② 已知 Ωc 、Ωs 和 Ω=Ωp( Ω ≠ -3dB
1.总结学过的滤波器设计方法，用 matlab 仿真例子分析不同设计方法的滤波器 的性能及适应场合。
答：
1.1 模拟低通滤波器的设计方法
1.1.1 Butterworth 滤波器设计步骤：
⑴.确定阶次 N
① 已知 Ωc 、Ωs 和 As 阶数 N
求出 p )的衰减 Ap 求 阶数 N
③ 已知 Ωp 、Ωs 和 Ω=Ωp 的衰减 Ap 和 As
则：
(Ω p / Ωc )2N
= 10 A p /10 -1, (Ωs / Ωc )2N
= 10
A s
/10 -1
⑵.用阶次N确定H a(s)
根据公式：
H a(s)H a(-s)在左半平面的极点即为H a(s)的极点，因而
1.1.2切比雪夫低通滤波器设计步骤：
⑴.确定技术指标ΩpαpΩsαs
归一化：λp=Ωp/Ωp=1λs=Ωs/Ωp ⑵.根据技术指标求出滤波器阶数N及ε：
δ=αp
ε2=100.1δ-1
⑶.求出归一化系统函数
其中极点由下式求出：
、阻带截止频率ω 、阻带最小衰减系数α s 。
或者由 N 和 S 直接查表得 H a ( p )
2.数字低通滤波器的设计步骤：
（1） 确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率
α p
ωp
、通带最大衰减系数
（2）将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。
巴特沃斯：
k =1
切比雪夫： λs = Ωs / Ω p
ε 2 = 100.1δ -1
δ = α p
p
t t t t H a (s )= ∑
t
h a (t )= ∑ A i e s i t
u (t )
（3）把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数 H (S ) 映射成数
字滤波器的系统函数 H (z ) 。
实现系统传递函数 s 域至 z 域映射有脉冲响应不变法和双线性映射两种方法。
（3.1）脉冲响应不变法。
按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数 H a (s )转换成数字低通滤波器的系统函数 H(z)。
设模拟滤波器的传输函数为 H a (s )，相应的单位冲激响应是 h a ( )， H a (s )=LT[
h a ( )]，LT[.]代表拉氏变换，对 h a ( )进行等间隔采样，采样间隔为 T ，得到
h a (nT
)
，将 h(n)=
h a (nT )
作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的
系统函数 H(z)便是 h(n)的 Z 变换。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方 法，它是 h(n)在采样点上等于 h a ( )。
设模拟滤波器 H a (s )只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次， 将 H a (s )用部分分式表示：
N
i =1 A i
s - s i ，式中 s i 为 H a (s )的单阶极点。
将 H a (s )逆拉氏变换得到 h a ( )：
N
i =1
，式中 u(t)是单位阶跃函数。
h (n )= h a (nT ) = ∑ A i e s i
nT
u (nT )
t A i H (z )= ∑
i =1 1 - e H (z ) z =e sT = ∑ H ±π/T 之间，再用 z = e 转换到 z 平面上。设 Ha （s ），s=j Ω，经过非线性频率
对 h a ( )进行等间隔采样，采样间隔为 T,得到：
N
i =1
对上式进行 Z 变换，得到数字滤波器的系统函数 H(z)：
N s i T z -1
，
经过一系列变换得到：
1 T k
a (s - jk Ω s )
（3.2）双线性变换法
这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到
sT
压缩后用 Ha （s1）， s 1 =j Ω1 表示，这里用正切变换实现频率压缩：
Ω =
2
T
tan (0.5Ω1T )
式中 T 仍是采样间隔，当 Ω1 从-π/T 经过 0 变化到 π/T 时，Ω 则由-∞经过 0
变化到+∞，实现了 s 平面上整个虚轴完全压缩到 s 1 平面上虚轴的±π/T 之间的 转换。这样便有
s = 2 T th (0.5Ω1T )= 2 1 - z -s 1
T
T 1 + z -s 1t
再通过 z = e
2 1 - z -1
s =
T 1 + z -1
sT
转换到 z 平面上，得到：
tan ω
z = 2 T 2 T
+ s
- s 令 s = j Ω, z = e j ω
，有
j Ω = 2 1 - e - j
ω
T 1 + e - j ω Ω =
2 T 1 2
两种方法比较：
脉冲响应不变法的优点：
1）模拟频率到数字频率的转换时线性的；
2）数字滤波器单位脉冲响应的数字表示近似原型的模拟滤波器单位脉冲响应， 因此时域特性逼近好。
缺点：
会产生频谱混叠现象，只适合带限滤波器 双线性变换法优点：
克服多值映射得关系，可以消除频率的混叠 缺点：
时域到频域的变换是非线性的，在高频处有较大的失真。
3.数字高通滤波器的设计步骤：
① 数字高通滤波器的技术指标为：通带截止频率 ωp 阻带截止频率 ωs
通带衰减频率 阻带衰减频率
cot( s )
cot( p )
=
Ω ?
w p = 2π f p / F s
w s = 2π f s / F s
② 预畸变处理，将数字高通指标转换为模拟低通指标
Ωs = 2 T w 2
Ω p =
2
T
w 2
④ 确定阶数 N
由
N =
Ωs Ω p
（可由模拟低
通滤波器设计方法可得 H a (s ) ）
④ 归一化及去归一化
查表令 s=s/Ω 归一化模拟低通圆型系统函数
( ) =
1
2
+ 2 + 1
⑤ 低通向高通转化
令 s1=1/s 由频率变换公式
( ) = ( )|
即可得
⑥ 滤波器数字化
令 s = T 1 + z -1
2 1- z -1 利用双线性变换化
( ) = ( )|
=
1 ? ? 1
1 + ? 1
带入数据可得数字高通 H(z)
数字高通不能采用脉冲响应不变法原因是：脉冲响应不变法有频谱周期延拓效 应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。而高频衰
减越大，频响的混淆效应越小，至于高通滤波器,由于它们在高频部分不衰减， 因此将完全混淆在低频响应中。
4.数字带通滤波器的设计：
步骤：
Ω =
2 ? tan ( )
（1） 确定性能指标: 在设计带通滤波器之前,首先根据工程实际的需要 确定
滤波器的技术指标:通带截止频率 wc1,wc2、阻带截止频率 wr1，wr2、阻带 最小衰减 αs 通带最大衰减 αp
(2) 对带通数字滤波器 H(z)的数字边界频率预畸变
2
得到带通模拟滤波器 H(s)的边界频率
主要是通带截止频率 ωp1,ωp2;阻带截止频率 ωs1，ωs2 的转换。
对双线性变换法一般 T=2s
通带截止频率 wc1=(2/T)*tan(wp1/2) 、wc2=(2/T)*tan(wp2/2)
阻带截止频率 wr1=(2/T)*tan(ws1/2)、wr2=(2/T)*tan(ws2/2)
阻带最小衰减 αs
通带最大衰减 αp
(3)低通到带通频率变换
=
(
(Ω2) ? (Ω02)
? Ω
)
将模拟带通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标。
B=wc2-wc1
normwr1=(((wr1^2)-(w0^2))/(B*wr1))
normwr2=(((wr2^2)-(w0^2))/(B*wr2))
normwc1=(((wc1^2)-(w0^2))/(B*wc1))
s=T1+z s(Ω
u
-Ω
l
)
s=21-z
H(z)
z=e sT
=∑H
normwc2=(((wc2^2)-(w0^2))/(B*wc2))
模拟低通滤波器指标：
normwc，normwr，αp，αs
(4)设计模拟低通原型滤波器。查表得到归一化低通传输函数G(p)：
()=
1
2+2+1
用模拟低通滤波器设计方法（由巴特沃斯设计步骤或切比雪夫设计步骤）得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(s)
(5)模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器。
H a(s)=G(p)p=s2+Ω20
s(Ωu-Ωl)
(6)利用双线性变换法将模拟带通滤波器Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)
由
-1
21-z-1
p=s
2+Ω
20
-1
1+z-1得到
()=()|
=1?
?1
1+?1
也可以用脉冲响应不变法：1
T k a
(s-jkΩs)
两种方法比较比较：
脉冲响应不变法数字滤波器单位脉冲响应的数字表示近似原型的模拟滤波器单位脉冲响应，因此时域特性逼近好。但会产生频谱混叠现象，只适合带限滤波器
双线性变换法可以克服多值映射得关系，可以消除频率的混叠但时域到频域的变换是非线性的，在高频处有较大的失真。
5.数字带阻滤波器的设计：
Ω=2
?tan()
步骤：
（1）确定性能指标:
通带截止频率wc1,wc2、阻带截止频率wr1，wr2、阻带最小衰减αs通带最大衰减αp
(2)对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变
2
主要是通带截止频率ωp1,ωp2;阻带截止频率ωs1，ωs2的转换。
对双线性变换法一般T=2s
通带截止频率wc1=(2/T)*tan(wp1/2)、wc2=(2/T)*tan(wp2/2)
阻带截止频率wr1=(2/T)*tan(ws1/2)、wr2=(2/T)*tan(ws2/2)
阻带最小衰减αs通带最大衰减αp
（由模拟低通滤波器设计方法可得H a(s)）
模拟低通滤波器确定模拟带阻滤波器
由模拟低通到模拟带阻的变换这一模拟低通到带阻的变换关系为
=
Ω20 2+Ω
20
式中s为模拟低通原型拉普拉斯变量(s=σ+jΩ)，为模拟带阻的拉普拉斯变量(=σ+jΩ)，
Ω0是模拟带阻滤波器的几何中心频率。令=jΩ可得
=
Ω20Ω
Ω20?Ω2
故平面的虚轴与s平面的虚轴相对应，代入s=jΩ，消去j，可得
= Ω20 2 + Ω
20
)
由模拟带阻到数字带阻的变换
= 11 +? ? 1
Ω =
20Ω
Ω20 ? Ω2
低通的阻带映像到带阻的阻带
Ω = Ω20Ω1
Ω20 ? Ω21
? Ω = Ω20Ω2
Ω20 ? Ω22
化简得到：
Ω0 = Ω1Ω2 = Ω2 ? Ω1 = Ω1Ω3
Ω
在 H ( )中的变换关系，可得到带阻滤波器系统函数
= |
(
仍利用双线性变换
? 1
模拟低通原型滤波器的 平面变换成数字带阻滤波器的 平面的表达式
可得
=
1(1 ? ? 1) 1 ? 1 ? 1 + ? 2
从模拟低通系统函数 H ( )，转换数字带阻系统函数
= |
=
1(1 ? ?
1)
1 ? 1 ? 1 + ? 2
数字带阻滤波器不能用脉冲响应不变法：原因是脉冲响应不变法有频谱周期延拓效应，因
此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。而高频衰减越大，频响的混
淆效应越小，至于带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。
信信/H
MATLAB 中程序运行： >> fp=2100; fs=8000; >>Fs=20000;
>>Rp=0.5; Rs=30;
>>T=1/Fs; %设计指标 >>W1p=fp/Fs*2;W1s=fs/Fs*2;
>> [N,Wn] = buttord (W1p,W1s,Rp,Rs,'s'); >> [z,p,k]=buttap(N); >> [bp,ap]=zp2tf(z,p,k);
>> [bs,as]=lp2lp(bp,ap,Wn*pi*Fs);
>> [bz,az]=impinvar(bs,as,Fs); %用脉冲响应不变法进行模数变换 >>sys=tf(bz,az,T);
>> [H,W]=freqz(bz,az,512,Fs);
>> plot(W,abs(H)); grid on; xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅/H'); title('巴特沃斯滤波器')
信 信 信 信 信 信 信
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
信 信 /Hz
>>fs=20000; wp=2*pi*2100/fs; ws=2*pi*8000/fs; >>Rp=0.5; >>Rs=30; >>Ts=1/fs;
>>Wp=2/Ts*tan(wp/2);Ws=2/Ts*tan(ws/2); >> [N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s'); >> [z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs); >> [Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k); >>[b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wn); >> [bz,az]=bilinear(b,a,fs);
>>[H,f]=freqz(bz,az,512,fs);
>>plot(f,abs(H));title('椭圆低通滤波器');grid on;xlabel('频率
/Hz');ylabel('振幅/dB')
>>Fs=20000;
>>Flp=2100;
>>Fls=8000;
>>Wp=2*Flp/Fs;
>>Ws=2*Fls/Fs;
>>Rp=0.5;
>>Rs=30;
>>[N,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs);
>>[b,a]=cheby1(N,Rp,Wn);
>>[hw,w]=freqz(b,a);
>>plot(w/pi,abs(hw));grid on;
>>xlabel('ω/π');ylabel('幅度（dB）');title('切比雪夫I型幅频响应')
信信信d B 信
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
信 信 信 信 I 信 信 信 信 信
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
ω/π
>> Fs=20000; >>Flp=2100; >>Fls=8000; >>Wp=2*Flp/Fs; >>Ws=2*Fls/Fs; >>Rp=0.5; >>Rs=30;
>> [N,Wn]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs); >> [b,a]=cheby2(N,Rs,Wn); >> [hw,w]=freqz(b,a);
>> plot(w/pi,abs(hw)); grid on;
>> xlabel('ω/π');ylabel('幅度（dB ）');title('切比雪夫 II 型幅频响应');
信信信d B 信
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
信 信 信 信 II 信 信 信 信 信
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
ω/π
2. 用计算机麦克录自己的语音信号，语音信号采样频率为 22050，用 matlab
完成下列分析：
1）播放语音信号；对信号做 1024 点 FFT 变换；做原始语音信号的时域图形； 做原始语音信号的 FFT 频谱图。
答：matlab 代码如下：
>> fs = 22050;
>> I = audioread('C:\Users\Desktop\1.wma'); >> sound(I,44100) %播放语音信号
>> y = fft(I,1024); %对信号做 1024 点 FFT 变换 >> plot(I);
>> title('刘珊原始语音信号波形图'); >> xlabel('时间');ylabel('幅值'); >> y1=fft(I,1024); >> f=fs*(0:511)/1024; >> plot(abs(y1(1:512)))
>> title('原始语音信号 FFT 频谱');
信信
1.2
x 10
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
信 信 信 信 信 信 信 信 信 信 信
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
1
0.8
0.6
0.4
0.2信 信
-3
信 信 信 信 信 信 信 信 FFT 信 信 x 105
2）在语音信号中加入随机噪声；播放加噪声后的语音信号，绘制加噪后的语音 信号； 答：
>> fs=22050;
4.5x10
>>[I,fs]=audioread('C:\Users\Desktop\1.wma');
>>noise=0.1*randn(length(I),2);
>>Si=I+noise;%加入噪音信号
>>sound(Si,fs);%播放加噪后语音信号
>>plot(Si);
>>title('刘珊加噪语音信号的时域波形');
>>y=fft(I,1024);
>>f=fs*(0:511)/1024;
>>plot(abs(I(1:512)))
>>title('刘珊加噪语音信号的FFT频谱');
-5信信信信信信信信信FFT信信
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0100200300400500600
x10-5信信信信信信信信信FFT信信
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0100200300400500600 3）设计合适的数字滤波器，将上述加噪声滤掉；播放滤波后的信号；绘制滤波
前和滤波后的语音信号及频谱图。
答：
>>fs=22050;
>>[I,fs]=audioread('C:\Users\Desktop\1.wma');
>>noise=0.1*randn(length(I),2);
>>Si=I+noise;%加噪后信号
>>wp=0.25*pi;ws=0.3*pi;Rp=1;Rs=15;Ts=1/fs;
>>wp1=2/Ts*tan(wp/2);ws1=2/Ts*tan(ws/2);
>>[N,Wn]=buttord(wp1,ws1,Rp,Rs,'s');
>>[Z,P,K]=buttap(N);
>>[Bap,Aap]=zp2tf(Z,P,K);
>>[b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wn);
>>[bz,az]=bilinear(b,a,fs);
>>[H,W]=freqz(bz,az);
>>plot(W*fs/(2*pi),abs(H));
>>xlabel('频率／Hz');ylabel('频率响应幅度');title('Butterworth');
>>f1=filter(bz,az,Si);%滤波后信号
>>figure(2);
>>subplot(2,1,1)
>>plot(Si);title('滤波前的时域波形');xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值');
>>subplot(2,1,2)
>>plot(f1);title('滤波后的时域波形');xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值');
信信
信信
>> sound(f1,22050);%播放滤波后信号 >> F0=fft(f1,1024); f=fs*(0:511)/1024; >> figure(2);
>> y2=fft(Si,1024); >> subplot(2,1,1);
>> plot(f,abs(y2(1:512))); title('滤波前的频谱') ;xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值'); >> subplot(2,1,2);
>> plot(f,abs(F0(1:512))); title('滤波后的频谱'); xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值');
信 信 信 信 信 信 信 信
2
1
-1
-2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
信 信 /Hz 信 信 信 信 信 信 信 信
x 105
1
0.5
-0.5
-1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
信 信 /Hz x 105
信信
信信
3、信号 x (t ) = e j π kt , k = 4, 0 ≤ T ≤ 5 ，信号带宽 f c = kT = 20 ，分别用采样频率
f s = 4
8
6
4
2
0信 信 信 信 信 信
00.51 1.52 2.5
信 信 /Hz 信 信 信 信 信 信
x 104
8
6
4
2
000.51 1.52 2.5
信 信 /Hz x 104
2
答：
。用 STFT 和 WD 分析其特性。
当采样频率为 = 4 时，用 STFT 分析其特性：
>> k=4;T=5; fc=k*T; fs=4*fc; Ts=1/fs; N=T/Ts; x=zeros(1,N); >> t=0:N-1;
>> x=exp(j*k*pi*(t*Ts).^2);
>> subplot(2,2,1); plot(t*Ts,real(x)); title('原信号'); X=fft(x); X=fftshift(X); >> subplot(2,2,2); plot((t-N/2)*fs/N,abs(X)); title('FFT 的结果'); >> Nw=20; L=Nw/2; Tn=(N-Nw)/L+1; nfft=32; >> TF=zeros(Tn,nfft); >> for i=1:Tn,
xw=x((i-1)*10+1:i*10+10); temp=fft(xw,nfft); temp=fftshift(temp); TF(i,:)=temp; end
>> subplot(2,2,3);
>> fnew=((1:nfft)-nfft/2)*fs/nfft; >> tnew=(1:Tn)*L*Ts;
>> [F,T]=meshgrid(fnew,tnew);
>> mesh(F,T,abs(TF)); title('STFT 的结果');
>> subplot(2,2,4);contour(F,T,abs(TF)); title('STFT 的俯视图');
实验6 数字滤波器的网络结构 一、实验目的： 1、加深对数字滤波器分类与结构的了解。 2、明确数字滤波器的基本结构及其相互间的转换方法。 3、掌握用MA TLAB 语言进行数字滤波器结构间相互转换的子函数及程序编写方法。 二、实验原理： 1、数字滤波器的分类 离散LSI 系统对信号的响应过程实际上就是对信号进行滤波的过程。因此，离散LSI 系统又称为数字滤波器。 数字滤波器从滤波功能上可以分为低通、高通、带通、带阻以及全通滤波器；根据单位脉冲响应的特性，又可以分为有限长单位脉冲响应滤波器（FIR ）和无限长单位脉冲响应滤波器（IIR ）。 一个离散LSI 系统可以用系统函数来表示： M -m -1-2-m m m=0 012m N -1-2-k -k 12k k k=1 b z b +b z +b z ++b z Y(z)b(z)H(z)=== =X(z)a(z) 1+a z +a z ++a z 1+a z ∑∑ 也可以用差分方程来表示： N M k m k=1 m=0 y(n)+a y(n-k)=b x(n-m)∑∑ 以上两个公式中，当a k 至少有一个不为0时，则在有限Z 平面上存在极点，表达的是以一个IIR 数字滤波器；当a k 全都为0时，系统不存在极点，表达的是一个FIR 数字滤波器。FIR 数字滤波器可以看成是IIR 数字滤波器的a k 全都为0时的一个特例。 IIR 数字滤波器的基本结构分为直接Ⅰ型、直接Ⅱ型、直接Ⅲ型、级联型和并联型。 FIR 数字滤波器的基本结构分为横截型（又称直接型或卷积型）、级联型、线性相位型及频率采样型等。本实验对线性相位型及频率采样型不做讨论，见实验10、12。 另外，滤波器的一种新型结构——格型结构也逐步投入应用，有全零点FIR 系统格型结构、全极点IIR 系统格型结构以及全零极点IIR 系统格型结构。 2、IIR 数字滤波器的基本结构与实现 （1）直接型与级联型、并联型的转换 例6-1 已知一个系统的传递函数为 -1-2-3 -1-2-3 8-4z +11z -2z H(z)=1-1.25z +0.75z -0.125z 将其从直接型（其信号流图如图6-1所示）转换为级联型和并联型。
现代信号处理大作业 姓名：潘晓丹 学号：0140349045 班级：A1403492
作业1 LD 算法实现AR 过程估计 1.1 AR 模型 p 阶AR 模型的差分方程为： )()()(1 n w i n x a n x p i i =-+ ∑=，其中)(n w 是均值为0的白噪声。 AR 过程的线性预测方法为：先求得观测数据的自相关函数，然后利用Yule-Walker 方程递推求得模型参数，再根据公式求得功率谱的估计。 Yule-Walker 方程可写成矩阵形式： ??????? ? ????????= ??????? ? ?? ???? ????????????? ??? ??--+-+--000)()2()1(1) 0() 2()1()()2()0()1()2()1()1()0() 1()() 2()1()0(2 σp a a a r p r p r p r p r r r r p r r r r p r r r r p p p xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx 1.2 LD 算法介绍 Levinson-Durbin 算法可求解上述问题，其一般步骤为： 1) 计算观测值各自相关系数p j j r xx ,,1, 0),( =；)0(0xx r =ρ；i=1； 2) 利用以下递推公式运算： ) 1(1,...,2,1),()()()() ()()(2 1111 1 1 1 i i i i i i i i i i i j xx i xx i k i j j i a k j a j a k i a j i r j a i r k -=-=--==-?+ -=-----=-∑ρρρ 3) i=i+1，若i>p ，则算法结束；否则，返回(2)。 1.3 matlab 编程实现 以AR 模型：xn=12xn-1-12xn-2+w(n)为例，Matlab 程序代码如下： clear; clc;
现代数字信号处理仿真作业 1.仿真题3.17 仿真结果及图形： 图 1 基于FFT的自相关函数计算
图 3 周期图法和BT 法估计信号的功率谱 图 2 基于式3.1.2的自相关函数的计算
图 4 利用LD迭代对16阶AR模型的功率谱估计16阶AR模型的系数为： a1=-0.402637623107952-0.919787323662670i; a2=-0.013530139693503+0.024214641171318i; a3=-0.074241889634714-0.088834852915013i; a4=0.027881022353997-0.040734794506749i; a5=0.042128517350786+0.068932699075038i; a6=-0.0042799971761507 + 0.028686095385146i; a7=-0.048427890183189 - 0.019713457742372i; a8=0.0028768633718672 - 0.047990801912420i a9=0.023971346213842+ 0.046436389191530i; a10=0.026025963987732 + 0.046882756497113i; a11= -0.033929397784767 - 0.0053437929619510i; a12=0.0082735406293574 - 0.016133618316269i; a13=0.031893903622978 - 0.013709547028453i ; a14=0.0099274520678052 + 0.022233240051564i; a15=-0.0064643069578642 + 0.014130696335881i; a16=-0.061704614407581- 0.077423818476583i. 仿真程序（3_17）: clear all clc %% 产生噪声序列 N=32; %基于FFT的样本长度
数字信号处理作业
DFT 习题 1. 如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为N 2的周期序列。把)(~ n x 看作周期为N 的周期序列，令)(~1k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数，再把)(~ n x 看作周期为N 2的周期序列，再令)(~2k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数。当然，)(~1k X 是周期性的，周期为N ，而)(~2k X 也是周期性的，周期为N 2。试利用)(~1k X 确定)(~2k X 。（76-4）
2. 研究两个周期序列)(~n x 和)(~n y 。)(~n x 具有周期N ,而)(~ n y 具有周期M 。序列)(~n w 定义为)()()(~ ~~n y n x n w +=。 a. 证明)(~n w 是周期性的，周期为MN 。 b. 由于)(~n x 的周期为N ，其离散傅里叶级数之系数)(~k X 的周期也是N 。类似地， 由于)(~n y 的周期为M ，其离散傅里叶级数之系数)(~k Y 的周期也是M 。)(~n w 的离散傅里叶级数之系数)(~k W 的周期为MN 。试利用)(~k X 和)(~k Y 求)(~k W 。（76-5）
3. 计算下列各有限长度序列DFT （假设长度为N ）: a. )()(n n x δ= b ．N n n n n x <<-=000) ()(δ c ．10)(-≤≤=N n a n x n （78-7） 4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10）
现代数字信号处理复习题 一、填空题 1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始 时间无关，只与时间间隔有关。 判断随机信号是否广义平稳的三个条件是： （1）x(t)的均值为与时间无关的常数：C t m x =)( （C 为常数） ； （2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：)(),(),(ττx i i x j i x R t t R t t R =+=； （3）信号的瞬时功率有限，即：∞<=)0(x x R D 。 高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪 声信号。 信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个 样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均 。 广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为： ，其时间自相关函数的定义为： 。 2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E 定义为： 其功率P 定义为： 离散随机信号f(n)在区间 上的能量E 定义为： 其功率P 定义为： 注意:(1)如果信号的能量0 1.3 时频分布及其性质 1.3.1 单分量信号与多分量信号 从物理学的角度看，信号可以分为单分量信号和多分量信号两类，而时－频分布的一个主要优点就是能够确定一个信号是单分量的还是多分量的。所谓单分量信号就是在任一时间只有一个频率或一个频率窄带的信号。一般地，单分量信号看上去只有一个山峰（如图 1.2.2），图中所示的是信号)()()(t j e t A t s ?=的时－频表示，在每一个时间，山峰的峰值有明显的不同。如果它是充分局部化的，那么峰值就是瞬时频率；山峰的宽度就是瞬时带宽。一般地，如果)(t z 是信号)(cos )()(t t a t s φ=的解析信号，)(f Z 是)(t z 对应的频谱， 图1.2.2 单分量信号时－频表示及其特征 则其瞬时频率定义如下： )]([arg 21)(t z dt d t f i π= （1.2.1） 与瞬时频率对偶的物理量叫做群延迟，定义如下： )]([arg 21)(f Z dt d f g πτ= （1.2.2） 而多分量信号是由两个（或多个）山峰构成, 每一个山峰都有它自己不同的瞬时 频率和瞬时带宽。（如图1.2.3所示）。 图1.2.3 多分量信号时－频表示及特征 1.3.2 时－频分布定义 Fourier 变换的另一种形式 ?∞ ∞ --=dt e t s f S ft j π2)()( ?∞ ∞ -=df e f S t s tf j π2)()( Cohen 指出，尽管信号)(t z 的时－频分布有许多形式，但不同的时－频分布只是体现 在积分变换核的函数形式上，而对于时－频分布各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上，因此它可以用一个统一形式来表示，通常把它叫做Cohen 类时－频分布，连续时间信号)(t z （)(t z 为连续时间信号)(t s 的解析信号）的Cohen 类时－频分布定义为 ττφτττπdudvd e v u z u z f t P vu f vt j ) (2*),()2 1()21(),(-+-∞ ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ --+=?? ? （1.3.1） 式中),(v τφ称为核函数。原则上，核函数可以是时间和频率两者的函数，但常用的核函数与时间和频率无关，只是时延τ和频偏v 的函数，即核函数具有时、频移不变性。这个定义提供了全面理解任何一种时－频分析方法的通用工具，而且能够在信号分析中将信号的一种时－频表示及其性质同另一种时－频表示及其性质联系在一起。进一步可将（1.3.1）简记为 ττφττπdvd e v v A f t P f vt j z )(2),(),(),(+-∞ ∞ -∞ ∞ -? ? = （1.3.2） 式中),(v A z τ是双线性变换（双时间信号）)2 ()2(),(*τ τ τ-+ =t z t z t k z 关于时间t 作 Fourier 反变换得到的一种二维时－频分布函数，称为模糊函数，即 dt e t z t z v A tv j z πτ ττ2*)2 ()2(),(-+=?∞ ∞- （1.3.3） 因为Cohen 类时－频分布是以核函数加权的模糊函数的二维Fourier 变换，所以Cohen 类 时－频分布又称为广义双线性时－频分布。 两个连续信号)(t x ，)(t y 的互时－频分布定义为： ???∞ ∞-∞ ∞--+-∞ ∞ --+= ττφτττπdudvd e v u y u x f t P vu f vt j xy ) (2*),()2 1()21(),( ? ? ∞ ∞-∞ ∞ -+-=dv d e v v A f tv j xy ττφττπ)(2),(),( （1.3.4） 式中 du e u y u x v A vu j xy πτ ττ2*)2 ()2(),(?∞ ∞--+= （1.3.5） 是)(t x 和)(t y 的互模函数。 研究生“现代信号处理”课程大型作业 （以下四个题目任选三题做） 1. 请用多层感知器（MLP ）神经网络误差反向传播（BP ）算法实现异或问题（输入为[00;01;10;11]X T =，要求可以判别输出为0或1），并画出学习曲线。其中，非线性函数采用S 型Logistic 函数。 2. 试用奇阶互补法设计两带滤波器组(高、低通互补)，进而实现四带滤波器组；并画出其频响。滤波器设计参数为：F p ＝1.7KHz , F r ＝2.3KHz , F s ＝8KHz , A rmin ≥70dB 。 3. 根据《现代数字信号处理》（姚天任等，华中理工大学出版社，2001）第四章附录提供的数据(pp.352-353)，试用如下方法估计其功率谱，并画出不同参数情况下的功率谱曲线： 1） Levinson 算法 2） Burg 算法 3） ARMA 模型法 4） MUSIC 算法 4. 图1为均衡带限信号所引起失真的横向或格型自适应均衡器(其中横向FIR 系统长M =11), 系统输入是取值为±1的随机序列)(n x ，其均值为零；参考信号)7()(-=n x n d ；信道具有脉冲响应： 1 2(2)[1cos( )]1,2,3()20 n n h n W π-?+=?=???其它 式中W 用来控制信道的幅度失真(W = 2～4, 如取W = 2.9,3.1,3.3,3.5等)，且信道受到均 值为零、方差001.02 =v σ(相当于信噪比为30dB)的高斯白噪声)(n v 的干扰。试比较基 于下列几种算法的自适应均衡器在不同信道失真、不同噪声干扰下的收敛情况(对应于每一种情况,在同一坐标下画出其学习曲线): 1） 横向/格-梯型结构LMS 算法 2） 横向/格-梯型结构RLS 算法 并分析其结果。 数字信号处理上机作业 学院：电子工程学院 班级：021215 组员： 实验一：信号、系统及系统响应 1、实验目的 (1) 熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解。 (2) 熟悉时域离散系统的时域特性。 (3) 利用卷积方法观察分析系统的时域特性。 (4) 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对连续信号、离散信号及系统响应进行频域分析。 2、实验原理与方法 (1) 时域采样。 (2) LTI系统的输入输出关系。 3、实验内容及步骤 (1) 认真复习采样理论、离散信号与系统、线性卷积、序列的傅里叶变换及性质等有关内容，阅读本实验原理与方法。 (2) 编制实验用主程序及相应子程序。 ①信号产生子程序，用于产生实验中要用到的下列信号序列： a. xa(t)=A*e^-at *sin(Ω0t)u(t) b. 单位脉冲序列：xb(n)=δ(n) c. 矩形序列： xc(n)=RN(n), N=10 ②系统单位脉冲响应序列产生子程序。本实验要用到两种FIR系统。 a. ha(n)=R10(n); b. hb(n)=δ(n)+2.5δ(n-1)+2.5δ(n-2)+δ(n-3) ③有限长序列线性卷积子程序 用于完成两个给定长度的序列的卷积。可以直接调用MATLAB语言中的卷积函数conv。 conv 用于两个有限长度序列的卷积，它假定两个序列都从n=0 开始。调用格式如下： y=conv (x, h) 4、实验结果分析 ①分析采样序列的特性。 a. 取采样频率fs=1 kHz,，即T=1 ms。 b. 改变采样频率，fs=300 Hz，观察|X(e^jω)|的变化，并做记录(打印曲线)；进一步降低采样频率，fs=200 Hz，观察频谱混叠是否明显存在，说明原因，并记录(打印)这时的|X(e^j ω)|曲线。 程序代码如下： close all;clear all;clc; A=50; a=50*sqrt(2)*pi; m=50*sqrt(2)*pi; fs1=1000; fs2=300; fs3=200; T1=1/fs1; T2=1/fs2; T3=1/fs3; N=100; 现代信号处理作业 1.(5″)证明下面定理：任何一个无偏估计子方差的下界叫作Cramer-Rao 下界 定理：令1(,,)N x x x =为一样本向量，(|)f x θ是x 的条件密度，若?θ是θ的一个无偏估计子，且(|)/f x θθ??存在，则 22 1 ??var()()[ln (|)]E E f x θ θθθθ =-≥? ? 式中?ln (|)()()f x K θθθθθ ?=-?。其中()K θ是θ的某个不包含x 的正函数。 2.(10″)Wiener 滤波是信号处理中最常用和基础的波形估计工具之一，对其在自己研究领域的应用情况进行一个简单综述。 3.(5″)二阶滑动平均过程由 2()()1(1)2(2), {()~(0,)}x n w n b w n b w n w n N σ=+-+- 定义，式中2(0,)N σ表示正态分布，其均值为零、方差为2σ。求x(n)的功率谱。 4.(20″)信号的函数表达式为： ()sin(2100)sin(2300)()sin(2200)()()x t t t A t t dn t n t πππ=++++，其中，A(t)为一随时间 变化的随机过程，dn(t)为经过390-410Hz 带通滤波器后的高斯白噪声，n(t)为高斯白噪声，采样频率为1kHz ，采样时间为2.048s 。 (1) 利用现代信号处理知识进行信号的谱估计； (2) 利用现代信号处理知识进行信号的频率提取； (3) 分别利用Wiener 滤波和Kalman 滤波进行去噪； (4) 利用Wigner-Ville 分布分析信号的时频特征。 5.(10″)附件中表sheet1 为某地2008年4月28日凌晨12点至2008年5月4日凌晨12点的电力系统负荷数据，采样时间间隔为1小时，利用ARMA 方法预测该地5月5日的电力系统负荷，并给出预测误差（5月5日的实际负荷数据如表sheet2）。 数字信号处理作业 哈尔滨工业大学 2006.10 DFT 习题 1. 如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为N 2的周期序列。把)(~ n x 看作周期为N 的周期序列，令)(~ 1k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数，再把)(~ n x 看作周期为N 2的周期序列，再令)(~ 2k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数。当然，)(~ 1k X 是周期性的，周期为N ，而)(~ 2k X 也是周期性的，周期为N 2。试利用)(~ 1k X 确定)(~ 2k X 。（76-4） 2. 研究两个周期序列)(~ n x 和)(~ n y 。)(~ n x 具有周期N ,而)(~ n y 具有周期M 。序列 )(~n w 定义为)()()(~ ~~n y n x n w +=。 a. 证明)(~ n w 是周期性的，周期为MN 。 b. 由于)(~n x 的周期为N ，其离散傅里叶级数之系数)(~ k X 的周期也是N 。类似地， 由于)(~n y 的周期为M ，其离散傅里叶级数之系数)(~k Y 的周期也是M 。)(~ n w 的离散傅里叶级数之系数)(~ k W 的周期为MN 。试利用)(~ k X 和)(~ k Y 求)(~ k W 。（76-5） 3. 计算下列各有限长度序列DFT （假设长度为N ）: a. )()(n n x δ= b ．N n n n n x <<-=000)()(δ c ．10)(-≤≤=N n a n x n （78-7） 4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10） 南邮研究生“现代信号处理”期末课程大作业 （四个题目任选三题做） 1. 请用多层感知器（MLP ）神经网络误差反向传播（BP ）算法实现异或问题（输入为[00;01;10;11]X T =，要求可以判别输出为0或1），并画出学习曲线。其中，非线性函数采用S 型Logistic 函数。 2. 试用奇阶互补法设计两带滤波器组(高、低通互补)，进而实现四带滤波器组；并画出其频响。滤波器设计参数为：F p ＝1.7KHz , F r ＝2.3KHz , F s ＝8KHz , A rmin ≥70dB 。 3. 根据《现代数字信号处理》（姚天任等，华中理工大学出版社，2001）第四章附录提供的数据(pp.352-353)，试用如下方法估计其功率谱，并画出不同参数情况下的功率谱曲线： 1） Levinson 算法 2） Burg 算法 3） ARMA 模型法 4） MUSIC 算法 4. 图1为均衡带限信号所引起失真的横向或格型自适应均衡器(其中横向FIR 系统长M =11), 系统输入是取值为±1的随机序列)(n x ，其均值为零；参考信号)7()(-=n x n d ；信道具有脉冲响应： 1 2(2)[1cos( )]1,2,3()20 n n h n W π-?+=?=???其它 式中W 用来控制信道的幅度失真(W = 2～4, 如取W = 2.9,3.1,3.3,3.5等)，且信道受到均 值为零、方差001.02 =v σ(相当于信噪比为30dB)的高斯白噪声)(n v 的干扰。试比较基 于下列几种算法的自适应均衡器在不同信道失真、不同噪声干扰下的收敛情况(对应于每一种情况,在同一坐标下画出其学习曲线): 1） 横向/格-梯型结构LMS 算法 2） 横向/格-梯型结构RLS 算法 并分析其结果。 数字信号处理作业-答案 数字信号处理作业 DFT 习题 1. 如果)(~ n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为N 2的周期序列。把)(~ n x 看作周期为N 的周期序列，令)(~ 1 k X 表示)(~ n x 的离散傅里叶级数之系数，再把)(~ n x 看作周期为N 2的周期序列，再令)(~2 k X 表示)(~ n x 的离散傅里叶级数之系数。当然，)(~ 1 k X 是周期性的，周期为N ，而)(~ 2 k X 也是周期性的，周期为N 2。试利用)(~ 1k X 确定)(~ 2 k X 。（76-4） 2. 研究两个周期序列)(~ n x 和)(~ n y 。)(~ n x 具有周期N ,而)(~ n y 具有周期M 。序列)(~ n w 定义为)()()(~~ ~ n y n x n w +=。 a. 证明)(~ n w 是周期性的，周期为MN 。 b. 由于)(~ n x 的周期为N ，其离散傅里叶级数之系数)(~k X 的周期也是N 。类似地，由于)(~ n y 的周期为M ，其离散傅里叶级数之系数)(~ k Y 的周期也是M 。)(~n w 的离散傅里叶级数之系数)(~ k W 的周期为MN 。试利用)(~k X 和)(~k Y 求)(~ k W 。（76-5） 3. 计算下列各有限长度序列DFT （假设长度为N ）: a. )()(n n x δ= b ．N n n n n x <<-=0 0)()(δ c ．10)(-≤≤=N n a n x n （78-7） 4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10） 1.设()u n 是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱()w 0S ≥。 证明：将()u n 通过冲激响应为()h n 的LTI 离散时间系统，设其频率响应()w H 为 ()001,w -w w 0, w -w w H w ???? 输出随机过程()y n 的功率谱为()()()2y S w H w S w = 输出随机过程()y n 的平均功率为()()()00201 1r 022w w y y w w S w dw S w dw π π π+?-?= =?? 当频率宽度w 0???→时，上式可表示为()()()01 r 00y S w w π =?≥ 由于频率0w 是任意的，所以有()w 0 S ≥ 3、已知：状态方程 )()1,()1()1,()(1n n n n x n n F n x ν-Γ+--=观测方程 )()()()(2n n x n C n z ν+= )()]()([111n Q n n E H =νν )()]()([222n Q n n E H =νν 滤波初值 )]0([)|0(0x E x =ξ } )]]0([)0()]][0([)0({[)0(H x E x x E x E P --= 请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步骤。 解：步骤1 状态一步预测，即 1 *11)|1(?)1,()|(N n n C n x n n F n x ∈--=--∧ ξξ 步骤2 由观测信号z(n)计算新息过程，即 1*11)|(?)()()|(?)()(M n n C n x n C n z n z n z n ∈-=-=--ξξα 步骤3 一步预测误差自相关矩阵 N N H H C n n n Q n n n n F n P n n F n n P *1)1,()1()1,() 1,()1()1,()1,(∈-Γ--Γ+---=- 步骤4 新息过程自相关矩阵M M H C n Q n C n n P n C n A *2)()()1,()()(∈+-= 步骤5 卡尔曼增益M N H C n A n C n n P n K *1)()()1,()(∈-=- 或 )()()()(1 2n Q n C n P n K H -= 步骤6 状态估计 1*1)()()|(?)|(?N n n C n n K n x n x ∈+=-αξξ 步骤7 状态估计自相关矩阵 N N C n n P n C n K I n P *)1,()]()([)(∈--= 或 )()()()]()()[1,()]()([)(2n K n Q n K n C n K I n n P n C n K I n P H H +---= 步骤8 重复步骤1-7，进行递推滤波计算 4、经典谱估计方法： 研究生“现代信号处理”课程大型作业 (以下四个题目任选三题做 1. 请用多层感知器(MLP 神经网络误差反向传播(BP 算法实现异或问题(输入为 [00;01;10;11]X T =,要求可以判别输出为0或1 ,并画出学习曲线。其中,非线性函数采用S 型Logistic 函数。 2. 试用奇阶互补法设计两带滤波器组(高、低通互补,进而实现四带滤波器组;并画出其频响。滤波器设计参数为:F p =1.7KHz , F r =2.3KHz , F s =8KHz , A rmin ≥70dB 。 3. 根据《现代数字信号处理》(姚天任等,华中理工大学出版社,2001第四章附录提供的数据(pp.352-353,试用如下方法估计其功率谱,并画出不同参数情况下的功率谱曲线: 1 Levinson 算法 2 Burg 算法 3 ARMA 模型法 4 MUSIC 算法 4. 图1为均衡带限信号所引起失真的横向或格型自适应均衡器(其中横向FIR 系统长M =11, 系统输入是取值为±1的随机序列(n x ,其均值为零;参考信号7((-=n x n d ;信道具有脉冲响应: 12(2[1cos(]1,2,3(20 n n h n W π-?+=?=???其它 式中W 用来控制信道的幅度失真(W = 2~4, 如取W = 2.9,3.1,3.3,3.5等,且信道受到均 值为零、方差001.02=v σ(相当于信噪比为30dB的高斯白噪声(n v 的干扰。试比较基 于下列几种算法的自适应均衡器在不同信道失真、不同噪声干扰下的收敛情况(对应于每一种情况,在同一坐标下画出其学习曲线: 1 横向/格-梯型结构LMS 算法 2 横向/格-梯型结构RLS 算法 并分析其结果。 图1 横向或格-梯型自适应均衡器 参考文献 [1] 姚天任, 孙洪. 现代数字信号处理[M]. 武汉: 华中理工大学出版社, 2001 [2] 杨绿溪. 现代数字信号处理[M]. 北京: 科学出版社, 2007 [3] S. K. Mitra. 孙洪等译. 数字信号处理——基于计算机的方法(第三版[M]. 北京: 电子工 《数字信号处理Ⅰ》作业 姓名： 学号： 学院： 2012 年春季学期 第一章 时域离散信号和时域离散系统 月 日 一 、判断： 1、数字信号处理和模拟信号处理在方法上是一样的。（ ） 2、如果信号的取值和自变量都离散，则称其为模拟信号。（ ） 3、如果信号的取值和自变量都离散，则称其为数字信号。（ ） 4、时域离散信号就是数字信号。（ ） 5、正弦序列都是周期的。（ ） 6、序列)n (h )n (x 和的长度分别为N 和M 时，则)n (h )n (x *的长度为N+M 。（ ） 7、如果离散系统的单位取样响应绝对可和，则该系统稳定。（ ） 8、若满足采样定理，则理想采样信号的频谱是原模拟信号频谱以s Ω（采样频率）为周期进行周期延拓的结果。（ ） 9、序列)n (h )n (x 和的元素个数分别为21n n 和，则)n (h )n (x *有（1n n 21-+）个元素。（ ） 二、选择 1、R N (n)和u(n)的关系为（ ）： A. R N (n)=u(n)-u(n-N) B. R N (n)=u(n)+u(n-N) C. R N (n)=u(n)-u(n-N-1) D. R N (n)=u(n)-u(n-N+1) 2、若f(n)和h(n)的长度为别为N 、M ，则f(n)*h(n)的长度为 （ ）： A.N+M B.N+M-1 C.N-M D.N-M+1 3、若模拟信号的频率范围为[0，1kHz],对其采样，则奈奎斯特速率为（ ）： A.4kHz B. 3kHz C.2kHz D.1kHz 4、LTIS 的零状态响应等于激励信号和单位序列响应的（ ）： A.相乘 B. 相加 C.相减 D.卷积 5、线性系统需满足的条件是（ ）： A.因果性 B.稳定性 C.齐次性和叠加性 D.时不变性 6、系统y(n)=f(n)+2f(n-1)(初始状态为0)是（ ）： A. 线性时不变系统 B. 非线性时不变系统 C. 线性时变系统 D. 非线性时变系统 “现代数字信号处理”复习思考题 变换 1.给出DFT的定义和主要性质。 2.DTFT与DFT之间有什么关系？ 3.写出FT、DTFT、DFT的数学表达式。 离散时间系统分析 1.说明IIR滤波器的直接型、级联型和并联型结构的主要特点。 2.全通数字滤波器、最小相位滤波器有何特点？ 3.线性相位FIR滤波器的h(n)应满足什么条件？其幅度特性如何？ 4.简述FIR离散时间系统的Lattice结构的特点。 5.简述IIR离散时间系统的Lattice结构的特点。 采样 1．抽取过程为什么要先进行滤波，此滤波器应逼近什么样的指标？ 维纳滤波 1．画出Wiener滤波器结构，写出平稳信号下的滤波方程，导出Wiener-Hopf方程。 2．写出最优滤波器的均方误差表示式。 3．试说明最优滤波器满足正交性原理，即输出误差与输入信号正交。 4．试说明Wiener-Hopf方程和Yule-Walker方程的主要区别。 5．试说明随机信号的自相关阵与白噪声的自相关阵的主要区别。 6．维纳滤波理论对信号和系统作了哪些假设和限制？ 自适应信号处理 1．如何确定LMS算法的μ值，μ值与算法收敛的关系如何？ 2．什么是失调量？它与哪些因素有关？ 3．RLS算法如何实现？它与LMS算法有何区别？ 4．什么是遗忘因子，它在RLS算法中有何作用，取值范围是多少？ 5．怎样理解参考信号d(n)在自适应信号处理处理中的作用？既然他是滤波器的期望响应，一般在滤波前是不知道的，那么在实际应用中d(n)是怎样获得的，试举两个应用例子来加以说明。 功率谱估计 1.为什么偏差为零的估计不一定是正确的估计？ 2.什么叫一致估计？它要满足哪些条件？ 3.什么叫维拉－辛钦(Wiener-Khinteche)定理？ 4.功率谱的两种定义。 5.功率谱有哪些重要性质？ 6.平稳随机信号通过线性系统时输入和输出之间的关系。 7.AR模型的正则方程(Yule-Walker方程)的导出。 8.用有限长数据估计自相关函数的估计质量如何？ 9.周期图法谱估计的缺点是什么？为什么会产生这些缺点？ 10.改进的周期图法谱估计有哪些方法？它们的根据是什么？ 11.既然隐含加窗有不利作用，为什么改进周期图法谱估计是还要引用各种窗？ 12.经典谱估计和现代谱估计的主要差别在哪里？ 13.为什么AR模型谱估计应用比较普遍？ 14.对于高斯随机过程最大熵谱估计可归结为什么样的模型？ 15.为什么Levison-Durbin快速算法的反射系数的模小于１？ 16.什么是前向预测？什么是后向预测？ 17.AR模型谱估计自相关法的主要缺点是什么？ 18.Burg算法与Levison-Durbin算法的区别有哪些？ 数字信号处理第三章作业 1．(第三章习题3)在图P3-2中表示了两个周期都为6的周期性序列，确定这个两个序列的周期卷积的结果3()x n ，并画出草图。 2．(第三章习题5)如果()x n 是一个具有周期为N 的周期性序列，它也是具有周期为2N 的周期性序列。令~1()X k 表示当()x n 看做是具有周期为N 的周期性序列的DFS 系数。而~2()X k 表示当()x n 看作是具有周期为2N 的周期性序列的DFS 系数。当然~1()X k 是具有周期为N 的周期性序列，而~2()X k 是具有周期为2N 的周期性序列，试根据~1()X k 确定~2()X k 。 3．(第三章习题6) （a ）试证明下面列出的周期性序列离散傅里叶级数的对称特性。在证明中，可以利用离散傅里叶级数的定义及任何前面的性质，例如在证明性质③时可以利用性质①和②。 序列 离散傅里叶级数 ① *()x n ~*()X k - ②*()x n - ~*()X k ③Re ()x n ???? ~ e ()X k ④Im ()j x n ???? ~()o X k （b ）根据已在（a ）部分证明的性质，证明对于实数周期序列()x n ，离散傅里叶级数的下列对称性质成立。 ①~~Re ()Re ()X k X k ????=-???????? ②~~Im ()Im ()X k X k ????=--???????? ③~~()()X k X k =- ④~~arg ()arg ()X k X k ????=--???????? 4．(第三章习题7)求下列序列的DFT (a) {}11 1-，，，-1 (b) {}1 j 1j -，，，- (c) ()cn 0n 1x n N =≤≤-， (d) 2n ()sin 0n 1x n N N π??=≤≤- ??? ， 5．(第三章习题8)计算下列各有限长序列的离散傅立叶变换（假设长度为N ） 1 0)()(0) ()()() ()()(00-≤≤=<<-==N n a n x c N n n n n x b n n x a n δδ 6．(第三章习题9)在图P3-4中表示了一有限长序列)(n x ，画出序列)(1n x 和)(2n x 的草图。（注意：)(1n x 是)(n x 圆周移位两个点） )())(()() ())2(()(442441n R n x n x n R n x n x -=-= AR 模型的功率谱估计BURG 算法的分析与仿真 钱平 （信号与信息处理 S101904010） 一．引言 现代谱估计法主要以随机过程的参数模型为基础，也可以称其为参数模型方法或简称模型方法。现代谱估计技术的研究和应用主要起始于20世纪60年代，在分辨率的可靠性和滤波性能方面有较大进步。目前，现代谱估计研究侧重于一维谱分析，其他如多维谱估计、多通道谱估计、高阶谱估计等的研究正在兴起，特别是双谱和三谱估计的研究受到重视，人们希望这些新方法能在提取信息、估计相位和描述非线性等方面获得更多的应用。 现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种。基于参数建摸的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的就是为了改善功率谱估计的频率分辨率，它主要包括AR 模型、MA 模型、ARMA 模型，其中基于AR 模型的功率谱估计是现代功率谱估计中最常用的一种方法，这是因为AR 模型参数的精确估计可以通过解一组线性方程求得，而对于MA 和ARMA 模型功率谱估计来说，其参数的精确估计需要解一组高阶的非线性方程。在利用AR 模型进行功率谱估计时，必须计算出AR 模型的参数和激励白噪声序列的方差。这些参数的提取算法主要包括自相关法、Burg 算法、协方差法、 改进的协方差法，以及最大似然估计法。本章主要针对采用AR 模型的两种方法：Levinson-Durbin 递推算法、Burg 递推算法。 实际中，数字信号的功率谱只能用所得的有限次记录的有限长数据来予以估计，这就产生了功率谱估计这一研究领域。功率谱的估计大致可分为经典功率谱估计和现代功率谱估计，针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出了现代谱估计，AR 模型谱估计就是现代谱估计常用的方法之一。 信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。 二．AR 模型的构建 假定u(n)、x(n)都是实平稳的随机信号，u(n)为白噪声，方差为 ，现在，我们希望建立AR 模型 的参数和x(n)的自相关函数的关系，也即AR 模型的正则方程(normal equation)。 由 )}()]()({[)}()({)(1 n x m n u k m n x E m n x n x E m p k k x a r ++-+-=+=∑= )()()(1 m k m m r r a r xu x p k k x +--=∑= (1) 由于u(n)是方差为 的白噪声，有 ?? ?=≠=-0 00)}()({2 m m m n x n u E σ （2） 由Z 变换的定义， ，当 时，有h(0)=1。综合（1）及（2）两式， ???????=-≥--=∑∑==0)(1)()(1 2 1 m k m k m m p k x k p k x k x r a r a r σ （3） 在上面的推导中，应用了自相关函数的偶对称性。上式可写成矩阵式： 1、什么是DSP？简述DSPs的特点？简述DSPs与MCU、FPGA、ARM的区别？学习DSP开发需要哪些知识？学习DSP开发需要构建什么开发环境？(15分) 答：（1）DSP是Digital Signal Processing(数字信号处理的理论和方法）的缩写，同时也是Digital Signal Processor（数字信号处理的可编程微处理器）的缩写。通常流过器件的电压、电流信号都是时间上连续的模拟信号，可以通过A/D器件对连续的模拟信号进行采样，转换成时间上离散的脉冲信号，然后对这些脉冲信号量化、编码，转化成由0和1构成的二进制编码，也就是常说的数字信号。DSP能够对这些数字信号进行变换、滤波等处理，还可以进行各种各样复杂的运算，来实现预期的目标。 （2）DSP既然是特别适合于数学信号处理运算的微处理器，那么根据数字信号处理的要求，DSP芯片一般具有下面所述的主要特点：1）程序空间和数据空间分开，CPU可以同时访问指令和数据； 2）在一个指令周期内可以完成一次乘法和一次加法运算； 3）片内具有快速RAM，通常可以通过独立的数据总线在程序空间和数据空间同时访问； 4）具有低开销和无开销循环及跳转的硬件支持； 5）具有快速的中断处理和硬件I/O支持； 6）可以并行执行多个操作； 7）支持流水线操作，使得取址、译码和执行等操作可以重复执行。（3）DSP采用的是哈佛结构，数据空间和存储空间是分开的，通过 独立的数据总线在数据空间和程序空间同时访问。而MCU采用的是冯·诺依曼结构，数据空间和存储空间共用一个存储器空间，通过一组总线（地址总线和数据总线）连接到CPU）。很显然，在运算处理能力上，MCU不如DSP；但是MCU价格便宜，在对性能要求不是很高的情况下，还是很具有优势的。 ARM是Advanced RISC（精简指令集）Machines的缩写是面向低运算市场的RISC微处理器。ARM具有比较强的事务管理功能，适合用来跑跑界面、操作系统等，其优势主要体现在控制方面，像手持设备90%左右的市场份额均被其占有。而DSP的优势是其强大的数据处理能力和较高的运算速度，例如加密/解密、调制/解调等。 FPGA是Field Programmable Gate Array（现场可编程门阵列）的缩写，它是在PAL、GAL、PLD等可编程器件的基础上进一步发展的产物，是专用集成电路中集成度最高的一种。FPGA采用了逻辑单元阵列LCA（Logical Cell Array）的概念，内部包括了可配置逻辑模块CLB、输入/输出模块IOB、内部连线三个部分。用户可以对FPGA内部的逻辑模块和I/O模块进行重置配置，已实现用户自己的逻辑。它还具有静态可重复编程和动态在系统重构的特性，使得硬件的功能可以像软件一样通过编程来修改。使用FPGA来开发数字电路，可以大大缩短设计时间，减少PCB面积，提高系统的可靠性；同时FPGA可以用VHDL或Verilog HDL来编程，灵活性强。由于FPGA能够进行编程、除错、再编程和重复操作，因此可以充分地进行设计开发和验证。当电路有少量改动时，更能显示出FPGA的优势，其现场编程能力可现代信号处理方法1-3
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