鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质能力提升练习题2（附答案）一．选择题（共10小题）
1．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，DE＝EF＝BF，连接CE并延长交AD于点C，连接CF并延长交AB于点H，连接CH，设△CDG的面积为S1，△CHG 的面积为S2，则S1与S2的关系正确的是（）
A．S1＝S2B．S1＝S2C．S1＝S2D．S1＝S2
2．在?ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若CD＝10，AD＝16，则EC为（）A．10B．16C．6D．13
3．如图，已知平行四边形ABCD，AM平分∠BAD交BC于点M，BE⊥AM于点E，EF⊥AD于点F，AB＝6，EF＝2.8，则△ABM的面积为（）
A．8.4B．10.8C．14.4D．16.8
4．已知：如图，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；
③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个n排的等腰梯形阵，且这n 排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是（）
A．296B．221C．225D．641
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD，添加下列条件不能使四边形ABCD成为平行四边形的是（）
A．AB＝CD B．OB＝OD
C．∠BCD+∠ADC＝180°D．AD＝BC
7．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（）
A．对角线互相平分B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行D．一组对边平行，另一组对边相等
8．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC ⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④其中，正确的是（）
A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④
9．下列说法中错误的是（）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．两组对角分別相等的四边形为平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
10．有如下命题：
（1）有两个角相等的梯形是等腰梯形；
（2）有两条边相等的梯形是等腰梯形；
（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形；
（4）等腰梯形上，下底边中点的连线把等腰梯形分成面积相等的两部分．
其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共10小题）
11．在平行四边形ABCD中，若∠A与∠B的度数之比为5：4，则∠C的度数为．12．在平行四边形ABCD中，已知∠A﹣∠B＝60°，则∠C＝．
13．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，F为DE的中点，∠B＝66°，∠EDC＝44°，则∠EAF的度数为．
14．已知四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝4，△ACE为直角三角形，∠AEC＝90°，CE＝BC＝AD，
则AE的长为．
15．如果等腰梯形的腰长是5，上、下底的长分别为3、9，那么它的面积为．16．如图在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，3），B（2，1），直角坐标系中存在点C，使得点O，A，B，C四点构成平行四边形，则C点坐标为．
17．已知点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为：．
18．如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，则下列结论：
①四边形ABFE为平行四边形；
②△ADE是等腰三角形；
③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等；
④∠DAE＝25°．
其中正确的结论是．（填正确结论的序号）
19．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．若AC＝7，DE＝5，则DF＝．
20．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝14cm，AD＝18cm，BC＝21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的移动，点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s 的速度移动．如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒，则t＝秒时，梯形PQCD是等腰梯形．
三．解答题（共8小题）
21．如图，在?ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF＝DE．
22．如图，在?ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数．
23．如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AD＝3，AB＝4，∠B＝60°求梯形的面积．
24．等腰梯形一底的中点对边的两个端点的距离会相等吗？若相等，请给出证明．若不相等，请说明理由．
25．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延
长线上一点．
（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）．
26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4；
（1）求证：四边形ACED是平行四边形
（2）求四边形ACEB的周长．
27．如图，在四边形ABCD中，EF交AC于点O，交CD、AB于点E、F；若OE＝OF，OA＝OC，且DE＝FB．猜想：AD与BC有怎样的关系？并说明理由．
28．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，连接EB并延长到点F，使BF＝BE，连接EC并延长到点M，使CM＝EC，连接FM，N为FM的中点，连接AF、DN
（1）求证：四边形AFND为平行四边形；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中长度为FM的一半的所有线段．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，DE＝EF＝BF，连接CE并延长交AD于点C，连接CF并延长交AB于点H，连接CH，设△CDG的面积为S1，△CHG 的面积为S2，则S1与S2的关系正确的是（）
A．S1＝S2B．S1＝S2C．S1＝S2D．S1＝S2
【解答】解：∵DE＝EF＝BF，
∴DF＝2BF，BE＝2DE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC
∴，
∴CD＝2HB，BC＝2DG
∴点G，H分别是AD，AB的中点，
∴S1＝S△CDG＝S△BCH＝S?ABCD，GH∥DB
∵GH∥DB
∴△AGH∽△ADB
∴
∴S△AGH＝S△ABC＝S?ABCD，
∵S△CHG＝S?ABCD﹣S△AGH﹣S△CDG﹣S△BCH，
∴S2＝S△CHG＝S?ABCD，
∴S1＝S2，
故选：C．
2．在?ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若CD＝10，AD＝16，则EC为（）
A．10B．16C．6D．13
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝16，AB＝CD＝10，
∴∠AEB＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝10，
∴CE＝BC﹣BE＝16﹣10＝6，
故选：C．
3．如图，已知平行四边形ABCD，AM平分∠BAD交BC于点M，BE⊥AM于点E，EF⊥AD于点F，AB＝6，EF＝2.8，则△ABM的面积为（）
A．8.4B．10.8C．14.4D．16.8
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAM＝∠BMA，
∵AM平分∠BAD，
∴∠BAM＝∠DAM，
∴∠BMA＝∠BAM，
∴BM＝AB＝6，
∵BE⊥AM，
∴AE＝ME，
∴△ABM的面积＝2△ABE的面积，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝∠AEB＝90°，
∴△AEF∽△ABE，
∴＝，
∴AE×BE＝AB×EF＝6×2.8＝16.8，
∴△ABM的面积＝2△ABE的面积＝AE×BE＝16.8；
故选：D．
4．已知：如图，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；
③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：根据四边形ABCD是等腰梯形，可得出的条件有：AC＝BD，∠OAB＝∠OBA＝∠ODC＝∠OCD（可通过全等三角形ABD和BAC得出），OA＝OB，OC＝OD，∠ACB＝∠ADB＝90°（三角形ACB和BDA全等）．
①要证BD∥EF就要得出∠ADB＝∠EFD，而∠ADB＝90°，∠EFD＝90°，因此∠ADB
＝∠EFD，此结论成立；
②由于BD∥EF，∠AEF＝∠AOD，而∠AOD＝∠OAB+∠OBA＝2∠OAB，因此∠AEF
＝2∠OAB，此结论成立．
③在直角三角形ABE中，∠OAB＝∠OBA，∠OAB+∠OEB＝∠OBA+∠OBE＝90°，因
此可得出∠OEB＝∠OBE，因此OA＝OB＝OE，那么O就是直角三角形ABE斜边AE的中点，由于OD∥EF，因此OD就是三角形AEF的中位线，那么D就是AF的中点，因此此结论也成立．
④由③可知EF＝2OD＝2OC，而OA＝OE＝OC+CE．那么AC＝OA+OC＝OC+OC+CE
＝2OC+CE＝EF+CE，因此此结论也成立．
故选：D．
5．某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个n排的等腰梯形阵，且这n 排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是（）
A．296B．221C．225D．641
【解答】解：设第一排有a名学生，则第n排有a+n﹣1，
∴＝3125，
∵a与n为正整数，n取到最大值，
∴a＝38，n＝50，
∴排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是：a+a+n﹣1+n﹣2+n﹣2＝221．故选：B．
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD，添加下列条件不能使四边形ABCD成为平行四边形的是（）
A．AB＝CD B．OB＝OD
C．∠BCD+∠ADC＝180°D．AD＝BC
【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，
∴可添加的条件是：AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故选项A 不符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AO＝CO，
又∵OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
∵∠BCD+∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
∵AB∥CD，AD＝BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意．
故选：D．
7．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（）
A．对角线互相平分
B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行
D．一组对边平行，另一组对边相等
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项能判定；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；故本选项能判定；
C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项能判定；
D、一组对边平行，另一组对边相等不一定是平行四边形；故本选项不能判定．
故选：D．
8．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC ⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④其中，正确的是（）
A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，
∴BF＝AB，
∴BF∥CD，CD＝BF，
∴四边形BCDF为平行四边形，②正确；
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴DF∥BC，又∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，①正确；
∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB
∴DA+DF＞BE，③错误；
设AC＝x，则AB＝2x，
S△ACD＝x2，S△ACB＝x2，S△ABE＝x2，
＝＝，④错误，
故选：A．
9．下列说法中错误的是（）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．两组对角分別相等的四边形为平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【解答】解：A．平行四边形的对角线互相平分；正确；
B．两组对角分別相等的四边形为平行四边形；正确；
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形；正确；
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行边形；错误；
故选：D．
10．有如下命题：
（1）有两个角相等的梯形是等腰梯形；
（2）有两条边相等的梯形是等腰梯形；
（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形；
（4）等腰梯形上，下底边中点的连线把等腰梯形分成面积相等的两部分．
其中正确的命题有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：根据等腰梯形的性质和判定可判断：
1，错误，直角梯形中有两个角相等为90度，但不是等腰梯形．
2，错误，一腰与一底相等时，不是等腰梯形．
3，正确．
4，正确，等腰梯形是轴对称图形
故选：B．
二．填空题（共10小题）
11．在平行四边形ABCD中，若∠A与∠B的度数之比为5：4，则∠C的度数为100°．【解答】解：在?ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∠A，∠B的度数之比为5：4，
∴∠A＝100°，∠B＝80°，
∴∠C＝∠A＝100°
故答案为：100°
12．在平行四边形ABCD中，已知∠A﹣∠B＝60°，则∠C＝120°．【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，
又有∠A﹣∠B＝60°，
把这两个式子相加相减即可求出∠A＝∠C＝120°，
故答案为：120°．
13．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，F为DE的中点，∠B＝66°，∠EDC＝44°，则∠EAF的度数为68°．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC＝66°，AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
∵EF＝FD，
∴F A＝FD＝EF，
∵∠EDC＝44°，
∴∠ADF＝∠F AD＝22°，
∴∠EAF＝90°﹣22°＝68°，
故答案为68°
14．已知四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝4，△ACE为直角三角形，∠AEC＝90°，CE＝BC＝AD，
则AE的长为2．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
∴CE＝CD﹣DE＝4﹣（4﹣2）÷2＝4﹣1＝3，
∵△ACE为直角三角形，∠AEC＝90°，CE＝BC＝AD，
∴AD＝BC＝CE＝3，
在Rt△ADE中，AE＝，
故答案为：2．
15．如果等腰梯形的腰长是5，上、下底的长分别为3、9，那么它的面积为24．【解答】解：如图，过点A作AE∥CD交BC于E，作AF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝CE，AE＝CD，
∴AB＝AE，BE＝BC﹣AD＝9﹣3＝6，
∴BF＝BE＝×6＝3，
在Rt△ABF中，AF＝＝＝4，
∴等腰梯形的面积＝（3+9）×4＝24
故答案为：24．
16．如图在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，3），B（2，1），直角坐标系中存在点C，使得点O，A，B，C四点构成平行四边形，则C点坐标为（3，4）或（1，﹣2）或（﹣1，2）．
【解答】解：如图所示：
∵以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（1，3），B（2，0），∴三种情况：
①当AB为对角线时，点C的坐标为（3，4）；
②当OB为对角线时，点C的坐标为（1，﹣2）；
③当OA为对角线时，点C的坐标为（﹣1，2）；
故答案为（3，4）或（1，﹣2）或（﹣1，2）．
17．已知点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为：（﹣1，﹣3）或（﹣3，3）或（5，1）．
【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（﹣1，﹣3）
②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣3，3），
③AC为对角线时，点D的坐标为（5，1）
综上所述，点D的坐标可能是（﹣1，﹣3）或（﹣3，3）或（5，1）
故答案为：（﹣1，﹣3）或（﹣3，3）或（5，1）
18．如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，则下列结论：
①四边形ABFE为平行四边形；
②△ADE是等腰三角形；
③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等；
④∠DAE＝25°．
其中正确的结论是①②④．（填正确结论的序号）
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形DCFE是平行四边形，
∴AB＝CD，CD＝EF，AB∥CD，CD∥EF，
∴AB＝EF，AB∥EF，
∴四边形ABFE为平行四边形；故①正确；
∵平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，
∴AD＝BC＝（平行四边形ABCD的周长﹣AB﹣CD），CF＝DE＝（平行四边形的周长﹣CD﹣EF），
∴AD＝BC＝CF＝DE，
∴△ADE是等腰三角形；故②正确；
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵∠CFE＝110°，
∴平行四边形ABCD与平行四边形DCFE不全等；故③错误；
∵∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，
∴∠ADC＝120°，∠CDE＝110°，
∴∠ADE＝360°﹣120°﹣110°＝130°，
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝25°，故④正确；
故答案为：①②④．
19．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．若AC＝7，DE＝5，则DF＝2或12．
【解答】解：如图1中，当点D在线段BC上时，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF＝5，
∵AB＝AC＝7，
∴BF＝7﹣5＝2，∠B＝∠C，
∵∠FDB＝∠C，
∴∠B＝∠FDB，
∴DF＝BF＝2．
如图2中，当点D在BC的延长线上时，
同法可证：DE＝AF＝5，FB＝FD，
∵AB＝AC＝7，
∴DF＝FB＝5+7＝12，
综上所述，DF的值为2或12．
故答案为2或12．
20．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝14cm，AD＝18cm，BC＝21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的移动，点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s 的速度移动．如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒，则t＝8秒时，梯形PQCD是等腰梯形．
【解答】解：过P作PN⊥BC于N，过D作DM⊥BC于M，
∵AD∥BC，∠B＝90°，DM⊥BC，
∴四边形ABMD是矩形，AD＝BM．
∴MC＝BC﹣BM＝BC﹣AD＝3．
又∵QN＝BN﹣BQ＝AP﹣BQ＝t﹣（21﹣2t）＝3t﹣21．
若梯形PQCD为等腰梯形，则QN＝MC＝3．
得3t﹣21＝3，t＝8，
即t＝8秒时，梯形PQCD是等腰梯形．
三．解答题（共8小题）
21．如图，在?ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF＝DE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，
∵∠DAF＝∠BCE，
∴∠BAF＝∠DCE，
在△ABF和△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴BF＝DE．
22．如图，在?ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC，AB＝CD．
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝AD，FC＝BC．
∴AE＝CF．
在△AEB与△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
（2）解：∵四边形EBFD是菱形，
∴BE＝DE．
∴∠EBD＝∠EDB．
∵AE＝DE，
∴BE＝AE．
∴∠A＝∠ABE．
∵∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE＝180°，
∴∠ABD＝∠ABE+∠EBD＝×180°＝90°．
23．如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AD＝3，AB＝4，∠B＝60°求梯形的面积．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝EF＝3，AE＝DF，
∵∠B＝60°，∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝2，
∵∠AEB＝∠DFC＝90°，
AE＝DF，AB＝CD，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC，
∴BE＝CF＝2，
BC＝2+2+3＝7，
由勾股定理得：AE＝，
∴梯形的面积＝×（AD+BC）×AE＝×（3+7）×2＝10．
24．等腰梯形一底的中点对边的两个端点的距离会相等吗？若相等，请给出证明．若不相等，请说明理由．
【解答】已知：四边形ABCD是等腰梯形，M是AD中点，
求证：MB＝MC．
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D．
∵M是AD的中点，
∴AM＝DM．
在△ABM和△DCM中，，
∴△ABM≌△DCM（SAS）．
∴MB＝MC．
25．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．
（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）．
平行四边形性质和判定习题 1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：BE=DF； （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）． 2．如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE， CF交于B，D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足 分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． 4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． 5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB， DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系， 并加以证明． 6．如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形．
7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形． 8．在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． 9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ 11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点， 求证：AE与DF互相平分． 12．已知：如图，在?ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四 边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．
初2017级寒假培训（八）A 层----平行四边形的性质与判定 班级： 姓名： 1.定义：两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD 记作：□ 几何语言：, 2.性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分； 几何语言：∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥ BC, _________ （对边平行）；AD=BC ,__________（对边相等）； ，_________（对角相等）；…（邻角互补）； ， （对角线互相平分）。 平行四边形的判定： 判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 判定2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 判定4.对角线互相平分的四边形是平行四边形 判定5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 几何语言 判定1., 判定2.， 判定3., 判定4. 判定5., 夯实基础： 1.如图，将□的一边BC 延长至E ，若∠A =110°，则∠1=________． E 2.如图，在□中，，则＝ °． 3.在平行四边形ABCD 中，cm AB 6=，cm BC 8=，则平行四边形ABCD 的周长 为 cm ． 4.如图，在□中，已知， 平分交边于点，ABCD BC AD CD AB //,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴BCD BAC ∠=∠ο180=∠+∠ABC BAC OC OA =BC AD CD AB //,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴BC AD DC AB ==,是平行四边形四边形ABCD ∴BCD BAD ADC ABC ∠=∠∠=∠,Θ是平行四边形四边形ABCD ∴,,DO BO CO AO ==Θ是平行四边形四边形ABCD ∴CD AB CD AB =,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴ABCD ABCD ο120=∠A D ∠ABCD ,6,8CM AB CM AD ==DE ADC ∠BC E A B C D O A B C D 4 E A B C D 2 1 A B C D
A B E C F D O B D C E D C O F B A 平行四边形性质及判定练习题 一、耐心填一填！ 1、ABCD 中，∠B －∠A ＝40°，则∠D ＝＿＿。 2、ABCD 的周长是44cm ，AB 比AD 大2cm ，则AB ＝＿＿cm ，AD ＝＿＿cm 。 3、平行四边形的两个相邻内角的平分线相交所成的角的度数是＿＿。 4、平行四边形的两条邻边的比为2∶1，周长为60cm ，则这个四边形较短的边长为＿＿。 5、如图所示，在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ， ∠BAD ＝120°，BE ＝2，FD ＝3，则∠EAF ＝＿＿＿，ABCD 的周长为＿＿。 6．若平行四边形的两邻边的长分别为16和20，两长边间的距离为8， 则两短边间的距离为_____________． 7、ABCD ，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=________,CD=______, ∠D=__________,∠A=_________,∠C=__________. 8、平行四边形周长为50cm ，两邻边之差为5cm,各边长为 。 9.如图，平行四边形ABCD 的周长为30cm,它的对角线AC 和BD 相交于O,且△ AOB 的周长比△BOC 的周长大5cm,AB= 、BC= 。 10.平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O,则其中全等的三角形有___ 对。 二、精心选一选! 11、下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A 、对角线互相垂直 B 、对角线互相平分 C 、一组对角相等 D 、一组对边相等 12、已知下列四个命题：①一组对边平行且相等的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③对角线相等的四边形；④对角线互相平分的四边形。其中能判定平行四边形的命题的个数为 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 13、平行四边形的两条对角线及一边的长可依次取 （ ） A 、6、6、6 B 、6、4、3 C 、6、4、6 D 、3、4、5 14、以不共线三点为三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是 （ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 15、四边形ABCD 的四个角∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 满足下列哪一条件时，四边形ABCD 是平行四边形？（ ） A 、1∶2∶2∶1 B 、2∶1∶1∶1 C 、1∶2∶3∶4 D 、2∶1∶2∶1 16、如图所示，在ABCD 中，EF 过对角线的交点，若AB ＝4，BC ＝7，OE ＝3，则四边形EFDC 的周长是（ ） A 、14 B 、11 C 、10 D 、17 17、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判定四边形ABCD 是平行四边形， 还应满足（ ） A 、∠A ＋∠C ＝180° B 、∠B ＋∠D ＝180° C 、∠A ＋∠B ＝180° D 、∠A ＋∠D ＝180° 18、根据下列条件，得不到平行四边形的是（ ） A 、 AB ＝CD ，AD ＝BC B 、AB ∥CD ，AB ＝CD C 、AB ＝CD ，AD ∥BC D 、AB ∥CD ，AD ∥BC 19、若ABCD 的周长为40cm ，ΔABC 的周长为27cm ，则AC 的长是（ ） A 、13cm B 、3cm C 、7cm D 、11.5cm
E D C A B I 第一章轴对称与轴对称图形 一、梳理知识，建构网络 仔细阅读课本1---28页，树立本章知识，按照自己的理解画出本章的知识网络图。 二、典型示例 专题一、轴对称及其应用 1、7．如图，△ABC与△AED关于直线1对称，若AB=2cm，∠C=95°，则AE=____，?∠D=___度． 2、小亮在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近八时的是（） 3、将一个长方形纸条按如图所示折叠，则∠1=度 4、下图中的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴． 专题二、线段垂直平分线性质的应用 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB、AC的垂直平分线分别交BC与E、F，连接EA、FA，则∠EAF=度。 专题三、角的平分线的性质应用 如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC=15cm，且CD：AD=2：3，求点D到AB的距离。
专题四、等腰三角形的性质的应用 如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,∠B=52°,DE⊥AC于E点，试求∠ADE的度数。 专题五、数学思想的应用 1、若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个三角形的顶角等于（） 2、若一个等腰三角形两边长分别为4厘米和6厘米，那么这个等腰三角形的周长是，若一个等腰三角形的两边长为2厘米和8厘米，那么这个等腰三角形的周长是。 3、已知等腰△ABC中，AB=AC,D是BC边上的一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，你能求出∠C的度数吗？ 4、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则∠B等于多少度？ 限时作业： 1、如图所示的图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（） 2、在线段、射线、直线、角、直角三角形、等腰三角形中是轴对称图形的有（）。 A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 3、等腰三角形的两边长是6和11，则它的周长为（）
青岛版数学练习册八年级上册参考答案 1.1 1.略. 2.DE,∠EDB，∠E. 3.略. 4.B 5.C 6.AB=AC,BE=CD,AE=AD,∠BAE=∠CAD 7.AB∥EF,BC∥ED.8.(1)2a+2b;(2)2a+3b;(3)当n为偶数时，n2(a+b);当n为奇数时，n-12a+n+ ;(2)∠ADB=∠AEC. 4.∠1=∠2 5.△ABC≌△FDE(SAS) 6.AB∥CD.因为△ABO≌△CDO(SAS).∠A=∠ 第2课时 ；(2)∠E=∠B. 4.△ABD≌△BAC(AAS) 5.(1)相等，因为△ABE≌△CBD(ASA);(2)DF=EF,因为△ADF≌△CEF(ASA). 6.相等，因为△ABC≌△ADC(AAS). 7.(1)△ADC≌△AEB;(2)AC=AB,DC=EB,BD=EC;∠ABE=∠ACD,∠BDO=∠CEO,∠BOD=∠COE. 第3课时 6.全等.因为△ABD≌△ACD(SSS).∠BAF=∠CAF. 7.相等，因为△ABO≌△ACO(SSS). 1.3第1课时 1~6(略).7.作∠AOB=∠α,延长BO，在BO上取一点C，则∠AOC即为所求.8.作∠AOB=∠α,以OB为边，在∠AOB的外部作∠BOC=∠β；再以OA为边，在∠AOC的内部作∠AOD=∠γ,则∠DOC即为所求.
第2课时 1.略. 2.（1）略;（2）全等(SAS). 3.作BC=a-b;分别以点B、C为圆心，a为半径画弧，两弧交于点A;连接AB，AC，△ABC即为所求. 4.分四种情况：（1）顶角为∠α,腰长为a;(2)底角为∠α，底边为a;(3)顶角为∠α，底边为a;(4)底角为∠α，腰长为a.((3),(4)暂不作). 第3课时 1.四种：SSS,SAS,ASA,AAS. 2.作线段AB;作∠BAD=∠α,在∠BAD同侧作∠ABE=∠B;AD与BE相交于点C.△ABC即为所求. 3.作∠γ=∠α+∠β;作∠γ的外角∠γ′;作△ABC,使AB=c.∠A=∠γ′，∠B=∠α. 4.作∠γ=180°-∠β；作△ABC,使BC=a,∠B=∠α,∠C=∠γ. 第一章综合练习 ,△ABC≌△BAC. 6.△ABC≌△CDE(AAS) 7.4分钟 8.△BOC′≌△B′OC(AAS) 9.略10.相等.△BCF≌△EDF(SAS).△ABF≌△AEF(SSS) 检测站 ,△PDB≌△PEC(AAS).6.略 2.1 1~3.略.;30°. 8.略 2.2第1课时 1~2.略,且AA′⊥MN,BB′⊥MN,CC′⊥MN.(2)5 cm8.(1)DE⊥AF;(2)略.
平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.平行四边形的判定定理： （1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.平行四边形的性质： （1）平行四边形的邻角互补，对角相等。 （2）平行四边形的对边平行且相等。 （3）夹在两条平行线间的平行线段相等。 （4）平行四边形的对角线互相平分。 （5）平行四边形是中心对称图形。 4.平行四边形的面积： 面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。） 二、矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 2.矩形的判定定理： （1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 （2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 （3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 3.矩形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等。 （4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。 4.矩形的面积： 矩形的面积=长×宽 三、菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.菱形的判定定理： （1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。 （3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.菱形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。
青岛版八年级数学上册期末测试卷 一、单选题 1．如图所示，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接.若，，则的大小为（） A．B．C．D． 2．计算：=： A．B．C．D． 3．下列说法正确的是（） A．商家卖鞋，最关心的是鞋码的中位数 B．365人中必有两人阳历生日相同 C．要了解全市人民的低碳生活状况，适宜采用抽样调查的方法 D．随机抽取甲、乙两名同学的5次数学成绩，计算得平均分都是90分，方差分别是 =5，=12，说明乙的成绩较为稳定 4．下列计算正确的是（） A．B．C．D． 5．剪纸是中国特有的民间艺术.在如图所示的四个剪纸图案中.既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D． 6．下列命题中是真命题的是( ) A．-1的平方根是-1B．5是25的一个平方根 C．(-4)的平方根是-4D．64的立方根是4 7．下列句子中，能判定两个三角形全等的是（） A．有一个角是50°的两个直角三角形B．腰长都是6cm的两个等腰三角形 C．有一个角是50°的两个等腰三角形D．边长都是6cm的两个等边三角形 8．某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图．则这组数据的众数和中位数分别是（）. A．7，7B．8，7.5C．7，7.5D．8，6 9．为了解曲靖市某区七年级名学生的视力情况，从中抽查名学生的视力进行统计分析，下列四个判断正确的是（） A．名学生是总体B．样本容量是名 C．每名学生是总体的一个样本D．名学生的视力是样本 10．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（） A．B．
2016-2017第一学期第三次学业水平检测数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.） 1.下列图形： 其中是轴对称图形的个数为（ ） 2. 这些式中， 31x+21y ， xy 1 ，a +51 ，-4xy ，2x x ，πx ，9x+y 10 分式的个 数有（ ） 个 个 个 个 3. 这些说法：①.角平分线上任一点到角的两边的线段长相等 ②角是轴对 称图形③ 线段不是轴对称图形 ④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ②④ 4. 关于x 的方程 4 3 32=-+x a ax 的解为x=1,则a=（ ） A 、1 B 、3 C 、－1 D 、－3 5.一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，这组数据的众数与中位数分别是（ ） A ．9与8 B ．8与9 C ．8与 D ．与9 6.下列关于分式的判断，正确的是 （ ） A.当x=2时， 21-+x x 的值为零. B.无论x 为何值，1 3 2+x 的值正数 C. 无论x 为何值， 13+x 的值不可能是正数. D.当x ≠3时，x x 3 -有意义 7. 小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m 千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为n 千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时 A. 2n m + B. n m mn + C. n m mn +2 D.mn n m + 8、如图所示，小颖书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） 环数 10 9 8 7 次数321
第11讲 平行四边形的性质及判定 小测试 总分10分 得分___________ 1．（4分）分式方程 12x x +-＝ 1 32 x +-的解为x ＝___________．3 2．（6分）若221x x x +-＝1 4 ，则242331x x x -+＝___________．1 【教学目标】 1．掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算． 【教学重难点】 能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算，证明线段平行、相等是常考点． 知识点1：平行四边形 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 知识点2：平行四边形的性质 1．平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分． 2．若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线平分平行四边形的面积． 3．平行四边形是中心对称图形． 4．平行四边形的面积： ①如图1，S □ABCD ＝BC ·AE ＝CD ·AF ． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．如图2，□ABCD 与□EBCF 有公共边BC ，则S □ABCD ＝S □EBCF ．特别地，当点P 是平行四边形任意一条边所在直线上的一点时，点P 与这条边的对边的两个顶点所构成的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，如图3． 知识点3：平行四边形的判定 1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 注意：两组对角分别相等的四边形不能直接作为平行四边形的判定依据，在证明题或计算题中不能直接使用，必须转化成两组对边分别平行的四边形是平行四边形（利用四边形的内角和是360°，一半则为180°，同旁内角互补，得到两组对边分别平行）． 在平行四边形中熟悉下列基本图形、基本结论： A D B C E F A D B C E F P A D B C 图1 图2 图3
第十九章四边形 19.1.1 平行四边形的性质 第一课时 一、自主学习 ●目标导学 1、理解平行四边形有关概念以及记作方法。 2、探索并掌握平行四边形的有关性质、平行线间的距离。并能运用性质解决实际问题。 ●自学生疑 1、叫平行四边形 2、平行四边形的性质 1)边 2）角 3）对角线 4）对称性 3.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是________. 二、合作学习 ●合作探究 【探究一】平行四边形的定义 1、定义： 2、表示方法： 3、平行四边形与长方形、正方形、菱形、梯形的关系： 【探究二】平行四边形的性质 1、根据定义可得到什么性质？ 用几何语言叙述： 2、根据定义如何判定一个四边形为平行四边形？ 用几何语言叙述：
2、通过量一量.折一折.看看平行四边形的边、角、对角线、对称性还存在什么性质？边：；角：；对角线：；对称性：。 3、证明你所得到的性质： 4、用几何语言叙述平行四边形的性质： 练一练： 1.已知：平行四边形的周长为28cm.相邻两边的差为4cm.则相邻两边长为、。 2.如图,在ABCD中.对角线AC、BD相交于点O.图中全等三角形共有________对. 3.ABCD中.若∠A∶∠B=1∶3,那么∠A=_____.∠B=______.∠C=______.∠D=_____. 4.如图.ABCD的对角线AC和BD相较于点O.如果AC=10.BD=12.AB=m.那么m的取值范围是 。
● 精讲精练 例：如图.E F ，是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点.CE AF 请你猜想：BE 与 DF 有怎样的位置．．关系和数量．． 关系？并对你的猜想加以证明．（多种方法） 变式：1、已知ABCD 的对角线交于O .过O 作直线交AB 、CD 的反向延长线于E 、F .求证： OE =OF . 2、（07日照）如图.在周长为20cm 的□ABCD 中.AB ≠AD .AC 、BD 相交于点O .OE ⊥BD 交AD 于 E .则△ABE 的周长为 cm. A B C D E F A B C D O E
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形平行四边形的性质与判定专题练习题1．在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各 点中不能作为平行四边形顶点坐标的是() A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) 2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?ADCE中，DE最小的值是() A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，E是?ABCD内任意一点，若平行四边形的面积是6，则阴影部分的面积为____． 4．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为_______． 5．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE. (1)求证：△ABC≌△EAD； (2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数． 6．如图，在?ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，BD＝12，AD＝10. (1)求证：AE⊥BD； (2)求?ABCD的面积．
7 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求?ABCD的面积 8. 如图，已知AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE＝DF. 求证：四边形BECF是平行四边形． 9. 如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′的位置，则四边形ACE′E的形状是_____________． 10. 如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F. (1)求证：△ABC≌△DEF；
青岛版八年级数学上册期末试题 一、选择题（本大题共20小题，每小题选对得3分，共60分） 1、下列图案是轴对称图形的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、下列语句中，属于命题的是（ ） A ．作线段的垂直平分线 B ．等角的补角相等吗 C ．三角形是轴对称图形 D ．用三条线段去拼成一个三角形 3．在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，∠A=25°，D 是AB 上一点．将Rt △ABC 沿CD 折叠，使B 点落在AC 边上的B ′处，则∠ADB ′等于（ ） Ａ．25°Ｂ．30°Ｃ．35°Ｄ．40° 4．如图，a 、b 、c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（ ） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 5、使分式 24 x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A.x ＝2 B.x ≠2 C.x ＝－2 D.x ≠－2 6、与分式 -x+y x+y 相等的是（ ） A.x+y x-y B.x-y x+y C.- x-y x+y D.x+y -x-y 7、如果等腰三角形两边长是6cm 和3cm ，那么它的周长是（ ）。 A ．9cm B ．12cm C ．12cm 或15cm D ．15cm 8、如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一 个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA 9、甲、乙两个样本的方差分别是s 甲2 =0.56，s 乙2 =1.87，由此可反映出（ ） A ．样本甲的波动比样本乙的波动大； B ．样本甲的波动比样本乙的波动小； C ．样本甲的波动与样本乙的波动大小一样； D ．样本甲和样本乙的波动大小关系不确定
一、平行四边形知识结构及要点小结 平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边开形是平行四边形。性质：1、平行四边形的两组对边分别平行。 2、平行四边形的两组对边分别相等 3、平行四边形的两组对角分别相等 4、平行四边形的两条对角线互相平分。 判定方法：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 定理；三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 二、解题方法及技巧小结： 证明线段相等或角相等的问题用过去所学的全等知识也可完成，但相对比而言，应用平行四边形的性质求证较为简单。另外平行四边形对角线是很重要的基本图形，应用它的性质解题可开辟新的途径。
特殊的平行四边形知识结构及要点小结 矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 性质：1、具有平行四边形的所有性质。 2、矩形有四个角都是直角。 3、矩形有对角线相等。 4、矩形是轴对称图形，有两条对称轴。 判定方法：1、定义 2、对角线相等的平行四边形是矩形。 3、有三个角是直角的四边形是矩形。 菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 性质；1、具有平行四边形所有性质。 2、菱形有四条边都相等。 3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 4、菱形是轴对称图形。 判定方法：1、定义 2、对角线互相垂直的平行四边形 3、四边相等的四边形 正方形：定义；一组邻边相等的矩形 性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质 判定：1、定义 2、有一个内角是直角的菱形 3、对角线相等的菱形 4、对角线互相垂直的矩形 解题方法及技巧小结 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形。它们的性质既有区别又有联系，它们的判定方法虽然不同，但有许多相似之处，因此要用类比的思想，将学到的知识总结出相关规律。
青岛版数学八年级上册期中测试题 一、选择题把答案填写在答题框里（每题3分，共60分） ⒈下列图形： 其中是轴对称图形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 ⒉下列等式不成立的是 （ ） （A ）)4)(4(162+-=-m m m （B ）)4(42+=+m m m m （C ）22)4(168-=+-m m m （D ）22)3(93+=++m m m ⒊下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（ ）. A.))((22y x y x y x -+=- B.(x+2)(x+3)=652++x x C.5)3(532++=++x x x x D.2))((222+-+=+-n m n m n m 4、、 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A 、22)(b a -+ B 、mn m 2052- C 、22y x -- D 、92+-x 5、下列说法正确的是 （ ） ①.角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等.
②角是轴对称图形. ③ 线段不是轴对称图形. ④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ②④ 6、如果把 y x y 322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ） A 、扩大5倍 B 、不变 C 、缩小5倍 D 、扩大4倍. 7．在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，BE 、CD 分别是底角的平分线，DE ∥BC ，图中等腰三角形的个数（不另加字母）有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 8．如图,∠BAC=130°,若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC, 则∠PAQ 等于 ( ) A.50° B.75° C.80° D.105° 9. 在△ABC 中，AB=AC ，BC=5cm ，作AB 的中垂线交另一腰AC 于D ，连结BD ，如果△BCD 的周长是17cm ，则腰长为 （ ） A 、12cm B 、6 cm C 、 7 cm D 、5 cm 10、将多项式3222231236b a b a b a +--分解因式时，应提取的公因式是（ ）A 、ab 3- B 、223b a - C 、b a 23- D 、333b a - 11、下列关于分式的判断，正确的是 （ ） A.当x=2时， 21-+x x 的值为零. B.无论x 为何值，1 3 2+x 的值正数 M Q A P N C B
《平行四边形的性质》典型例题 例1一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？ 例2已知：如图，ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，AOB ? 的周长比BOC ?的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长. 例3 已知：如图，在ABCD中，BD AC、交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由.
例4 已知：如图，ABCD 的周长是cm 36，由钝角顶点D 向AB ，BC 引两条高DE ，DF ，且cm DE 34=，cm DF 35=.求这个平行四边形的面积. 例5 如图，已知：ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ，若?=∠60EAF ，cm BE 2=，cm FD 3=. 求：AB 、BC 的长和ABCD 的面积.
《平行四边形的判定》典型例题 例1如图，△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED是平行四边形． 例2如图，E、F分别是ABCD边AD和BC上的点，并且AE=CF，AF和BE相交于G，CE 和DF相交于H、EF与GH是否互相平分，请说明理由． 例3如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC的五等分点，C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点，若四边形C1A4D2B1的面积为1，求S平行四边形ABCD.
例4已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，CF分别交CF，AE于H，G. 求证：EG=FH. 例5如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC=∠DCA. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
1.1全等三角形 一. 填空题（每小题3分，共27分） 1.如果△磁和△耐全等，△砂和△ 跑全等，则△磁和△跑 一全等 ,如果△月必: 和△则不 全等，△耐和△洌全等，则△/!證和△防 _________ 全等 .（填“一定”或“不一定”或“一泄不”） 2.如图1, bABMHADE、Z5=100G , ZBAC=3Q° ,那么￡AED=_________________ ? 3.△磁中，"AC： ZACB： ZABC=4： 3 ： 2,且△/13金△耐，则乙DEF= __________ 4.如图2, BE. Q是△遊的髙，且BD=EC,判泄△尿注△宓的依据是“ _______________ 5.如图3, AB. Q相交于点0, AD=CB、请你补充一个条件，使得△ AOD^^COB.你补充的条件是 6.___________________________________________________________ 如图4, AG加相交于点0, AC=BD. AB=CD.写出图中两对相等的角_______________________________________ 8.地基在同一水平而上，髙度相同的两幢楼上分别住着甲、乙两位同学，有一天，甲对乙说：“从我住的 这幢楼的底部到你住的那幢楼的顶部的直线距离，等于从你住的那幢楼的底部到我住的这幢楼的顶部的直 线距离.”你认为甲的话正确吗？答： ______ ? 9?如图6,直线血〃助，点C在助上，若朋=4,加=8, △月助的而积为16,则/XACE的面积为____________ ? 二、选择题（每小题3分，共24分） 1.如图7,尸是ZQ1C的平分线出?上一点，PE丄AB于匕PF丄AC于F,下列结论中不正确的是（） A. PE=PF B?AE=AF C. \APEa\APF D?AP = PE+PF 2.下列说法中：①如果两个三角形可以依7.如图5, 图1 △磁中，ZO=90°CD=2、则△观的而积是
第十九章 四边形 19.1.1 平行四边形的性质 第一课时 练一练： 1.已知：平行四边形的周长为28cm ，相邻两边的差为4cm ，则相邻两边长为 、 。 2.如图,在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，图中全等三角形共有________对. 2题4题 3.ABCD 中，若∠A ∶∠B =1∶3,那么∠A =_____，∠B =______，∠C =______，∠D =_____. 4.如图，ABCD 的对角线AC 和BD 相较于点O ，如果AC=10，BD=12，AB=m ，那么m 的取值范围是 。 ● 精讲精练 例：如图，E F ，是ABCD 的对角线AC 上的点，CE AF 请你猜想：BE 与DF 有怎样的位置．．关系和数量．．关系？并对你的猜想加以证明． 变式：1、已知ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线交AB 、CD 的反向延长线于E 、F ，求证：OE =OF . 2、（07日照）如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为 cm. 2题 3题4题 三、用中学习 1.平行四边形的周长等于56 cm ，两邻边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为_______. 2、在□ABCD 中，∠A +∠C =270°，则∠B =______，∠C =______. 3.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3，OF =1.3，则四边形BCEF 的周长为（ ） A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6 4、如图，在□ABCD 中，AB =AC ，若□ABCD 的周长为38 cm ，△ABC 的周长比□ABCD 的周长少10 cm ，求□ABCD 的一组邻边的长. 第二课时 练一练： 1、如图，在□ABCD 中，AB=10cm ，AB 边上的高DH=4cm ，BC=6cm,则BC 边上的高DF 的长为 。 A B C D E F A B C O E
1．（2012?遵义）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（） A．B．C．D． 2．（2012?遵义）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（） A．3√2 B．2 √6 C．2 √5 D．2 √3 3．（2012?淄博）如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有（） A．4个B．3个C．2个D．1个4．（2012?资阳）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=2 √3，则四边形MABN的面积是（）A．6 √3 B．12 √3 C．18 √3 D．24 √3 5．（2012?重庆）下列图形中，是轴对称图形的是（） D． A．B．C． 6．（2012?镇江）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（） 7．（2012?肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（） A．16 B．18 C．20 D．16或20 8．（2012?宜昌）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（） A．B．C．D． 9．（2012?西宁）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论（） A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的一半 C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D．如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
平行四边形定义性质以 及判定定理 性质 （1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。 （简述为“平行四边形的两组对边分别相等”[2]） （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。 （简述为“平行四边形的两组对角分别相等”[2]） （3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的。 （简述为“平行四边形的邻角互补”） （4）夹在两条间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”） （5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条互相平分。 （简述为“平行四边形的对角线互相平分”[2]） （6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论） （7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。） （8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。 （9）平行四边形是图形，对称中心是两对角线的交点. （10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。 （11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。 （12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。 （13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。 （14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。 （15）平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积 平行四边形的判定方法（共6种） Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
平行四边形的性质及判定（典型例题） 1．平行四边形及其性质 例1 如图，O是ABCD对角线的交点．△OBC的周长为59，BD=38，AC=24，则AD=____若△OBC与△OAB的周长之差为15，则AB=ABCD的周长=____. 分析： AC，可得BC，再由平行四边形对边相等知AD=BC，由平行四边形的对角线互相平分，可知△OBC与△OAB的周长之差就为BC 与AB之差，可得AB，进而可得ABCD的周长． 对角线互相平分) ∴△OBC的周长=OB＋OC＋EC
=19＋12＋BC=59 ∴BC=28 ABCD中， ∴BC=AD(平行四边形对边相等) ∴AD=28 △OBC的周长-△OAB的周长 =(OB＋OC＋BC)-(OB＋OA+AB) =BC-AB=15 ∴AB=13 ∴ABCD的周长 =AB＋BC＋CD＋AD =2(AB＋BC) =2(13＋28) =82 说明：本题条件中的“△OBC占△OAB的周长之差为15”，用符
号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15．例2 判断题 (1)两条对边平行的四边形叫做平行四边形．( ) (2)平行四边形的两角相等．( ) (3)平行四边形的两条对角线相等．( ) (4)平行四边形的两条对角线互相平分．( ) (5)两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离．( ) (6)平行四边形的邻角互补．( ) 分析：根据平行四边形的定义和性质判断． 解： (1)错 “两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边．如图四边形ABCD，两条对边AD∥BC．显然四边形
青岛版八年级数学上册知识要点 第一章轴对称与轴对称图形 1、轴对称图形：如果一个图形沿某一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对折后图形上能够互相重合的点叫做对称点。 2、轴对称：如果把一个图形沿木哦一条直线对折后，能够与另一条直线完全重合，那么这两个图形关于这条成轴对称。这条直线叫做它们的对称轴，折叠后，两个图形上互相重合的点叫做对称点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系： 区别：轴对称是指一个具有特殊形状的图形；两个图形关于某一条直线成轴对称是指两个图形的特殊形状和位置关系。 联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称；如果把两个关于某直线成轴对称的图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形。 4、线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 （1）线段是轴对称图形，它的一条对称轴是这条线段的垂直平分线。（2）线段的垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 5角的平分线：把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 （1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 （2）角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等。 6、等腰三角形：（1）是轴对称图形，等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线。 （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合（也称三线合一）。 （3）等腰三角形的两个底角相等。 7、等边三角形：（1）是轴对称图形，每边的垂直平分线是它的对称轴。（2）每个内角都等于60度。 8、成轴对称的图形的性质：如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么连接对应点的线段被对称轴垂直评分，对应线段相等，对应角相等。 9、镜面对称：如果两个物体成镜面对称，大小、形状相等，位置相反。 第二章乘法公式与因式分解 1、乘法公式：（1）、完全平方公式：两数和或差的平方等于两数分别平方与两数乘积二倍的和，(a±b)2=a2±2ab+b2 （2）、平方差公式：两数和与两数差的积等于两数平方的差，两个公式是通过多项式乘多项式得出的结论。(a+b)(a-b)=a2-b2 2、因式分解：（1）定义：把一个多项式化成几个整式的乘积形式，叫做因式分解。 （2）方法：提公因式法，运用公式法: a2-b2= (a+b)(a-b); a2±2ab+b2= (a ±b)2 （3）步骤：先考虑提公因式法，再考虑运用公式法，最后要分解到不能再分解为止。 第三章分式 1、分式：（1）定义：形如 B A （A、B是整式，且B中含有字母，B ≠0）的式子叫做分式。 B A =0 （A=0,B ≠0）。①分式有意义是条件：分母不等于0；②分式无意义的条件：分母等于0 ；③分式值为零的条件：分子为0，分母不为0. （2）基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （3）分式运算：①乘法法则：两个分式相乘，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。②除法法则：两个分式相除，把除式的分子分母颠倒位置后，再与被除式相乘。③同分母的分式相加减，分母不变，把分