福建省莆田市第六中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（B
卷）（含解析）
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）． 1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. y x = B. 1y x
=
C. 3y x =-
D. 1()2
x
y =
【答案】C 【解析】
试题分析：A 中函数不是减函数；B 中函数在定义域内不是减函数；C 中函数既是奇函数又是减函数；D 中函数不是奇函数 考点：函数奇偶性单调性
2.已知集合2{|log ,1}A y y x x ==≥，集合1{|,1}3x
B y y x ??==≤ ???
，则A B =（ ） A. 1{|}3
y y >
B. 1{|}3
y y ≥
C. {|0}y y >
D.
{|0}y y ≥
【答案】B 【解析】 【分析】
分别计算得到{|0}A y y =≥，1{|}3
B y y =≥，再计算A
B 得到答案.
【详解】2{|log ,1}{|0}A y y x x y y ==≥=≥；11{|,1}{|}33x
B y y x y y ??==≤=≥ ??? 1
{|}3
A B y y =≥
故选：B
【点睛】本题考查了交集的计算，属于简单题. 3.函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是 A. （-2,-1）
B. （-1,0）
C. （0,1）
D. （1,2）
【答案】C 【解析】 试
题
分
析
：
()()()()2102220,1120,0020,1120f e f e f e f e ---=--<-=--<=+-=+-
()()100f f ∴<，所以零点在区间（0，1）上
考点：零点存性定理
4.下列函数中，与函数y x =为相同函数的是（ ）
A. 2
x y x =
B. y =
C. ln x
y e =
D.
2log 2x y =
【答案】C 【解析】 【分析】
分别判断函数的定义域和表达式，与函数y x =作比较判断得到答案. 【详解】y x =定义域为R
A. 2
x y x
=定义域为()(),00,-∞?+∞，不相同；B. y x == ，表达式不相同；
C. ln x
y e x ==，定义域为R ，是相同函数； D. 2log 2x
y =定义域为()0,∞+，不相同；
故选：C
【点睛】本题考查了相同函数的判断，确定定义域和表达式是解题的关键.
5.已知函数2
()3f x ax bx a b =+++是定义域为[1,2]a a -的偶函数，则+a b 的值为（ ） A. 0 B.
13
C. 1
D. -1
【答案】B 【解析】
函数()2
3f x ax bx a b =+++是定义域为[]
1,2a a -的偶函数，故1120,.3
a a a -+==
函数是偶函数，故奇次项系数为0.即0b =，此时1
3
a b +=． 故答案为B ．
6.三个数20.6a =，2log 0.6b =，0.62c =之间的大小关系是（ ） A. a c b << B. b a c << C. a b c << D. b c a <<
【答案】B 【解析】
试题分析：2log 10b <=，0
01,21a c <=，所以b a c <<. 考点：比较大小．
7.函数()1x
xa y a x
=>的图形大致形状是（ ） A. B. C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
按x 的正负分类讨论，结合指数函数图象确定结论．
【详解】由题意,0
,0x x a x y a x ?>=?-
，∵1a >，∴只有C 符合．
故选：C ．
【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，考查指数函数图象，这类问题可先化简函数式，然后结合基本初等函数的图象与性质确定结论．
8.已知函数(2)1,(1)
()log ,(1)
a a x x f x x x --≤?=?
>?, 若()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值
范围为（ ） A. (1,2) B. (2,3)
C. (2,3]
D. (2,)+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
根据()f x 在R 上递增列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.
【详解】由于()f x 在R 上递增，所以()201211log 1
a a a a ?->?
>??-?-≤?
，解得23a <≤.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查分段函数的单调性，考查一次函数、对数函数的单调性，属于基础题.
9.设25a b m ==，且11
2a b
+=，则m = ( )
B. 10
C. 20
D. 100
【答案】A 【解析】 【分析】
将指数式化为对数值，然后利用对数运算公式化简11
2a b
+=，由此求得m 的值. 【
详
解
】
由
25a b m
==得
25log ,log a m b m
==，
所
以
11
log 2log 5log 102m m m a b
+=+==
，210,m m == A. 【点睛】本小题主要考查指数式和对数式互化，考查对数运算，属于基础题.
10.某商场对顾客实行购物优惠活动规定，一次购物付款总额．．．．．．．．： （1）如果标价总额．．．．
不超过200元，则不给予优惠； （2）如果标价总额．．．．超过200元但不超过500元，则按标价总额．．．．
给予9折优惠； （3）如果标价总额．．．．超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠.
某人两次去购物，分别付款180元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款（ ） A. 550元 B. 560元 C. 570元 D. 580元
【答案】C 【解析】 【分析】
先判断第一次购物不超过200，第二次不超过500，计算得到共购物650元，再计算得到答案. 【详解】若第一次购物超过200，则付款大于2000.9180?=，故第一次购物不超过200元； 若第二次购物超过500，则付款大于5000.9450?=，故第二次购物不超过500元； 第二次购物4230.9470÷= 合计470180650+= 付款为()5000.96505000.8450120570?+-?=+= 故选：C
【点睛】本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11.()f x 是定义在()2,2- 上单调递减的奇函数，当()()2230f a f a -+-< 时，a 的取值范围是 （ ） A. ()0,4 B. 50,2
?? ???
C. 15,22??
???
D. 51,2??
???
【答案】D 【解析】
由函数是奇函数可得()()223f a f a -<--，即()()223f a f a -<-+；由函数是单调递
减函数可得223
5222122232
a a a a a ->-+??
-<-
，应选答案D ．
12.用{}min ,,a b c 表示a ,b ,c 三个数中的最小值．设{}
()min ,2,10,(0)x
f x e x x x =+-≥，
则()f x 的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C 【解析】
【分析】
化简得到函数()()()104()240x x x f x x t x e x t ?->?
=+≤≤??≤
，画出函数图像得到答案.
【详解】{}
()()()104()min ,2,10240x
x x x f x e x x x t x e x t ?->?=+-=+≤≤??≤
其中t 为2x e x =+的大于零的根.
画出函数图像知：当()max ()46f x f == 故选：C
【点睛】本题考查了函数的新定义问题，分段函数最值，画出函数图像是解题的关键. 二、填空题(共5小题，每小题5分，共20分) 13.已知集合{
}
2
20A x x x =-->，则R
A =_____
【答案】{}
12x x -≤≤ 【解析】 【分析】
通过求解不等式，得到集合A ，然后求解补集即可． 【详解】解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}
|12A x x x =-或， 所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤ 故答案为{}|12x x -≤≤
【点睛】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查． 14.
函数y 的定义域是________________________． 【答案】(3,4]， 【解析】 【分析】
直接利用函数定义域的定义得到不等式0.530
log (3)0
x x ->??
-≥?计算得到答案.
【详解】函数y =的定义域满足：0.5
30
log (3)0x x ->??-≥? 解得34x <≤
故答案为：(3,4]
【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.
15.已知函数()y f x =与x
y e =的图象关于直线y x =对称，则2(28)f x x --的单调递增区
间为___________________．
【答案】(4)+∞，
， 【解析】 【分析】
先计算得到()ln f x x =，根据复合函数的单调性得到2280
1x x x ?-->?≥?
计算得到答案.
【详解】函数()y f x =与x
y e =的图象关于直线y x =对称，则()ln f x x =
根据复合函数单调性得到2
(28)f x x --的单调递增区间满足2280
1x x x ?-->?≥?
解得4x >
故答案为：(4)+∞，
【点睛】本题考查了复合函数的单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误.
16.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．2019年7月6日，第43届世界遗产大会宣布，中国良渚古城遗址成功申遗，获准列入世界遗产名录．目前中国世界遗产总数已达55处，位居世界第一．今年暑期，某中学的“考古学”兴趣小组对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎
遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的54%．利用参考数据：
lg 20.30,lg30.48==，请你推断上述所提取的草茎遗存物距今大约有
_______________________年（精确到1年）． 【答案】4966． 【解析】 【分析】
根据题意得到方程5730
154%2t
??
= ???
，计算得到答案.
【详解】设时间为t ，根据题意知：
5730
11543lg 3lg 2254%lg lg 57304966257302100lg 2
t t t +-??=∴
=∴=?= ?-??
故答案为：4966
【点睛】本题考查了指数函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）
17.（1）计算：()2
lg 25lg 2lg50lg 2?＋＋； （2）已知()x
x
f x a a
-=+（0a >且1a ≠），若132f ??
=
???
，求(0)(1)f f +的值． 【答案】（1）2（2）(0)(1)9f f += 【解析】 【分析】
（1）直接利用对数的计算法则得到答案. （2）先计算(0)2f =，再得到1
12
2
3a a -+=，计算2
11122
(1)2f a a a a --??=+=+- ???
得到答
案.
【详解】（1）()2
252?502lg lg lg lg ++()2
2(215)25lg lg lg lg +++＝
251()225lg lg lg lg +++＝11225()()2252lg lg lg lg +＝+＋＝＝
（2）
()x x f x a a -=+，(0)2f ∴=，
又132f ??=
???，即11223a a -+=，∴2
1
112
2
(1)2927f a a a a -
-??
=+=+-=-= ??
?
则(0)(1)9f f +=
【点睛】本题考查了对数的计算，函数值的计算，意在考查学生的计算能力.
18.已知函数2
3()log (4)f x x x m =-+的图象过点(0)1，
． （1）求实数m 的值，并求()f x 的定义域和值域； （2）解不等式()1f x ≤．
【答案】（1）3m =，定义域为(,1)
(3,)-∞+∞，()f x 的值域为R （2）{|01x x ≤<或
34}x <≤
【解析】 【分析】
（1）将(0)1，
代入函数解得3m =，再计算2430x x -+>得到定义域，最后计算值域得到答案.
（2）根据题意得到2
33log (43)log 3x x -+≤得到不等式22430
40
x x x x ?-+>?-≤?计算得到答案.
【详解】（1）由题意得3(0)1log 1f m =∴=，所以3m =， 所以2
3()log (43)f x x x =-+，由2430x x -+>得1x <或3x >， 则()f x 的定义域为(,1)
(3,)-∞+∞，
因为2
43(0,)x x -+∈+∞，所以()f x 的值域为R ．
（2）不等式2
33()1log (43)log 3f x x x ≤∴-+≤，
所以20433x x <-+≤∴22430
40
x x x x ?-+>?-≤? 解得01x ≤<或34x <≤
所以不等式()1f x ≤的解集为{|01x x ≤<或34}x <≤
【点睛】本题考查了对数型函数的定义域，值域，解不等式，意在考查学生的计算能力. 19.对于函数2
()21
x
f x a =
-+()a R ∈．
（1）定义法证明：函数()f x 为减函数； （2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？
【答案】（1）详见解析（2）存在实数1a =使函数()f x 为奇函数 【解析】 【分析】
（1）设任意12,x x R ∈且12x x <，计算()21
1
2
1222()0(21)(21)x x x x f x f x --=>++得到证明. （2）根据()()f x f x -=-化简得到222222
22122121
x x x
x x a ??+=+==+++计算得到答案. 【详解】（1）函数2
()21
x
f x a =
-+的定义域为R ，设任意12,x x R ∈且12x x <， 则()121211()2121x x f x f x a a ????
-=--- ? ?++????21121211222121(21)(21)
x x x x x x
-=-=++++， 由12x x <，得12022x x <<，则21220x x ->，1210x +>，2210x +>，
()12()0f x f x ∴->，即()12()f x f x >()f x ∴为R 上减函数；
（2）若函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，
222121x x a a -??
-=-- ?++??
，
2221221x x x a a ?-=-+++，222222
22122121
x x x x x a ??+=+==+++，即1a =， 所以存在实数1a =使函数()
f x 奇函数．
【点睛】本题考查了定义法证明函数的单调性，根据函数的奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
20.设02x ≤≤,求函数4325x
x
y =-?+最值及相应的x 的值．
【答案】2log 31x =-时，min 11
4
y =; 2x =时，max 9y =． 【解析】 【分析】
()
2
2
325x x y =-?+，设214,x t t =≤≤得到2
311
()24f t t ??=-+ ???
根据二次函数的单调性得
到答案. 【详解】()
2
432543252
325x
x
x
x
x x y =-?+=-?+=-?+，
设2,
02,14x
t x t =≤≤∴≤≤，且235y t t =-+，
由于2
2
311()3524f t t t t ??=-+=-+ ???
，
则()f t 在31,2??????上为减函数，在3,42
??????
上为增函数，
∴当32t =
，则322
x
=，即2log 31x =-时，min 114y = 又
(1)3,(4)9f f ==，即(1)(4)f f <，
∴当4t =，则24x =，即2x =时，max 9y =．
【点睛】本题考查了函数的最值，换元2x t =可以简化运算，是解题的关键.
21.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
（1）分别写出两类产品
收益与投资额的函数关系式；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？ 【答案】（1）()18f x x =()0x ≥，()g x =()0x ≥；（2）债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元 【解析】 【分析】
（1）由题意，得到()1f x k x =，()g x k =，代入求得12,k k 的值，即可得到函数的解析式；
（2）设债券类产品投资x 万元，可得股票类产品投资()20x -万元，求得总的理财收益的解析式，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）设投资债券类产品的收益()f x 与投资额x 的函数关系式为()()10f x k x x =≥，
投资股票类产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式为()g x k =()0x ≥， 可知()110.125f k ==，()210.5g k ==，
所以()18f x x =
()0x ≥，()g x =()0x ≥. （2）设债券类产品投资x 万元，则股票类产品投资()20x -万元，
总的理财收益()()208x y f x g x =+-=+()020x ≤≤.
令t =
220x t =-，0t ≤≤，
故()()22
220111420238288
t y t t t t -=+=---=--+，
所以，当2t =时，即债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元.
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
22.已知函数1()log 1
a mx
f x x -=+(0,1,1)a a m >≠≠-，是定义在(1,1)-上的奇函数. （1）求实数m 的值；
（2）判断函数()f x 在(1,1)-上的单调性． 【答案】（1）1m =（2）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】
（1）利用奇函数()()
0f x f x 得到22211m x x -=-，计算得到答案.
（2）设12
111
x t x x -=
=-+++，利用定义法证明为减函数，再讨论1a >和01a <<，利用复合函数单调性得到答案.
【详解】（1）因为()f x 是在(1,1)-上的奇函数， 所以()()f x f x -=-，即()
()0f x f x ，
所以1111log log 0log 01111
a a a mx mx mx mx
x x x x -+-++=∴?=+-++-+， 则
11111
mx mx x x -+?=+-+， 即22211m x x -=-对定义域中的x 都成立，所以21m =， 又1m ≠-，所以1m =； （2）所以1()log 1a
x
f x x -=+设1(1)221111
x x t x x x --++===-++++，
设1211x x -<<<，则211212122()22
11(1)(1)
x x t t x x x x --=
-=++++
1211x x -<<<∴210x x ->，12(1)(1)0x x ++>
∴12t t >.
当1a >时，12log log a a t t >，即12()()f x f x >.
∴当1a >时，()f x 在(1,1)-上是减函数.
当01a <<时，12log log a a t t <，即12()()f x f x <. ∴当01a <<时，()f x 在(1,1)-上是增函数.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.