?x-x0??1,
??0,
t
为对称轴的，高度和宽度均为1的矩形，二维矩形函数可表为一维矩形函数的乘积rect ???，a，
?x-x0?sinπ(x-x0)/a
π(x-x0)/a
a
??0,
s g(n x)=?0,x=0
?-1,x<0
s t e(px)=?
?=?1,
在直角坐标系内圆柱函数定义式circ
???
0,
?r??1，r 矩形函形学习必备欢迎下载 ? r e c ?=? ?a? x-x01 ≤ a2 其他 函数以x0为中心，宽度为a（a>0）高度为1的矩形，当x0=0，a=1时，矩形函数形式变成rect(x),它是以x=0为对称轴的，高度和宽度均为1的矩形。当x0=0,a=1时，矩形函数形式变成rect(x)，它是以x=0 ?x-x0??y-y0? ?a??b? b>0 sin c函数 sin c ?= ?? a>0，函数在x=x0处有最大值1。零点位于x-x0=±na(n=1,2).对于x0=0，a=1，函数图像 三角函数 ?x ?x??1-, Λ??=?a ?a? x≤a 其它 a>0，函数以原点为中心，底边长为2a，高度为1的等腰三角形 符号函数 ?1,x>0 ? ? 阶跃函数 ?1,x>0 ?0,x<0 圆柱函数 ?x2+y2?? a?? ? 极坐标内的定义式为c i r c?=? ?a??0，r>a x2+y2 其它 ? ) ?? f (α , β )h (x - α , y - β )d αd β = f (x, y )* h (x, y ) ? ? ) ? ? ? 学习必备 欢迎下载 卷积的定义 函数 f (x )和函数 h (x )的一维卷积，有含参变量的无穷积分定义，即 g (x ) = ∞ f (x h (x - α )d α = f (x )* h (x ) -∞ 定义 f (x )和 h (x )的二维卷积： g (x, y ) = ∞ -∞ 卷积的基本性质 线性性质 交换律 平移不变性 f (x - x )* h (x - x ) = ∞ f (α - x )h (x - α - x )d α = g (x - x - x ) 1 2 1 2 1 2 -∞ 结合律 坐标缩放性质 f (ax )* h (ax ) = 1 g (ax ) a 函数 f (x, y )与 δ 函数的卷积 f (x, y )* δ (x, y ) = ? ∞ f (α , β δ (x - α , y - β )d αd β = f (x, y ) -∞ 即任意函数 f (x, y )与 δ 函数的卷积，得出函数 f (x, y )本身，而 f (x, y )* δ (x - x , y - y 0 0 ) = f (x - x 0 , y - y 0 ) 互相关 两个函数 f (x, y )和 g (x, y )的无相关定义为含参变量的无穷积分，即 R 或 R fg fg (x, y ) = ? ∞ f * (α - x, β - y )g (α , β )d αd β = f (x, y )☆g (x, y ) -∞ (x, y ) = ? ∞ f * (x, y )g (x + α , y + β )d αd β = f (x, y )☆g (x, y ) -∞ 互相关卷积表达式： f (x, y )☆g (x, y ) = f * (- x,- y )* g (x, y ) 性质：（1） R gf (x, y ) ≠ R (x, y )，即互相关不具有交换性，而有 R (x, y ) = R * (- x,- y ) fg gf fg （2） R fg (x, y )2 ≤ R (0,0)R (0,0) ff gg 自相关 当 f (x, y ) = g (x, y )时，即得到函数 f 的自相关定义式 R ff (x, y ) = ? ∞ f * (α - x, β - y )f (α , β )d αd β = f (x, y )☆ f (x, y ) -∞ (x, y ) = f * (- x,- y )* f (x, y ) 和 R ff 性质：（1）自相关函数具有厄密对称性 R (x , y ) ≤ R (0,0) （2） R ff ff ff (x, y ) = R * (- x,- y ) 当 f (x, y )是实函数时， R ff ( ff x , y ) 是 偶 函 数 , , , F ? ? f ( ) { ? ? ? ? f (x, y ) d x d =y ? ? F (ξ ,η ) d ξd η 傅里叶变换基本性质 线性性质 F (ξ ,η ) = 对称性 设 F (ξ ,η ) = 学习必备 欢迎下载 {f (x, y )}G (ξ ,η ) = {g (x, y )} a , b 为常数，则 {af (x, y )+ bg (x, y )}= aF (ξ ,η )+ gG (ξ ,η ) {f (x, y )} 则 {F (ξ ,η )}= f (- ξ ,-η ) 迭次傅里叶变换 以两次连续傅里叶为例，则有 { { f (x, y )}}= f (- x,- y )对二元函数连续作二维傅里叶变换，即得其倒 立像 坐标缩放性质 a,b 为不等于零的实常数，若 {f (x, y )}= F (ξ ,η )，则 {f (ax, b y )}= 1 ? ξ , η ? ab ? a b ? 函数 f (x, y )的图像变窄，其傅里叶变换 F (ξ ,η )的图像将变宽变矮； f (x, y )的图像变宽，则 F (ξ ,η )的将 变窄变高 平移性 设 {f (x, y )}= F (ξ ,η )，且 x , y 为实常数，则有 {f (x - x , y - y )}= exp {- j 2π (ξx + ηy )}F (ξ ,η ) 0 0 体积对应关系 设 {f (x, y )}= F (ξ ,η )，则有 F (0,0) = ? ∞ f (x, y )dxdy ， f (0,0) = ? ∞ F (x, y )d ξd η -∞ -∞ 复共轭函数的傅里叶变换 设 {f (x, y )}= F (ξ ,η )，则 { * (x, y )}= F * * * (ξ ,η ) 若 f (x, y )为实数，显然有 F (ξ ,η ) = F * (- ξ ,-η )此时称 F (ξ ,η )具有厄米对称性 傅里叶变换基本定理 卷积定理 设 {f (x, y )}= F (ξ ,η )，设 {g (x, y )}= G (ξ ,η )，则有 {f (x, y )* g (x, y )}= F (ξ ,η ) G (ξ ,η )和 {f (x, y )g (x, y )}= F (ξ ,η ) * G (ξ ,η ) 相关定理（维纳——辛钦定理） （1） 互相关定理 设 {f (x, y )}= F (ξ ,η )， {g (x, y )}= G (ξ ,η )，则有 {f (x, y )☆g (x, y )}= F * (ξ ,η ) G (ξ ,η ) 谱密度 F * (ξ ,η ) G (ξ ,η )为函数 f (x, y )和 g (x, y )的互谱量密度或简称互 （2） 自相关定理 设 {f (x, y )}= F (ξ ,η )，则有 巴塞伐定理 设 {f (x, y )☆g (x, y )}= F (ξ ,η )2 F (ξ ,η )2 为 f (x, y )的能谱密度 {f (x, y )}= F (ξ ,η )，且积分设 ? ∞ f (x, y )2 dxdy 与? ∞ F (ξ ,η )2 d ξd η 都存在，则有 -∞ -∞ ∞ -∞ 2 ∞ 2 -∞ ? ? f (x, y )g (x, y )dxdy = ? ? F (ξ ,η )G (ξ ,η )d ξd η , f (x, y ) = ? ? F (m ,n )(ξ ,η ) f x ? x ( ) ? 1 ( ) ( ) 矩定理 ? ? x ? f (x, y )dxdy = F (0,0) ) {af (x , y )}= a 用表达式可以表示为： = ? ? f (α , β )h (x - α , y - β )d αd β = * ∞ (ξ ,η ) = G (ξ ,η ) 学习必备 欢迎下载 广义巴塞伐定理 设 {f (x, y )}= F (ξ ,η )， {g (x, y )}= G (ξ ,η )，则有 ∞ ∞ * * -∞ -∞ 导数定理 设 {f (x, y )}= F (ξ ,η ) f (m ,n ) (x, y ) = ? m +n f (x, y ), F (m ,n )(ξ ,η ) = ? m +n F (ξ ,η ), 则有 ?x m ?y n ?ξ m ?η n { (m ,n )(x, y )}= ( j 2πξ )m ( j 2πη )n F (ξ ,η ) { m y n } ? j ? m ? j ? n ? 2π ? ? 2π ? 积分定理 设 {f (x,)}= F (ξ )则有 ? ? f α d α ? = F 0 δ ξ - ?-∞ ? 2 j 2πξ F (ξ ) ∞ -∞ m y n f (x, y d x d , y m , n = 0,1,2 零阶矩定理 此时 m=n=0，即有 ? ∞ -∞ 线性系统：一个系统同时具有叠加性和均匀性时 一 个 系 统 对 输 入 f 和 f 的 输 出 响 应 分 别 为 g 和 g ， 即 有 g (x , y 1 2 1 2 1 2 g (x , y ) = {f (x , y )} 2 2 2 2 1 1 2 ) = {f (x , y )} ， 1 1 1 叠加性： {f 1 ( x , y ) + f (x , y 1 1 2 1 1 )}= {f (x , y )}+ {f (x , y )}= g (x 1 1 1 2 1 1 1 2 , y )+ g (x , y 2 2 2 2 ) 均匀性： {f (x , y )}= ag ( x 1 1 1 1 1 1 1 2 , y 2 ) 线性平移不变系统：系统既具有线性又具有空间平移不变性 g (x, y ) f (x, y ) h (x, y ) 输出函数 输入函数 单位脉冲响应 -∞ 线性平移不变系统的传递函数 ： H F (ξ ,η ) 说明：原点脉冲响应的频谱密度可以表征系统对输入函数中不同频率的基元成分的传递能力 传递函数 H (ξ ,η )一般是复函数，其模的作用在于改变输入函数各种频率基元成分的模，其辐角的作用在于 改变这些基元成分的初相位 本征函数：函数 f (x, y )满足条件 {f (x, y )}= af (x, y )式中 a 为一复常数，则称 f (x, y )为算符 {…}所表征 的系统的本征函数 系统的本征函数是一个特定的输入函数，相应的输出函数与输入函数之比是一个复常数 平面波的空间频率：空间呈正弦或余弦变化的物理量在其某一方向上单位距离所包含的空间周期数 平面波的复振幅表达式： U (x, y , z ) = a exp [jk (x cos α + y cos β + cos γ )]= a exp [j 2π (ξx + ηy + ζz )] 分别沿 x, y , z 方向的空间频率： ξ = cos α λ ,η = cos β λ , ζ = cos γ λ 空间角频率：k=2πλ 复振幅分布： g (x, y ) = ? ? G (ξ ,η )exp [j 2π (ξx + ηy )]d ξd η 称 G (ξ ,η )为复振幅分布 g (x, y )的空间频谱 平面波的角谱： G , ? ∞ ? g (x, y )exp ??- j 2π ? cos α x + cos β ????dx dy ? r ds ? 0 ? 2 (x, y ) = exp ( jkz )? ∞? U (x )exp ? jk 菲涅耳衍射：U , y 0 0 ?dx dy j λ z 2 z ? ? [ ] 8λ 1 ( ) 2 λ x y 透镜的点扩散函数表达式为： h (x - ~x , y - ~y ) = M ? ? P (λd ~x , λd ~y )exp {- j 2π [(x x x y y d ~ y ? μ (?x, ?y ) 1 表示平面波沿传播方向的空间频率 学习必备 欢迎下载 λ ∞ -∞ ? cos α cos β ? ?= ? λ λ ? -∞ ? ? λ λ ?? 基尔霍夫衍射公式：U (Q ) = 1 j λ ?? ∑ a e jkr 0 ? c os (n, r )- cos (n, r )? e jkr 0 0 r ? 夫琅禾费衍射：满足 z >> x 2 + y 2 规定的 z 值范围的衍射 透镜对光波的相位变换作用 ：是由透镜本身的性质决定的，与入射光波复振幅U (x, y )的具体形式无关 1 角谱理论是在频域讨论光的传播，是把孔径平面光场分布看做许多不同方向传播的平面波的线性组合 泰伯效应：当用单色平面波垂直照明一个具有周期性透过率函数的图片时，发现在该透明片后的某些距离上 出现该周期函 数的像，这种不用透镜就可以对周期物体成像的现象称为泰伯效应或自成像，是一种衍射成像 点扩散函数：当该面元的光振动为单位脉冲即 δ 函数时，这个像场分布函数叫做点扩散函数或脉冲响应 透镜的脉冲响应就等于透镜孔径的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点 (~ , ~ )处 0 0 i i i i ∞ i - ~ )~ + (y - ~ )~]} xd ~ 0 i 0 -∞ 相干传递函数：在频域中用 h (x , y )的频谱函数 H (ξ ,η )来描述系统的成像特性，H (ξ ,η )称为衍射受限系统的 i i 相干传递函数（CTF ） 光学传递函数 ： (ξ ,η )称为非相干成像系统的光学传递函数（ O TF ），它描述非相干成像系统在频域的效 应 分辨率是评判系统成像质量的一个重要指标。非相干成像系统所使用的是瑞利分辨判据，用它来表示理想光 学系统的分辨限。对于衍射受限的圆形光瞳情况，点光源在像面上产生的衍射斑的强度分布称为艾里斑。根 据瑞利判据，对两个强度相等的非相干点源，若一个点源产生的艾里斑中心恰与第二个点源产生的艾里斑的 第一个零点重合，则认为这两个点源刚好能够分辨 干涉条纹可见度：V = I I max max - I + I min 相干长度： l min c = c τ c 相干时间：由τ = 1/ ?ν 所决定的时间相干面积： A = ? c c ∞ 2 d ?xd ?y -∞ 全息图的基本类型：从物光与参考光的位置是否同轴考虑，可以分为同轴全息和离轴全息；从记录时物体与 全息图片的相对位置分类，可以分为菲涅耳全息图、像面全息图和傅里叶变换全息图；从记录介质的厚度考 虑，可以分为平面全息图和体积全息图 学习必备欢迎下载 计算全息的制作步骤：1）抽样。得到物体或波面在离散样点上的值2）计算。计算物光波在全息平面上的光场分布3）编码。把全息平面上光波的复振幅分布编码成全息图的透过率变化4）成图。在计算机控制下，将全息图的透过率变化在成图设备上成图。如果成图设备分辨率不够，再经光学缩版得到实用的全息图5）再现。这一步骤在本质上与光学全息图的再现没有区别 计算全息的分类： 第一种分类法：根据物体（指物体的坐标位置）和记录平面（指计算全息平面的坐标位置）的相对位置不同，分为计算傅里叶变换全息、计算像全息和计算菲涅耳全息 第二种分类法：根据全息透过率函数的性质，可分为振幅型和相位型 第三种分类法：根据全息图制作时所采用的编码技术，也就是待记录的光波复振幅分布到全息图透过率函数的转换方式，大致可分为迂回相位型计算全息图、修正型离轴参考光计算全息、相息图和计 算全息干涉图等 空间滤波器：位于空间频率平面上的一种模片，它改变输入信息的空间频率，从而实现对输入信息的某种变换 空间滤波器可分为：1、二元振幅滤波器2、振幅滤波器3、相位滤波器4、复数滤波器 相干光学处理方法分类：1、图像相减2、匹配滤波与图像识别3、非线性处理4、模糊图像的复原5、合成孔径雷达 非相干光学处理：采用非相干光照明的信息处理方法，系统传递和处理的基本物理量是光场的强度分布 相干光学处理与非相干光学处理的基本区别：前者满足复振幅叠加原理，后者满足强度叠加原理 白光光学处理：采用宽谱带白光光源，但采用微小的光源尺寸以提高空间相干性，另一方面在输入平面上引入光栅来提高时间相干性，这样既不存在相干噪声，又在某种程度上保留了相干光学处理系 统对复振幅进行运算的能力，运算灵活性好 光学是一门古老的科学，其起源可以追溯到3000年以前，我国的春秋战国时代的《墨经》中已记载了投影小孔成像等光学现象。古希腊学者欧几里德的《反射光学》一书，研究了光的直线传播原理 和光的反射定律。事实上，人们对光现象的认识最初就是从光的传输方向等几何量的变化开 始的。几百年来，经过伽利略、牛顿、惠更斯、菲涅耳、夫琅和费、麦克斯韦、爱因斯坦等 伟大先驱们持续的努力，光学已发展成为物理学中一门极为重要的基础学科，它运用严格的 数学理论和方法，发展和形成了一套完整的理论体系及一套与理论相配合的实验方法。 信息光学（Information Optics）又称傅立叶光学。傅立叶变换光学的主要内容：1、衍射系统的屏函数2、夫琅和费衍射的傅立叶频谱分析3、阿贝成像原理变换光学处理光的衍射和干涉问题，最基本的方法是研究光 的相干叠加。这是传统光学的一般方法。可以从另外一个角度分析这类问题。入射波场，遇到障碍物之后，波场中各 种物理量重新分布。衍射障碍物将简单的入射场变换成了复杂的衍射场。所以可以从障碍物对波场的变换作用，来分析衍射。从更广义的角度，不仅仅是相干波场的障碍物，非相干系统中的一切使波场或者波面产生改变的因素，它们的作用都可以应用变换的方法处理。编辑本段信息光学成像 信息光学成像（Imaging with Information Optics）：是指利用频域技术进行光学成像控制和图像处理的光学成像技术。广泛的讲，现今全球多家机构研究的将光学和信息科学结合在一起，最终实现打破传统光学成像规律 的成像技术，都属于信息光学成像范畴。
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