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阅读课程-无理数(1)

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为什么说2不是有理数

一、中国数学家对无理数的研究：

中国古代在处理开方问题时，不可避免地碰到了无理根数。中国早期的开方术见于刘徽的《九章算术》少广、勾股两章，起源于长度的测度。已知面积求正方形边长；已知体积求立方体棱长；已知圆面积求圆的直径；已知球体积求球的直径或直角三角形勾、股、弦互求。《九章算术》“少广”章的开(平)方术有“若开之不尽者，为不可开，当以面命之”，“令不加借算而命分，则常微少；其加借算而命分，则又微多。其数不可得而定。……故惟以面命之，为不失耳”，这说明刘徽认识到“加不加借算命分”都得到是精确值，只有用被开方数的方根表示才是精确的，接着他在“开方术注”中提一种更为精确的表示方根近似值的方法，即求微数法：“不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其二退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之”，就是用10进制小数来无限逼近无理数[3]。中算学家没有像希腊人那样在发现无理数时出现逻辑上的困难，又能顺利地将理数运算规则推广到无理数，因此把数学向前推进的同时，并没有深究无理数与有理数实质上的不同。由于并没有经历过西方的数学危机革命，中国的数学仍停留在“算术”阶段，在筹算开平方和开立方的基础上，我国从1世纪开始，逐渐摸索数值解高次方程的一般规律。北宋数学家贾宪，在前人的基础上，发明了开任意次幂的“增乘开方法”，它是我国古代数学史上一项杰出创造，是一个非常有效和高度机械化的算法，公元1819年英国数学家霍纳才得出同样的算法。贾宪的“增乘开方法”不仅适用于开任意高次方，而且能得出高次方程的数值解法。经过200多年的不断改善，到13世纪上半叶，由秦九韶最后完成完整的体系——秦九韶求实根法，即解高次方程的“正负开方术”。其方程的各系数可正可负，可以是整数或小数，开方得到无理根时，秦九韶发挥了刘徵首创的计算“微数”的思想，用十进小数作无理根的近似值。这一时期，数学人才辈出，有北宋的沈括、贾宪和刘益;南宋的秦九韶、杨辉；元代的李冶、朱世杰、郭守敬等，使宋元时期的数

学达到了中国古代数学的顶峰，尤其在代数领域达到了西方望尘莫及的水平

二、其他国家数学家对无理数的研究

毕达哥拉斯（Pythagqras,约公元前885年至公元前400年间）从小就很聪明，一次他背着柴禾从街上走过，一位长者见他捆柴的方法与别人不同，便说：“这孩子有数学才能，将来会成为一个大学者。”他闻听此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯门下去求学。毕达哥拉斯本来就极聪明，经泰勒一指点，许多数学难题在他的手下便迎刃而解。其中，他证明了三角形的内角和等于180度；能算出你若要用瓷砖铺地，则只有用正三角、正四角、正六角三种正多角砖才能刚好将地铺满；还证明了世界上只有五种正多面体，即：正4、6、8、12、20面体。他还发现了奇数、偶数、三角数、四角数、完全数、友数，直到毕达哥拉斯树。然而他最伟大的成就是发现了后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股定理），即：直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。据说，这是当时毕达哥拉斯在寺庙里见工匠们用方砖铺地，经常要计算面积，于是便发明了此法。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“凡物皆数”的观点，数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。毕达哥拉斯还在自己的周围建立了一个青年兄弟会。在他死后大约200年，他的门徒们把这种理论加以研究发展，形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。

公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒，于是希伯索斯被残忍地扔进了大海。

希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人

把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。

不可约的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。

然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。这才是真理！

无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，也就是说它是无限不循环小数。常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他以几何方法证明无法用整数及分数表示。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。

为什么说2不是有理数

人教版数学七年级下册第六章实数——“阅读与思考”

一、教学目标

1．通过阅读追溯勾无理数的历史，追寻前人的足迹，感悟前人的思想，品味无理数的文化价值，提升民族自豪感．

2．通过思考分析和欣赏无理数证明的几种常见方法，理解数学知识之间的内在联系，领悟反证法的思想，在自主探索创新证明的过程中，形成一定的创新意识和探究意识．二、教学重、难点

经历探索数学证明的过程．

三、教学过程

（一）教学流程图

无理数

我国对无理数的研究阅读

希伯索斯发现无理数阅读

无理数的证明方法先思考，再交流

用反证法证明无理数先阅读，再思考

阅读课程阅读

（二）教学环节设计

教学环节教师活动学生活动设计意图

一、引入课题导入课题

在日常生产生活中，遇到如:

在一个直角三角形的田地

中，一条直角边和另一个直

角边都是1，那边斜边是什

么，引入课题

师：今天我和同学们一起追

寻前人的足迹，感悟前人的

思想．

通过在实践生活中问题，知

道今天学习的课题．

利用生活中的

问题，吸引学生

注意，激发学习

兴趣，同时显示

了今天的学习

方式：阅读与思

考．

二、阅读与思考1．什么是无理数点击进入

页面无理数．

师：认真阅读这段文字，思

考：为什么这些数叫做无理

数，怎么产生的

阅读文字，思考老师提出的

问题．

设置悬念，引发

思考，激发兴

趣．

2．我国古代无理数的发现

点击进入页面“我国古代无

理数的研究”．

师：阅读文字，谁来介绍一

下中国古典数学著作？

点击进入拓展阅读．

阅读文字，交流对中国古代

数学著作的了解，并进入拓

展阅读．

让学生知道我

国古代数学家

最早无理数，增

强民族自豪感．

师：阅读文字．阅读文字．让学生了解中国古代数学家对无理数的研究．

4．如何来证明一个数是无

理数”．

师：这是我国祖先的智慧阅读文字，并思考问题，然

后全班交流．

无理数的证明，

引导学生思考，

有利于学生推

理能力的发展．

5．用反证法如何说明一个

数是无理式

阅读文字，并思考问题，然

后小组交流，交流结束后展

示．反证法是一种不同于一般的证明方法，能更好地吸引学生注意和引发学生思考．

三、反思与小结点击进入页面“反思与小

结”．

师：根据问题，相互交流．

独立反思，然后交流．

进一步体会思

想和方法，感受

前人的伟大．

四、教学反思

虽然本节课只是一节选修课，但通过借助电子白板这一工具，融合文字和网络，让学生上了一堂不一样的数学课，得到了不一样的成长，也一定会在他们的心中留下抹不去的记忆．1．经历了一次数学文化之旅．从3000年前走到现代，从中国到世界，感受历史人文，领略前人风采，正是这样一个阅读的过程，开拓了视野，感受到了不一样的数学，经历了一次数学文化的旅行．

证明思路：

证明方式一：

无理数不能写成两整数之比。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。

下面给出欧几里得《几何原本》中的证明方法：

证明：假设√2不是无理数，而是有理数.

既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q.

再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数，即最简分数形式.

把√2=p/q 两边平方得2=(p^2)/(q^2)，

即2(q^2)=p^2，

由于2(q^2)是偶数，p 必定为偶数，因此可设p=2s，

由2(q^2)=4(s^2) 得q^2=4s^2

由于4s2是偶数，同理q2是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以q必然也为偶数.

既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是最简分数矛盾. 这个矛盾是由假设√2是有理数引起的. 因此√2是无理数.

证明方式二：

反证法如下：

假如根号2是有理数，那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n 表示，也就是m、n的最大公约数是1

则：m^2/n^2=2

所以m^2=2*n^2，所以m^2是偶数

偶数的平方一定是偶数，反之亦然，若一个偶数是完全平方数，那它的平方根也一定是偶数，所以m是偶数

假设m=2k，，k是整数。那么2*n^2=(2k)^2=4*k^2

所以n^2=2*k^2，与上面同理

所以说n也是偶数

既然m,n都是偶数，那么m/n就不是最简分数，它们的最大公约数就不是1，

至少2也是它们的公约数，很显然2>1，与原题设的1是它们的最大公约数矛盾故根号2是无理数

口诀记忆

√2≈1.414：意思意思

√3≈1.7320：一起生鹅蛋

√5≈2.236：两鹅生六

√7≈2.645：二妞是我

√8=2√2≈2.82842我发我发誓儿

e≈2.718:粮店吃一把

π≈3.14159，26535，897，932，384，6264，3383，27：山巅一寺一壶

拓展阅读：

东西方数学的比较与分析

由此可以看到第一次数学危机后，东方和西方的数学走向了两个不同方向，那么这种差异的产生究竟是因为什么呢？首先，东方中国的古代文化的经济基础基本上是农业经济。因此中国古代数学也与农业经济有着密切的关系。《九章算术》所记载的问题大都与农业生产有关，用来解决农田的测量、粟米的称量，农业水利工程的测算等这种自给自足的自然经济的生产力状况

决定的生产力关系是以家族为中心、以血缘关系为纽带的宗法等级关系，

社会制度是宗法等级制度。在这种社会制度的影响和作用下，形成中国古代稳定的上下尊卑等级秩序的文化心理。主要特点是静态的、和解的、自然的、消极的心理特点。造成安于现状的生活方式、工作方式、管理方式。另一方面，汉王朝建立以后的“重农抑商”政策使数学研究受不到贸易的诱惑。农业经济的财富有限和填饱肚子的生活状况，不允许人们的思想向实用以外的地方延伸；隋朝开始的科举制度也扼杀了大批在数学研究上具有不凡才华的人。这些都导致了中国古代数学过于注重于实际的传统从而限制了对理论问题作更深层次的探讨，因

而也阻碍了无理数的发现，使得中国古代数学的许多成就只处在应用和描述过程阶段，没有提高到抽象的、系统的理论阶段，从而使数学的发展和升华受到限制。此外，未发现无理数还与刘徽“一者数之母”的观念有密切关系。“一者数之母”的主张，不是从来就有的。中国古代广泛存在着“一以统众”的思想，如《管子·轻重》提出“天下之数，尽于轻重”，把古代统治者所推行的政治和经济措施，全用“轻重”二字统御起来；而道论更是把一切都置于“道”的统领之下，至王弼他一方面说“演天地之数，所赖者五十。其用四十有九，其一不用也；不用而用以通之，非数而数以之成，即易之太极也”，认为“一”是统一包括数在内的一切的“太极”而“一”本身不是数；一方面又说“一，数之始而物之极也”，“一，少之极也”，虽然这里已隐约含有“一为万物之母”，而且“一”也可

以是数的思想，但这是一种非常模糊的观念。刘徽在这种“一以统众”的思想氛围之下，从前人的思想和自己的数学实践中提炼和升华出“一者数之母”的原理来，这条原理，一旦在他的工作中得到大量的验证，而没有遇到什么困难，是很难想到要怀疑它的。

1.1 认识无理数(第1课时)教学设计

第二章实数 1. 理解无理数（第1课时）一、学生起点分析通过前一章《勾股定理》的学习，学生已经明白什么是勾股数，但也发现并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是，例如：①腰长为1的等腰直角三角形的底边长不是有理数，②两条直角边分别为1，2的直角三角形的斜边长不是有理数，这为引入“新数”奠定了必要性．二、教学任务分析《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节．本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存有，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数．本课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存有性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数．本节课的教学目标是： ①通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存有； ②能判断三角形的某边长是否为无理数； ③学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手水平和探索精神； ④能准确地实行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；三、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：第一环节：置疑；第二环节：课题引入；第三环节：获取新知；第四环节：应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置．第一环节：质疑内容：【想一想】 ⑴一个整数的平方一定是整数吗？ ⑵一个分数的平方一定是分数吗？

目的：作必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理．效果：为后续环节的实行起了很好的铺垫的作用第二环节：课题引入内容：1．【算一算】已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数（或分数）吗？ 2．【剪剪拼拼】把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？目的：选择客观存有的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”．效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题．第三环节：获取新知内容：【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】【议一议】：已知22 a=，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？【释一释】：释1．满足22 a=的a为什么不是整数？释2．满足22 a=的a为什么不是分数？【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然a不是整数也不是分数，那么a一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段目的：创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数”（无理数）的存有，从而激发学习新知的兴趣效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存有一种数与以往学过的数不同，

2.1-认识无理数---导学案

一、学习准备: 1、 _____________ 和 ____________ 统称为有理数。 2、如下图所示：图 A 与图B 都是边长为1的正方形，若把两正方形都沿对角线剪开拼成正方形C,那么正方形C 的面积为二、学习目标： 1通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性 2借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想 3会判断一个数是有理数还是无理数三、学习提示： 1、活动一：自主探究（1）、上图中的正方形 C 的边长可能是整数么（2）、上图中的正方形 C 的边长可能是分数么（3）、你还能举出类似这样的情况么 2、活动二：自学 P 34内容，估算面积为 2的正方形的边长为多少 3、叫做无理数练习 1、P 21随堂练习 1, P24随堂练习 2、面积为101 的止方形的边长为（） A ,整数 B ，无限小数 C ，有理数 D ，无理数 3、下列各数中，哪些是有理数哪些是无理数 4 . . , ,0.57, 0?…（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 3 四、学习小结：你有哪些收获五、夯实基础： 1、下列各数中，哪些是有理数哪些是无理数 2 , ——，，，一…，12…（由连续的正整数组成）. 3 有理数： ____________________________________________________________ 丹东市二十四中学八年级数学上认识无理数主备：孙芬副备：李春贺曹玉辉审核: 2016/8/4 1

六、能力提升：设面积为10 n 的圆的半径为a . (1) a 是有理数吗说说你的理由. (2) 估计a 的值(精确到十分位). (3) 如果精确到百分位呢评价反思自我评价反思学习态度 A B C D 学习效果 A B C D 合作情况 A B C D 尚需改进无理数： _______________________ 2、判断题： (1)、无限小数都是无理数. ⑵、无理数都是无限小数.( 3、面积为6的长方形，长是宽的 A.小数 ( ) ) 2倍，则宽为( ) 3 4、已知：在数一，- 4 (1) 写出所有有理数； (2) 写出所有无理数； 5、如图1是面积分别为 B.分数 C.无理数 D.不能确定 2 2 / 八2n 亠 ,0,4 , ( 1),—…中， 3 1.42 , n ” 123,4,5,6,7,8,9 的正方形 11 1 1 1 1 1 . 边长是有理数的正方形有 .个, 图1 边长是无理数的正方形有初三(2)班体育成绩成绩不及格及格人数 25 20 15 10 5 0 良好

无理数的常见形式

无理数的常见形式，科学计数法无理数概念：无理数即无限不循环小数。明确无理数的存在无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如：（1）一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为；（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数等等；像这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。概念剖析：无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：一是小数位数是无限的；二是不循环的。这对初学者来说有一定难度，因此，我们必须掌握它的表现形式。无理数的常见形式：在初中阶段，无理数表现形式主要有以下几种： 1. 无限不循环的小数，如0.1010010001……（两个1之间依次多一个0） 2. 含的数，如：，，等。 3. 开方开不尽而得到的数，如，等。 4. 某些三角函数值：如，等。无理数与有理数的区别：1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0，4/5=0.8，1/3=0.33333……。而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………。根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数； 2、无理数不能写成两整数之比。错误辨析： 1. 无限小数都是无理数； 2. 无理数包括正无理数、负无理数和零； 3.带根号的数是无理数； 4. 无理数是用根号形式表示的数； 5.无理数是开方开不尽的数； 6. 两个无理数的和、差、积、商仍是无理数； 7.无理数与有理数的乘积是无理数； 8. 有些无理数是分数； 9. 无理数比有理数少；10. 一个无理数的平方一定是有理数。综上，学习无理数应把握住无理数的三个特征：（1）无理数是小数；（2）无理数是无限小数；（3）无理数是不循环小数。判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个不能少。另外，还应注意无理数的几种常见的表示形式，才是弄清无理数概念的关键。

2.1认识无理数(第1课时)同步练习题

第二章实数 2.1认识无理数（一）基础导练 1 ?边长为4的正方形的对角线长是（） 2. 在下列各数一0.333……，-n - , 3.1415, 2.0101001……（相邻两个1之间依次多1个0）, 76.0123456??…（小数部分由相继的正整数组成）中，是无理数的有（） A . 3个 B . 4个 3. 下列说法正确的是（） A .有理数只是有限小数 C .无限小数是无理数 4. _________________________ 下列语句错误的是（填序（1）无限小数都是无理数；（2） n 是无理数，故无理数也可能是有限小数. (2) 3.57 , -, 3.1415926,, 0, n 6 .比较大小：22 ________ n 7 7.已知直角三角形的两条直角边分别是 4和5,这个直角三角形的斜边的长度在两个相邻的整数之间，这两个整数是 ____________ 和 _________ . 8 .如图，数轴上表示数 3的点是 _________________ . A B C * -------- L B _I ! 1_ad --------------------- > --10 12 3 4 A .整数 B .分数 C .有理数 D .不是有理数 C. 5个 D . 6个 B .无理数是无限小数 D. 丄是分数 3 5. 下列各数属于有理数的是属于无理数的是 ______________ . 1 丄,0.1212212221 2 0.1234

9. 边长为1的正方形，它的对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗?

北师大版八年级无理数练习题

无理数练习题 1、在实数3.14，25 ，3.3333 0.412??，0.10110111011110…，π，中，有（）个无理数？ A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2、下列说法中，正确的是（） A ．带根号的数是无理数 B ．无理数都是开不尽方的数 C ．无限小数都是无理数 D ．无限不循环小数是无理数 3．下列命题中，正确的个数是（） ①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数； ③两个无理数的积是无理数； ④无理数乘以有理数是无理数； ⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。 A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个 4．判断（正确的打“√”，错误的打“×”） ①带根号的数是无理数；（）（） ③绝对值最小的实数是0；（） ④平方等于3 ） ⑤有理数、无理数统称为实数；（） ⑥1的平方根与1的立方根相等；（） ⑦无理数与有理数的和为无理数；（） ⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。（） 5．a ） A ．有理数 B ．正无理数 C ．正实数 D ．正有理数 6．下列四个命题中，正确的是（） A ．倒数等于本身的数只有1 B ．绝对值等于本身的数只有0 C ．相反数等于本身的数只有0 D ．算术平方根等于本身的数只有1 7．下列说法不正确的是（） A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数 B ．整数可以看成是分母为1的分数 C ．有理数都可以化为分数 D ．无理数是开方开不尽的数 8．代数式21a +y ，()2 1a -中一定是正数的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9 ） A ．m 是完全平方数 B ．m 是负有理数 C ．m 是一个完全平方数的相反数 D ．m 是一个负整数 10．已知a 为有理数，b 为无理数，则a+b 为（） A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数 11215 的大小关系是（） A 215< B ．215<<215<215 << 12的相反数之和的倒数的平方为。 13、设a 、b 互为相反数，但不为0;c 、d 互为倒数;m 的倒数等于它本身，化简 111c m m m d a b ??÷++- ???的结果是。 14、大于的负整数是 15、试比较下列各组数的大小； ①② ，1π-，310-

认识无理数第一课时教案

2.1认识无理数（第一课时）一、教学目标叙写１．学生通过预习教材21页,并思考情景引入中的问题1．２．学生通过合作探究部分，初步感知数不够用了,让学生充分感受“新数”（无理数）的存在. ３．学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力．４．学生通过完成“五、当堂评价”，能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解．二、教学重难点１．重点：让学生经历无理数的发现过程. ２．难点：会判断一个数是否为无理数．三、教学过程（一）、情景引入［师］同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? ［生］在小学我们学过自然数、小数、分数. ［生］在初一我们还学过负数. ［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 1、思考：⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？ 2、已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数（或分数）吗？（二）、自主探究 1.问题的提出［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？［生］好.(学生非常高兴地投入活动中). ［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下. 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. ［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：

初中无理数习题系列(含答案)

无理数习题系列1 1. 有意义的条件是。 2. 当__________ 3. 1 1 m +有意义，则m 的取值范围是。 4. 当__________x 是二次根式。 5. 在实数范围内分解因式：42 9__________,2__________x x -=-+=。 6. 2x =，则x 的取值范围是。 7. 2x =-，则x 的取值范围是。 8. )1x 的结果是。 9. 当15x ≤5_____________x -=。 10. 把的根号外的因式移到根号内等于。 11. 11x = +成立的条件是。 12. 若1a b -+()2005 _____________a b -=。 13. )()()230,2,12,20,3,1,x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（） A. B. C. D. 15. 若23a ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若A = =（） A. 2 4a + B. 2 2a + C. ( ) 2 2 2a + D. ( ) 2 2 4a +

17. 若1a ≤ ） A. (1a - B. (1a - C. (1a - D. (1a - 18. =x 的取值范围是（） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥ 19. 的值是（） A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（） ( ) ( )()() 2312322 4==-= =∴=-∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. ()4 21. 2440y y -+=，求xy 的值。 22. 当a 1取值最小，并求出这个最小值。 23. 去掉下列各根式内的分母： ())1 0x () )21x 24. 已知2 310x x - += 25. 已知,a b ( 10b - =，求2005 2006a b -的值。 26. 当0a ≤，0b __________=。 27. _____,______m n ==。 28. __________==。 29. 计算： _____________=。

【教案】§2.1 认识无理数(一)教学设计

第二章实数 §2.1 认识无理数(一) 教学目标 (一)知识目标: 1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由. (二)能力训练目标: 1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神. 2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力. (三)情感与价值观目标: 1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情. 2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神. 3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神. 教学重点 1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2.会判断一个数是否为有理数. 教学难点 1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 2.判断一个数是否为有理数.

教学方法教师引导，主要由学生分组讨论得出结果. 教学过程一、创设问题情境,引入新课提问：同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? 答：在小学我们学过自然数、小数、分数. 进一步提问：在初一我们还学过负数. 答：对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 二、讲授新课 1.问题的提出提问：请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？答：好.(学生非常高兴地投入活动中). 经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下. 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. 小结：现在我们一齐把大家的做法总结一下：教师：下面请大家思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满

认识无理数》教学设计

2、会判断一个数是否为有理数。教学难点： 1、把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程。 2、判断一个数是否为有理数。教学过程：（一）创设情境，导入新课：讲故事：（播放课件）早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，他认为在生活中还存在除有理数之外的另一种数。 [师]到底谁的观点正确呢我们以前学的有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢这节课我们就共同来研究这个问题。（板书课题）学生认真听故事。做好学前准备。（本环节设计意图：以故事引入新课首先能激起学生的学习兴趣，同时让学生带着问题听讲新课会收到良好的效果。）（二）操作观察，总结归纳： 1、分组活动：

初中数学中比较无理数大小的方法

初中数学中比较无理数大小的方法比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。下面举例说明。一、直接法直接利用数的大小来进行比较。例1.3 3380，- 解：因为393= >，所以33> 因为89<，所以83< 所以380- > 二、隐含条件法根据二次根式定义，挖掘隐含条件。例2.a a --213 解：因为a -2成立所以a -≥20，即a ≥2 所以11-≤-a 所以a a -≥-≤-20113，所以a a -> -213 三、同次根式下比较被开方数法例3.45 54 解：因为4516580= ?= 54254100=?= 所以80100<，即4554< 例4.323 解：因为3393266==

228366== 所以9866>，即323> 四、作差法若a b ->0，则a b > 例5.3662-- 解：因为()3662- -- =--+=-3662 526 662525252<==... 所以5260-> 即3662- >- 五、作商法 a b >>00，，若 a b >1，则a b >。例6.a a a a ++++1 223 解：因为 a a a a ++÷++122 3 =++?++=++++，可找中间量c ，转证a c c b >>，。

例7.103 102252253 ++++ 解：因为103 10211252253++>>++，所以 103102252253++>++ 七、平方法 a b >>00，，若a b 22>，则a b >。例8.511610+ + 解：因为()511525511162552+=++=+ ()610626010162602+=++=+ 所以511610+< + 八、倒数法若()1 1 00a b a b >>>，，则a b <。例9.322 32-- 解：因为()()1 322 322322322322-=+-+=+ ()()1 3232323232-=+-+=+ 所以32232+>+ 所以32232-< - 九、有理化法可分母有理化，也可分子有理化。例10.1 65275--