初三数学圆的讲义

毅帆教育学科培训师辅导讲义

讲义编号

学员编号年级初三课时数 2 学员姓名辅导科目数学学科培训师

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课题圆

备课时间2012年 10月 15日授课时间2012年 10 月 16日

教学目标1.、圆的概念、性质。

2、与圆有关的位置关系（点、直线、圆）

3、正多边形与圆

4、有关圆的计算

重点、难点重点：圆的有关性质（垂径定理与其推论，圆周角与圆心角的关系）；直线与圆，圆与圆的关系。

难点：圆心角与弧、弦、圆周角之间的关系；不共线的三点确定一个圆。

考点及考试要求圆在初中数学体系中处在核心地位，是中考的重头戏，占题量的15％—20％。有选择题、填空题、解答题、作图题（包括阅读理解题、开方探索题）。圆与三角形、方程、函数等知识点相结合可构成内容丰富、题型新颖、构思精巧的综合性试题，成为中考的热点。

1.准确理解与圆有关的概念及性质，能正确辨别一类与圆有关的概念型试题，

2.能灵活运用圆及与圆相关知识的解题。

教学内容

一、圆的概念和性质

1、圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它的一个固定端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定是端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）。到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

同时我们又把

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

2、、垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理包含5各元素：

直径（过圆心）、垂直弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧。

垂直定理

课堂练习

1、如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（）。

A、CE=DE

B、弧BC=弧BD

C、∠BAC=∠BAD

D、AC＞AD

2、⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）。

A、4

B、6

C、7

D、8

3、、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆心角相关定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

由此可见：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。

课堂练习

1、如果两个圆心角相等，那么（）

A、这两个圆心角所对的弦相等

B、这两个圆心角所对的弧相等

C、这两个圆心角所对的弦和弧都分别相等

D、以上说法都不对

2、在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）

A、弧AB=2弧CD

B、弧AB>弧CD

C、AB<2CD

D、不能确定

3、如图，AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径。

求证：弧AB=弧BC=弧CD=弧DA；

AB=BC=CD=DA。

4、如图，AB、CD是⊙O的两条弦。

（1）如果AB=CD，那么_________，_________。

（2）如果弧AB=弧CD，那么_________，_________。

（3）如果∠AOB=∠COD，那么_________，_________。

（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？

4、、圆周角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角

圆周角的相关定理：定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。

圆周角定理的两个推论

推论1：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

课堂练习

1、判断题。

（1）等弧所对的圆周角相等。（）

（2）相等的圆周角所对的弧也相等。（）

（3）90°的角所对的弦是直径。（）

（4）同弦所对的圆周角相等。（）

2、填空题。

⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上一点，∠BAC=30°，则BC=_____cm。

3、如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AB=4，∠C=30°，求⊙O的直径。

知识深化

如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1，⊙O的弦AD交⊙O1于C，则

（1）OC与AD的位置关系是___________；

（2）OC与BD的位置关系是___________；

（3）若OC=2cm，则BD=______cm。

4、已知：如图，AD是△ABC的BC边上的高。AE是△ABC外接圆的直径。

求证：∠1=∠2

二、点、直线、圆与圆的位置关系

（一）、点与圆的位置关系

1、设圆O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：

（1）点P在圆外，d>r

（2）点P在圆上，d=r

（3）点P在圆内，d

2、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

.过一点能作无数个圆，过平面内两点能作无数个圆，且圆心都在线段AB的垂直平分线上经，过三角形三个顶点可以作一个圆，经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个

三角形叫做这个圆的内接三角形。

锐角三角形的外心在它的内部；直角三角形斜边是它外接圆的直径，外心即为斜边的中点；钝角三角形的外心在其外部。

3、圆的内接四边形：如果四边形的四顶点都在同一圆上，这个四边形叫圆的内接四边形，这个圆叫做这个

四边形的外接圆。

4、圆的内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

课堂练习

1、判断题

（1）过三点一定可以作圆。（）

（2）三角形有且只有一个外接圆。（）

（3）任意一个圆有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形。（）

（4）三角形的外心就是这个三角形任意两边垂直平分线的交点。（）

（5）三角形的外心到三边的距离相等。（）

2、AB是⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，试判断△AED的

形状，并且说明理由。

（二）、直线与圆的位置关系

1、直线与圆的三种位置关系：相交（有两个公共点），相切（只有唯一公共点，这条线叫切线），相离（没有公共点）

2、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

4、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

5、圆的切线的判定方法：

（1）直线与圆只有一个交点；

（2）圆心到直线的距离等于半径；

（3）直线过半径的外端，并且垂直于这条半径。

6、切线长定理：（在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点间的线段长，叫这点到圆的切线长）从圆外一

点引圆的两条切线，它们的长相等，圆心和这点的连线平分这两条切线的夹角。

7三角形的内切圆及内心：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，其圆心叫内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。内心是三条角平分线的交点，到三边的距离相等。

8、圆的外切四边形：各边都与圆相切的四边形叫圆的外切四边形

9、圆的外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等；圆外切四边形是菱形，圆外切矩形是正方

形。

10、圆的外切多边形：多边形的各边都与圆相切，这个多边形叫圆的外切多边形。

11、多边形的内切圆：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆。

12、弦切角定理：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。弦切角等于它所夹的弧对的

圆周角，等于它所夹弧的度数的一半。

13、与圆有关的比例线段：

①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等

②相交弦定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

14、切割线定理及其推论：

①切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。

②推论：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。

课堂练习一

1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d：

（1）若d=4.5cm，则直线与圆_______，直线与圆有_____个公共点。

（2）若d=6.5cm，则直线与圆_______，直线与圆有_____个公共点。

（3）若d=8cm，则直线与圆_______，直线与圆有_____个公共点。

2、已知⊙O的半径为5cm，圆心O与直线AB的距离为d，根据条件填写d的范围：

（1）若AB和⊙O相离，则____________；

（2）若AB和⊙O相切，则____________；

（3）若AB和⊙O相交，则____________。

3、AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°。

求证：DC是⊙O的切线。

4、在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D。

求证：AC是⊙D的切线。

练习二

1．已知⊙O的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 .

A.相离

B.相切

C.相交

D.相交或相离

2．已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是.

A.相切

B.相离

C.相交

D. 相离或相交

3．已知圆O的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P和这个圆的位置关系是

A.点在圆上

B. 点在圆内

C. 点在圆外

D.不能确定

4．已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是.

A.相切

B.相离

C.相交

D.不能确定

5. 已知圆的半径为

6.5cm,直线l和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是.

A.相切

B.相离

C.相交

D. 相离或相交

6. 已知⊙O的半径为7cm,PO=14cm,则PO的中点和这个圆的位置关系是 .

A.点在圆上

B. 点在圆内

C. 点在圆外

D.不能确定

课后练习

1、AB是·O的直径，点D在AB的延长线上BD-OB，点C在圆上，∠CAB=30°，求证：DC是·O的切线

2、在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线BC于D，以D为圆心，DB长为半径作·D，求证：AC是·D 的切线。

三、圆和圆的位置关系

知识点：圆与圆的位置关系

1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切.

2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.

4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条.

5．相切两圆的连心线必过切点.

即：

1、外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。d>R+r（d表示两圆的圆心距，R表示大圆的半径，r表示小圆的半径）

2、外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外边时，叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。d=R+r

3、相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交。

4、内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。

d=R-r（R>r）

5、内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点在另一个圆的内部时叫做这两个圆内含。

练习一

1、圆O1和圆O2的半径分别为3厘米和4厘米，若：

（1）O1O2=9厘米（2）O1O2=1厘米

（3）O1O2=5厘米（4）O1O2=7厘米

（5）O1O2=0.5厘米（6）O1和O2重合

那么它们有怎样的位置关系？

2、两圆外切时，圆心距为12cm，内切时，圆心距为4cm，则两圆的半径为______。

3、等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，求∠O1AB的度数。

4、⊙O的半径为5cm，点P是圆外一点，OP=8cm。

求：（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆P的半径是多少？

（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆P的半径是多少？

练习二

1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=10cm，则这两圆的位置关系是 .

A. 外离

B. 外切

C. 相交

D. 内切

2．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的位置关系是.

A.内切

B. 外切

C. 相交

D. 外离

3．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm,若O1O2=1cm,则这两个圆的位置关系是.

A.外切

B.相交

C. 内切

D. 内含

4．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2==7cm,则这两个圆的位置关系是.

A.外离

B. 外切

C.相交

D.内切

课后练习

1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50°

4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 .

A.∠A+∠C=180°

B.∠A+∠C=90°

C.∠A+∠B=180°

D.∠A+∠B=90

5．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm

6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50 7．已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 .

A.100°

B.130°

C.200°

D.50 8. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 .

A.100°

B.130°

C.80°

D.50°

9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. A.3 B.4 C.5 D. 10 10. 已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . A.100° B.130° C.200° D.50°

12．在半径为5cm 的圆中,有一条弦长为6cm,则圆心到此弦的距离为 .

A. 3cm

B. 4 cm

C.5 cm

D.6 cm

13．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为3cm 和4cm ，两圆的一条外公切线长43，则两圆的位置关系是 .

A.外切

B. 内切

C.内含

D. 相交

14．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为2cm 和6cm,若O 1O 2=6cm,则这两个圆的位置关系是 . A.外切 B.相交 C. 内切 D. 内含

15、已知：如图，BC 为·O 的直径，AD ⊥BC ，AB=AF 垂足为D,BF 和AD 交于E 。 求证：AE=BE

?

D

B

C

A

O ?

?

C B

A

O ?

B

O

C

A

D

?

B

O

C

A

D

?

B

O

C

A

D

?

C

B

A O

16、AB是⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，试判断△AED的形状，并且说明理由。

17、AB是·O的直径，AE平分∠BAC交·O于点E，过点E作·O的切线交AC于点D。试判断△AED的形状，。并说明理由。

18、已知：如图，PA、PB是·O的切线，切点分别是A、B，Q为弧AB上一点，过Q点作·O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm.

求：△ PEF的周长

九年级数学上册 圆 几何综合(提升篇)(Word版 含解析)

九年级数学上册 圆 几何综合（提升篇）（Word 版 含解析） 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E 的坐标； （3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由 【答案】（1）y=x 2 +2x-8（2）（-1，- 72）（3）（-8，40），（-15 4，-1316），（-174 ，-25 16 ） 【解析】 分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值； （2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点 G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值， 从而求出点E 的坐标； （3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时 和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标. 详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+-

初三数学圆经典例题

一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，

则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ， 求CD 的长． 例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． A B D C O · E

初三数学圆的经典讲义

圆 目录 圆的定义及相关概念 垂经定理及其推论 圆周角与圆心角 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 圆内接四边形 会用切线, 能证切线 切线长定理 三角形的内切圆 了解弦切角与圆幂定理（选学） 圆与圆的位置关系 圆的有关计算 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法：

求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d＞r；②点在圆上?d=r；③点在圆内? d＜r； 【典型例题】 例1 在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD是直径，? = ∠84 EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 M A B C

九年级上册数学圆章节知识点总结

九年级上册数学圆章节知 识点总结 Prepared on 21 November 2021

与圆相关的基本知识和计算 一、知识梳理： （一）：圆及圆的有关概念 1.圆：到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆； 2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧； 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，它是圆的最长的弦； 4.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧； 5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角； （二）圆的有关性质： 1.对称性：圆是中心对称图形，其对称中心是圆心；圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线； 2.垂径定理及其推论： （1）、垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧； （2）、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；3.圆心角、弧、弦之间的关系 （1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；（2）推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等。 4.圆周角与圆心角的关系 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；

（2）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，0 90的圆周角所对的弦是直径； 5.圆内接四边形对角互补。 （三）点与圆的位置关系 1、点和圆的位置关系 如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系． (1)d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内． 2、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （四）直线与圆的位置关系 1、(1)直线与圆的位置关系有关概念 ①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． ②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点． ③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． (2)用数量关系判断直线与圆的位置关系 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： (1)直线l和⊙O相交d＜r(如图(1)所示)； (2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示)； (3)直线l和⊙O相离d＞r(如图(3)所示)． 2、切线 (1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． (3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． (4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． （五）三角形的外接圆和内切圆 1、三角形的外接圆 （1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．

初三数学圆专题经典 含答案

欢迎来主页下载---精品文档 九年级数学第二十四章圆测试题（A） 一、选择题（每小题3分，共33分） ，最aO上的点的最大距离为·资阳）若⊙O所在平面内一点P到⊙1．（2005 ），则此圆的半径为（小距离为b（a>b）b?baa?．A B．221 ——A图24ba?a?b ba?a?b或或 D ．C．22，则弦的长为3到弦AB的距离OM1A—，⊙O的直径为10，圆心O2．（2005·浙江）如图24—）AB的长是（ ．8 DC．7 B．6 A．4 ）°，则∠BOC的度数为（3．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80120°D．80°C．160°A．40°B．）OBC的度数为（，△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠4．如 图24—A—270°D．°C．50°A．20°B．40 4 —AA——3 图图24—A—242 图24—5 —A—图24 点钉OB在O—3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、5．如图24—A个OE=8个单位，OF=6在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度）单位，则圆的直径为（B．10个单位A．12个单位 15个单位D．个单位C．1 ）等于（°，则∠A 为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=60—6．如图24A—4，AB°D．30．50°C．40°A．80°B、PA 于点E，分别交A、B，CD切⊙O，—A—5P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于7．如图24 ）的周长为（、D，若PA=5，则△PCDPB于点C10 D．7 C．8 ．A．5 B，为防雨需在粮仓顶部铺上，母线长为3m8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ）油毡，则这块油毡的面积是（

初三数学圆的经典讲义

圆 目录 一．圆的定义及相关概念 二．垂经定理及其推论 三．圆周角与圆心角 四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形 六．会用切线, 能证切线 七．切线长定理 八．三角形的内切圆 九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系 十一．圆的有关计算 十二．圆的基础综合测试 十三．圆的终极综合测试

一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：

考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5 点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆内? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A M A B C

人教版九年级数学上册圆

初中数学试卷 金戈铁骑整理制作 圆 章节测试 时间:40分钟 满分:120分 姓名: 得分: 一、选择题（本大题共9小题，共54分） 1. 如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（ ） A. 4π B. 6π C. 12π D. 16π 2. 一个扇形的弧长是10πcm ，面积是60πcm 2，则此扇形的圆心角的度数是（ ） A. 300° B. 150° C. 120° D. 75° 3. 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是（ ） A. ∠ADC B. ∠ABD C. ∠BAC D. ∠BAD 5. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，连接OC ，若∠ACO =30°，则∠BOC 的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°

6.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12， OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（） A. 26π B. 13π C. D. 7.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的 对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（） A. B. 2- C. 2- D. 4- 8.如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°， 则阴影部分的面积是（） A. 4π-4 B. 2π-4 C. 4π D. 2π

(完整)初三数学有关圆的经典例题

初三数学 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示， 过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE = == = 32322 2 ∵，∴∠，OA OAD AD OA == =132 cos cos ∠OAE AE OA = = 22 ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22 求的值AD BC 分 析 ： ()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ? 则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线；

（2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF ∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2 2 122=== 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ? = 又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC = 12 ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA ∴ ，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==21 2 ∴·，故AD BC R AD BC R 2 2 == 例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>? ?

2017-2018九年级数学上册 圆中的基本概念及定理讲义 (新版)新人教版

圆中的基本概念及定理（讲义） 课前预习 在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为 ． 在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径． 一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形．顶点在圆心的角叫做圆心角．

知识点睛 1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个 端点A 所形成的图形叫做．其固定的端点O叫做，线段OA 叫做．以点O 为圆心的圆，记作，读作“圆O”． 2.圆中概念： 弧：，弧包括和； 弦：； 圆周角：； 圆心角：； 弦心距：； 等圆：； 等弧：． 3.圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是； 圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理： *（1）垂径定理： ．推论： ．（2）四组量关系定理：在中，如果 、、、 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． （3）圆周角定理：．推论1：． 推论2：， ．推论3：． 注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 圆中处理问题的思路： ①找圆心，连半径，转移边； ②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧．

C D A R B 精讲精练 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 M ，下列结论不一定成立 的是（ ） ︵ ︵ A ．CM =DM B ． C B =B D C ．∠ACD =∠ADC D ．OM =MB 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，若 AB = 的半径为 ． ，则⊙O 3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 mm ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB =12 m ，桥拱高 CD =4 m ，则拱桥的直径为 ． 5. 如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为 E ，连接 OB ， CB ．已知⊙O 的半径为 2，AB = 2 ，则∠BCD = ． 6 3

初中数学专题讲义-圆(一)

初中数学专题讲义-圆(一) 一、课标下复习指南 1．圆的有关概念 圆、圆心、半径、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧； 三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．2．圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形． 圆具有旋转不变性． 3．圆的确定 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 5．圆心角、弧、弦之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角 圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．7．点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： 点P在圆外?d＞r； 点P在圆上?d＝r； 点P在圆内?d＜r． 8 直线和圆 相离相切相交 的位置 图形 公共点的 0 1 2 个数 公共点 无切点交点 名称 直线名称无切线割线 圆心到直 线的距离 d＞r d＝r d＜r d与半径 r的关系

9．切线的判定 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (会过圆上一点画圆的切线) 10．切线的性质 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 11．切线长和切线长定理 切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 二、例题分析 例1 已知：如图14－1，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ． 图14－1 (1)若AB ＝32，OC ＝1，求CD 的长； (2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长． 分析 圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题． 解 ∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB (1)∵AB ＝32，∴AC ＝BC ＝3． ∵OC ＝1，由勾股定理得OA ＝2． ∴CD ＝OD －OC ＝OA －OC ＝1． (2)∵OD ⊥AB ，OA ＝OB ， ∴∠AOD ＝∠BOD ． ∵∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝60°． ,2 160cos cos R OA AOC OA OC = ?=∠?=οΘ .2 1 21R R R OC OD CD =-=-=∴ 说明 如图14－1，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ， 则AB ＝2R ·sin n °＝2h ·tan n ° ;222h R -= CD ＝R －h ； 的长＝ ?180 πR n 例2 已知：如图14－2，⊙O 中，半径OA ＝4，弦BC 经过半径OA 的中点P ，∠OPC ＝60°，求弦BC 的长．

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案

24.1.1 圆 知识点一圆的定义 o叫作圆圆的定义：第一种：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点 心，线段0A叫作半径。第二种：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长， 也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（ 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD, AB是弦，且CDLAE， C ~|M A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M CDLABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心 圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4圆周角 知识点一圆周角定理

初三数学圆专题经典(含答案)

九年级数学第二十四章圆测试题（A ） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．（2005·资阳）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的 最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ） A ．2b a + B ．2 b a - C ．2 2b a b a -+或 D ．b a b a -+或 2．（2005·浙江）如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120° 4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70° 图24—A

5．如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．26m B ．26m π C ．212m D ．212m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切 于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆 组成的圆环的面积是（ ） A ．16π B ．36π C ．52π D ．81π

人教版九年级数学与圆有关的位置关系讲义(含解析)(2020年最新)

第11讲与圆有关的位置关系 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习与圆有 关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理，属于中考重点内容，也是难点之一，希望同学们能够好好学习，扎实基础。 知识梳理 讲解用时：25分钟 与圆有关的位置关系 （1）点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种，设⊙Ｏ的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： ⊙点P在圆外⊙ｄ＞r ⊙点P在圆上⊙d=r ⊙点P在圆内⊙ｄ＜r 注意： 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆 心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。

（2）直线与圆的位置关系 直线和圆的3种位置关系： ⊙相离：一条直线和圆没有公共点； ⊙相切：一条直线和圆只有一个公共点，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点； ⊙相交：一条直线和圆有两个公共点，这条直线叫圆的割线； 判断直线和圆的位置关系： ⊙直线l和⊙Ｏ相交⊙ｄ＜r ⊙直线l和⊙Ｏ相切⊙d=r ⊙直线l和⊙Ｏ相离⊙ｄ＞r （3）圆与圆的位置关系 ⊙外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部； ⊙外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部； ⊙相交：两个圆有两个公共点； ⊙内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部； ⊙内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部。 判断圆和圆的位置关系： ⊙两圆外离⊙ｄ＞R+r； ⊙两圆外切⊙d=R+r； ⊙两圆相交⊙Ｒ﹣r＜d＜R+r（R≥ｒ）； ⊙两圆内切⊙d=R﹣r（R＞r）； ⊙两圆内含⊙ｄ＜R﹣r（R＞r）．

(完整版)中考数学圆-经典压轴题(带答案)

1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA． （1）求证：BC=CD； （2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD =，求DF的长． 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE； （2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．

3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连接BE ． (1)求证：AC 平分∠DAB ； (2)求证：△PCF 是等腰三角形； (3)若tan ∠ABC= 3 4，BE=72，求线段PC 的长． 4.

5.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE=。 （1）求证：AM·MB=EM·MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值。 6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知 ∠EAT=30°，AE=3，MN=2． （1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．

2019中考数学热点,阿氏圆问题讲义无答案.doc

定义：已知平面上两点A,B,则所有满足 PA/PB=k 且不等于 1 的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，具体的描述：一动点P 到两定点A、B 的距离之比等于定比m：n，则 P 点的轨迹，是以定比m： n 内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆。该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。 解题策略：利用两边成比例且夹角相等构造相似三角形（简称美人鱼相似） “阿氏圆”一般解题步骤 第一步 :连接动点至圆心0(将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接),则连接 0P、 OB; 第二步 :计算出所连接的这两条线段OP、 OB 长度 ; 第三步 :计算这两条线段长度的比=k; 第四步 :在 0B 上取点 C,使得; 第五步 :连接 AC,与圆 0 交点即为点P. 阿氏圆最值问题例题精讲 例 1:问题提出 :如图 1,在 R△ ABC中 ,∠ ACB=90 ,CB=4,AC=6圆. C 半经为 2,P 为圆上一助点,连结 AP,BP求 AP+ BP 的最小值 尝试解决：为了解块这个间题,下面给出一种解题思路、如图2,连接 CP,在 CB 上取点D,使 CD=1 则有 ,又∵∠ PCD=∠BCP,∴△ PCD △ BCP,

∴，∴ PD=,∴ AP+AP+PD 请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+BP的最小值为。 自主探索 :在“间题提出”的条件不变的情况下,AP+BP的最小值为。 拓展延伸 :已知扇形COD中 ,∠ COD=90 ,0C=6,OA=3,0B=5,点 P 是弧 CD 上一点 ,求 2A+PB 的最小值。 强化训练 向内构造类型 1,如图 ,已知 AC=6,BC=8,AB=10,圆 C 的半经为4,点 D 是圆 C 上的动点 ,连接 AD、 BD, 则 AD+ BD 的最小值为。 2.在 Rt△ABC 中 ,∠ ACB=90° AC=4,BC=3,点 D 为△ ABC内一动点 ,且满足 CD=2， 则 AD+ BD 的最小值为。 3、如图 ,在 R△ ABC中 ,∠C=90° ,CA=3,CB=4⊙.C 的半径为2,点 P 是⊙ C 上一 动点 ,则 AP+ PB 的最小值为。 4、如图 ,四边形 ABCD为边长为 4 的正方形 , ⊙ B 的半径为 2,P是⊙ B 上一动点 ,则 PD+ PC的最小值为。 PD+4PC的最小值为。

人教版九年级数学上册圆单元测试题及答案

九年级数学第二十四章圆测试题（A） 时间：45分钟分数：100分 一、选择题（每小题3分，共33分） 1 .若O O所在平面内一点P到O O上的点的最大距离为10, A . 14 B . 6 C . 14 或6 D. 7 或3 2. 如图24—A —1 , O O的直径为10,圆心O到弦AB的距离 A . 4 B . 6 C . 7 I 3. 已知点O ABC的外心，若/ A=80 A . 40 4. 如图 A . 20° B . 80 24—A — 2, B . C. 160° △ ABC内接于O 最小距离为 OM的长为 4则此圆的半径为（ 3,则弦AB 的长是 D . 8 ，则/ BOC的度数为（ D. 120° 若/ A=40 °，则/ OBC的度数为（ O 图24—A — 4 图24—A — 3 小明同学设计了一个测量圆直径的工具， 垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上， A . 12个单位 B . 10个单位 6. 如图 A . 80° 7. 如图 PB于点 A . 5 24—A —4, AB为O O的直径，点 B. 50° C. 40 ° 24—A —5, P 为O O 外一点， 5 .如图24—A —3, 标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起， 读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ D . 15个单位 ，则/ A等于（） 并使它们保持 ） PA 、 C、D，若PA=5，则△ PCD的周长为( B . 7 C . 8 D . 10 C . 1个单位 C 在O O 上，若/ B=60 ° D . 30° PB分别切O O于A、B, ) CD切O O于点E,分别交PA、 &若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为 毡，则这块油毡的面积是（） 4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓顶部铺上油 A . 6m2 C . 12m22 D . 12二 m 9.如图24—A —6,两个同心圆，大圆的弦AB 点P,且 CD=13 , PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ A. 16 n B . 36 n 10 .已知在△ ABC中， 10 A . 3 11.如图 C、D E、 C. 52 n AB=AC=13 , 与小圆相切于点P,大圆的弦CD经过） D. 81 n BC=10，那么△ ABC的内切圆的半径为（ 12 B . 5 24—A —7,两个半径都是4cm的圆外切于点C, 一只蚂蚁由点A开始依A、B、 F、C、G A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这 C. 2 径上不断爬行，直到行走2006 n cm后才停下来， A . D 点 B . E 点 C . F 点D 二、填空题（每小题3分，共30分） 12 .如图24—A —8,在O O中，弦AB等于O 则蚂蚁停的那一个点为（ .G点 O的半径，0C丄AB交O O于点C,则 8段路 ）

初三数学圆专题经典 (含答案)

九年级数学第二十四章圆测试题（A ） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．（2005·资阳）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ） A ． 2b a + B ．2b a - C ．2 2b a b a -+或 D ．b a b a -+或 2．（2005·浙江）如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦 AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120° 4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70° 5．如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．2 6m B ．2 6m π C ．2 12m D ．2 12m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ） A ．16π B ．36π C ．52π D ．81π 10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ．310 B ．5 12 C ．2 D ． 3 图24—A — 5 图24—A — 6 图24—A — 1 图24—A — 2 图24—A — 3 图24—A —4

初三上册数学直升班培优讲义学生版第15讲四点共圆(一)(学生)

四点共圆（一） 模块一辅助圆思想 模块二四点共圆的判定（一）

模块一：辅助圆思想 平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础．

则 OC __________ （2）如图 2-2，在 △ ABC 中， ?ACB 90?， AC= BC ，点 P 为△ABC 外一点（ P 与 C 在直线 AB 异侧），且 ?APB 45?．设点 P 关于 AB 的对称点为 E ，连接 PE 、CE ，试判定线段 AB 与 CE 的数 量关系，并给予证明． 1）如图 1-1，四边形 ABCD 中， AB AC BAC ___________ ． AD ，若 CAD 76 ， BDC 13 ，则 CBD 2）如图 1-2，已知四边形 ABCD ，AB//CD ，AB AC AD a ， BC b ，且 2a b ，求 BD 的值． 1）如图 2-1，平面上有四个点 A 、O 、B 、C ，其中 AOB 120 ， ACB 60 ，AO BO ，AB 2 3 ， D 图 1-1 图 2-1 E

例题3 如图，E，B，A，F 四点共线，点 D 是等边三角形ABC的边AC的中点，点P是直线AB 上异于A，B 的一个动点，且满足CPD 30 ，则( A．点B．点 P 一定在射线P一定在线段BE 上AB 上 例题 4 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD 线于F．求证：E、F、B、K 四点共 AB于K．E为劣弧AC 上的一点，连接AE交DC延长AB 上 AB 上

初三数学圆经典例题

．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的 弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆：

例 2 ．已知，如图， CD 是直径， EOD 84 ，AE 交⊙ O 于 B ，且 AB=OC ，求∠ A 的度数。 例 3 ⊙O 平面内一点 P 和⊙O 上一点的距离最小为 ________ cm 。 例 4 在半径为 5cm 的圆中，弦 AB ∥CD ，AB=6cm ， CD=8cm ，则 AB 和 CD 的距离是多 少？ 例 5 如图 , ⊙ O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE=6cm ， EB=2cm, CEA 30 ， 求 CD 的长． 例 6. 已知：⊙ O 的半径 0A=1，弦 AB 、 AC 的长分别为 2, 3 ，求 BAC 的度数． 锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 , 钝角三角形的外心在 考点 5 点和圆的位置关系 设圆的半径为 r ，点到圆心的距离为 d ， 则点与圆的位置关系有三种。 ① 点在圆外 d > r ；②点在圆上 d=r ；③点在圆内 d