2004年高考试题全国卷1理科数学及答案(必修+选修Ⅱ河南河北山东山西安徽江西)
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2004年高考试题全国卷Ⅰ 理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷(选择题共60分)参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )=C kn P k (1-P )n -k一、选择题:本大题共12小题,每小题6分,共601.2(1)i i -⋅=()A .2-2iB .2+2iC .-2D .22.已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若() A .b B .-b C .b 1 D .-b13.已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a +3b|= ()A .7B .10C .13D .4 4.函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是()A .y =x 2-2x +2(x <1)B .y =x 2-2x +2(x ≥1)C .y =x 2-2x (x <1)D .y =x 2-2x (x ≥1)5.73)12(xx -的展开式中常数项是()A .14B .-14C .42D .-42 6.设A 、B 、I 均为非空集合,且满足A ⊆B ⊆I ,则下列各式中错误..的是() A .(I C A)∪B=I B .(I C A)∪(I C B)=I C .A∩(I C B)=φD .(I C A) (I C B)=I C B7.椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则2||PF = ()A .23B .3C .27 D .48.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是()球的表面积公式S =42R π其中R 表示球的半径, 球的体积公式V =334R π,其中R 表示球的半径A .[-21,21] B .[-2,2] C .[-1,1] D .[-4,4]9.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象()A .向右平移6π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度 C .向左平移6π个单位长度 D .向左平移3π个单位长度 10.已知正四面体ABCD 的表面积为S ,其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H .设四面体EFGH的表面积为T ,则ST等于() A .91 B .94 C .41 D .31 11.从数字1,2,3,4,5,中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9的概率为()A .12513 B .12516 C .12518 D .12519 12.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为() A .3-21 B .21-3 C .-21-3 D .21+3第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14.由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线P A 、PB ,切点分别为A 、B ,∠APB =60°,则动点P 的轨迹方程为 .15.已知数列{a n },满足112311,23(1)n n a a a a a n a -==++++-(n ≥2),则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥ 16.已知a 、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中,正确结论的编号是(写出所有正确结论的编号).三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.18.(本小题满分12分)一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话,已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5,电话C 、D 占线的概率均为0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19.(本小题满分12分)已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥P —ABCD ,PB ⊥AD 侧面P AD 为边长等于2的正三角形,底面ABCD 为菱形,侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.(I )求点P 到平面ABCD 的距离,(II )求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 21.(本小题满分12分)设双曲线C :2221(0):1x y a l x y a-=>+=与直线相交于两个不同的点A 、B .(I )求双曲线C 的离心率e 的取值范围: (II )设直线l 与y 轴的交点为P ,且5.12PA PB =求a 的值. 22.(本小题满分14分)已知数列1{}1n a a =中,且a 2k =a 2k -1+(-1)K , a 2k +1=a 2k +3k ,其中k =1,2,3,……. (I )求a 3, a 5;(II )求{a n }的通项公式.2004年高考试题全国卷1理科数学(必修+选修Ⅱ)(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.{x |x ≥-1} 14.x 2+y 2=4 15.2!n 16.①②④ 三、解答题17.本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形,以及三角函娄的有关性质.满分12分.解:xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x 所以函数f (x )的最小正周期是π,最大值是43,最小值是41.18.本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解:P (ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P (ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P (ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37.P (ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P (ξ=4)= 0.52×0.42=0.0419.本小题主要考查导数的概率和计算,应用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论的数学思想.满分12分.解:函数f (x )的导数:.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='(I )当a =0时,若x <0,则)(x f '<0,若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时,函数f (x )在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数. (II )当0a >时,由220x ax +>,解得2x a<-或0x >, 由220x ax +<,解得20.x a-<< 所以,当a >0时,函数f (x )在区间(-∞,-a 2)内为增函数,在区间(-a2,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数;(III )当a <0时,由2x +ax 2>0,解得0<x <-a2,由2x +ax 2<0,解得x <0或x >-a2.所以当a <0时,函数f (x )在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,-a2)内为增函数,在区间(-a2,+∞)内为减函数. 20.本小题主要考查棱锥,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.(I )解:如图,作PO ⊥平面ABCD ,垂足为点O .连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ,连结PE .∵AD ⊥PB ,∴AD ⊥OB ,∵P A =PD ,∴OA =OD ,于是OB 平分AD ,点E 为AD 的中点,所以PE ⊥AD .由此知∠PEB 为面P AD 与面ABCD 所成二面角的平面角, ∴∠PEB =120°,∠PEO =60°由已知可求得PE∴PO =PE ·sin60°32=, 即点P 到平面ABCD 的距离为32.(II )解法一:如图建立直角坐标系,其中O 为坐标原点,x 轴平行于DA.3(0,0,),2P B ,PB 中点G的坐标为3)4.连结AG .又知(A C -由此得到:3(1,),4333(0,,),(2,0,0).2GA PB BC =-=-=-于是有0,0GA PB BC PB ⋅=⋅= 所以.,GA PB BC PB GA BC ⊥⋅⊥的夹角为θ等于所求二面角的平面角, 于是cos ||||GA BC GA BC θ⋅==-⋅所以所求二面角的大小为π- . 解法二:如图,取PB 的中点G ,PC 的中点F ,连结EG 、AG 、GF ,则AG ⊥PB ,FG //BC ,FG =12BC .∵AD ⊥PB ,∴BC ⊥PB ,FG ⊥PB , ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ,∴AD ⊥EG .又∵PE =BE ,∴EG ⊥PB ,且∠PEG =60°. 在Rt △PEG 中,EG =PE ·cos60°在Rt △PEG 中,EG =12AD =1. 于是tan ∠GAE =EGAE=2,又∠AGF =π-∠GAE .所以所求二面角的大小为π-. 21.(本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解:(I )由C 与t 相交于两个不同的点,故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0. ①所以242210.48(1)0.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩解得0a <<且 1.a ≠双曲线的离心率e ==0a <<1,a ≠2e ∴>且e ≠即离心率e的取值范围为(2,).2+∞ (II )设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A11225,125(,1)(,1).12PA PB x y x y =∴-=-由此得125.12x x = 由于x 1+x 2都是方程①的根,且1-a 2≠0,所以222172.121a x a =-- 222252.121a x a =-- 消去2x ,得222289160a a -=- 由0a >,所以1713a =22.本小题主要考查数列,等比数列的概念和基本知识,考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分. 解:(I )a 2=a 1+(-1)1=0, a 3=a 2+31=3. a 4=a 3+(-1)2=4,a 5=a 4+32=13, 所以,a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k -1+(-1)k +3k, 所以a 2k+1-a 2k -1=3k +(-1)k ,同理a 2k -1-a 2k -3=3k -1+(-1)k -1, …… a 3-a 1=3+(-1).所以(a 2k+1-a 2k -1)+(a 2k -1-a 2k -3)+…+(a 3-a 1)=(3k +3k -1+…+3)+[(-1)k +(-1)k -1+…+(-1)],由此得a 2k+1-a 1=23(3k -1)+21[(-1)k -1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k -1+(-1)k =2123+k (-1)k -1-1+(-1)k =2123+k(-1)k =1. {a n }的通项公式为: 当n 为奇数时,a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时,.121)1(2322-⨯-+=nn n a。
2004年全国高考数学(人教版)试题(理科)一、选择题(每小题5分,共60分)1、设集合(){}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,1,22,(){}R y R x y x y x N ∈∈=-=,,0,2,则集合N M 中元素的个数为( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、函数2sin x y =的最小正周期是( ) A 、 2π B 、 π C 、π2 D 、π4 3、设数列{}n a 是等差数列,且6,682=-=a a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则( )A 、54S S <B 、54S S =C 、56S S >D 、56S S =4、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( )A 、023=-+y xB 、043=-+y xC 、043=+-y xD 、023=+-y x5、函数)1(log 221-=x y 的定义域为( )A 、[)(]2,11,2 --B 、)2,1()1,2( --C 、[)(]2,11,2 --D 、)2,1()1,2( --6、设复数z 的辐角的主值为32π,虚部为3,则2z =( ) A 、i 322-- B 、i 232-- C 、i 32+ D 、i 232+7、设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为x y 21±=,则该双曲线的离心率=e ( ) A 、5 B 、 5 C 、25 D 、45 8、不等式311<+<x 的解集为( )A 、()2,0B 、())4,2(0,2 -C 、()0,4-D 、())2,0(2,4 --9、正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为( )A 、322B 、2C 、32D 、324 10、在△ABC 中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC 上的高为( )A 、223B 、233 C 、23 D 、33 11、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ,则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为( ) A 、(][]10,02, -∞- B 、(][]1,02, -∞- C 、(][]10,12, -∞- D 、[)[]10,10,2 -12、将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名,则不同的分配方案共有( )A 、12种B 、24种C 、36种D 、48种二、填空题(每小题4分,共16分)13、用平面α截半径为R 的球,如果球心到平面α的距离为2R ,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 .14、函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为 . 15、已知函数)(x f y =是奇函数,当0≥x 时,13)(-=x x f ,设)(x f 的反函数是)(x g y =,则=-)8(g .16、设P 是曲线)1(42-=x y 上的一个动点,则点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .三、解答题(6道题,共76分)17、(12分)已知α为锐角,且21tan =α,求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值。
2004年高考试题全国卷Ⅰ理参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1-P)n -k一、选择题 :本大题共12小题,每小题6分,共60 1.(1-i)2·i= ( )A .2-2iB .2+2iC .-2D .2 2.已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 ( )A .bB .-bC .b1D .-b1 3.已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a +3b|=( )A .7B .10C .13D .4 4.函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是( )A .y=x 2-2x +2(x <1)B .y=x 2-2x +2(x ≥1)C .y=x 2-2x (x <1)D .y=x 2-2x (x ≥1) 5.73)12(xx -的展开式中常数项是( )A .14B .-14C .42D .-42 6.设A 、B 、I 均为非空集合,且满足A ⊆B ⊆I ,则下列各式中错误..的是 ( )A .(I C A)∪B=IB .(IC A)∪(I C B)=I C .A ∩(I C B)=φD .(I C A) (I C B)= I C B7.椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则||2PF =A .23 B .3C .27 D .48.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是A .[-21,21] B .[-2,2] C .[-1,1] D .[-4,4]9.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象( )球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径, 球的体积公式V=334R π, 其中R 表示球的半径A .向右平移6π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度C .向左平移6π个单位长度D .向左平移3π个单位长度10.已知正四面体ABCD 的表面积为S ,其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面积为T ,则S T等于 ( )A .91B .94 C .41 D .31 11.从数字1,2,3,4,5,中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9的概率为( )A .12513 B .12516 C .12518 D .12519 12.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 ( )A .3-21 B .21-3 C .-21-3 D .21+3 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14.由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,∠APB=60°,则动点P 的轨迹方程为 .15.已知数列{a n },满足a 1=1,a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1(n ≥2),则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥ 16.已知a 、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线; ④一条直线及其外一点;在一面结论中,正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号).三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.18.(本小题满分12分)一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话,已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5,电话C 、D 占线的概率均为0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19.(本小题满分12分)已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间. 20.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥 P —ABCD ,PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形,底面ABCD 为菱形,侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.(I )求点P 到平面ABCD 的距离,(II )求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 21.(本小题满分12分)设双曲线C :1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.(I )求双曲线C 的离心率e 的取值范围: (II )设直线l 与y 轴的交点为P ,且.125PB PA =求a 的值. 22.(本小题满分14分)已知数列1}{1=a a n 中,且a 2k =a 2k -1+(-1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. (I )求a 3, a 5;(II )求{ a n }的通项公式.2004年高考试题全国卷1 理科数学(必修+选修Ⅱ)参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.{x |x ≥-1} 14.x 2+y 2=4 15.2!n 16.①②④ 三、解答题17.本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形,以及三角函娄的有关性质.满分12分.解:xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π,最大值是43,最小值是41. 18.本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解:P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.0419.本小题主要考查导数的概率和计算,应用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论的数学思想.满分12分.解:函数f (x )的导数:.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='(I )当a =0时,若x <0,则)(x f '<0,若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时,函数f (x )在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数. (II )当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得所以,当a >0时,函数f (x )在区间(-∞,-a 2)内为增函数,在区间(-a 2,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数;(III )当a <0时,由2x +ax 2>0,解得0<x <-a2, 由2x +ax 2<0,解得x <0或x >-a2. 所以当a <0时,函数f (x )在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,-a 2)内为增函数,在区间(-a2,+∞)内为减函数.20.本小题主要考查棱锥,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分. (I )解:如图,作PO ⊥平面ABCD ,垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ,连结PE. ∵AD ⊥PB ,∴AD ⊥OB ,∵PA=PD ,∴OA=OD ,于是OB 平分AD ,点E 为AD 的中点,所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角, ∴∠PEB=120°,∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯, 即点P 到平面ABCD 的距离为23. (II )解法一:如图建立直角坐标系,其中O 为坐标原点,x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到: 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=PB BC PB GA BC PB GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥ 等于所求二面角的平面角, 于是,772||||cos -=⋅=BC GA BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π .解法二:如图,取PB 的中点G ,PC 的中点F ,连结EG 、AG 、GF ,则AG ⊥PB ,FG//BC ,FG=21BC. ∵AD ⊥PB ,∴BC ⊥PB ,FG ⊥PB , ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ,∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ,∴EG ⊥PB ,且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中,EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中,EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π-∠GAE.所以所求二面角的大小为π-arctan23. 21.(本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解:(I )由C 与t 相交于两个不同的点,故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e(II )设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根,且1-a 2≠0,1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以 22.本小题主要考查数列,等比数列的概念和基本知识,考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分. 解:(I )a 2=a 1+(-1)1=0, a 3=a 2+31=3. a 4=a 3+(-1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以,a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k -1+(-1)k +3k , 所以a 2k+1-a 2k -1=3k +(-1)k ,同理a 2k -1-a 2k -3=3k -1+(-1)k -1, ……a 3-a 1=3+(-1).所以(a 2k+1-a 2k -1)+(a 2k -1-a 2k -3)+…+(a 3-a 1)=(3k +3k -1+…+3)+[(-1)k +(-1)k -1+…+(-1)], 由此得a 2k+1-a 1=23(3k -1)+21[(-1)k -1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k -1+(-1)k =2123+k (-1)k -1-1+(-1)k =2123+k(-1)k =1. {a n }的通项公式为: 当n 为奇数时,a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时,.121)1(2322-⨯-+=nn n a。
2004年全国高考数学(人教版)试题(理科)一、选择题(每小题5分,共60分)1、设集合(){}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,1,22,(){}R y R x y x y x N ∈∈=-=,,0,2,则集合N M 中元素的个数为( )A 、1B 、2C 、3D 、42、函数2sin x y =的最小正周期是( ) A 、 2π B 、 π C 、π2 D 、π4 3、设数列{}n a 是等差数列,且6,682=-=a a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则( )A 、54S S <B 、54S S =C 、56S S >D 、56S S =4、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( )A 、023=-+y xB 、043=-+y xC 、043=+-y xD 、023=+-y x5、函数)1(log 221-=x y 的定义域为( )A 、[)(]2,11,2 --B 、)2,1()1,2( --C 、[)(]2,11,2 --D 、)2,1()1,2( --6、设复数z 的辐角的主值为32π,虚部为3,则2z =( ) A 、i 322-- B 、i 232-- C 、i 32+ D 、i 232+7、设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为x y 21±=,则该双曲线的离心率=e ( ) A 、5 B 、 5 C 、25 D 、45 8、不等式311<+<x 的解集为( )A 、()2,0B 、())4,2(0,2 -C 、()0,4-D 、())2,0(2,4 --9、正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为( )A 、322B 、2C 、32D 、324 10、在△ABC 中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC 上的高为( )A 、223B 、233 C 、23 D 、33 11、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ,则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为( ) A 、(][]10,02, -∞- B 、(][]1,02, -∞- C 、(][]10,12, -∞- D 、[)[]10,10,2 -12、将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名,则不同的分配方案共有( )A 、12种B 、24种C 、36种D 、48种二、填空题(每小题4分,共16分)13、用平面α截半径为R 的球,如果球心到平面α的距离为2R ,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 . 14、函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为 . 15、已知函数)(x f y =是奇函数,当0≥x 时,13)(-=x x f ,设)(x f 的反函数是)(x g y =,则=-)8(g .16、设P 是曲线)1(42-=x y 上的一个动点,则点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .三、解答题(6道题,共76分)17、(12分)已知α为锐角,且21tan =α,求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值。
2004年全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k n P k(1-P)n -k一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合=⋂<--=<=N M x x x N x x M 则集合},032|{},4|{22 ( )A .{2|-<x x }B .{3|>x x }C .{21|<<-x x }D . {32|<<x x }2.=-+-+→542lim 22x x x x n x ( )A .21B .1C .52 D .41 3.设复数ωω++-=1,2321则i =( )A .ω-B .2ωC .ω1-D .21ω 4.已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称,则圆C 的方程为( )A .1)1(22=++y xB .122=+y xC .1)1(22=++y xD .1)1(22=-+y x球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径, 球的体积公式V=334R π,其中R 表示球的半径5.已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π,则ϕ可以是( )A .6π-B .6πC .12π-D .12π 6.函数x e y -=的图象( )A .与x e y =的图象关于y 轴对称B .与x e y =的图象关于坐标原点对称C .与x e y -=的图象关于y 轴对称D .与x e y -=的图象关于坐标原点对称7.已知球O 的半径为1,A 、B 、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为2π,则 球心O 到平面ABC 的距离为( )A .31 B .33 C .32 D .36 8.在坐标平面内,与点A (1,2)距离为1,且与点B (3,1)距离为2的直线共有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 9.已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O (0,0)和A (1,-2)在l 上的射影分别是O ′和A ′,则λ=''A O e ,其中λ= ( )A .511 B .511-C .2D .-2 10.函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数( )A .)23,2(ππB .)2,(ππC .)25,23(ππ D .)3,2(ππ 11.函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 ( )A .4π B .2π C .πD .2π12.在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521 的数共有 ( ) A .56个 B .57个 C .58个 D .60个第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的概率分布为14.设y x ,满足约束条件:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥,12,,0y x y x x则y x z 23+=的最大值是 .15.设中心在原点的椭圆与双曲线2222y x -=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 . 16.下面是关于四棱柱的四个命题:①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱其中,真命题的编号是 (写出所有正确结论的编号).三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中,.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A (Ⅰ)求证:B A tan 2tan =;(Ⅱ)设AB=3,求AB 边上的高. 18.(本小题满分12分) 已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组,每组4支.求:(Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率; (Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率. 19.(本小题满分12分)数列}{n a 的前n 项和记为S n ,已知).3,2,1(2,111 =+==+n S nn a a n n 证明: (Ⅰ)数列}{nS n是等比数列; (Ⅱ).41n n a S =+ 20.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=2,侧棱AA 1=1,侧面AA 1B 1B的两条对角线交点为D ,B 1C 1的中点为M.(Ⅰ)求证CD ⊥平面BDM ;(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小.21.(本小题满分12分)给定抛物线C :y 2=4x ,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。
2004年高考试题全国卷Ⅰ 理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共60分)参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1-P)n -k一、选择题 :本大题共12小题,每小题6分,共601.(1-i)2·i= ( )A .2-2iB .2+2iC .-2D .2 2.已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 ( )A .bB .-bC .b1D .-b1 3.已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a +3b|=( )A .7B .10C .13D .4 4.函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是( )A .y=x 2-2x +2(x <1)B .y=x 2-2x +2(x ≥1)C .y=x 2-2x (x <1)D .y=x 2-2x (x ≥1) 5.73)12(xx -的展开式中常数项是( )A .14B .-14C .42D .-42球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径, 球的体积公式V=334R π, 其中R 表示球的半径6.设A 、B 、I 均为非空集合,且满足A ⊆B ⊆I ,则下列各式中错误..的是 ( )A .(I C A)∪B=IB .(IC A)∪(I C B)=I C .A ∩(I C B)=φD .(I C A) (I C B)= I C B7.椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点 为P ,则||2PF =( )A .23 B .3C .27 D .48.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A .[-21,21] B .[-2,2]C .[-1,1]D .[-4,4]9.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象( ) A .向右平移6π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度C .向左平移6π个单位长度D .向左平移3π个单位长度10.已知正四面体ABCD 的表面积为S ,其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH的表面积为T ,则ST等于( )A .91B .94C .41 D .31 11.从数字1,2,3,4,5,中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9的概率为( )A .12513 B .12516 C .12518 D .12519 12.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 ( )A .3-21 B .21-3 C .-21-3 D .21+3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14.由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为 .15.已知数列{a n },满足a 1=1,a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1(n ≥2),则{a n }的通项 1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥ 16.已知a 、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中,正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号).三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.18.(本小题满分12分)一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话,已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5,电话C 、D 占线的概率均为0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19.(本小题满分12分)已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥 P —ABCD ,PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.(I )求点P 到平面ABCD 的距离,(II )求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 21.(本小题满分12分)设双曲线C :1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.(I )求双曲线C 的离心率e 的取值范围: (II )设直线l 与y 轴的交点为P ,且.125=求a 的值. 22.(本小题满分14分)已知数列1}{1=a a n 中,且a 2k =a 2k -1+(-1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. (I )求a 3, a 5;(II )求{ a n }的通项公式.2004年高考试题全国卷1 理科数学(必修+选修Ⅱ)(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.{x |x ≥-1} 14.x 2+y 2=4 15.2!n 16.①②④ 三、解答题17.本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形,以及三角函娄的有关性质.满分12分.解:xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π,最大值是43,最小值是41. 18.本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解:P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.0419.本小题主要考查导数的概率和计算,应用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论的数学思想.满分12分. 解:函数f (x )的导数:.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='(I )当a =0时,若x <0,则)(x f '<0,若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时,函数f (x )在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数. (II )当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得 所以,当a >0时,函数f (x )在区间(-∞,-a 2)内为增函数,在区间(-a2,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数;(III )当a <0时,由2x +ax 2>0,解得0<x <-a2, 由2x +ax 2<0,解得x <0或x >-a2. 所以当a <0时,函数f (x )在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,-a2)内为增函数,在区间(-a2,+∞)内为减函数. 20.本小题主要考查棱锥,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.(I )解:如图,作PO ⊥平面ABCD ,垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ,连结PE.∵AD ⊥PB ,∴AD ⊥OB ,∵PA=PD ,∴OA=OD ,于是OB 平分AD ,点E 为AD 的中点,所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角, ∴∠PEB=120°,∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯, 即点P 到平面ABCD 的距离为23. (II )解法一:如图建立直角坐标系,其中O 为坐标原点,x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到:,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=PB BC PB GA 于是有所以θ,.⊥⋅⊥ 等于所求二面角的平面角, 于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二:如图,取PB 的中点G ,PC 的中点F ,连结EG 、AG 、GF ,则AG ⊥PB ,FG//BC ,FG=21BC. ∵AD ⊥PB ,∴BC ⊥PB ,FG ⊥PB , ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ,∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ,∴EG ⊥PB ,且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中,EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中,EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AEEG =23, 又∠AGF=π-∠GAE.所以所求二面角的大小为π-arctan23. 21.(本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解:(I )由C 与t 相交于两个不同的点,故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e(II )设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根,且1-a 2≠0,1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x aa x a a x 所以由得消去所以22.本小题主要考查数列,等比数列的概念和基本知识,考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分. 解:(I )a 2=a 1+(-1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(-1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以,a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k -1+(-1)k +3k,所以a 2k+1-a 2k -1=3k +(-1)k,同理a 2k -1-a 2k -3=3k -1+(-1)k -1, ……a 3-a 1=3+(-1).所以(a 2k+1-a 2k -1)+(a 2k -1-a 2k -3)+…+(a 3-a 1)=(3k +3k -1+…+3)+[(-1)k +(-1)k -1+…+(-1)], 由此得a 2k+1-a 1=23(3k -1)+21[(-1)k -1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k -1+(-1)k=2123+k (-1)k -1-1+(-1)k =2123+k(-1)k =1. {a n }的通项公式为: 当n 为奇数时,a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时,.121)1(2322-⨯-+=nn n a。
2004年全国统一考试理科数学欧阳光明(2021.03.07)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 P (A+B )=P (A )+P (B )如果事件A 、B 相互独立,那么 P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C kn P k (1-P)n -k一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合=⋂<--=<=N M x x x N x x M 则集合},032|{},4|{22 ( )A .{2|-<x x }B .{3|>x x }C .{21|<<-x x }D . {32|<<x x } 2.=-+-+→542lim 22x x x x n x( )A .21B .1C .52D .413.设复数ωω++-=1,2321则i =( )球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径, 球的体积公式V=334R π,其中R 表示球的半径A .ω-B .2ωC .ω1-D .21ω4.已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称,则圆C 的方程为 ( ) A .1)1(22=++y x B .122=+y xC .1)1(22=++y x D .1)1(22=-+y x 5.已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π,则ϕ可以是( )A .6π-B .6πC .12π-D .12π6.函数xe y -=的图象( )A .与x e y =的图象关于y 轴对称B .与x e y =的图象关于坐标原点对称C .与x e y -=的图象关于y 轴对称D .与xe y -=的图象关于坐标原点对称7.已知球O 的半径为1,A 、B 、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为2π,则球心O 到平面ABC 的距离为( )A .31B .33 C .32D .368.在坐标平面内,与点A (1,2)距离为1,且与点B (3,1)距离为2的直线共有( )A .1条B .2条C .3条D .4条9.已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O (0,0)和A (1,-2)在l 上的射影分别是O ′和A ′,则λ='A O e ,其中λ= ( )A .511B .511-C .2D .-210.函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数( )A .)23,2(ππB .)2,(ππC .)25,23(ππD .)3,2(ππ 11.函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为( )A .4πB .2πC .πD .2π12.在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521 的数共有 ( )A .56个B .57个C .58个D .60个第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.从装有314.设y x ,满足约束条件:则y x z 23+=的最大值是.15.设中心在原点的椭圆与双曲线2222y x -=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是. 16.下面是关于四棱柱的四个命题:①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱 其中,真命题的编号是 (写出所有正确结论的编号).三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中,.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A (Ⅰ)求证:B A tan 2tan =; (Ⅱ)设AB=3,求AB 边上的高. 18.(本小题满分12分)已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组,每组4支.求:(Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率; (Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率. 19.(本小题满分12分)数列}{n a 的前n 项和记为S n ,已知).3,2,1(2,111 =+==+n S n n a a n n 证明:(Ⅰ)数列}{n S n是等比数列;(Ⅱ).41n n a S =+20.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=2,侧棱AA 1=1,侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ,B 1C 1的中点为M.(Ⅰ)求证CD ⊥平面BDM ;(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小. 21.(本小题满分12分)给定抛物线C :y 2=4x ,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共60分)参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k(1-P)n -k一、选择题 :本大题共12小题,每小题6分,共60。
1.(1-i)2·i= ( )A .2-2iB .2+2iC .-2D .2 2.已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 ( )A .bB .-bC .b1D .-b1 3.已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a +3b |= ( )A .7B .10C .13D .4 4.函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是( )A .y=x 2-2x +2(x <1) B .y=x 2-2x +2(x ≥1)C .y=x 2-2x (x <1)D .y=x 2-2x (x ≥1) 5.73)12(xx -的展开式中常数项是( )A .14B .-14C .42D .-42 6.设A 、B 、I 均为非空集合,且满足A ⊆B ⊆I ,则下列各式中错误..的是 ( )A .( IA)∪B=IB .( IA)∪( I B)=I C .A ∩( IB)=φD .( I A)∪( I B)=I B 7.椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点 球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径, 球的体积公式V=334R π, 其中R 表示球的半径为P ,则||2PF = ( )A .23 B .3C .27 D .48.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )A .[-21,21] B .[-2,2]C .[-1,1]D .[-4,4]9.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象 ( )A .向右平移6π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度C .向左平移6π个单位长度D .向左平移3π个单位长度10.已知正四面体ABCD 的表面积为S ,其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面积为T ,则S T等于( )A .91B .94 C .41 D .31 11.从数字1,2,3,4,5,中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9的概率为 ( )A .12513 B .12516 C .12518 D .12519 12.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 ( )A .3-21 B .21-3 C .-21-3 D .21+3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14.由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,∠APB=60°,则动点P 的轨迹方程为 .15.已知数列{a n},满足a1=1,a n=a1+2a2+3a3+…+(n-1)a n-1(n≥2),则{a n}的通项1, n=1,a n= ,n≥2.16.已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影有可能是 .①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中,正确结论的编号是(写出所有正确结论的编号).三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)求函数xx xxxxf2sin2cossincossin)(2 24 4-++=的最小正周期、最大值和最小值.18.(本小题满分12分)一接待中心有A、B、C、D四部热线电话,已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5,电话C、D 占线的概率均为0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.19.(本小题满分12分)已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥 P—ABCD,PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.(I)求点P到平面ABCD的距离,Array(II)求面APB与面CPB所成二面角的大小.21.(本小题满分12分)设双曲线C :1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.(I )求双曲线C 的离心率e 的取值范围: (II )设直线l 与y 轴的交点为P ,且.125=求a 的值.22.(本小题满分14分)已知数列1}{1 a a n 中,且 a 2k =a 2k -1+(-1)K,a 2k+1=a 2k +3k, 其中k=1,2,3,……. (I )求a 3, a 5;(II )求{ a n }的通项公式.2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修I )参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.{x |x ≥-1} 14.x 2+y 2=4 15.2!n 16.①②④ 三、解答题17.本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形,以及三角函娄的有关性质.满分12分.解:xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π,最大值是43,最小值是41. 18.本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解:P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37.P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为:19.本小题主要考查导数的概率和计算,应用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论的数学思想.满分12分.解:函数f (x )的导数:.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='(I )当a =0时,若x <0,则)(x f '<0,若x >0,则)(x f '>0.(II )当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得 所以,当a >0时,函数f (x )在区间(-∞,-a 2)内为增函数,在区间(-a2,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数;(III )当a <0时,由2x +ax 2>0,解得0<x <-a2, 由2x +ax 2<0,解得x <0或x >-a2. 所以当a <0时,函数f (x )在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,-a2)内为增函数,在区间(-a2,+∞)内为减函数. 20.本小题主要考查棱锥,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.(I )解:如图,作PO ⊥平面ABCD ,垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ,连结PE. ∵AD ⊥PB ,∴AD ⊥OB ,∵PA=PD ,∴OA=OD ,于是OB 平分AD ,点E 为AD 的中点,所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角, ∴∠PEB=120°,∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯, 即点P 到平面ABCD 的距离为23. (II )解法一:如图建立直角坐标系,其中O 为坐标原点,x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到: 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二:如图,取PB 的中点G ,PC 的中点F ,连结EG 、AG 、GF ,则AG ⊥PB ,FG//BC ,FG=21BC. ∵AD ⊥PB ,∴BC ⊥PB ,FG ⊥PB , ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ,∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ,∴EG ⊥PB ,且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中,EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中,EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π-∠GAE.所以所求二面角的大小为π-arctan23. 21.(本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解:(I )由C 与t 相交于两个不同的点,故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a a a e (II )设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根,且1-a 2≠0,1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a aa x a a x a a x 所以由得消去所以22.本小题主要考查数列,等比数列的概念和基本知识,考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解:(I )a 2=a 1+(-1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(-1)2=4,a 5=a 4+32=13,所以,a 3=3,a 5=13.(II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k -1+(-1)k +3k ,所以a 2k+1-a 2k -1=3k +(-1)k ,同理a 2k -1-a 2k -3=3k -1+(-1)k -1,……a 3-a 1=3+(-1).所以(a 2k+1-a 2k -1)+(a 2k -1-a 2k -3)+…+(a 3-a 1)=(3k +3k -1+…+3)+[(-1)k +(-1)k -1+…+(-1)],由此得a 2k+1-a 1=23(3k -1)+21[(-1)k -1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k ka 2k = a 2k -1+(-1)k=2123+k (-1)k -1-1+(-1)k =2123+k (-1)k =1. {a n }的通项公式为: 当n 为奇数时,a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时,.121)1(2322-⨯-+=nnn a。
04高考试题全国卷1理科数学及答案(必修选修Ⅱ河南河北山东山西安徽江西)2004年高考试题全国卷1理科数学(必修+选修Ⅱ)(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区) 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第I卷(选择题共60分)球的表面积公式S=4其中R表示球的半径,球的体积公式V=,其中R 表示球的半径参考公式:(II)设直线l与y轴的交点为P,且求a的值.22.(本小题满分14分)已知数列,且a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….(I)求a3,a5;(II)求{an}的通项公式.2004年高考试题全国卷1理科数学(必修+选修Ⅱ)(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.{某|某≥-1}14.某2+y2=415.16.①②④三、解答题17.本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形,以及三角函娄的有关性质.满分12分.解:所以函数f(某)的最小正周期是π,最大值是,最小值是.18.本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解:P(ξ=0)=0.52某0.62=0.09.P(ξ=1)=某0.52某0.62+某0.52某0.4某0.6=0.3P(ξ=2)=某0.52某0.62+某0.52某0.4某0.6+某0.52某0.42=0.37.P(ξ=3)=某0.52某0.4某0.6+某0.52某0.42=0.2P(ξ=4)=0.52某0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为:ξ01234P0.090.30.370.20.04所以Eξ=0某0.09+1某0.3+2某0.37+3某0.2+4某0.04=1.8.19.本小题主要考查导数的概率和计算,应用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论的数学思想.满分12分.解:函数f(某)的导数:(I)当a=0时,若某<0,则<0,若某>0,则>0.所以当a=0时,函数f(某)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数.(II)当由所以,当a>0时,函数f(某)在区间(-∞,-)内为增函数,在区间(-,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数;(III)当a<0时,由2某+a某2>0,解得0-.所以当a<0时,函数f(某)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,-)内为增函数,在区间(-,+∞)内为减函数.20.本小题主要考查棱锥,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.(I)解:如图,作PO⊥平面ABCD,垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E,连结PE.∵AD⊥PB,∴AD⊥OB,∵PA=PD,∴OA=OD,于是OB平分AD,点E为AD的中点,所以PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角,∴∠PEB=120°,∠PEO=60°由已知可求得PE=∴PO=PE·in60°=,即点P到平面ABCD的距离为.(II)解法一:如图建立直角坐标系,其中O为坐标原点,某轴平行于DA..连结AG.又知由此得到:所以等于所求二面角的平面角,于是所以所求二面角的大小为.解法二:如图,取PB的中点G,PC的中点F,连结EG、AG、GF,则AG⊥PB,FG//BC,FG=BC.∵AD⊥PB,∴BC⊥PB,FG⊥PB,∴∠AGF是所求二面角的平面角.∵AD⊥面POB,∴AD⊥EG.又∵PE=BE,∴EG⊥PB,且∠PEG=60°.在Rt△PEG中,EG=PE·co60°=.在Rt△PEG中,EG=AD=1.于是tan∠GAE==,又∠AGF=π-∠GAE.所以所求二面角的大小为π-arctan.21.(本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解:(I)由C与t相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得(1-a2)某2+2a2某-2a2=0.①双曲线的离心率(II)设由于某1+某2都是方程①的根,且1-a2≠0,22.本小题主要考查数列,等比数列的概念和基本知识,考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解:(I)a2=a1+(-1)1=0,a3=a2+31=3.a4=a3+(-1)2=4,a5=a4+32=13,所以,a3=3,a5=13.(II)a2k+1=a2k+3k=a2k-1+(-1)k+3k,所以a2k+1-a2k -1=3k+(-1)k,同理a2k-1-a2k-3=3k-1+(-1)k-1, (3)a1=3+(-1).所以(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1)=(3k+3k-1+…+3)+[(-1)k+(-1)k-1+…+(-1)],由此得a2k+1-a1=(3k-1)+[(-1)k-1],于是a2k+1=a2k=a2k-1+(-1)k=(-1)k-1-1+(-1)k=(-1)k=1.{an}的通项公式为:当n为奇数时,an=当n为偶数时,正确地体现了党和国家的相关方针政策。
2004年全国高考数学试题理科(旧教材·全国卷)一、选择题1.设集合},,1|),{(22R y R x y x y x M ∈∈=+=,},,0|),{(2R y R x y x y x N ∈∈=-=,则集合N M 中元素的个数为(A )1 (B )2 (C )3 (D )4 2.函数|2sin |x y =的最小正周期是(A )2π(B )π (C )π2 (D )π43.设数列}{n a 是等差数列,且62-=a ,68=a ,n S 是数列}{n a 的前n 项和,则 (A )54S S < (B )54S S = (C )56S S > (D )56S S = 4.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 (A )023=-+y x (B )043=-+y x (C )043=+-y x (D )023=+-y x5.函数)1(log221-=x y 的定义域为(A )]2,1()1,2[ -- (B ))2,1()1,2( -- (C )]2,1()1,2[ -- (D ))2,1()1,2( -- 6.设复数z 的辐角的主值32π,虚部为3,则2z =(A )i 322-- (B )i 232-- (C )i 32+ (D )i 232+7.设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为x y 21±=,则双曲线的离心率=e(A )5 (B )5 (C )25 (D )458.不等式3|1|1<+<x 的解集为(A ))2,0( (B ))4,2()0,2( - (C ))0,4(- (D ))2,0()2,4( --9.正三棱锥的底面边长为2,侧面为直角三角形,则此三棱锥的体积为(A )322 (B )2 (C )32 (D )32410.在△ABC 中,3=AB ,13=BC ,4=AC ,则AC 边上的高为(A )223 (B )233 (C )23 (D )3311.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1141)1()(2x x x x x f ,则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为(A )]10,0[]2,( --∞ (B) ]1,0[]2,( --∞(C )]10,1[]2,( --∞ (D )]10,1[)0,2[ -12.将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少名,则不同的分配方案共有 (A )12种 (B )24种 (C )36种 (D )48种二、填空题13.用平面α截半径为R 的球,如果球心到平面α的距离为2R ,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 14.函数x x y cos 3sin +=在区间]2,0[π上的最小值为15.已知函数)(x f y =是奇函数,则当0≥x 时,13)(-=xx f ,设)(x f 的反函数是)(x g y =,则=-)8(g16.设P 是曲线)1(42-=x y 上的一个动点,则点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 三、解答题17.(12分)已知α为锐角,且21tan =α,求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值。
2004年高考试题全国卷1 理科数学(必修+选修Ⅱ)(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共60分)参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1-P)n -k一、选择题 :本大题共12小题,每小题6分,共601.(1-i)2·i= ( )A .2-2iB .2+2iC .-2D .2 2.已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 ( )A .bB .-bC .b1D .-b1 3.已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a +3b|=( )A .7B .10C .13D .4 4.函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是( )A .y=x 2-2x +2(x <1)B .y=x 2-2x +2(x ≥1)C .y=x 2-2x (x <1)D .y=x 2-2x (x ≥1) 5.73)12(xx -的展开式中常数项是( )球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径, 球的体积公式V=334R π, 其中R 表示球的半径A .14B .-14C .42D .-42 6.设A 、B 、I 均为非空集合,且满足A ⊆B ⊆I ,则下列各式中错误..的是 ( )A .(I C A)∪B=IB .(IC A)∪(I C B)=I C .A ∩(I C B)=φD .(I C A) (I C B)= I C B7.椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则||2PF =( )A .23 B .3C .27 D .48.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A .[-21,21] B .[-2,2]C .[-1,1]D .[-4,4]9.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象( ) A .向右平移6π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度C .向左平移6π个单位长度D .向左平移3π个单位长度10.已知正四面体ABCD 的表面积为S ,其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH的表面积为T ,则ST等于( )A .91B .94C .41 D .31 11.从数字1,2,3,4,5,中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9的概率为( )A .12513 B .12516 C .12518 D .12519 12.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 ( )A .3-21 B .21-3 C .-21-3 D .21+3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14.由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为 .15.已知数列{a n },满足a 1=1,a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1(n ≥2),则{a n }的通项 1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥ 16.已知a 、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中,正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号).三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.18.(本小题满分12分)一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话,已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5,电话C 、D 占线的概率均为0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19.(本小题满分12分)已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥 P —ABCD ,PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形,底面ABCD 为菱形,侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.(I )求点P 到平面ABCD 的距离,(II )求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 21.(本小题满分12分)设双曲线C :1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.(I )求双曲线C 的离心率e 的取值范围: (II )设直线l 与y 轴的交点为P ,且.125=求a 的值. 22.(本小题满分14分)已知数列1}{1=a a n 中,且a 2k =a 2k -1+(-1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. (I )求a 3, a 5;(II )求{ a n }的通项公式.2004年高考试题全国卷1 理科数学(必修+选修Ⅱ)(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.{x |x ≥-1} 14.x 2+y 2=4 15.2!n 16.①②④ 三、解答题17.本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形,以及三角函娄的有关性质.满分12分.解:xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π,最大值是43,最小值是41. 18.本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解:P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04所以E ξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.19.本小题主要考查导数的概率和计算,应用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论的数学思想.满分12分. 解:函数f (x )的导数:.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='(I )当a =0时,若x <0,则)(x f '<0,若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时,函数f (x )在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数. (II )当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时由.02,022<<-<+x aax x 解得 所以,当a >0时,函数f (x )在区间(-∞,-a 2)内为增函数,在区间(-a2,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数;(III )当a <0时,由2x +ax 2>0,解得0<x <-a2, 由2x +ax 2<0,解得x <0或x >-a2. 所以当a <0时,函数f (x )在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,-a2)内为增函数,在区间(-a2,+∞)内为减函数. 20.本小题主要考查棱锥,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.(I )解:如图,作PO ⊥平面ABCD ,垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ,连结PE.∵AD ⊥PB ,∴AD ⊥OB ,∵PA=PD ,∴OA=OD ,于是OB 平分AD ,点E 为AD 的中点,所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角, ∴∠PEB=120°,∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯, 即点P 到平面ABCD 的距离为23. (II )解法一:如图建立直角坐标系,其中O 为坐标原点,x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到:,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=PB BC PB GA BC PB 于是有所以θ,.⊥⋅⊥ 等于所求二面角的平面角, 于是,772cos -==θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二:如图,取PB 的中点G ,PC 的中点F ,连结EG 、AG 、GF ,则AG ⊥PB ,FG//BC ,FG=21BC. ∵AD ⊥PB ,∴BC ⊥PB ,FG ⊥PB , ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ,∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ,∴EG ⊥PB ,且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中,EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中,EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π-∠GAE.所以所求二面角的大小为π-arctan23. 21.(本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解:(I )由C 与t 相交于两个不同的点,故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax有两个不同的实数解.消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a aa e(II )设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x =-=-∴=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根,且1-a 2≠0,1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以22.本小题主要考查数列,等比数列的概念和基本知识,考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分. 解:(I )a 2=a 1+(-1)1=0,a 3=a 2+31=3. a 4=a 3+(-1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以,a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k -1+(-1)k+3k , 所以a 2k+1-a 2k -1=3k +(-1)k,同理a 2k -1-a 2k -3=3k -1+(-1)k -1, ……a 3-a 1=3+(-1).所以(a 2k+1-a 2k -1)+(a 2k -1-a 2k -3)+…+(a 3-a 1)=(3k +3k -1+…+3)+[(-1)k +(-1)k -1+…+(-1)],由此得a 2k+1-a 1=23(3k -1)+21[(-1)k -1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k ka 2k = a 2k -1+(-1)k=2123+k (-1)k -1-1+(-1)k =2123+k(-1)k =1. {a n }的通项公式为: 当n 为奇数时,a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时,.121)1(2322-⨯-+=nn n a。