所以∑∞
=??? ??
+1
211n n 发散，因此选C 。（容要求1）
2、下列级数中收敛的是( ) A.
∑
∞
=+1
121n n B.∑∞
=+11
3n n n
C.)1|(|1001<∑∞=q q n n
D.∑∞=-1132n n n 解：
121n ≥+，∑∞=+1121n n 发散；1
lim 313n n n →∞=+，∑∞
=+1
13n n n 发散；||1q <时，
100lim n n q →∞=∞，)1|(|1001<∑∞=q q n n
发散；2
13n =<，∑∞
=-1
132n n n 收敛，所以选D 。（容要求1）
3、下列级数中收敛的是( )；
A ．∑∞
=-1121n n B ．∑∞=122n n n C ．11ln(1)n n ∞=+∑ D ．∑∞
=??? ?
?
+1311n n
解：1121lim 12n n n →∞-=，∑∞=-1121n n 发散；2
12(1)12lim 122
n n n
n n +→∞+=<，∑∞=1
22n n n 收敛；1ln(1)lim 11n n n →∞+=，
11ln(1)n n ∞
=+∑发散；11n ∞=∑发散，∑∞=??? ??+1311n n 发散。所以选B 。（容要求1） 4、列正项级数中收敛的是( )；
A ．∑∞
=-112n n n B ．∑∞=12n n n C ．)11ln(1
∑∞=+n n D ．∑∞=+1)1(2n n n n
解：1lim 212n n n →∞=-，∑∞=-112n n n
发散；112n =<，∑∞=12n n n 收敛；)11ln(1
∑∞=+n n 发散；1
2(2)(1)
lim 212(1)
n n n n n n n +→∞++=>+；∑
∞=+1)
1(2n n n n 发散。所以选B 。（容要求1） 5、下列级数级数中发散的是( ).
(A) 11
(1cos )∞
=-∑n n (B)
11
2sin
3∞
=∑n n
n (C) 2
1
(!)(2)!∞
=∑n n n (D)
2
1
11n n
n ∞
=++∑ 解：观察易知
2
1
11n n
n ∞
=++∑发散，选取D 。（容要求1） 6、下列级数中发散的是( ).
(A) 11
(1cos )∞
=-∑n n (B)
11
2sin
3
∞
=∑n n n (C) 2
1
(!)(2)!∞
=∑n n n (D)
1
∞
=n 解：
观察易知
∞
=n 发散，选取D 。（容要求1） 7、下列级数中发散的是( )
A.∑
∞
=+-1
)1()1(n n
n n B.)1|(|)1(1>-∑∞
=q q
n n n
C.∑∞=-1131n n
D.∑∞
=+1)1ln(n n
解：观察易知
∑∞
=+1
)1ln(n n 发散，选取D 。
（容要求1） 8、下列级数中满足绝对收敛的是( )； A ．∑∞
=---1
1
12)
1(n n n n B ．∑∞=-11sin )1(n n n C ．∑∞=-1
3)1(n n n n D ．∑∞=-+-11)1(2)
1(n n n n n 解：121n n n ∞
=-∑、1
1sin n n ∞=∑、12(1)n n n n ∞=+∑发散，13n n n ∞=∑收敛，所以∑∞=-13)1(n n n n 绝对收敛，选
C 。（容要求2）
9、下列级数中绝对收敛的是( ) (A)
1n
n ∞
= (B)
n
n ∞
= (C) 1
1
(1)ln(1)n n n +∞
=-+∑ (D)
1
(1)n
n n ∞
=-∑ 解：
因为由正项级数审敛法，
1
n ∞
=、11n n ∞=∑、11ln(1)n n ∞=+∑
都发散，而1n ∞
=收
敛，所以1n
n ∞
=绝对收敛，选B 。（容要求2）
10、下列级数中满足绝对收敛的是( )；
A ． 1(1)1n
n n n ∞
=-+∑ B ．11(1)sin n n n ∞=-∑ C
．1(1)n n ∞=-∑ D ．1
(1)2n n n n ∞
=-∑ 解：选D 。（容要求2）
11、下列级数中条件收敛的是( ) (A)
1
1(1)
n n ∞
+=-∑ (B) 211(1)n
n n
∞
=-∑ (C) 1
(1)1n
n n
n ∞
=-+∑ (D)
1
1
(1)(1)
n
n n n ∞
=-+∑ 解：
作为交错级数
1
(1)n n ∞
+=-∑收敛，但不绝对收敛，因此，选A 。（容要求2）
12、下列级数中满足条件收敛的是( )；
A ．∑∞
=--112)1(n n
n n B ．∑∞=--1211)1(n n n C ．∑∞=-13)1(n n n n D ．∑∞
=-1
1)1(n n n 解：∑∞
=--112)1(n n
n n 不收敛，∑∞=--1211)1(n n n 、∑∞
=-1
3)1(n n n n 绝对收敛，因此，选D 。（容要求2）
13、若级数
1n
n u
∞
=∑收敛，则下列级数不收敛的是( )．
(A)
1
2∞
=∑n
n u
(B)
1
(2)∞=+∑n
n u (C) 1
2∞
=+∑n
n u
(D)
2
n
n u
∞
=∑
解：由收敛性质易知
1
(2)∞
=+∑n
n u 不收敛，所以选B 。
（容要求3） 14、12.9 若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，则下列级数不收敛的是( )．
(A)
1
10∞
=∑n
n u
(B)
1
(10)∞=+∑n
n u (C) 1
10∞
=+∑n
n u
(D)
10
∞
=∑n
n u
解：由收敛性质易知
1
(10)∞
=+∑n
n u 不收敛，所以选B 。
（容要求3） 15、若级数
1n
n u
∞
=∑收敛，则下列级数中发散的是( ).
(A)
1
10n
n u
∞
=∑ (B)
10
1n n u
∞
+=∑
(C) 1
10n
n u
∞
=+
∑ (D)
1
(10)n
n u ∞
=+∑
解：由收敛性质易知
1
(10)∞
=+∑n
n u 不收敛，所以选D 。
（容要求3） 16、如果级数∑∞
=1
n n
u
条件收敛，则
||1
∑∞
=n n
u
( ).
A ．必收敛
B. 必发散
C. 不一定收敛
D. 无法判断
解：由定义，
∑∞
=1n n
u
条件收敛，则
||1
∑∞
=n n
u
必发散。所以选B 。（容要求4）
17、如果级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则极限n n u ∞
→lim ( ).
A ．存在 B. 不存在 C. 等于零 D. 无法判断
解：由性质，
∑∞
=1n n
u
收敛，则极限lim 0n n u →∞
=，所以选C 。（容要求4）
18、若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，则lim(1)n n u →∞
-= ( ).
(A) 2 (B) 0 (C) 1 ( D) 1- 解：由收敛性质，lim(1)1n n u →∞
-=-，所以选D 。（容要求4）
19、若级数
1
(1)∞
=-∑n
n u 收敛，则lim →∞
=n
n u
解：由收敛必要条件：lim(1)0n n u →∞
-=，所以填lim 1n n u →∞
=。（容要求4）
20、若级数
1
∞
=∑n
n u
收敛，则2
lim(2013)→∞
-+=n n n u u
解：由收敛必要条件：lim 0n n u →∞
=，所以填2013。（容要求4）
21、lim 0n n u →∞
=是
1n
n u
∞
=∑收敛的 条件
解：lim 0n n u →∞
=是
1
n
n u
∞
=∑收敛的必要条件，所以填“必要”。（容要求4）
22、幂级数1
n
n x n ∞
=∑的收敛半径为
解：1
1lim 11n n n
→∞+=，1
n n x n ∞
=∑的收敛半径为1，填1。
（容要求5） 23、幂级数
1
1
(1)
n
n n x n
∞
-=-∑的收敛半径为
解：1
1lim 11n n n
→∞+=，11
(1)
n n n x n ∞
-=-∑的收敛半径为1，填1 （容要求5） 24、幂级数1
2n
n
n x n ∞
=?∑的收敛半径R = 解：11
1
(1)2lim 122n n n
n n +→∞+?=?，12n n
n x n ∞
=?∑收敛半径2R =，所以填2。（容要求5）
25、幂级数1
(1)n
n
n x n ∞
=-∑的收敛域为( ).
A ．[1,1]- B.(1,1]- C.[1,1)- D. (1,1)-
解：1
1lim 11n n n
→∞+=，1(1)
n n n x n ∞=-∑的收敛半径为1，又1x =-时，1
11(1)n n n n x n n ∞∞
==-=∑∑发散，1x =时，11
1
(1)(1)n n
n n n x n n ∞
∞
==-=-∑∑收敛 ，所以收敛域为(1,1]-，故选B 。（容要求6） 26、幂级数∑∞
=1n n
n
x 的收敛域为( )；
(A) )1,1(-； (B) )1,1[-； (C) ]1,1(-； (D) ]1,1[-.
解：1
1lim 11n n n
→∞+=，∑∞=1n n n
x
的收敛半径为1，1x =-，11(1)n n n n x n n ∞∞==-=∑∑收敛，1x =时，
111n n n x n n ∞
∞
===∑∑发散，所以收敛域为)1,1[-，故选B 。（容要求6）
27、幂级数∑∞
=1
n n
n x 的收敛域为 。
解：收敛域为)1,1[-。（容要求7）
28、幂级数∑∞
=12n n
n
x 的收敛域为 。
解：收敛域为[1,1]-。（容要求7）
29、幂级数
∑
∞
=1
n n
n
x 的收敛域为 。 解：收敛域为)1,1[-。（容要求7）
30、 求幂级数
1
1
n n nx
∞
-=∑的收敛域，并求和函数。
解：1
lim
1n n n →∞+=，所以收敛半径为1，又1,1x =-，n →∞，11
n n nx ∞
-=∑发散，所以收敛 域为(1,1)-。令1
1
()n n s x nx
∞
-==
∑，则
1
1
1
1
()11x
x
n n n n s x dx nx dx x x
∞
∞
-=====
--∑∑?
?，两边求导得2
1
()(1)s x x =
-，(1,1)x ∈-。（容要求8）
31、求幂级数∑∞
=+1
)1(n n
x n n 的收敛域，并求和函数。
解：易求得∑∞
=+1
)1(n n
x n n 收敛域为(1,1)-。令1
()(1)n
n s x n n x
∞
==
+∑，两边积分得，并由12.51
的结果有
2
1
2
1
2
1
1
()(1)x
n n n n x s x dx nx
x
nx
x ∞
∞
+-=====-∑∑?
，两边求导，有 223
2()[],1 1.(1)(1)
x x
S x x x x '==-<<--（容要求8） 32、求幂级数∑
∞
=++01
1
1n n x n 的收敛域，并求和函数。
解：易求得∑∞
=++01
11n n x n 收敛域为[1,1)-。令10
1()1n n s x x n ∞
+==+∑，两边求导，有0
1
()1n n s x x x ∞
='==
-∑，两边积分得01()ln(1),[1,1)1x s x dx x x x
==--∈--?。（容要求8）
33、求幂级数∑∞
=----1
1
2112)1(n n n n x 的收敛域，并求和函数。
解： 1
21lim 1121
n n n →∞+=-，∑∞=----112112)1(n n n n x 的收敛半径为1，又1,1x =-，∑∞
=----1
12112)1(n n n n x 收敛，所以，∑∞
=----1
1
2112)1(n n n n x 的收敛域为[-1，1]。令1211(1)()21n n n x s x n --∞
=-=-∑，两边求导得，
1
2(1)
1212
1
1
1
()(1)
(1)()1n n n n n n s x x
x x
∞
∞
----=='=-=-=
+∑∑，两边积分得 ()tan ,[1,1]s x arc x x =∈- （容要求8）
34、 ∑∞
=-0
2!)1(n n
n n x 在∞<<∞-x 的和函数是=)(x f ( )
A. 2
x e - B. 2x e C. 2
x e
-- D.2
x e -
解：2
200
(1)(1)!!n n n n x
x n n x x e
e n n ∞
∞--==--=?=∑∑，所以选A 。（容要求8）
35、∑∞
=-0
2)!2()1(n n
n n x 在∞<<∞-x 的和函数是=)(x f ( )
A.x e -
B.x e
C.x cos
D.x sin
解：∑∞
=-0
2)!2()1(n n
n n x 显然为偶函数，所以选C 。（容要求8）
36、幂级数
∑∞
=-1
1
n n nx
的和函数为( ).
A ．2)1(1x --
B. 2
)1(1x - C. 2)1(x x --
D. 2(1)x
x - 解：令1
1
()n n s x nx
∞
-==∑，则
1
1
1
1
()11x
x
n n n n s x dx nx dx x x
∞
∞
-=====
--∑∑?
?，两边求导得2
1
()(1)s x x =
-，所以选B 。（容要求8）
37、求幂级数
∑∞
=-1
)
1(n n
x n 的和函数。
解：令1()(1)
n
n s x n x ∞
==
-∑，则
12
1
1
1
()(1)(1)(1),|1|1(2)n
n n n x s x n x x n x x x ∞
∞
-==-=-=--=
-<-∑∑
即2
1
(),02(2)
x s x x x -=
<<-。（容要求8） 38、将x
x f 1
)(=
展开成1-x 的幂级数的展开式为 。 解：0
11
()(1)(1),021(1)n n n f x x x x x ∞
===
=--<<+-∑，所以填 0
(1)
(1),02n
n n x x ∞
=--<<∑ （容要求8）
39、将2
1
)(+=
x x f 展开成x 的幂级数的展开式为 。 解：1001111(1)()(1)(),(2,2)2222212
n n n
n n n n x f x x x x x ∞∞
+==-=
==-=∈-++∑∑（容要求8） 40、函数x
x f -=
21
)(展开成x 的幂级数的形式为 解：1001111(),(2,2)2222212
n n
n n n n x x f x x x x ∞∞
+======∈---∑∑（容要求8）
41、函数3
)(x e x f =展开成x 的幂级数的形式为
解：3003(),(,)!3!
n
x n n n n x x f x e x n n ∞∞
==?? ???===∈-∞+∞∑∑ （容要求8）
42、将函数()f x =x
a 展成x 的幂级数，并给出其收敛域. 解：ln 00
(ln )ln (),(,)!!n n x
x a
n
n n x a a f x a e x x n n ∞
∞
======∈-∞+∞∑∑（容要求8）
43、将函数x
x f 1
)(=
展开成)3(-x 的幂级数，并给出其收敛域.
解：1
0111(3)()(1),(06)33313
n n n n x f x x x x ∞
+=-===-<<-+∑（容要求8） 44、函数
x
x f +=
21
)(展开成1-x 的幂级数，并给出其收敛域. 解：1
0111(1)()(1),(0,6)123313
n n n n x f x x x x ∞
+=-===-∈-++∑（容要求8） 45、将函数2
3)(2
+-=x x x
x f 展开成x 的幂级数 解：
20001211
()321211221,(1,1)22
n n n
n n n n n n x f x x
x x x x x x x x x ∞∞
∞====
=-=-
-+-----=-=∈-∑∑∑（容要求8）
46、 函数)(x f 以π2为周期，它在),[ππ-上的表达式为??
?<≤<≤--=π
πx x x f 0,10,1)(，则
)(x f 的傅里叶级数在π-=x 处收敛于 ( ).
A ．0 B. 1 C. 1- D. 2
解：
()()11
022
f f ππ-++--+==，所以选A 。
（容要求9） 47、 函数)(x f 以π2为周期，它在),[ππ-上的表达式为???<≤<≤-=π
πx x x x f 0,00
,)(，则)
(x f 的傅里叶级数在π-=x 处收敛于 解：
()()00
022
f f ππ-++-+==，所以填0。
（容要求9） 48、函数)(x f 以π2为周期，它在(,]ππ-上的表达式为()f x x π=+，则)(x f 的傅里叶级数在x π=处收敛于 解：
()()0222
f f πππ
π-++-+==，所以填π。（容要求9）
49、函数)(x f 以π2为周期，它在),[ππ-上的表达式为???<≤<≤--=π
πx x x f 0,20
,2)(，则
)(x f 的傅里叶级数在π=x 处收敛于 .
解：填0。（容要求9）
50、函数?????≤<+≤≤--=π
πx x x x f 0,10,
1)(2
，则)(x f 以π2为周期的傅里叶级数在点π=x 处
收敛于 ； 解：填2
2
π。（容要求9）
51、函数)()(2
πππ<<-+=x x x x f 的傅里叶级数展开式中的系数=3b 。 解：231
2()sin 33b x x xdx π
π
πππ
-
=
+=
?，所以填23
π
。（容要求10） 52、设)(x f 是以2π为周期的周期函数，它在[-π,π)上的表示式为 ???<<-<≤-=π
πx x x f 0,10
,1)(
将)(x f 展开成傅里叶级数。
解：??
???????+--+???++-
=x k k x x x f )12sin(1213sin 31sin 4)(π ???±±≠+∞<<-∞,2,,0;(ππx x ） （容要求10） 53、设)(x f 是以2π为周期的周期函数，它在[-π,π)上的表示式为
???<<<≤-=ππx x x f 0,10
,0)(
将)(x f 展开成傅里叶级数。
解：??
?
??????+--+???+++=
x k k x x x f )12sin(1213sin 31sin 221)(π ???±±≠+∞<<-∞,2,,0;(ππx x ）（容要求10）