一、数列的概念选择题
1．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()*
11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥，12018a =，
22017a =，则100S =（ ）
A ．2016
B ．2017
C ．2018
D ．2019
2．已知数列{}n a 满足12a =，11
1n n
a a +=-，则2018a =（ ）. A ．2
B ．
12 C ．1-
D ．12
-
3．已知数列{}n a 满足11a =
),2n N n *=
∈≥，且()2cos
3
n n n a b n N π
*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120
B ．174
C ．204-
D ．
373
2
4．数列{}n a 的通项公式是2
76n a n n =-+，4a =（ ）
A ．2
B ．6-
C ．2-
D ．1
5．已知数列{}n a ，若(
)12*
N
n n n a a a n ++=+∈，则称数列{}n
a 为“凸数列”.已知数列{}
n
b 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5
B ．5-
C ．0
D ．1-
6．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（ ） A ．2n n 1-+
B ．21n +
C ．2(1)1n -+
D ．2n
7．已知数列{}n a 的通项公式为23n
n a n ??= ???
，则数列{}n a 中的最大项为（ ） A ．
89
B ．
23
C ．
6481
D ．
125
243
8．在数列{}n a 中，()11
11,1(2)n
n n a a n a --==+
≥，则5a 等于
A ．
3
2
B ．
53 C ．85
D ．
23
9．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若11
02
a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+
D ．71089a a a a +>+
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是
A ．21n n n a a a ++=+
B ．13599100a a a a a ++++=
C ．2499a a a a ++
+=
D ．12398100100S S S S S +++
+=-
11．已知数列{}n a 的前5项为：12a =，232a =，343
a =，454a =，56
5a =，可归纳得
数列{}n a 的通项公式可能为（ ） A ．1
+=
n n a n
B ．2
1
n n a n +=
+ C ．3132
n n a n -=-
D ．221
n n
a n =
- 12．已知数列{}n a 的通项公式为()()2
11n
n a n
=--，则6a =（ ）
A ．35
B ．11-
C ．35-
D ．11
13．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列
{}n a 为周期数列，周期为T ．
已知数列{}n a 满足()111,1
0,{1
,01n n n n n
a a a m m a a a +->=>=<≤ ，则下列结论错误的是（ ） A ．若34a =，则m 可以取3个不同的数； B
．若m =
，则数列{}n a 是周期为3的数列；
C ．存在m Q ∈，且2m ≥，数列{}n a 是周期数列；
D ．对任意T N *∈且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列． 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1
n S n N n =∈，，则2a =（ ） A ．12
-
B ．16
-
C ．
16
D ．
12
15．已知数列{}n b 满足1
2122n n b n λ-??=-- ???
，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的
取值范围是（ ） A ．
10
1,
3
B ．110,23??- ???
C ．(-1，1)
D ．1,12??
-
???
16．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则
645a ，等于（ ）
123
456
78910
A ．2019
B ．2020
C ．2021
D ．2022
17．数列1
2，16，112，120
，…的一个通项公式是（ ） A ．()1
1n a n n =-
B ．()1
221n a n n =
-
C ．111
n a n n =
-+ D ．11n a n
=-
18．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）
A ．201920212S F =+
B ．201920211S F =-
C ．201920202S F =+
D ．201920201S F =-
19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1
3n n S +=，则34a a +=（ ）
A ．81
B ．243
C ．324
D ．216
20．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）
A ．()2
1n a n n =-- B ．2
1n a n =-
C ．()
12
n n n a +=
D ．()
12
n n n a -=
二、多选题
21．已知数列{}n a 满足0n a >，
121
n n n a n
a a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）
A ．11a =
B ．121a a =
C ．201920202019S a =
D ．201920202019S a >
22．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）
A ．0,2,n n a n ?=??
为奇数
为偶数
B ．1(1)1n n a -=-+
C ．2sin
2
n n a π
= D ．cos(1)1n a n π=-+
23．若数列{}n a 满足112,02
121,1
2
n n n n n a a a a a +?
≤≤??=??-<
（ ） A ．
1
5
B ．
25
C ．
45
D ．
65
24．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >
B ．130S >，140S <，则78a a >
C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12S
D ．若2
n S n n a =-+，则0a =
25．设数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是
（ ）
A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列
B ．若2
n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列
C ．若()11n
n S =--，则{}n a 是等比数列
D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈也成等差数列
26．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．2
3n S n n =- B ．2392
-=n n n
S
C ．36n a n =-
D ．2n a n =
27．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >
D ．110S >
28．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）
A ．若100S =，则50a >，60a <；
B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；
C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；
D ．若89S S <，则78S S <.
29．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15
11
0,20,a a a 则（ ）
A ．80a <
B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值
C ．49S S =
D ．满足0n S >的n 的最大值为12
31．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=
B ．27S S =
C ．5S 最小
D ．50a =
32．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d <
B ．70a =
C ．95S S >
D ．170S <
33．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =
C ．95S S >
D ．67n S S S 与均为的最大值
34．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =
D ．当8n ≥时，0n a <
35．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ??
?
???
是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项
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一、数列的概念选择题 1．A 解析：A 【分析】
根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列{}n a 是周期为6的数列，
且1234560a a a a a a +++++=，进而可得1001234S a a a a =+++，计算即可得答案． 【详解】
解：因为12018a =，22017a =，()
*
11N ,2n n n a a a n n +-=-∈≥，
则321201720181a a a =-=-=-， 432(1)20172018a a a =-=--=-， 543(2018)(1)2017a a a =-=---=-，
654(2017)(2018)1a a a =-=---=， 76511(2017)2018a a a a =-=--==， 8762201812017a a a a =-=-==，
…，所以数列{}n a 是周期数列，周期为6， 因为12560a a a a ++???++=，所以
()100125697989910016S a a a a a a a a =++???++++++
12342016a a a a =+++=．
故选：A ． 【点睛】
本题考查数列的递推公式的应用，关键是分析数列各项变化的规律，属于基础题．
2．B
解析：B 【分析】
利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可得2018a . 【详解】 在数列{}n a 中，
11
1n n
a a +=-，且12a =， 211112
a a ∴=-=， 32
1
1121a a =-=-=- ， ()413
1
1112a a a =-
=--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，
201867232=?+，
201821
2
a a ∴==.
故选：B
【点睛】
本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质，考查了数列的周期性，属于基础题.
3．B
解析：B 【分析】
将题干中的等式化简变形得2
11n n a n a n --??
= ???
，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由
此计算出(
)32313k k k b b b k N *
--++∈，进而可得出数列{}n
b 的前18项和.
【详解】
)1,2n a n N n *
--=
∈≥，将此等式变形得2
11n n a n a n --??= ???
，
由累乘法得2
2
2
3
212
12
11211123n n n a
a a n a a a a a n n
--??????
=??=????= ? ? ?????
??， ()
2cos
3n n n a b n N π*=∈，22cos 3
n n b n π
∴=， ()()222
323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--????∴++=--+--+ ? ????
?592
k =-，
因此，数列{}n b 的前18项和为()5
91234566921151742
?+++++-?=?-=. 故选：B. 【点睛】
本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
4．B
解析：B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】
令4n =，2
447466a =-?+=-
故选：B. 【点睛】
数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系，求某项值代入求解.
5．B
解析：B 【分析】
根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】
()*21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-， ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-===
∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =， ∴20203366412345S S b b b b ?+==+++=-，
故选：B. 【点睛】
本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.
6．A
解析：A 【分析】
由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】
因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，
因此212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-， 以上各式相加得：()()()21246.1221..212
n n n a a n n n ??-+-??
-=
+++==+--，
又11a =，所以2
1n a n n =-+.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.
7．A
解析：A 【分析】
由12233n
n n n a a +-??
-=? ???
，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得
到n ＝2时，a n 最大. 【详解】
解：112222(1)3333n n n
n n n a a n n ++-??????-=+-=? ? ? ?????
??， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；
当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1 所以a 1a 4>a 5>…>a n ， 所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239 a a ??==?= ???. 故选：A . 【点睛】 此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题. 8．D 解析：D 【解析】 分析：已知1a 逐一求解234512 2323a a a a ====，，，． 详解：已知1a 逐一求解234512 2323 a a a a == ==，，，．故选D 点睛：对于含有()1n -的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律． 9．C 解析：C 【分析】 由递推公式1221n n n a a a ++= +得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ??∈ ??? ，利用递推公式推导得 出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列 {}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，进而可得出结论. 【详解】 ()() 113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++，110,2a ??∈ ???，25,24a ??∴∈ ???， ()() 12 1259245221545944221454544452121 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++?++， 且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，() 2 1212 2121 n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-= ++. 110,2a ??∈ ??? ，则101a <<，则()()3 590,14445n a a =-∈+， 如此继续可得知()( )210,1n a n N * -∈∈，则( )2 21 21212141= 045 n n n n a a a a -+---->+， 所以，数列{}()21n a n N *-∈单调递增； 同理可知，()21n a n N * >∈，数列{}()2n a n N * ∈单调递减. 对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误； 对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误； 对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确； 对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】 本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列 {}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题. 10．C 解析：C 【分析】 21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到 13599a a a a +++?+=1123459798a a a a a a a a ++++++?++=981001S a +=进而得到B 正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到 12398S S S S +++?+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进 而D 正确. 【详解】 已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-?=+，故A 正确；根据A 选项得到 13599a a a a +++?+=1123459798a a a a a a a a ++++++?++=981001S a +=，故B 正 确； 24698a a a a +++?+=2234569697a a a a a a a a ++++++?++= 1234569697a a a a a a a a ++++++?++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++?+= ，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S - 故D 正确. 故答案为C. 【点睛】 这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广. 11．A 解析：A 【分析】 将前五项的分母整理为1,2,3,4,5，则其分子为2,3,4,5,6，据此归纳即可. 【详解】 因为12a =，232a =，343 a =，454a =，565a =， 故可得1223,12a a = =, 343 a =，454a =，56 5a =， 故可归纳得1 +=n n a n . 故选：A. 【点睛】 本题考查简单数列通项公式的归纳总结，属基础题. 12．A 解析：A 【分析】 直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()2 11n n a n =--，所以626(1)(61)35a =--=. 故选：A 【点睛】 本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题. 13．C 解析：C 【解析】 试题分析：A:当01m <≤时，由34a =得1;125m m = <≤时，由34a =得54 m =； 2m >时，()2311,,24a m a m =-∈+∞=-= 得6m = ；正确 . B: 234111,11,1,m a a a =>∴== ==> 所以3T =，正 确． C ：命题较难证明，先考察命题 D ． D ：命题的否定为“对任意的T N *∈，且2T ≥，不存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列”，而由B 显然这个命题是错误的，因此D 正确，从而只有C 是错误． 考点：命题的真假判断与应用． 【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．此题首先要理解新定义“周期为T 的数列”，然后对A 、B 、C 、D 四个命题一一验证，A 、B 两个命题按照 数列的递推公式进行计算即可，命题C 较难证明，但出现在选择题中，考虑到数学选择题中必有一个选项正确，因此我们先研究D 命题，并且在命题D 本身也很难的情况下，采取“正难则反”的方法，考虑命题D 的否定，命题D 的否定由命题B 很容易得出是错误的，从而命题D 是正确的． 14．A 解析：A 【分析】 令1n =得11a =，令2n =得2121 2 S a a =+=可解得2a . 【详解】 因为1n S n = ，所以111 11 a S ===， 因为21212S a a =+=，所以211 122 a =-=-. 故选：A 15．A 解析：A 【分析】 由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立，即16212n n λ??-<+ ??? ，讨论n 为奇数和偶数时，再利用 数列单调性即可求出. 【详解】 数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立， 即()1 22112+1222n n n n λλ-????-->-- ? ? ???? 恒成立， 即16212n n λ??-<+ ??? ， 当n 为奇数时，则()6212n n λ>-+?恒成立， ()212n n -+?单调递减，1n ∴=时，()212n n -+?取得最大值为6-， 66λ∴>-，解得1λ>-； 当n 为偶数时，则()6212n n λ<+?恒成立， ()212n n +?单调递增，2n ∴=时，()212n n +?取得最小值为20， 620λ∴<，解得103 λ< ， 综上，1013 λ-<< . 故选：A. 【点睛】 关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出 16212n n λ?? -<+ ??? 恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 16．C 解析：C 【分析】 根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果. 【详解】 根据题意，第1行第1列的数为1，此时111(11) 112 a ?-=+=，， 第2行第1列的数为2，此时212(21) 122 a ?-=+=，， 第3行第1列的数为4 ,此时313(31) 142 a ?-= +=，， 据此分析可得:第64行第1列的数为64164(641) 120172 a ?-=+=，，则6452021a =，， 故选：C. 17．C 解析：C 【分析】 根据选项进行逐一验证，可得答案. 【详解】 选项A. () 1 1n a n n =-,当1n =时，无意义.所以A 不正确. 选项B. ()1221n a n n =-,当2n =时，()2111 22221126 a = =≠???-，故B 不正确. 选项C. 11122=-，111162323==-?，1111123434==-?，1111204545==-? 所以11 1 n a n n = -+满足.故C 正确. 选项D. 11n a n =-,当1n =时, 111 1012 a =-=≠,故D 不正确. 故选：C 18．B 解析：B 【分析】 利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，可得 21n n F S +=+，代入2019n =即可求解. 【详解】 由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++ 1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++= 123211n n n n F F F F F F ---=++++ +++， 所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-， 故选：B 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出 21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+. 19．D 解析：D 【分析】 利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】 利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-， 34216a a ∴+= 故选：D 【点睛】 本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题. 20．C 解析：C 【分析】 首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】 由题知：410a =， 对选项A ，()2 444113a =--=，故A 错误； 对选项B ，2 44115a =-=，故B 错误； 对选项C ，() 4441102a ?+==，C 正确； 对选项D ，() 444162 a ?-= =，故D 错误. 故选：C 【点睛】 本题主要考查数列的通项公式，属于简单题. 二、多选题 21．BC 【分析】 根据递推公式，得到，令，得到，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到，求出，可得C 正确，D 错. 【详解】 由可知，即， 当时，则，即得到，故选项B 正确；无法计算，故A 错； ，所以，则 解析：BC 【分析】 根据递推公式，得到11n n n n n a a a +-=-，令1n =，得到121 a a =，可判断A 错，B 正确； 根据求和公式，得到1 n n n S a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】 由121n n n a n a a n +=+-可知2111 n n n n n a n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则12 1 a a = ，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111 102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++??????-=++ +=-+-+ +-=-= ? ? ???????，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛： 由递推公式求通项公式的常用方法： （1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如 ()1 n n a f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通 项时，常需要构造成等比数列求解； （4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2 ,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解. 22．BD 【分析】 根据选项求出数列的前项，逐一判断即可. 【详解】 解：因为数列的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设； 选项B ： ，符合题设； 选项C ：， 不符合题设； 选项D ： ，符合题设 解析：BD 【分析】 根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】 解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设； 选项B ：0 1(1)12,a =-+=1 2(1)10,a =-+= 23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设； 选项C ：，12sin 2,2 a π ==22sin 0,a π== 332sin 22 a π ==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+= 3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设. 故选：BD. 【点睛】 本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 23．ABC 【分析】 利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】 数列满足，，依次取代入计算得， ，，，，因此继续下去会循环 解析：ABC 【分析】 利用数列{}n a 满足的递推关系及13 5 a = ，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】 数列{}n a 满足112,02 121,1 2n n n n n a a a a a +? ≤≤??=??-< 211215a a =-= ，32225a a ==，43425a a ==，5413 215 a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234 ,,,5555 . 故选：ABC. 【点睛】 本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 24．AD 【分析】 对于，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案； 对于，根据等差数列的前项和公式得到和， 进而可得，由此可知，故不正确； 对于，由得到，，然后分类讨论的符号可得答案； 对于，由求出及 解析：AD 【分析】 对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案； 对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确； 对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案； 对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】 对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠， 所以2 4619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确； 对于B ，因为130S >，140S <，所以 77713() 1302 a a a +=>，即70a >， 787814() 7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以 7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确； 对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++ ++=，所以12133()0a a +=，即 12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值 是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确； 对于D ，若2 n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时， 221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列， 所以12120a a =?-==，故D 正确. 故选：AD 【点睛】 关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键. 25．BCD 【分析】 利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】 选项A: ,得是等差数列，当时不是等比数列，故错; 选项B: ,,得是等差数列，故对; 选项C: ,,当时也成立，是等比数列 解析：BCD 【分析】 利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】 选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B: 2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对; 选项C: ()11n n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==?-≥,当1n =时也成立， 12(1)n n a -∴=?-是等比数列，故对; 选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，* 32()n n S S n N -∈是等差数 列，故对; 故选：BCD 【点睛】 熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 26．BC 【分析】 由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式 【详解】 解：设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以， ， 故选：BC 解析：BC 【分析】 由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】 解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，46a =， 所以1132302 36 a d a d ?? + =???+=?，解得133a d =-??=?， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-， 21(1)3(1)393222 n n n n n n n S na d n ---=+=-+= ， 故选：BC 27．ABD 【分析】 转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】 因为，所以，即， 因为数列递减，所以，则，，故A 正确； 所以最大，故B 正确； 所以，故C 错误 解析：ABD 【分析】 转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】 因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=， 因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确； 所以()113137 131302 a a S a +?==<，故C 错误； 所以()111116 111102 a a S a +?= =>，故D 正确. 故选：ABD. 28．ABD 【分析】 利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】 对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即， 根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A 正 解析：ABD 【分析】 利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】 对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010() 02 a a S += =，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=， 所以561112894()0a a a a a a ++???++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +?= ==>，116891616()16() 022 a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为1158 15815()15215022 a a a S a +?= ==>，则80a >， 116891616()16()022 a a a a S ++= ==，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误； 《数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计 一、教材与教学分析 1．数列在教材中的地位 根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)． 2．教学任务分析 (1)了解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类． (2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系． 3．教学重点与难点 重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系 二、教学方法 小组合作、探究学习模式 通过对问题情境的分析讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生探究数学归纳法。 三、学习过程设计 【问题情境】 1．国际象棋的传说（在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍）：每格棋盘上的麦粒数排成一列数； 2．古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数； 3．童谣：一只青蛙，一张嘴 ，两只眼睛，四条腿； 两只青蛙，两张嘴 ，四只眼睛，八条腿； 三只青蛙，三张嘴 ，六只眼睛，十二条腿； 4．中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数依次排成一列数 。 教师：以上四个问题中的数蕴涵着哪四列数呢？ 学生： 1：23631,2,2,2, ,2 2一列数：23451111122222???????? ? ? ? ?????????，，，，， 3： 青蛙 嘴 眼睛 腿 1 1 2 4 2 2 4 8 3 3 6 12 4 4 8 16 等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1. 准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解 决等差数列的相关问题 2. 通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生 对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力 3?激情参与、惜时高效，禾U 用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值 【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用 【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用 【学法指导】 1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法 ； 2.完成教材助读设置的问题，然后结 合课本的基础知识和例题，完成预习自测； 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑” 一、知识温故 1?数列有几种表示方法？ 2?数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？ 教材助读 1?一般地，如果一个数列从第 ________ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ___________ ，公差通常用字母 ___________________________ 表示。 2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a 与b 的等差数列即 3. 如果数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则a 2 a 1 a 5 a 1 4.通项公式为a n =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗? ,a 3 a 1 a 4 a 1 1. 等差数列a 2d , a ,a 2d ?' A . a n a (n 1)d B. C . a n a 2(n 2)d D. 2.已知数列｛, a n } 的通项公式为 a n A . 2 B. 3 C. 2 3. 已知a 1 b - 1 ?的通项公式是（ a (n 3)d a 2nd 2n ，则它的公差为（ D. 3 ，则a 与b 的等差中项为 【预习自测】 a n a n 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与通项公式 双基达标 (限时20分钟) 1．下列说法中，正确的是 ( )． A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C ．数列?? ?? ??n ＋1n 的第k 项是1＋1 k D ．数列0,2,4,6,8，…，可表示为a n ＝2n (n ∈N *) 解析 A 错，{1,3,5,7}是集合．B 错，是两个不同的数列，顺序不同．C 正确，a k ＝k ＋1k ＝1＋1 k .D 错，a n ＝2(n －1)(n ∈N *)． 答案 C 2．已知数列3，3，15，21，33，…，3(2n －1)，…，则9是这个数列的 ( )． A ．第12项 B ．第13项 C ．第14项 D ．第15项 解析 令a n ＝3(2n －1)＝9，解得n ＝14. 答案 C 3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于 ( )． A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 解析 从第三项起每一项都等于前连续两项的和，即a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，所以x ＝5＋8＝13. 答案 C 4．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项． 解析 a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，n ＝24. 答案 24 5．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝1 2(n ∈N *)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递 减”)． 解析 由已知a 1>0，a n ＋1＝1 2a n (n ∈N *)， 得a n >0(n ∈N *)． 又a n ＋1－a n ＝12a n －a n ＝－1 2a n <0， ∴{a n }是递减数列． 答案 递减 6．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，1 3， (2) 53，( )，1715，2624，3735 ，… (3)2,1，( )，1 2，… (4)32，94，( )，65 16 ，… 解 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则 序号 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 数 912 812 712 ( ) 512 4 12 于是括号内填6 12，而分子恰为10减序号． 故括号内填1 2，通项公式为a n ＝10－n 12. (2) 53＝4＋14－1，1715＝16＋116－1，2624＝25＋125－1 ， 第一节数列的概念与简单表示法 知识要点 1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义： ①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类： (3)数列的通项公式： 如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式 如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数－1 列的递推公式． 3.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 4．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n) ＝a n(n∈N*)． 题型一：由数列的前几项求数列的通项公式 [例1] 下列公式可作为数列{a n}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A．a n＝1 B．a n＝C．a n＝2－ D．a n＝ [自主解答] 由a n＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….[答案] C 变式：若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n}的一个通项公式为________． 答案： a n＝ 由题悟法 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想． 高中数学第二章数列2.1.1数列的概念与通项公式练习（含解析） 新人教A 版必修5 知识点一 根据数列的前几项求通项公式 1．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是( ) A ．a n ＝(－1)n ·(2n －1) B ．a n ＝(－1)n ·(2n －1) C ．a n ＝(－1)n ＋1 ·(2n －1) D ．a n ＝(－1)n ＋1 ·(2n －1) 答案 A 解析 数列各项正、负交替，故可用(－1)n 来调节，又1＝21－1，3＝22－1，7＝23 －1，15＝24 －1，…，所以通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n －1)． 2．根据数列的前4项，写出下列数列的一个通项公式． (1)0．9，0．99，0．999，0．9999，…； (2)112，245，3910，416 17，…； (3)12，34，78，15 16，…； (4)3，5，9，17，…． 解 (1)0．9＝1－0．1＝1－10－1， 0．99＝1－10 －2， 0．999＝1－10 －3， 0．9999＝1－10－4 ， 故a n ＝1－10－n (n ∈N * )． (2)112＝1＋112＋1，245＝2＋22 22＋1，3910＝3＋32 32＋1，41617＝4＋42 42＋1，故a n ＝n ＋n 2 n 2＋1(n ∈ N * )． (3)12＝21 －121＝1－121，34＝22 －122＝1－122， 78＝23 －123＝1－123，1516＝24 －124＝1－124， 故a n ＝2n －12n ＝1－12 n (n ∈N * )． (4)3＝1＋2，5＝1＋22， 9＝1＋23， 17＝1＋24 ， 故a n ＝1＋2n (n ∈N * )． 第六章数列 命题探究 解答过程 (1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由已知b2+b3=12,得 b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因为q>0,所以q=2.所以b n=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.由S11=11b4,可得a1+5d=16②,联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得a n=3n-2. 所以,数列{a n}的通项公式为a n=3n-2,数列{b n}的通项公式为b n=2n. (2)设数列{a2n b2n-1}的前n项和为T n,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2n b2n-1=(3n-1)×4n,故T n=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n, 4T n=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1, 上述两式相减,得 -3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1= - - -4-(3n-1)×4n+1 =-(3n-2)×4n+1-8. 得T n=-×4n+1+. 所以,数列{a2n b2n-1}的前n项和为-×4n+1+ §6.1数列的概念及其表示法 考纲解读 分析解读本节内容在高考中主要考查利用a n和S n的关系求通项a n,或者利用递推公式构造等差或等比数列求通项a n,又考查转化、方程与函数、分类讨论等思想方法,在高考中以解答题为主,题目具有一定的综合性,属中高档题.分值为5分或12分. 五年高考 考点数列的概念及其表示 1.(2016浙江,13,6分)设数列{a n}的前n项和为S n.若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1=,S5=. 答案1;121 2.(2015江苏,11,5分)设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*),则数列前10项的和为. 答案 3.(2013课标全国Ⅰ,14,5分)若数列{a n}的前n项和S n=a n+,则{a n}的通项公式是a n=. 答案(-2)n-1 4.(2015四川,16,12分)设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)记数列的前n项和为T n,求使得|T n-1|<成立的n的最小值. 解析(1)由已知S n=2a n-a1, 有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2), 即a n=2a n-1(n≥2). 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1). 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2. 所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列. 故a n=2n. (2)由(1)得=, 所以T n=++…+=- - =1-. 由|T n-1|<,得--<,即2n>1000. 因为29=512<1000<1024=210, 所以n≥10. 于是,使|T n-1|<成立的n的最小值为10. 教师用书专用(5—6) 5.(2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,…,A n,…和B1,B2,…,B n,…分别在角O的两条边上,所有A n B n相互平行,且所有梯形 A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n=a n.若a1=1,a2=2,则数列{a n}的通项公式是. 答案a n=- 6.(2014广东,19,14分)设数列{a n}的前n项和为S n,满足S n=2na n+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15. 学习札记 第2章 数列 【知识结构】 重点：数列及其通项公式的定义；数列的前n 项和与通项公式的关系及其求法； 难点：正确运用数列的递推公式求数列的通项公式；对用递推公式求出的数列的讨论； 等差等比数列的应用和性质。 第1课 数列的概念及其通项公式 2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列； 3．理解数列的通项公式的概念，并会 用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式； 4．提高观察、抽象的能力． 【自学评价】 1．数列的定义：___________________叫做数列(sequence of number). 【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的， 因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 思考:简述数列与数集的区别. __________________________________________________________________________. 2．数列的项：_________________都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3．数列的分类： 按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限）. 4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项 与 之间的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term ）. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…； ⑵一个数列的通项公式有时是 不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是 2 )1(11 +-+=n n a ， 也可以是|2 1 cos |π+=n a n ； ⑶数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项. 5. 数列的图像都是一群孤立的点. 从映射、函数的观点来看，数列可 以看作是一个定义域为正整数集N * （或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象． 6．数列的表示形式：____________________ ____________________________________. 【精典范例】 课题：数列（第一课时） 一、教学目标： 知识目标：（1）了解数列的概念，了解数列的分类，了解数列是一种特殊的数列， 会用列表法和图像法表示数列； （2）理解数列的通项公式，会根据通项公式写出数列的前几项，会 根据简单数列的前几项写出数列的通项公式。 能力目标：通过数列概念的归纳概括，初步培养学生的归纳、抽象、概括的能力， 渗透函数思想。 情感目标：通过有关数列的实际应用，激发学生学习数列的积极性。 二、重点：数列的概念，数列的通项公式及其简单应用. 三、难点：根据数列的前几项归纳概括出数列的一个通项公式. 四、教学方法：观察发现、探究合作、启发引导、讲练结合 五、教学手段：多媒体课件、投影仪 六、教学过程： 1、问题情境 （1）庄子说：一尺之棰，日取其半，万世不竭。每次剩下的部分依次是： 1111,,,,24816 （2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分类成2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为：1,2,4,8,16,32，┅┅ （3）2012----伦敦奥运,从1984年到2012年,我国共参加了8次奥运会,各次参赛获得的金牌总数依次为：15,5,16,16,28,32,51,38. 问题1：这几组数据有什么共同的特点？ 2、学生活动 都是一列有顺序的数。 特点1：都是一列数，2：有一定的次序 3、建构数学 （1）数列的定义：按照一定次序排成一列的数称为数列； 数列中的每个数都叫做这个数列的项； 各项依次叫做这个数列的第1项（首项）,第2项，…，第n 项，…，如： 数列 2, 4, 8, 16 问题2：① 1，-1,1，-1，……是数列吗？ ② 数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是否是同一个数列？ （2）数列的分类：有穷数列，无穷数列。 问题3：下面三个数列哪些是有穷数列，哪些是无穷数列？ a 4 a 1 a 2 a 3 2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时 数列的概念与通项公式 数列的概念 [提出问题] 观察下列示例，回答后面问题 (1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，12，13，14，15，1 6. (2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2,4，－8,16. (3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，…. (4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：12，14，18，116，1 32 ，…. 问题：观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？ 提示：按照一定的顺序排列． [导入新知] 数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)， a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }． [化解疑难] 1．数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置． 2．项a n 与序号n 是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． 3．{a n }与a n 是不同概念：{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…；而a n 表示数列{a n }中的第n 项. 数列的分类 [提出问题] 问题：观察“知识点一”中的4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？ 数列公式数学学科导学案 教师寄语：做对国家有用的人 课题：数列的概念和通项公式 班级 17级姓名陈兆侠组别二年级 一、学习目标： 1.知识与能力： （1）理解数列及其有关概念； （2）理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； （3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式． 2.过程与方法： 理解数列的定义，表示法，分类，初步学会求数列通项公式的方法。 3.情感态度价值观： 提高观察，分析能力，理解从特殊到一般，从一般到特殊思想。 二、学习重、难点： 重点：了解数列的概念及其表示方法，会写出简单数列的通项公式 难点：数列与函数关系的理解，用归纳法写数列的通项 三、学习过程【导、探、议、练】 导 知识点一：数列及其有关概念 思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？ 梳理: (1)按照________排列的________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_____.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的__________(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这个数列的……排在第n位的数称为这个数列的__________. (2) 数列的一般形式可以写成，简记为_________. 知识点二：通项公式 思考1:数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？ 思考2 数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ 知识点三:数列的分类 思考:对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？ 梳理: (1)按项数分类，项数有限的数列叫做__________数列，项数无限的数列叫做__________数列． (2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做___________；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做；各项相等的数列叫做；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做_____________. 探、议 （一）自主探究 类型一:由数列的前几项写出数列的一个通项公式 § 数列的概念及简单表示法 1． 数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2． 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 a n ＋1__>__a n 其中n ∈N ＋ 递减数列 a n ＋1__<__a n 常数列 a n ＋1＝a n 按其他标准分类 有界数列 存在正数M ，使|a n |≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有 些项小于它的前一项的数列 3． 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4． 数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 5．已知S n ，则a n ＝??? ?? S 1 ?n ＝1? S n －S n －1 ?n ≥2? . 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达． ( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( √ ) (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝ 1＋?－1? n ＋1 2 . ( × ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对?n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝1 2a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项． ( √ ) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2 ，则a 8的值为 ( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 答案 A 解析 ∵S n ＝n 2 ，∴a 1＝S 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2 －(n －1)2 ＝2n －1. ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15. 3． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于 ( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 答案 A 解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1. 4． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1 3 ，则{a n }的通项公式是a n ＝_____. 答案 (－2) n －1 解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝2 3a n －23 a n －1， 故 a n a n －1 ＝－2，故a n ＝(－2)n －1 . 当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1 . 综上，a n ＝(－2) n －1 . 5． (2013·安徽)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1， B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行， 数列的概念及通项公式 [教学设计思想] 本课是数列的第一课，目标让学生很好理解数列的概念。 对数列概念的理解，对学生来说是没有困难的。因此，通过对简单概念的学习，让学生体会通过自己的学习，理解数列的概念，从中培养自主学习能力。 另外，通过对概念的学习，规范数列的写法，让学生能用数学符合语言来准确描述数列 [教学目标] 1、通过创设实际情景，产生数列的概念，让学生在实际生活中感悟出数列的概念 2、通过对教材的阅读，掌握学习的技巧和方法，养成自主学习能力 3、通过例题对概念的剖析，了解数列通项的基本概念，函数概念和图像概念 4、通过对概念的学习，规范数列的写法，使得学生能用数学符合语言来准确描述数列 教学重点难点 用数学语言描述出数列的通项公式 [教学策略与方法] 1、利用多媒体，通过实际问题的引入数列的学习。 2、通过阅读教材学习数学的概念。 3、学会用符合语言表示数列的通项。 [教学过程] 【导入】 一．对半还价法 从他们的讨价还价中，我们得到一串数列： 600，300，500，350，450，380…… 二．一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增 加一定数量的宝石，则第五件产品有多少颗珠宝？（1322++=n n a n ） 第4件 第3件 第1件 第2件 三．兔子繁殖问题（斐波那契数列）：有一天，意大利著名数学家斐波那契在外面散步，看见一个男孩在院子里养了一对可爱的白兔。几个月后，他又去那儿散步，看见里面大大小小的兔子很多。于是就问小孩：“你又买了一些兔子吗？”小孩回答说：“没有，小兔子都是原先一对老兔子繁殖出来的。”经过询问之后，斐波那契知道，一对兔子每月都要生一对小兔，并且小兔子出生后两个月就可以再生一对小兔子。这引起了他的浓厚兴趣，经过思考，他提出了一个问题： Fibonacci数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，………… 四．循环程序图 A＝3，N＝1 前5项是：3，6，30，870，756030 提问：同学们能不能再举出一两个这样的一列数，它们可能是你生活中遇到的，也可能是你最喜欢，最难忘的一列数 【过程】 1.阅读教材第二项内容（第一段到第三段） 提问1：谁能给出数列的定义 提问2：数列1，3，5，7，9与9，7，5，3，1是同一数列吗？为什么？ 2021年新高考数学总复习第六章《数列》 数列的概念与简单表示法 1．数列的有关概念 概念含义 数列按照一定顺序排列着的一列数 数列的项数列中的每一个数 数列的通项数列{a n}的第n项a n 通项公式 数列{a n}的第n项a n与n之间的关系能用公式a n＝f(n)表示，这个公式 叫做数列的通项公式 前n项和数列{a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n叫做数列的前n项和 2.数列的表示方法 列表法列表格表示n与a n的对应关系 图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式法 通项公式把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和a n＋1＝f(a n)或a1，a2和a n＋1＝f(a n，a n－1)等 表示数列的方法 3.a n与S n的关系 若数列{a n}的前n项和为S n， 则a n＝ ?? ? ??S1，n＝1， S n－S n－1，n≥2. 4．数列的分类 分类标准类型满足条件 项数 有穷数列项数有限 无穷数列项数无限 项与项间的 大小关系 递增数列a n＋1> a n 其中n∈N* 递减数列a n＋1< a n 常数列a n＋1＝a n 概念方法微思考 1．数列的项与项数是一个概念吗？ 提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的通项公式a n＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？ 提示数列的通项公式a n＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域是R，a n＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上． 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(×) (2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(×) (3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√) (4)1，1，1，1，…不能构成一个数列．(×) (5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×) (6)如果数列{a n}的前n项和为S n，则对?n∈N*，都有a n＝S n－S n－1.(×) 题组二教材改编 2．在数列{a n}中，已知a1＝1，a n＋1＝4a n＋1，则a3＝. 答案21 解析由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21. 3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝. 答案5n－4 题组三易错自纠 4．已知a n＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{a n}是递增数列，则实数λ的取值范围是． 答案(－3，＋∞) 解析因为{a n}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有a n＋1>a n，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*) 因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 5．数列{a n}中，a n＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是． 数列的概念与表示导学案 一、基础知识 引例：按一定次序排列的一列数 （1）1，2，3，4，5 （2）1，51,41,31,21 （3）,1,1,1,1--…… （4）1，1，1，1，…… （5）1，3，5，4，2 （6）2的精确到1，0.1，0.01，0.001，……的不足近似值排列成一列数 1、概念：（1）数列： 注：①按一定次序排列 ②同一个数在数列中可重复出现 上例中能构成数列的是： 。（1）与（5）相同吗？ （2）项： （3）项的序号： 2、表示：数列的一般形式为： ，简化为 。 例：,41,31,21, 1…,1,n …简记为： 1，3，5，7，…12-n ，…简记为 注：}{n a 与n a 的区别： 3、数列与函数的关系： 4、数列的通项公式： 作用：①以序号代n 可求数列各项；②可验证某数是否是数列中的项 注：①通项公式有时不存在；②一个数列的通项公式形式可能不唯一。 5、递推公式： 6、分类： 二、例题解析 例1、根据}{n a 的通项公式，写出它的前5项。 （1）1+=n n a n （2）n a n n ?-=)1( 例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数 （1）1，2，3，4； （2）1，3，5，7； （3）5 15,414,313,2122222----； 例3、已知：}{n a 中，11=a ，以后各项由111-+ =n n a a 给出，写出这个数列的前5项。 三、课后练习 1、根据}{n a 的通项公式，写出它的前5项： （1）1)1(5+-?=n n a （2）1 122++=n n a n 2、根据通项公式，写出它的第7项与第10项 （1）)2(+=n n a n （2）32+-=n n a 3、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数。 （1）1，2，3，4 （2）2，4，6，8 （3）161,81,41,21-- （4）5141.4131,3121,211---- 4、写出下面数列}{n a 的前5项 （1）)2(35 11≥+==-n a a a n n （2）)2(2211≥==-n a a a n n 数列的概念与简单表示法（第一课时） 教学目标：1、理解数列的概念，了解通项公式的意义和分类 2、能由通项公式求出数列的各项。反之能求出数列的前几项 3、培养学生分析问题的能力及探索规律的能力 教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型 教学难点：认识数列是一种特殊函数；发现数列的规律，找出数列可能的通项公式。 教学过程： 一、引入新课 有人说，大自然是懂数学的，不知你注意过没有，树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了那些数学规律吗？通过本课时的学习，这些问题都会得到解决。 二、新课 学生阅读课本、小组互动完成学案上第一、二部分 小组内推选同学回答问题 （一）、考考你 寻找规律，在空格出填写数字 1．1、21、31、（ ）、51、61、（ ）、8 1 2. 2、-4、（ ）、-8、10、（ ）14 3. （ ）、22、32、42、52、（ ）、72 思考1：以上几组数有什么特征？ 观察、讨论、分析归纳特点：上面的数字都是有规律的。从具体例子引出数列概念，激发学生的兴趣。 （二）、知识探究 1、根据上面几组数归纳出数列的概念 数列是一列数；数列中的数是按一定次序排列的。引领学生由感性认识上升到理性认识，进而明确数列的定义 思考2 数列1、2、3、4……与4、3、2、1……是同一数列吗？ 不是，数列的有序性； 深化定义，加深对数列概念的理解。 试试看： 根据思考2归纳出数列的特点________ 2、数列的项如何表示 数列的一般表示：n a a a ,,,21 ，表示法{}n a 练习：请大家举几个生活中数列的例子 3、数列的分类（课本28页观察） ①按项数分有穷数列和无穷数列 ②按项的大小关系分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 4、常数列：各项均为常数的数列 为等差、等比数列进一步学习作铺垫 5、数列的通项公式 项数：1 2 3 4 5 …… n 1 2 3 4 5 …… n 项： 1 4 9 16 25…… （n 2） 2 4 6 8 10…… （2n ） 仔细观察上面两个数列的项与它对应的项数，你能发现它们的关系吗？请写出项数与项之间 数列的概念及其表示方法 一、学习目标 1．了解数列的概念及其表示方法；理解数列通项公式的有关概念； 2．给出数列的通项公式，会写出数列的前几项；给出简单数列的前几项，会写出它的一个通项公式； 3．通过独立思考、小组合作来提升获取知识的能力，增强团结协作的意识，养成善于观察、归纳、类比、联想等良好的思维品质． 二、学习重点与难点 学习重点：数列的概念及其通项公式. 学习难点：用函数的观点理解数列的概念. 三、学习过程 活动一：创设情境 1. 同学们，以下四个问题蕴含着四列数，你能写出来吗？ （1）国际象棋的传说：每格棋盘上的麦粒数排成一列数: . （2）古语：如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为: . （3）童谣：一只青蛙，一张嘴，两只眼睛，四条腿，这句童谣中蕴含的一列数为: . （4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为: . 2. 同学们，你能说说上述几列数有什么共同特点吗？ 活动二：数列的概念及其理解 1. 数列的定义：__________________________________________________. 数列的项： __________________________________________________. 2. 数列的分类（按项数分）：__________________________________________________. 思考1：1．数列1，2，3，4，5.与数列5，4，3，2，1.相同吗？ 2．金，木，水，火，土.是数列吗？ 3．数列1，2，3，4，5.与数列1，2，3，4，5，… 相同吗？ 3. 数列的表示方法： 数列的一般形式可以写成 . 其中1a 是数列的第 项（或称为 ），2a 是数列的第 项，…， n a 是数列的第 项. 有时，我们把上面的数列简记为 . 思考2：1.此处的n a 与{}n a 有何区别？ 2.数列中的项和集合中的元素有何区别? 活动三：探索数列与函数的关系 国际象棋每格棋盘上的麦粒数: 序号n 1 2 3 4 ... 64 项 a n 1 2 22 23 ... 263 请回答： 1.这个数列中，对每一个项的序号n 都有唯一的项 a n 与之对应吗？ 2.一般数列中，对每一个项的序号n 存在唯一的项a n 与之对应？ 第三讲 数列的概念与表示方法 【知识要点】 1.数列的概念 按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列一般形式可以写成a 1,a 2,a 3，…，a n ,…，简记为数列{a n }，其中数列的第1项a 1也称首项；a n 是数列的第n 项，也叫数列的通项. 2.数列的表示方法 （1）列举法 （2）图象法 （3） 解析法 （4）递推法 3.数列的分类 4.数列与函数的关系 从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N * （或它的有限子集）的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列. 5.数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f(n)，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式.不是每个数列都有通项，如果数列有通项公式,但其通项公式在形式上不一定惟一. 6.求数列通项公式的常见类型与方法 （1）已知数列的前n 项，求其通项公式 ①据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： 分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等.并对此进行归纳、联想. ②根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用（-1）n 或（-1）n+1来调整. ③观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决. 题型一 由数列的前n 项求其通项公式 例1 写出下列各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，… (2) ,32 31,1615,87,43,21 第二课时数列的性质与递推公式 课时作业 * KE5HI ZUOYE * ［选题明细表］ 1. 已知数列｛a n｝满足a i>o,且a n+i=a n,则数列｛a n｝是(B ) (A)递增数列(B)递减数列 (C)常数列(D)摆动数列 解析:由a i>0,且a n+i=a n, 得a n>0,又=<1, 所以a n+1 (A)-165 (B)-33 (C)-30 (D)-21 解析：由已知得a2=a i+a i=2a i=-6, 所以a i=-3. 所以a io=2a5=2(a 2+a3) =2a2+2(a i+a2) =4a2+2a i =4X (-6)+2 X (-3) =-30. 故选C. 5. (20i9 ?广东深圳五校联考)已知数列｛a n｝满足a i=3,a n+i=,则a2 oi9等于(B ) (A)3 (B)2 (C)1 (D)-1 解析：由于a i=3,a n+1 = , 所以a2==1, a3==2, a4==3, 所以数列｛a n｝是周期为3的周期数列， 所以a2 0i9=a673x 3=a3=2.故选 B. 6. 已知数列｛a n｝,a n=-2n2+入n,若该数列是递减数列，则实数入的取值范围是(A ) (A)(- R ,6) (B)(- R ,4] (C)(- R,5) (D)(- R ,3] 解析：数列｛a n｝的通项公式是关于n(n € N)的二次函数，若数列是递减数列，则-<,即入<6.故选 A. 7. (2019 ?无锡高二检测)数列｛a n｝的通项公式是a n= n2-7n+50,则数列中的最小项 是________ . 2 2 解析:a n=n -7n+50=(n-) +. 因为n € N,所以n=3,4 时,a 3=a4=38. 答案:38 8. 已知数列｛a n｝的通项公式为a n=,写出它的前5项，并判断该数列的单调性.《数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计
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