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九上 第三节 一元二次方程——根与系数的关系

第三节 一元二次方程的应用

——根与系数的关系

【教学目标】

1.掌握一元二次方程根与系数的关系式——韦达定理

2.运用韦达定理由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数.

3.会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和.

【重难点】

运用韦达定理由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数.

【知识要点】

一、一元二次方程根与系数的关系

1.如果21,x •x 是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根,则a

c x x a b x x =-=+2121.. 2.应用一元二次方程根与系数的关系式时,0≥∆是前提,这一点易被忽视.

3.常数项为0,两根积必为0,,因为此时21x x ∙=

a

c 的分子为0.同理,当一次项系数为0时,两根和为0.

二、已知一元二次方程和一个根,求另一个根.

1.当一元二次方程的二次项系数为1时,如21,x •x 是方程02=++c bx x 的两个根时,则b x x -=+21,c x x =21.

2.由本例的两个解法进行比较,可知应用根与系数求解要比应用根的定义求解简捷.

三、求含根的对称式的值

不解方程,利用根与系数关系,求已知一元二次方程两根的某些代数式的值,应把代数式经恒等变形,化为含有两根和、两根积的形式,再代入求值.

例1.写出下列方程的两根和与两根积.

(1)1532=+x x (2)0122

=++x x

(3)32=+-m mx x (4)0232=-x x 例2.已知方程022=++kx x 的一个根是-1,求k 的值与另一根.

例3.已知03422=-+x x 不解这个方程,求:(1)两根的倒数和;(2)两根的平方和. 例4.已知关于x 的方程0122=-++m x x .

(1)求证:方程有两个实数根;

(2)设方程的两个实数根为21,x x ,且有22221=-x x ,求m 的值.

例5.是否存在常数k ,使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个
实数根21,x x 满足21x x =2

例5.是否存在常数k ,使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实数根21,x x 满足21x x =2

3,如果存在,试求出所有满足条件的k 值;如果不存在,请说明理由.

例6.已知关于x 的方程,04

2)2(2=---m x m x . (1)求证:无论m 取什么实数值,这个方程总有两个异实根;

(2)若这个方程的两个实根21,x x 满足212+=x x ,求m 的值及相应的21,x x

1.若21,x x 是一元二次方程0132=-+x x 的两个根,则2111x x +的值是( )

A 、-1

B 、0

C 、1

D 、2

2.一元二次方程0301322=+-=--x x x x 及的所有实数根的和等于( )

A 、2

B 、-4

C 、4

D 、3

3.如果一元二次方程0752=--x x 的两个根为βαβα+则.,的值为( )

A 、-5

B 、5

C 、-7

D 、7

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