中考 混合运算
考点一：绝对值
（1） ??
?
??<-=>=0,0,00,a a a a a a 即:对任意有理数a ,总有a ≥0（非负性）。
（2）几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。
考点二：二次根式
1.定义：形如()0≥a a 的式子叫做二次根式，叫做二次根式，二次根号下的数叫做被开方数。 ◆ 注意：两个条件（1）有二次根号 （2）被开方数是正数和0 使二次根式有意义的条件：被开方数是非负的
2.最简二次根式：（1）被开方数不含能开的尽方的因数或因式
（2）被开方数的因数是整数，字母因式是整式 这样的二次根式叫做最简二次根式。
◆ 注意：（1）将被开方数中能开的尽方的因数或因式进行开方
（2）化去根号下的分母—带分数化成假分数，小数化成分数 （3）多项式要进行因式分解
3.同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，
4.性质：()00≥≥a a
()()02≥=a a a
()()
???<-≥=002
a a a a a a
5.非负数的三种常见形式： （1）绝对值：0≥a （2）偶次幂：为正整数）n a
n
(,02≥
（3）二次根式：)0(,0≥≥a a 。
若0,02
====+
+c b a c b a 则
6.二次根式的乘除
（1）乘法：()0,0≥≥??b a ab b a
（2）除法：
()0,0>≥?b a b a
b
a 7.二次根式的加减
（1）二次根式加减的实质：先化简（化为最简二次根式），后合并（合并同类二次根式）。 （2）步骤：①一化：将每个二次根式化为最简二次根式 ②二找：找出同类二次根式 ③三合并：合并同类二次根式 8.二次根式的混合运算
先算乘方（或开方），后算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算规
律或乘方公式进行运算的，可适当地改变运算顺序进行简便运算。 9.分母有理化
（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
()0,0>≥=??=b a b ab
b
b b a b a 考点三：幂的运算
0次幂：010
≠=a a ， 负整数指数幂：为正整数）
p a a
a
p
p
,0(1≠=
-
分数的整数次幂
n n n
a
b =???
??a b
考点四：拓展
-1的奇偶次幂：()()()??
?-=-为奇数，
为偶数n n n
1,11 特殊角的三角函数值：???
???
?
???
??
?=?=?=?=?=?=?=?=?=?3
60tan ,145tan ,3330tan 2360sin 30cos 2245cos 45sin 2160cos 30sin
? 实战演练
()0
731121π++--）（
()0
32016812-+--）（
12
2130cos 4231
+?
?
?
??-?+--）（
()31845sin 4340-+-?+-π）
（
()2245sin 1182
1
50-+
?-++π）（ ()
32122636-?
?
?
??+-+-?）（
2
3152387-?
?
?
??-+-?-?）（ ()?
-?
?
?
??-++--30tan 2131181
2006
()
21
30cos 421291-
+-+?- ()()3127
30tan 13273110-+?+-?---
()()1
0312*******tan 3311-?
??
??-----?+-π
()()?
--?
?
?
??---+--60tan 12121122
22
()()
5152032
60sin 413--÷+--?
()()
(
)
21
5
122
43140
1
2
+--
?-+-
-
分式方程与分式化简（求值）
考点一：分式概念
1.定义：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B
A
叫做分式，A 叫做分子，B 叫做分母。
判断式子是否为分式，是从原始形式上看，而不是从化简后的结果看。
2.分式的意义：???≠=00
B B 有意义：无意义：
3.分式值为0：00≠=B A ，.
4.约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
5.最简分式：分子与分母没有公因式的分式。
6.通分：根据分式的性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式。 关键，寻找几个分式的最简公分母。
7.最简公分母：确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作分母，它叫最简公分母。
考点二：分式方程
1.分式方程：含分式，并且分母含未知数的方程。
2.增根：分式方程的增根必须满足两个条件：增根是使最简公分母为0的根，它是分式方程化成整式方程的根。
注：在方程两边都乘以一个含未知数的最简公分母时，扩大了未知数的取值范围，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫方程的根。 3.分式方程的解法：（去分母→解方程→验根）
（1）能化简的先化简
（2）方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程 （3）解整式方程 （4）验根
注：解分式方程的时候，方程两边同乘以最简公分母，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 验根的方法：
??
?→→→??→?是方程的根值不为是增根
值为最简公分母未知数的值代入00 注意：通分、去括号、区别解分式方程
考点三：分式化简（求值）
1.分式通过运算化简后，带入适当的值解决问题。注意代入的值要使分母不为0，分式有意义。
2.方法：灵活运用分式的性质，对分式通分、约分，一般要先分解因式。化简求值的时候，注意整体思想，代入的值使分式有意义。
考点四：因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的变形叫做这个多项式因式分解。 提示：①因式分解的结果只能是几个因式的积，且每个因式都是整式。
②分解因式一定要进行到底，所得的结果中的每一个多项式都不能再分解因式，否则继续分解下去
③因式分解的结果是整式的乘积形式，结果出现相同的因式，要写成幂的形式。 ④可以用整式乘法检验因式分解的结果是否正确。
2.方法：提供因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，就可将公因式提出，写成公因式与另一个因式 的乘积的形式。
)(m c b a m mc mb a ++=++
公式法：平方差公式：()()2
2b a b a b a -?-+
完全平方差公式：
()()2222
2222a b ab a b a b ab a b +-?-++?+
十字相乘法：
()()()q x p x pq x q p x ++=+++2
? 实战演练
一、分式化简（求值）
1.（2016.陕西）化简：91
31652
--÷??? ?
?++
-x x x x
2.（2014.陕西）先化简，后求值:1
1222
+-
-x x
x x 。x=21-
3.（2012.陕西）化简：b a b a b a b b a b
a +-÷
??? ??--+-22
4.（2018.原创）化简2
22
222b a b a b a b a -+-+-
5.（2015.陕西副题）先化简，后求值3,1
2
212-=-+???? ?
?+x x x x 其中
6.先化简，后求值：
13a ,96
2966322-=--+++?+其中a a a a a a
7.先化简，再求代数式1
1
132122
+÷??? ??---+a a a a 的值，其中?+?=45tan 60sin 2a 。
8.
??? ??--÷+-+x x x x x x 112
122
2。再从-2 9.先化简，再求值23,23,1235222222-=+=-÷??? ? ??-+-+y x xy y x x y x y x y x 其中 二、分式方程 1.（2017.陕西）解分式方程：1 32 33=+--+x x x 2.（2015.陕西）解分式方程：133 32=--+-x x x 3.（2015.陕西副题）解分式方程：2222 3-= ++x x x 4.（2013.陕西）解分式方程：12422 =-+-x x x 5.（2013.陕西副题）解分式方程：132 312=----x x x x x x x x x x x 22 2222.622--= -+-+ 16 1312. 72-= -++x x x 中考2010真题——分式方程应用题专题 1、(2010福建宁德课改,10分)我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通道——温（州）福 （州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、（2010广东河池非课改，8分）某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 3、（2010广西南宁课改，10分）南宁市2006年的污水处理量为10万吨/天，2007年的污水处理量为34万吨/天，2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水处理率比2006年每天的污水处理率提高40%（污水处理率=污水处理量 污水排放量）． （1）求南宁市2006年、2007年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数） （2）预计我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加20%，按 照国家要求“2010年省会城市的污水处理率不低于．．．70%” ，那么我市2010年每天污水处理量在2007年每天污水处理量的基础上至少．． 还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？ 4、（2010广西玉林课改，3分）甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、（2010河北课改，2分）炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小 区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、（2010吉林长春课改，5分）张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书 所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 中考数学《分式及分式方程》计算题(附答 案) 中考《分式及分式方程》计算题、答案一．解答题（共30小题） 1．（2011?自贡）解方程：． 2．（2011?孝感）解关于的方程：． 3．（2011?咸宁）解方程． 4．（2011?乌鲁木齐）解方程：=+1． 5．（2011?威海）解方程：． 6．（2011?潼南县）解分式方程：． 7．（2011?台州）解方程：． 8．（2011?随州）解方程：． 9．（2011?陕西）解分式方程：． 10．（2011?綦江县）解方程：． 11．（2011?攀枝花）解方程：． 12．（2011?宁夏）解方程：． 13．（2011?茂名）解分式方程：． 14．（2011?昆明）解方程：． 15．（2011?菏泽）（1）解方程： （2）解不等式组． 16．（2011?大连）解方程：． 17．（2011?常州）①解分式方程； ②解不等式组． 18．（2011?巴中）解方程：． 19．（2011?巴彦淖尔）（1）计算：|﹣2|+（+1）0﹣（）﹣1+tan60°； （2）解分式方程：=+1．20．（2010?遵义）解方程：21．（2010?重庆）解方程：+=1 22．（2010?孝感）解方程：．23．（2010?西宁）解分式方程：24．（2010?恩施州）解方程：25．（2009?乌鲁木齐）解方程：26．（2009?聊城）解方程：+=1 27．（2009?南昌）解方程：28．（2009?南平）解方程：29．（2008?昆明）解方程： 30．（2007?孝感）解分式方程：． 答案与评分标准 一．解答题（共30小题） 1．（2011?自贡）解方程：． 考点：解分式方程。 专题：计算题。 分析：方程两边都乘以最简公分母y（y﹣1），得到关于y的一元一方程，然后求出方程的解，再把y的值代入最简公分母进行检验． 解答：解：方程两边都乘以y（y﹣1），得 2y2+y（y﹣1）=（y﹣1）（3y﹣1）， 2y2+y2﹣y=3y2﹣4y+1， 3y=1， 解得y=， 检验：当y=时，y（y﹣1）=×（﹣1）=﹣≠0， ∴y=是原方程的解， ∴原方程的解为y=． 点评：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 2．（2011?孝感）解关于的方程：． 考点：解分式方程。 专题：计算题。 中考《分式及分式方程》计算题、答案一．解答题（共30小题） 1．（2011?自贡）解方程：． 2．（2011?孝感）解关于的方程：． 3．（2011?咸宁）解方程． 4．（2011?乌鲁木齐）解方程：=+1． 5．（2011?威海）解方程：． 6．（2011?潼南县）解分式方程：． 7．（2011?台州）解方程：． 8．（2011?随州）解方程：． 9．（2011?陕西）解分式方程：． 10．（2011?綦江县）解方程：． 11．（2011?攀枝花）解方程：． 12．（2011?宁夏）解方程：． 13．（2011?茂名）解分式方程：． 14．（2011?昆明）解方程：． （2）解不等式组． 16．（2011?大连）解方程：． 17．（2011?常州）①解分式方程； ②解不等式组． 18．（2011?巴中）解方程：． 19．（2011?巴彦淖尔）（1）计算：|﹣2|+（+1）0﹣（）﹣1+tan60°；（2）解分式方程：=+1． 20．（2010?遵义）解方程： 21．（2010?重庆）解方程：+=1 22．（2010?孝感）解方程：． 23．（2010?西宁）解分式方程： 24．（2010?恩施州）解方程： 25．（2009?乌鲁木齐）解方程： 26．（2009?聊城）解方程：+=1 27．（2009?南昌）解方程： 29．（2008?昆明）解方程： 30．（2007?孝感）解分式方程：． 答案与评分标准 一．解答题（共30小题） 1．（2011?自贡）解方程：． 考点：解分式方程。 专题：计算题。 分析：方程两边都乘以最简公分母y（y﹣1），得到关于y的一元一方程，然后求出方程的解，再把y的值代入最简公分母进行检验． 解答：解：方程两边都乘以y（y﹣1），得 2y2+y（y﹣1）=（y﹣1）（3y﹣1）， 2y2+y2﹣y=3y2﹣4y+1， 3y=1， 解得y=， 检验：当y=时，y（y﹣1）=×（﹣1）=﹣≠0， ∴y=是原方程的解， ∴原方程的解为y=． 点评：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 2．（2011?孝感）解关于的方程：． 考点：解分式方程。 专题：计算题。 分析：观察可得最简公分母是（x+3）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答：解：方程的两边同乘（x+3）（x﹣1），得 x（x﹣1）=（x+3）（x﹣1）+2（x+3）， 整理，得5x+3=0， 解得x=﹣． 检验：把x=﹣代入（x+3）（x﹣1）≠0． ∴原方程的解为：x=﹣． 一．解答题 1．计算： （1）（2）（﹣2m2n﹣2）2?（3m﹣1n3）﹣3 2．计算： 3．化简：． 4．（2007?双柏县）化简： 5．（2006?襄阳）计算：． 6．（2005?江西）化简?（x2﹣9） 7．（2007?北京）计算：． 8．（2005?宜昌）计算：+． 9．（2001?吉林）计算：（1）；（2）．10．（2001?常州）． 11．计算： 12．计算：﹣a﹣1． 13．计算： （1）（2） 14．计算：a﹣2+ 15．计算：． 16．化简：，并指出x的取值范围． 17．已知ab=1，试求分式：的值． 18．计算：﹣ 19．（2010?新疆）计算： 20．（2009?太原）化简： 21．（2009?上海）计算：． 22．（2009?眉山）化简： 23．（2009?江苏）计算：（1）；（2）． 24．（2009?东营）化简： 25．（2008?白银）化简：． 26．（2007?南昌）化简： 27．（2007?巴中）计算： 28．（2006?宜昌）计算：（）÷ ． 29．（2006?十堰）化简：． 30．（2006?南充）计算：﹣x ﹣2） 31．（2015?眉山）计算： 1 121222-+÷+--x x x x x x 32．（2015?宜昌）化简：12 1 122 2++-+-x x x x 33．（2015?厦门）计算：12 1++++x x x x 34．（2015?柳州）计算：a a a 1 1+- 35．（2015?佛山）计算：4 8 222---x x 36．（2015?福州）化简：2 22222)(b a ab b a b a +-++ 37．（2015?宜宾）化简：1 )1111(222--÷---a a a a a 38．（2015?青岛）化简：n n n n n 1 )12(2-÷++ 39．（2015?重庆）化简：1 22 )1112(2 ++-÷+-+-x x x x x x 40．（2015?泸州）化简：)11 1(1 22 2+-÷++m m m m 41．（2015?扬州）化简：)11 11(12---+÷-a a a a a 42．（2015?滨州）化简：)3 1 31(96262 +--÷+--m m m m m 43．（2015?广西）化简：2 1 )12(22-÷-+a a a a 44．（2015?连云港）化简：m m m m +-÷++224 )111( 45．（2015?成都）化简：2 1 )412(2+-÷ -++a a a a a 46．（2015?重庆）计算：y y y y y y ++-÷+--2 29 6)181( 47．（2015?南京）计算：b a a a b a b a +÷---)12(222 中考数学分式与分式方程 真题汇编 (名师精选全国真题实战训练+答案，值得下载练习) 一、选择题 1. （2018?江西?3分）计算的结果为 A. B. C. D. 【解析】本题考察代数式的乘法运算，容易，注意,约分后值为. 【答案】A★ 2．（2018?山东淄博?4分）化简的结果为（） A． B．a﹣1 C．a D．1 【考点】6B：分式的加减法． 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式=+ = =a﹣1 故选：B． 【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 3．（2018?山东淄博?4分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山 绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（） A．B． C．D． 【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程． 【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程． 【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为 万平方米， 依题意得：﹣=30，即． 故选：C． 【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 4. （2018?四川成都?3分）分式方程的解是（） A. x=1 B. C. D. 【答案】A 【考点】解分式方程 【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x（x-2）得：（x+1）（x-2）+x=x（x-2） x2-x-2+x=x2-2x 解之：x=1 经检验：x=1是原方程的根。 故答案为：A 【分析】方程两边同时乘以x（x-2），将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后检验即可求解。 2010年中考数学试题分类汇编 分式 5. （2010年浙江省东阳县）使分式 1 2-x x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A.21≥x B.21≤x C. 21>x D. 21≠ x 【关键词】分式有意义 【答案】D 16．（2）（2010年山东省青岛市）化简： 221 42a a a + --． 【关键词】分式计算 【答案】（2）解：原式 = ()()21 222 a a a a -+-- ()()()() 22 2222a a a a a a += -+-+- () ()() ()() 2222222a a a a a a a -+=+--= +- 1 2 a =+. 1、（2010年宁波市）先化简，再求值： 21 4 22 ++--a a a ，其中3=a 。 【关键词】分式运算 【答案】 解：原式2 1 )2)(2(2++-+-=a a a a 2 22 121+= ++ +=a a a 当2=a 时，原式5 2 232=+= 2、（2010浙江省喜嘉兴市）若分式 36 21 x x -+的值为0，则（ ） A ．x ＝－2 B ．x ＝－12 C ．x ＝1 2 D ．x ＝2 【关键词】分式分子、分母特点 【答案】D 17．（2010山东德州）先化简，再求值： 1 1 12221222-++++÷--x x x x x x ，其中12+=x ． 【关键词】分式、分母有理化 【答案】解：原式= 1 1 )1()1(2)1)(1(22 -+++÷-+-x x x x x x =1 1 )1(2)1()1)(1(22-+ ++?-+-x x x x x x = 1 1 )1(22-+ --x x x = ) 1(2-x x ． 当12+=x 时，原式= 4 2 2+． （2010年广东省广州市）若分式 5 1 -x 有意义，则实数x 的取值范围是_______． 【关键词】分式的意义 【答案】5≠x 2．(2010年重庆)先化简，再求值：x x x x x 24 )44(222+-÷-+，其中1-=x ． 【答案】解：原式=)2() 2)(2(442+-+÷ -+x x x x x x x =) 2)(2() 2()2(2-++? -x x x x x x =2-x ． 当1-=x 时，原式=-1-2=-3. 21．(2010重庆市)先化简，再求值：（x 2＋4x －4）÷ x 2－4 x 2＋2x ，其中x ＝－1 解：原式=4244222-+?+-x x x x x x =) 2)(2() 2()2(2-++?-x x x x x x =2-x 当x ＝－1时，原式=2-x =-1. 19.（2010江苏泰州，19(2)，8分）计算： (2))21 2(112a a a a a a +-+÷-- ． 分式方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 成都）分式方程=1的解是（）1．（2018? A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣3 【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求 解． 解：=1【解答】， 去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得： （x+1）（x﹣2）+x=x（x﹣2）， 22﹣2x+x=x，﹣x﹣2x x=1， 经检验，x=1是原分式方程的解， 故选：A． 的分式方程解为x=4，则常数a的值为（2．（2018?株洲）关于x） A．a=1 B．a=2 C．a=4 D．a=10 【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a=﹣ 1． 代入方程x=4，得【解答】解：把 ，=0+ 解得a=10． 故选：D． 3．（2018?衡阳）衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为（） ﹣B=10A．．﹣=10 =10．=10 ﹣．DC+ 【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数﹣改良后种植的亩数=10亩，根据等量关系列出方程即可． 【解答】解：设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克， ﹣=10．根据题意列方程为： ．故选：A 第14页（共页） 的不等式组有且只有四个整数解，且使关于ya使关于x的4．（2018?重庆）若数 =2的解为非负数，则符合条件的所有整数a方程的和为（） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2 【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之 和． 解：【解答】， 不等式组整理得：， ＜01，由不等式组有且只有四个整数解，得到≤ 解得：﹣2＜a≤2，即整数a=﹣1，0，1，2， 分式的运算 例1、下列分式a bc 1215，a b b a --2 )(3，) (222b a b a ++，b a b a +-22中最简分式的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 例2.计算：3234)1(x y y x ? a a a a 2122)2(2+?-+ x y xy 2 2 63)3(÷ 41441)4(222--÷+--a a a a a 例3、 若4 32z y x ==,求222z y x zx yz xy ++++的值. 例4、计算 （1）3 3 22）（c b a - （2） 43222)()()(x y x y y x -÷-?- （3）2 33 2 )3()2(c b a b c a - ÷- （4）232222)()()(x y xy xy x y y x -?+÷- 例5计算：1 814121111842+-+-+-+--x x x x x 练习：1.计算：8 87 4432284211x a x x a x x a x x a x a --+-+-+-- 例6.计算：20 18119171531421311?+?++?+?+?Λ 练习1、()()()()()() ()() 1011001 431 321 211 +++ ++++ +++ ++x x x x x x x x Λ 例7、已知 2 1)2)(1(12++-=+-+x B x A x x x ,求A. B 的值。 计算下列各题: （1）2 222223223x y y x y x y x y x y x ----+--+ （2）11 11322+-+--+a a a a . 2009年中考试题专题之5-分式方程试题及答案 一、选择 1、（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是……………【 】 A ．8 B.7 C ．6 D ．5 2、(2009年上海市)3．用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1 x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．2 30y y +-= B ．2 310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2 310y y --= 3、（2009襄樊市）分式方程 1 31 x x x x += --的解为（ ） A ．1 B ．-1 C ．-2 D ．-3 4、（2009柳州）5．分式方程 3 2 21+= x x 的解是（ ） A ．0=x B ．1=x C ．2=x D ．3=x 5、（2009年孝感）关于x 的方程211 x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是 A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a ≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a ≠－2 6、 （2009泰安）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提 高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为 （A ） 18%)201(400160=++x x （B ）18%)201(160 400160=+-+x x （C ） 18%20160 400160=-+x x （D ）18%)201(160400400=+-+x x 7、（2009年嘉兴市）解方程 x x -= -22 482 的结果是（ ） A ．2-=x B ．2=x C ．4=x D ．无解 8、（2009年漳州）分式方程21 1x x =+的解是（ ） A ．1 B ．1- C ．13 D ．1 3 - 9、（09湖南怀化）分式方程 21 31 =-x 的解是（ ） A ．21=x B ．2=x C ．31-=x D ． 3 1 =x 解分式方程试题(中考经典计算) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 [键入文字] 一．解答题（共30小题） 1．（2011?自贡）解方程：． 2．（2011?孝感）解关于的方程：．3．（2011?咸宁）解方程．4．（2011?乌鲁木齐）解方程：=+1．5．（2011?威海）解方程：．6．（2011?潼南县）解分式方程：．7．（2011?台州）解方程：． 8．（2011?随州）解方程：． 9．（2011?陕西）解分式方程：．10．（2011?綦江县）解方程：． 11．（2011?攀枝花）解方程：．12．（2011?宁夏）解方程：．13．（2011?茂名）解分式方程：． 14．（2011?昆明）解方程：． 15．（2011?菏泽）（1）解方程： （2）解不等式组． 16．（2011?大连）解方程：． 17．（2011?常州）①解分式方程； ②解不等式组． 18．（2011?巴中）解方程：． 19．（2011?巴彦淖尔）（1）计算：|﹣2|+（+1）0﹣（）﹣1+tan60°；（2）解分式方程：=+1． 20．（2010?遵义）解方程： 21．（2010?重庆）解方程：+=1 22．（2010?孝感）解方程：． 23．（2010?西宁）解分式方程： 24．（2010?恩施州）解方程： 25．（2009?乌鲁木齐）解方程： 26．（2009?聊城）解方程：+=1 27．（2009?南昌）解方程： 28．（2009?南平）解方程： 29．（2008?昆明）解方程： 30．（2007?孝感）解分式方程：． 分式及分式方程2010—2018济南市中考题汇总 学号： 姓名： 【2018年】 16．若代数式x －2x －4 的值是2，则x ＝_________； 【2017年】 6.化简a 2＋ab a －b ÷ab a －b 的结果是( ) A ．a 2 B ．a 2 a － b C ．a －b b D ．a ＋b b 24．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？ 【2016年】 7．化简 22111 x x ÷--的结果是（ ） A ．21x + B ．2x C ．21 x - D ．2(x +1) 19．若代数式6x ＋2与4x 的值相等，则x ＝_______． 【2015年】 6．若代数式45x -与 212x -的值相等，则x 的值是（ ） A ．1 B ．32 C ．23 D ．2 10．化简2933 m m m ---的结果是（ ） A ．m +3 B ．m -3 C ．33m m -+ D ．33m m +- 24．济南与北京两地相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度. 【2014年】 7．化简 211m m m m -÷- 的结果是( ) A ．m B ．m 1 C ．1-m D ．1 1-m 19．若代数式21-x 和123+x 的值相等，则=x ． 【2013年】 8.计算 2633 x x x +++，其结果是( ) A. 2 B. 3 C. x +2 D. 2x +6 22.解方程：321 x x =- 【2012年】 23.化简：2121224 a a a a a --+÷--= ． 26.冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果，其中油桃比樱桃多摘了5斤，若采摘油桃和樱桃分别用了80元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？ 【2011年】 8．化简 m 2 m －n － n 2 m －n 的结果是( ) A ．m ＋n B ．m －n C ．n －m D ．－m －n 23.解方程： 2 x ＋3 ＝ 1 x ． 【2010年】 15．解方程23123x x =-+的结果是 ． 2. 分式方程 一、选择题 1. (2017·河南)解分式方程 1 x－1 －2＝ 3 1－x ，去分母，得 () A. 1－2(x－1)＝－3 B. 1－2(x－1)＝3 C. 1－2x－2＝－3 D. 1－2x＋2＝3 2. (2017·哈尔滨)方程 2 x＋3 ＝ 1 x－1 的解为() A. x＝3 B. x＝4 C. x＝5 D. x＝－5 3. (2017·黔东南州)分式方程 3 x（x＋1） ＝1－ 3 x＋1 的根 为() A. －1或3 B. －1 C. 3 D. 1或－3 4. (2017·岳阳)解分式方程 2 x－1 － 2x x－1 ＝1，可知方程的 解为() A. x＝1 B. x＝3 C. x＝1 2 D. 无解 5. (2017·滨州)分式方程 x x－1 －1＝ 3 （x－1）（x＋2） 的 解为() A. x＝1 B. x＝－1 C. 无解 D. x＝－2 6. (2017·成都)已知x＝3是分式方程 kx x－1 － 2k－1 x＝2的 解，那么实数k的值为() A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 7. (2017·毕节)已知关于x的分式方程 7x x－1 ＋5＝ 2m－1 x－1 有增根，则m的值为() A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 8. (2017·聊城)如果解关于x的分式方程 m x－2 － 2x 2－x ＝1 时出现增根，那么m的值为() A. －2 B. 2 C. 4 D. －4 9. (2017·七台河)已知关于x的分式方程3x－a x－3 ＝ 1 3的解 是非负数，那么a的取值范围是() A. a>1 B. a≥1 C. a≥1且a≠9 D. a≤1 10. (导学号11744016)(2017·重庆)若实数a使关于x的 分式方程 2 x－1 ＋ a 1－x ＝4的解为正数，且使关于y的不等式 组 ? ? ?y＋2 3－ y 2>1， 2（y－a）≤0 的解集为y<－2，则符合条件的所有整数 a的和为() A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、填空题 11. (2017·淮安)方程 2 x－1 ＝1的解是________． 12. (2017·宁波)分式方程 2x＋1 3－x ＝ 3 2的解是________． 13. (2017·常德)分式方程 2 x＋1＝ 4 x的解为________． 14. (2017·襄阳)分式方程 2 x－3 ＝ 3 x的解是________． 15. (2017·株洲)分式方程 4 x－ 1 x＋2 ＝0的解为________． 16. (2017·南京)方程 2 x＋2 － 1 x＝0的解是________． 17. (2017·威海)方程 3－x x－4 ＋ 1 4－x ＝1的解是________． 18. (2017·黄石)分式方程 x x－1 ＝ 3 2（x－1） －2的解为 ________． 19. (2017·绵阳)分式方程 2 x－1 － 1 x＋1 ＝ 1 1－x 的解是 ________． 20. (2017·六盘水)方程 2 x2－1 － 1 x－1 ＝1的解为x＝ ________. 21. (2017·泰安)已知分式 7 x－2 与 x 2－x 的和为4，则x的 值为________． 22. (2017·宿迁)若关于x的分式方程 m x－2 ＝ 1－x 2－x －3有 增根，则实数m的值是________． 【关键字】计划 第7讲分式方程 知识点1 分式方程的解 知识点2 分式方程的解法 知识点3 分式方程的增根 知识点4 分式方程的实际应用 知识点1 分式方程的解 （2018株洲）5、关于的分式方程解为，则常数的值为 A、B、C、D、 （2018张家界）2．若关于的分式方程的解为，则的值为( ) 知识点2 分式方程的解法 （2018德州）8.分式方程的解为（ D ） A．B． C. D．无解 （2018龙东） （2018荆州）5.解分式方程时，去分母可得（） A. B. C. D. （2018成都）8.分式方程的解是（A ） A．x=1 B． C. D． （2018兰州） （2018哈尔滨） （2018海南） （2018黄石）13、分式方程的解为________________ （2018铜仁） （2018甘肃） （2018湘潭）11．（3分）分式方程=1的解为x=2． （2018无锡） （2018常德）10.分式方程的解为． （2018眉山）15．已知关于x的分式方程－2=有一个正数解，则k的取值范围为. （2018广州）13.方程的解是__x= 2__. 知识点3 分式方程的增根 （2018潍坊）14．当时,解分式方程会出现增根． （2018达州）13．若关于的分式方程无解，则的值为. （2018齐齐哈尔） 知识点4 分式方程的实际应用 （2018临沂）10.新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年1-5月份.每辆车的销售价格比去年 降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年整年的少20%。今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元根据题意.列方程正确的是（） A． () 5000120% 5000 1 x x - = + B． () 50001+20% 5000 1 x x = + C. () 5000120% 5000 -1 x x - = D． () 50001+20% 5000 -1 x x = （2018黔东南、黔南、黔西南）8.施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务.设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（） A．10001000 2 30 x x -= + B． 10001000 2 30 x x -= + C．10001000 2 30 x x -= - D． 10001000 2 30 x x -= - （2018淄博）10.“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来， 中考《分式及分式方程》计算题、答案 一．解答题（共30小题） 1．（2011?自贡）解方程：． 2．（2011?孝感）解关于的方程：． 3．（2011?咸宁）解方程． 4．（2011?乌鲁木齐）解方程：=+1． 5．（2011?威海）解方程：． 6．（2011?潼南县）解分式方程：． 7．（2011?台州）解方程：． 8．（2011?随州）解方程：． 9．（2011?陕西）解分式方程：． 10．（2011?綦江县）解方程：． 11．（2011?攀枝花）解方程：． 12．（2011?宁夏）解方程：． 13．（2011?茂名）解分式方程：． 14．（2011?昆明）解方程：． 15．（2011?菏泽）（1）解方程： （2）解不等式组． 16．（2011?大连）解方程：． （2011?常州）①解分式方程；．17． ②解不等式组． 18．（2011?巴中）解方程：． 0﹣1﹣（）+tan60°；|﹣2|+（+1））计算：19．（2011?巴彦淖尔）（1（2）解分式方程：=+1． 20．（2010?遵义）解方程： 21．（2010?重庆）解方程：+=1 22．（2010?孝感）解方程：． 23．（2010?西宁）解分式方程： 24．（2010?恩施州）解方程： 25．（2009?乌鲁木齐）解方程： 26．（2009?聊城）解方程：+=1 27．（2009?南昌）解方程： 28．（2009?南平）解方程： 29．（2008?昆明）解方程： 30．（2007?孝感）解分式方程：． 答案与评分标准小题）一．解答题（共30．（2011?自贡）解方程：．1：解分式方程。考点：计算题。专题． 分析：方程两边都乘以最简公分母y（y﹣1），得到关于y的一元一方程，然后求出方程的解，再把y的值代入最简公分母进行检验． 解答：解：方程两边都乘以y（y﹣1），得 2，﹣1）﹣1）（3y（2y+y（y﹣1）=y222﹣+y﹣y=3y4y+1，2y3y=1，解得y=，1）=﹣≠0，y 检验：当y=时，y（﹣1）=×（﹣∴y=是原方程的解，∴原方程的解为y=．）2把分式方程转化为整式方程求解．（点评：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，解分式方程一定注意要验根． （2011?孝感）解关于的方程：．．2考点：解分式方程。专题：计算题。，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．1x+3）（x﹣）分析：观察可得最简公分母是（，得）（x﹣1）解答：解：方程的两边同乘（x+3（，x+3））=（x+3（x﹣1）+2）（xx﹣1，整理，得5x+3=0x=﹣．解得）≠0．）﹣代入（x+3（x﹣1检验：把x=x=∴原方程的解为：﹣．）2把分式方程转化为整式方程求解．（解分式方程的基本思想是“转化思想”，本题考查了解分式方程．点评：（1）解分式方程一定注意要验根． （2011?咸宁）解方程．3．考点：解分式方程。专题：方程思想。，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．）2﹣x（）x+1观察可得最简公分母是（分析： 解答：解：两边同时乘以（x+1）（x﹣2）， 中考数学历年各地市真题 分式与分式方程 1． （凉山州）已知：244x x -+与 |1y -| 互为相反数，则式子()x y x y y x ??-÷+ ?? ?的值等于 。 2． （凉山州）若30a b +=，则22222(1)24b a ab b a b a b ++-÷=+- 。 16.（青岛市）（2）化简：22142a a a +-- 19．（南通市）（2）2293(1)69a a a a -÷-++． 11．（青岛市）某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m 的污水排放管道．铺设120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设m x 管道，那么根据题意，可得方程 ． 6．（泰州市）下列命题：①正多边形都是轴对称图形；②通过对足球迷健康状况的调查可以了解我国公民的健康状况；③方程1 312112-=+--x x x 的解是0=x ；④如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等地。其中真命题的个数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 19．（泰州市）(2))212(112a a a a a a +-+÷-- （2）（盐城市）(12-a )÷(1a 1-) 14．（连云港市）化简：(a －2)〃a 2－4a 2－4a ＋4 ＝___________． 17.（常德市）化简：22 1y x y x y x ? ?-÷ ?+-?? 9．（淮安市）当x= 时,分式 13x -与无意义． 11．（淮安市）化简：()()2222x x x +--= ． 7．（中山市）化简：11 222---+-y x y xy x =__________ 分式方程及其应用 八（下）第八章 8.5 ［课标要求］： 会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个） ［要点梳理］ 1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做分式方程. 2、增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为＿＿＿＿的根），因此解分式方程要验根（其方法是代入最简公分母中，使分母为＿＿＿＿＿＿的是增根，否则不是）. 3、解分式方程的基本思想：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4、解分式方程的常用解法有： ①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ［基础训练］ 1、指出下列方程中，分式方程有（ ） ①531212=-x x ；②=-322x x 5；③0522=-x x ；④03522 5=+-x x ； ⑤ 23 1=-y x ； A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、分式方程3 1 329122+=---x x x 的解为（ ） A 、3 B 、－3 C 、无解 D 、3或－3 3、对于非零的两个实数a 、b ，规定a ＊b ＝a b 1 1-，若2＊（2x －1）＝1，则x 的值为 （ ） A 、65 B 、45 C 、23 D 、－6 1 4、若关于x 的分式方程 x x x m 2 132=--+无解，则m 的值为（ ） A 、－1.5 B 、1 C 、－1.5或2 D 、－0.5或－1.5 5、某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m 的污水排放管道．铺设120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设m x 管道，那么根据题意，可得方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ［问题研讨］ 例1、解分式方程： （1） 2631132-=--x x （2）x x x x 24 1232+=++ （3） 11 1 122=++-x x 例2、若关于x 的方程2222 =-++-x m x x 有增根，则m 的值是＿＿＿＿ 变式1：若分式方程2＋ x x kx -=--2121有增根，则k ＝＿＿＿＿ 变式2：如果分式方程 1 1 +=+x m x x 无解，则m 的值为（ ） A 、1 B 、0 C 、－1 D 、－2 例3、关于x 的方程11 2=-+x a x 的解为正数，求a 的取值范围. 例4、已知021=++-b a ，求方程 1=+bx x a 的解. 例5、一项工程，甲、乙两个公司合作，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲、乙两个公司单独完成此项工程，乙公司所用的时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元. （1）甲、乙两个公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，则哪个公司的施工费较少？ 专题六点击分式方程应用题 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些。解题时要注意检验，一是要检验所求的解是否是原方程的解，二是要检验所求的解是否符合题意。解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，正确列出方程，再进行求解。另外，还要注意从多角度去思考、分析。注意检验和解释结果的合理性。 例1、某公司投资一个工程项目，现在甲、乙两个工程队均有能力承包这个项目。公司调查发现：乙队单独完成该工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为550元。根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队？应付工作费用多少元？ 分析：本题属于工程问题，可依据“工作量=工作效率×工作时间”这个关系式，结合题意找出解题的切入点。 解：设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需要2x天。根据题意得 ，解得x=30。 经检验，x=30是原方程的解，且x=30，2x=60都符合题意。 ∴若选择甲队，应付（元）；若选择乙队，应付 （元） ∴公司应选择甲工程队，应付工作费用为30000元。 说明：本题是一个探究性的综合题。考查分析、比较、决策能力，充分体现了新课标的理念。本题涉及数据较多，要注意将问题分解为两个子问题，一是工程问题，二是费用问题。 例2、我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通道温（州）福（州）铁路全长298km，计划将于2009年6月通车。通车后，预计从福州直达温州的火车的行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2h。已知福州至温州的高速公路长331km，火车的设计时速是现在高速公路上汽车行驶时速的2倍。求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01h）。 分析：根据实际问题可得相等关系：火车时速=2×高速公路上汽车行驶时速。列方程解决。 解：设通车后火车从福州直达温州所用的时间为xh。 依题意，得。解这个方程，得。 经检验，是原方程的解。。 ∴通车后火车从福州直达温州所用的时间约为1.64h。 说明：本题也可以设火车时速是xkm/h，则汽车时速为km／h。列方程得 中考数学历年各地市真题 分式(分式方程,分式应用题) （2010哈尔滨）1。 函数y ＝ 2 x 1x ++的自变量x 的取值范围是 ．x ≠-2 （2010哈尔滨）2。 方程x 3x x 5-+＝0的解是 ．-2 （2010哈尔滨）３．先化简，再求值21a 3a 1a +÷++其中a ＝2sin60°－3．3323a 2=+ （2010珠海）4为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍. 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？ 解：设甲工厂每天加工x 件产品，则乙工厂每天加工1.5x 件产品，依题意得 105.112001200=-x x 解得:x=40 经检验：x=40是原方程的根，所以1.5x=60 答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品. （2010红河自治州）16. （本小题满分7分）先化简再求值：.2 5624322+-+-÷+-a a a a a 选一个使原代数式有意义的数带入求值. 解：原式=.2 5)3(2)2)(2(32+-+-+÷+-a a a a a a = .25)2)(2()3(232+--++?+-a a a a a a = 2 522+-+a a =23+-a 当即可）、的取值不唯一，只要时，（321-≠=a a a 原式=12 13-=+- （2010年镇江市）18．计算化简中考真题分式方程应用题专题
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