t检验及公式
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（二）t 检验
当总体呈正态分布，如果总体标准差未知，而且样本容量n <30，那么这时一切可能的样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t 分布。
t 检验是用t 分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显着。t 检验分为单总体t 检验和双总体t 检验。
1.单总体t 检验
单总体t 检验是检验一个样本平均数与一已知的总体平均数的差异是否显
着。当总体分布是正态分布，如总体标准差σ未知且样本容量n <30，那么样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t 分布。检验统计量为：
X t μ
σ-=
。
如果样本是属于大样本（n >30）也可写成：
X t μ
σ-=
。
在这里，t 为样本平均数与总体平均数的离差统计量； X 为样本平均数； μ为总体平均数； X σ为样本标准差；
n 为样本容量。
例：某校二年级学生期中英语考试成绩，其平均分数为73分，标准差为17分，期末考试后，随机抽取20人的英语成绩，其平均分数为分。问二年级学生的英语成绩是否有显着性进步
检验步骤如下：
第一步 建立原假设0H ∶μ=73 第二步 计算t 值 第三步 判断
因为，以为显着性水平，119df n =-=，查t 值表，临界值0.05(19) 2.093t =，而样本离差的t =小与临界值。所以，接受原假设，即进步不显着。
2.双总体t 检验
双总体t 检验是检验两个样本平均数与其各自所代表的总体的差异是否显着。双总体t 检验又分为两种情况，一是相关样本平均数差异的显着性检验，用于检验匹配而成的两组被试获得的数据或同组被试在不同条件下所获得的数据的差异性，这两种情况组成的样本即为相关样本。二是独立样本平均数的显着性检验。各实验处理组之间毫无相关存在，即为独立样本。该检验用于检验两组非相关样本被试所获得的数据的差异性。
现以相关检验为例，说明检验方法。因为独立样本平均数差异的显着性检验完全类似，只不过0r =。
相关样本的t 检验公式为：
X X t =
。
在这里，1X ，2X 分别为两样本平均数；
12X σ，2
2
X σ分别为两样本方差； γ为相关样本的相关系数。
例：在小学三年级学生中随机抽取10名学生，在学期初和学期末分别进行了两次推理能力测验，成绩分别为和72分，标准差分别为,。问两次测验成绩是否有显着地差异
检验步骤为：
第一步 建立原假设0H ∶1μ=2μ 第二步 计算t 值
=。
第三步 判断
根据自由度19df n =-=，查t 值表0.05(9) 2.262t =，0.01(9) 3.250t =。由于实际计算出来的t =>=0.01(9)t ，则0.01P <，故拒绝原假设。
结论为：两次测验成绩有及其显着地差异。
由以上可以看出，对平均数差异显着性检验比较复杂，究竟使用Z 检验还是使用t 检验必须根据具体情况而定，为了便于掌握各种情况下的Z 检验或t 检验，我们用以下一览表图示加以说明。
σ已知时，用X Z μ
σ
-=
单总体
σ未知时，用(1)X t df n S μ
-=
=- 在这里，S 表示总体标准差的估计量，它与样本标准差X σ的关系是：
1σ，2σ已知且是独立样本时，用X X =
是独立大样本时，用Z =
双总体
1σ，2σ未知
是独立小样本时，用X X t =
是相关样本时，用t =
以上对平均数差异的显着性检验的理论前提是假设两个总体的方差是相同的，至少没有显着性差异。对两个总体的方差是否有显着性差异所进行的检验称为方差齐性检验，即必须进行F 检验。