高考数学复习题库空间向量及其运算
空间向量及其运算
一.选择题
1.若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基
底的一组向量是( ). A.{a，a＋b，a－b} B.{b，a＋b，a－b}
C.{c，a＋b，a－b}
D.{a＋b，a－b，a＋2b} 解析若c.a＋b.a－
b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则
a.b.c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，
故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底. 答案 C
2.以下四个命题中正确的是( ). A.空间的任何一个向量都可
用其他三个向量表示 B.若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则
{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底 C.△ABC为直角
三角形的充要条件是·＝0 D.任何三个不共线的向量都可构成空
间向量的一组基底解析若a＋b.b＋c.c＋a为共面向量，则a＋b ＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，
μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a.b.c为共面向
量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾. 答案 B
3.有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若
p与a，b共面，则p＝xa＋yb. ③若＝x＋y，则P，M，A.B共
面；④若P，M，A，B共面，则＝x＋y. 其中真命题的个数是( ).
A.1
B.2
C.3
D.4 解析其中①③为正确命题. 答案 B
4. 如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－
A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c则下列向量中与相等的向量是( )
A.－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.a－b＋c
D.－a－b＋c 解析＝＋＝＋＋＝－a＋b＋c. 答案 A
5.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝
∠AOC＝，则cos〈，〉的值为( ). A.0 B. C. D. 解析设＝a，＝b，＝c 由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝
|c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b ＝|a||c|－|a||b|＝0，
∴cos〈，〉＝0. 答案 A
6.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A. B. C.1 D. 解析＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝. 答案 D
7.下列命题中①若a∥b，b∥c，则a∥c；②不等式|a＋b|＜|a|＋|b|的充要条件是a与b不共线；③若非零向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ.μ∈R，且λμ≠0)，则c⊥d. 正确命题的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 解析只有命题③是正确命题. 答案 B
二.填空题
8.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB.AC，M.N 分别为OA.BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，
则x，y，z的值分别为________________. 解析∵＝＋＝＋＝
＋(－)
＝＋－＝＋×(＋)－× ＝＋＋∴x，y，z的值分别为，，. 答案，，
9. 设R，向量，且，则解析 . 答案10.在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________. 解析如图，＝＋＋＝＋＋，所以|AC′|
＝||＝|＋＋| ＝＝＝. 答案11.已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题
的序号是________. 解析由⊥，⊥，⊥⊥，得(＋＋)2＝3()2，
故①正确；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与
AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中|··|＝0.故④也不正确. 答案①②12.如图，空间四
边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，
∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________. X 解析设＝a，＝b，＝c. OA与BC所成的角为θ，·＝a(c－b)＝a·c －a·b ＝a·(a＋)－a·(a＋)
＝a2＋a·－a2－a·＝24－16. ∴cos θ＝＝＝. 答案
三.解答题13.已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A.B.C.D共面. 证明令λ(e1
＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0. 则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0. ∵e1，e2不共线，∴易知是其中一组解，则－5＋＋＝0. ∴A.B.C.D共面.14.如右图，在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，
(1)试证A
1.G.C三点共线；
（2）试证A1C⊥平面BC1D；
(3)求点C到平面BC1D的距离. 解析
(1)证明＝＋＋＝＋＋，可以证明：＝(＋＋)＝，∴∥即A
1.G.C三点共线.
（2）证明设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∵＝a＋b＋c，＝c－a，∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，∴⊥，即CA1⊥BC1，同理可证：⊥，因此A1C⊥平面BC1D.
(3)
∵＝a＋b＋c，∴2＝a2＋b2＋c2＝3a2，即||＝a，因此||
＝a.即C到平面BC1D的距离为a.15.把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E.F分别是AD.BC的中点，点O是原正方形的中心，求：
(1)EF的长；
（2）折起后∠EOF的大小. 解析如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O－xyz，则A（0，－a,0）， B（a,0,0），C（0，a,0），D（0,0，a），E（0，－a，a）， F（a，a,0）.
(1)||2＝2＋2＋2＝a2，∴|EF|＝a.
（2）＝，＝，·＝0×a＋×＋a×0＝－， ||＝，||＝，cos〈，〉＝＝－，∴∠EOF＝120°.16.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB.AD.CD的中点，计算：
(1)·；
（2）·；
(3)EG的长； (4)异面直线AG与CE所成角的余弦值. 解析设＝a，＝b，＝c. 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，
（2）·＝·(－a)
＝a2－a·c＝，·＝(c－a)·(b－c)
＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；
(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ＝－a＋b＋c， ||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a ＝，则||＝. (4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a， cos〈，〉＝＝－，由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.