谈一元二次方程的有理根与整数根的条件
整系数一元二次方程()ax bx c a 2
00++=≠有有理根的充要条件是：?=-b ac 24为一有
理数的平方。而有整数根，△必为一完全平方式。
注意这里c b a ,,皆为整数，前者△是有理数的平方，而非一般认为的完全平方式。而后者△为一完全平方式只是必要条件，不是充分条件，正确应用这些条件，可以解决很多有趣的问题，但在应用中往往要结合整数性质进行讨论。 一、与有理根有关的问题
例1. m 为有理数，问k 为何值时，方程x mx x m m k 22443240-++-+=的根为有理数？
解：原方程即： ()x m x m m k 22
413240--+-+=
如若有有理根，则()()()[]
?=---+=-+-161432446412
2
2
m m m k m m k 应是某一有
理数的平方，可知()419-=k ，从而k =-54
。 本题也可这样解：原方程化为()
[]
()x m m k --=---213542
2
如有有理根，则--=540k 得k =-54
二、与整数根有关的问题
例2. 若方程x mnx m n 2
0-++=有整数根，且n m ,为自然数，则n m ,的值有__________个。 解：x mnx m n 2
0-++=……(*)有整数根，则()?=--mn m n 2
44为一完全平方式，设为
()k k N 2∈，于是m n m n k 22244--=
即m n m n k 2
2
2
440
1---=<>
视<1>为m 的一元二次方程，它应有整数解，由
x x n x x n k n 122122
2
44+==-+， 可见n ≤2
（1）令n =1，则<1>式为：m m k 2
2
4402---=<>
<2>若要有整数解，则()(
)()?=----=+4444822
2
k
k 应为完全平方式。
令()822+=∈k a a N ，则()()822
=-=+-a k a k a k
因为81824=?=? 所以有如下两种情形。
?
??=-=+18)k a k a a 无整数解，舍去。
b a k a k a k )+=-=??
?→==??
?423
1
代入<2>式得：m m 24410---= 所以m =5或m =-1（舍去） 将n m ==15，代入（*）式得： x x 1223==，
所以m n ==51，满足条件。由对称性（方程系数是对称的）知n m ==51，也是所求。 （2）令n =2，则<1>式为：448032
2
m m k ---=<>
<3>若有整数解，则()(
)()?=--?--=+444816922
2
k
k 应为某一完全平方式
故令()922+=∈k b b N ，则 ()()922
=-=+-b k b k b k
因为99133=?=? 所以又有两种情形。
a b k b k b k )+=-=???→
==333
代入<3>式得：m =2或m =-1（舍去） 将n m ==22，代入（*）得：
x x 122==
所以m n ==22，为所求。
b b k b k b k )+=-=???→==??
?
915
4 代入<3>式得：m =3或m =-2（舍去） 将m n ==32，代入（*）式得：
x x 1215==，，有整数解，故m n ==32，为所求。
由对称性知n m ==32，也为所求。
故符合题意的整数对m 、n 有（5，1）、（1，5）、（3，2）、（2，3）、（2，2）共5个。
三、与因式分解有关的问题
例3. m 是什么整数时，95262m m ++能分解成两个连续自然数的积？
解：设()952612
m m n n ++=+（n 为自然数），则：
n n m m 22
95260
1+---=<>
原问题即m 为何值时关于n 的一元二次方程<1>有正整数解，所以：
()
?=----=++149526362010522m m m m 应为某整数的平方，
设为()t
t 2
0>。则：362010522m m t ++=
化为：3620105022
2
m m k ++-=<>
因为m 是整数，故再次利用有整数解的条件，应有()
?12220436105=-?-=k
()
1699202k -是某一整数的平方，
也即99202
k -为一完全平方数，又设为()a a 20>，于是992022k a -=，即992022k a -=或()()920333=+-<>k a k a
因为92025233=??
所以9202460423051848115109220464023=?=?=?=?=?=?=? 又因()332k a k a a +--=是偶数，故3k a +与3k a -有相同的奇偶性，故：
①3460
32k a k a +=-=???
②3230
34k a k a +=-=???
③392310k a k a +=-=??? ④346320k a k a +=-=???
由①解得：k =77，此时<2>式为： 362016012
m m m +-=→=-或m =4
9
（舍去） 由②解得：k =39，此时<2>式为： 36201416062
m m m +-=→=或m =-59
9
（舍去） 由③解得：k =17，此时<2>式为： 3620184022m m m +-=→=或m =-23
9
（舍去） 由④解得：k =11，此时<2>式为： 362016012m m m +-=→=-或m =
4
9
（舍去） 经检验，m =--12613、、、均为所求值，所以m =--12613、、、时，
95262m m ++能分解成两个连续的自然数的积。事实上，对95262m m ++：
m =-1时，3056=? m =2时，7289=? m =6时，3801920=? m =-13时，14823839=?
注意“△是一完全平方式”只是整系数一元二次方程有整数根的必要条件，倘若将它视为充要条件则会出现错误。
例4. （1998年全国初中数学竞赛试题）已知方程()
a x a a x a a 222238213150--+-+=（a 是非负整数）至少有一个整数根，那么a =____________。 如若认为(
)
()
()?=---+=+3842131522
2
2222
a a
a a a a a 是完全平方式，从而原方
程至少有一整数根，那就大错特错了。实际上由方程解出x a x a
122315
=-=-，。
故当a =2或a =4或a >5时均不可能有整数解。