第九章 计数原理与概率
§9.1 计数原理
一、知识导学
1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m 种不同的方法，在第2类办法中，有2m 种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法.
2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m 种不同的方法，做第2步，有2m 种不同的方法，……做第ｎ步，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法.
注：分类计数原理又称加法原理
分步计数原理又称乘法原理
二、疑难知识
1．分类原理中分类的理解：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复.
2．分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成.
3．两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有ｎ类办法，这ｎ类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成ｎ个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理.
4．在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线.
5．在有些问题中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地到乙地
，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多.
三、经典例题
[例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ）
A ．12 种
B ．7种
C ．24种
D ．49种
错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案. ∴选B
错因:没有审清题意．本题不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步计数原理去解题.
正解：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种. ∴应选D ．
[例2]从1,2，3，…,10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有多少个？
错解：根据构成的等差数列的公差，分为公差为1、2、3、4四类.公差为1时，有8个；公差为2时，首先将数字分成1,3，5,7,9，和2,4，6,8，10两组，再得到满足要求的数列共3＋3＝6个；公差为3时，有1,4，7和4,7，10和3,6，9以及2,5，8，共4个；公差为4时，只有1,5，9和2,6，10两个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列8＋6＋4＋2＝20个.
错因：上述解答忽略了1,2，3与3,2，1它们是不同的数列， 因而导致考虑问题不全面，从而出现漏解. 这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
正解：根据构成的等差数列的公差，分为公差为±1、±2、±3、±4四类.公差为±1时，有8×2＝16个；公差为±2时，满足要求的数列共6×2＝12个；公差为±3时，有4×2＝8个；公差为±4时，只有2×2＝4个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列16＋12＋8＋4＝40个.
[例3]三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到几个不同的三位数（6不能作9用）.
解：解法一 第一步，选数字.每张卡片有两个数字供选择，故选出3个数字，共有3
2＝8种选法.第二步，排数字.要排好一个三位数，又要分三步，首先排百位，有3种选择，由于排出的三位数各位上的数字不可能相同，因而排十位时有2种选择，排个位只有一种选择.故能排出3×2×1＝6个不同的三位数.
由分步计数原理，共可得到8×6＝48个不同的三位数.
解法二：第一步，排百位有6种选择，
第二步，排十位有4种选择，
第三步，排个位有2种选择.
根据分步计数原理，共可得到6×4×2＝48个不同的三位数.
注：如果6能当作9用，解法1仍可行.
[例4]集合A ＝｛1,2，3,4｝，集合B ＝｛－1，－2｝，可建立多少个以A 为定义域B 为值域的不同函数？
分析：函数是特殊的映射，可建立映射模型解决.
解： 从集合A 到集合B 的映射共有42=16个，只有都与－1，或－2对映的两个映射不符合题意，故以A 为定义域B 为值域的不同函数共有16－2＝14个.
或
[例5] 用0，1,2，3,4，5这六个数字，
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？
14)!2(22342224=+A C C C
（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？
（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？
（5）可以组成多少个数字不重复的大于3000，小于5421的四位数？
解：（1）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个.
（2）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6＝180个.
（3）分三步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个.
（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5＝25个；③三位数，共有5×5×4＝100个.因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131个
（5）分四类：①千位数字为3,4之一时，共有2×5×4×3＝120个；②千位数字为5，百位数字为0,1，2,3之一时，共有4×4×3＝48个；③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有2×3＝6个；④还有5420也是满足条件的1个.故所求自然数共120＋48＋6＋1＝175个
评注：排数字问题是最常见的一种题型，要特别注意首位不能排0.
四、典型习题
1．将4个不同的小球放入编号为1、2、3的三个不同的盒子中，其中每个盒子都不空的放法共有（）
A．43种 B．34种 C．18种 D．36种
2．集合A＝｛1,2，－3｝，B＝｛－1，－2,3，4｝，从A、B中各取1个元素作为占点P的
坐标.（1）可以得到多少个不同的点？
（2）在这些点中位于第一象限的点有几个？
3. 在1,2，3,4，7,9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数与真数，能得到多少个不同的对数值？
4. 在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多少个？
5．某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？
6. 某地提供A、B、C、D四个企业供育才中学高三年级3个班级进行社会实践活动，其中A 是明星企业，必须有班级去进行社会实践，每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中任意选择一个，则不同的安排社会实践的方案共有多少种？
§9.2 排列与组合
一、知识导学
1.排列：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列.
2.全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的全排列.
3. 排列数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有排列的个数叫做从ｎ个
不同元素中取出ｍ个元素的排列数.用符号m n A 表示.
4. 阶乘：正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用ｎ！表示.
规定：0！＝1
5.组合：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素并成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合.
6.组合数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有组合的个数叫做从ｎ个不
同元素中取出ｍ个元素的组合数.用符号m n C 表示.
7.本节公式
（1）排列数公式
)1()3)(2)(1(+-???---=m n n n n n A m
n
（这里ｍ、ｎ∈*N ，且ｍ≤ｎ）
（2）组合数公式
n m n n n n n A A C m m m n m n )1()3)(2)(1(+-???---== （这里ｍ、ｎ∈*
N ，且ｍ≤ｎ）
（3）组合数的两个性质
m n n m n C C -= 规定：10=n C
11-++=m n
m n m n C C C
二、疑难知识
1．排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”。从定义知，只有当元素完全，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列.两个相同数列，当且仅当它们的元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同.
2．排列与排列数是两个不同的概念.一个排列是指从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列的一种具体方法，它不是数；而排列数是指从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同数列的种数，它是一个数.
3．排列应用题一般分为两类，即无限制条件的排列问题和有限制条件的排列问题.常见题型有：排队问题、数字问题、与几何有关的问题.
解排列应用题时应注意以下几点：
①认真审题，根据题意分析它属于什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法.
②弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置.考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考. ③恰当分类，合理分步.
)!(!m n n A m n -=)!(!!m n m n C m n -=
④在分析题意，画框图来处理，比较直观.在解应用时，应充分运用.
解排列应用题的基本思路：
①基本思路：
直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；
间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数. ②常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑法，插空档法，构造法等.
4．对组合的理解：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合.
5．排列与组合的区别与联系：
①根据排列与组合的定义，前者是从ｎ个不同元素中取出ｍ个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后者只要从ｎ个不同元素中取出ｍ个不同元素并成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题.也就是说排列与选取元素的顺序有关，组合与选取元素的顺序无关.
②排列与组合的共同点，就是都要“从ｎ个不同元素中，任取ｍ（ｍ≤ｎ）个元素”，而不同点在于元素取出以后，是“排成一排”，还是“组成一组”，其实质就是取出的元素是否存在顺序上的差异.因此，区分排列问题和组合问题的主要标志是：是否与元素的排列顺序有关，有顺序的是排列问题，无顺序的组合问题.例如123和321,132是不同的排列，但它们都是相同的组合.再如两人互寄一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题.
③排列数与组合数的联系.求从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数m n A ，可以分为
以下两步：第一步，先求出从这ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数m n C ；第二步，求每
一个组合中ｍ个元素的全排列数m m A .根据分步计数原理，得到m n A ＝m n C m m
A .从这一过程中可得出排列与组合的另一重要联系.从而，在解决排列问题时，先取后排是一个常见的解题策略.
6．解排列与组合应用题时，首先应抓住是排列问题还是组合问题.界定排列与组合问题是排列还是组合，唯一的标准是“顺序”，有序是排列问题，无序是组合问题.当排列与组合问题综合到一起时，一般采用先考虑组合后考虑排列的方法解答.其次要搞清需要分类，还是需要分步.分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式和组合数公式的基础，而且其应用贯穿于排列与组合的始终.学好两个计数原理是解决排列与组合应用题的基础.切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）.
三、经典例题
[例1] 10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？
错解：10个人坐6把不同的椅子，相当于10个元素到6个元素的映射，故有10
6种不同的坐法.
错因: 没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能坐一人，已不符合映射模型了.本题事实上是一个排列问题.
正解： 坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中作取6个元素占据
6个不同的位置.显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题.从而，共有610A ＝151200
种坐法.
[例2]从－3，－2，－1,0，1,2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数c bx ax y ++=2 的系数a ，ｂ，ｃ的取值，问共能组成多少个不同的二次函数？
错解：从八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数c bx ax y ++=2 的系数a ，ｂ，ｃ的取值，交换a ，ｂ，ｃ的具体取值，得到的二次函数就不同，因而本题是个排列问题，
故能组成38A 个不同的二次函数.
错因: 忽视了二次函数c bx ax y ++=2 的二次项系数a 不能为零.
正解：a ，ｂ，ｃ中不含0时，有37A 个；
a ，ｂ，ｃ中含有0时，有227A 个.
故共有37A ＋227A ＝294个不同的二次函数.
注：本题也可用间接解法.共可构成38A 个函数，其中a ＝0时有27A 个均不符合要求，从而
共有38A －27A ＝294个不同的二次函数.
[例3]以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？
错解：按照上底面取出点的个数分三类：第一类，上底面恰取一点，这时下底面取三点，有3313C C ＝3个；第二类，上底面恰取2点，下底面也取两点，有2323C C ＝9个；上底面取3
点时，下底面取一点，有3313C C ＝3个.综上知，共可组成3＋9＋3＝15个不同的三棱锥.
错因: 在上述解法中，第二类情形时，所取四点有可能共面.这时，务必注意在上底面取2点，与之对应的下底面的2点只有2种取法.
正解：在三棱柱的六个顶点中任取4个顶点有46C ＝15取法，其中侧面上的四点不能构成三
棱锥，故有15－3＝12个不同的三棱锥.
[例4] 4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：
（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？
（2）女生互不相邻的坐法有多少种？
（3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？
（4）男女生相间的坐法有多少种？
（5）女生顺序已定的坐法有多少种？
解：⑴从整体出发，视四名男生为一整体，看成一个“大元素”，与三名女生共四个元素进
行排列，有44A 种坐法；而大元素内部的小元素间又有44A 种坐法.故共有44A 44
A ＝576种坐法.
⑵因为女生 互不相邻，故先将4名男生排好，有4
4A 种排法；然后在男生之间及其首尾的5个空档中插入3名女生，有35A 种排法.故共有44A 35A ＝1440种排法.
⑶类似（1）可得：334422A A A ??＝288种 ⑷男生排好后，要保证男生互不相邻、女生也互不相邻，3名女生只能排在男生之间的
3个空档中，有33A 种排法.故共有4
4A 33A ＝144种排法.
⑸7个元素的全排列有77A 种，因为女生定序，而她们的顺序不固定时有33A 排法，可知
77A 中重复了33A 次，故共有77A ÷33A ＝47A ＝840种排法.
本题还可这样考虑：让男生先占7个位置中的4个，共有47A 种排法；余下的位置排女
生，因为女生定序，故她们只有1排法，从而共有47A ＝840种排法. [例5] 某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，那么共有多少种不同的抽调方法？
解：在每个车队抽调一辆车的基础上，还须抽调的3辆车可分成三类：从一个车队中抽调，
有17C ＝7种；从两个车队中抽调，一个车队抽1辆，另一个车队抽两辆，有27A ＝42种；从
三个车队中抽调，每个车队抽调一辆，有37C ＝35辆.由分类计数原理知，共有7＋42＋35
＝84种抽调方法.
本题可用档板法来解决：由于每个车队的车均多于4辆，只需将10个份额分成7份.
具体来讲，相当于将10个相同的小球，放在7个不同的盒子中，且每个盒子均不空.可将10个小球排成一排，在相互之间的九个空档中插入6个档板，即可将小球分成7份，因而
有69C ＝84种抽调方法.
[例6]用0,1，2，…，9这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？
解：若千位数字与个位数字中有一个为0 ，则另一个为2，且0只能在个位，2在千位，这
样有四位数有38A 个.若千位与个位都不含有0，则应为1与3、2与4，3与5、4与6,5与7、
6与8,7与9，这样的四位数有7×22A ×28A 个.
∴共有28A ＋722A ×28A ＝840个符合条件的四位数
四、典型习题
1．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐6节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？
2. 在7名运动员中选出4人组成接力队，参加4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？
3．有5双不同型号的皮鞋，从中任取4只有多少种不同的取法？所取的4只中没有2只是同型号的取法有多少种？所取的4只中有一双是同型号的取法有多少种？
4.一个五棱柱的任意两个侧面都不平行，且底面内的任意一条对角线与另一底面的边也不平行，以它的顶点为顶点的四面体有多少个？
5. 4名男生5名女生，一共9名实习生分配到高一的四个班级担任见习班主任，每班至少有男、女实习生各1名的不同分配方案共有多少种？
6.有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人.
（1）甲、乙、丙三人各得2本，有多少种分法？
（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种分法？
（3）甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？
（4）平均分成三堆，每堆2本，有多少种分法？
§9.3 二项式定理
一、知识导学
1.二项式定理：
*222110,)(N n b C b a C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n n n ∈+???++???+++=+---
上列公式所表示的定理叫做二项式定理.
右边的多项式叫做n
b a )(+的二项展开式，它一共有ｎ＋1项.
其中各项的系数),,2,1,0(n r C r n ???=叫做二项式系数.
式中的r r n r n b a C -叫做二项展开式的通项，用1+r T 表示，
即1+r T ＝r r n r n b a C -.
2.二项式系数的性质：
（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直
接由公式m n n
m n C C -=得到. （2）增减性与最大值. 二项式系数),,2,1,0(n r C r n ???=，当ｒ＜2
1+n 时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值.当ｎ是偶数时，中间的一项取得最大值；当ｎ是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值.
（3）各二项式系数的和.
n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于n 2.
二、疑难知识
1．二项式定理是代数公式
2222)(b ab a b a ++=+ 和
3223333)(b ab b a a b a +++=+
的概括和推广，它是以乘法公式为基础，以组合知识为工具，用不完全归纳法得到的.同学们可对定理的证明不作要求，但定理的内容必须充分理解.
2．对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它
的展开式.通项公式1+r T ＝r r n r n b a C -在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但必须注意，
它是n
b a )(+的二项展开式的第ｒ＋1项，而不是第ｒ项.
3．二项式定理的特殊表示形式
（1）n n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a )1()1()(110-+???+-+???+-=---. 这时通项是1+r T ＝n
)1(-r r n r n b a C -.
（2）n r r n n n n x x C x C x C x +???++???+++=+22111)1(.
这时通项是1+r T ＝r r n x C .
（3）n n r n n n n n C C C C C +???++???+++=+210)11(. 即各二项式系数的和为n 2. 4．二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即
131202-=???++=???++n n n n n C C C C
三、经典例题
[例1]已知5050221050...)21(x a x a x a a x ++++=-，
求5021...a a a +++的值.
错解：由二项展开式的系数的性质可知：n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于n
2，
显然，0a 就是展开式中的1050=C ，因此5021...a a a +++的值为n 2－1.
错因：上述解答忽略了 50210,...,,,a a a a 是项的系数，而不是二项式系数.
正解：由二项展开式的结构特征，50210,...,,,a a a a 是项的系数，而不是二项式系数.观察式子特征，如果x ＝1，则等式右边为50210...a a a a ++++，出现所求式子的形式，而0a 就
是展开式中的1050=C ，因此=?-50)121(50210...a a a a ++++，即
1＝1＋5021...a a a +++，所以，5021...a a a +++＝0
评注 这是二项式定理的一个典型应用—赋值法，在使用赋值法时，令a 、ｂ等于多少，应就具体问题而定，有时取“1”，有时取“－1”，或其他值.
[例2]在多项式n n n n n n x C x C x C x C x f )1(...)1()1()1()(33221-++-+-+-=的展开式中，
含6
x 项的系数为 .
错解：原式＝1)]1(1[--+n x ＝1-n x ∴6x 项的系数为0.
错因：忽视了ｎ的范围，上述解法得出的结果是在ｎ不等于6的前提下得到的，而这个条件并没有提供.
正解：原式＝1)]1(1[--+n x ＝1-n
x ∴当ｎ≠6时，6x 项的系数为0.
当ｎ＝6时，6
x 项的系数为1
说明：本解法体现了逆向运用二项式定理的灵活性，应注意原式中对照二项式定理缺少00)1(-x C n 这一项. [例3] 111100-的末尾连续零的个数是 ( )
A ．7
B ．5
C ．3
D ．2
解：10010099100298100397100991
1001000
100100
100101010...1010)110(11C C C C C C ++++++=+=
上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项为16170000，末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0.所以111100-的末尾连续零的个数是3. 故选C.
[例4] 已知n x x )21
(4?+的展开式前三项中的x 的系数成等差数列.
（1）求展开式中所有的x 的有理项；
（2）求展开式中系数最大的项.
解：（1）展开式前三项的系数分别为
)1(8
1)21(,221,12221-=?=?
=n n C n C C n n n . 由题设可知：)1(81122-+=?n n n 解得：ｎ＝8或ｎ＝1（舍去）.
当ｎ＝8时，r r r r x x C T --+??=)2()
(4881＝r r r x C 43482--??. 据题意，4－
r 4
3必为整数，从而可知r 必为4的倍数， 而0≤r ≤8，∴r ＝0,4，8.
故x 的有理项为：41x T =，x T 8355=，292561x T =. （2）设第
r ＋1项的系数1+r t 最大，显然1+r t ＞0， 故有r
r t t 1+≥1且12++r r t t ≤1. ∵r r t t 1+＝r r C C r r r r 292
21188-=??+---， 由r
r 29-≥1，得r ≤3. ∵12++r r t t ＝r r C C r
r r r -+=??---+8)1(2228118， 由
r r -+8)1(2≤1，得r ≥2. ∴r ＝2或r ＝3，所求项分别为25
37x T =和4
7
47x T =. 评注：1.把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键，除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质.
2.运用通项公式求二项展开的特定项，如求某一项，含x 某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是运用通项公式根据题意列方程，在求得ｎ或ｒ后，再求所需的项（要注意ｎ和ｒ的数值范围及大小关系）.
3.注意区分展开式“第r ＋1项的二项式系数”与“第r ＋1项的系数”.
[例5]已知),()21()21()(*∈+++=N n m x x x f n
m 的展开式中含x 项的系数为24，
求展开式中含2x 项的系数的最小值. 解：解法一 由)(x f 中含x 项的系数为24，可得
x nx mx x C x C n m 24222211=+=+.从而，12=+n m .
设)(x f 中含2
x 项的系数为ｔ，则
ｔ＝)(222222222n m n m C C n m --+=+. 把n m -=12代入上式，得
ｔ＝120)6(4]12)12[(2222+-=-+-n n n .
∴当ｎ＝6时，ｔ的最小值为120，此时ｍ＝ｎ＝6.
解法二 由已知12=+n m ，
设)(x f 中含2
x 项的系数为ｔ，则 ｔ＝)12(22
2-+n m ≥2]122)([2
-+n m ＝2（72－12）＝120. 当且仅当ｍ＝ｎ＝6时，ｔ有最小值120.
∴)(x f 展开式中含2
x 项的系数的最小值为120.
评注：构造函数法是一种常用的方法，尤其在求最值问题中应用非常广泛.
四、典型习题
1．化简：n n n n n C C C 2...42121++++ 2. 设443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则
2312420)()(a a a a a +-++的值为
3. （1+x ）(2+x )(3+x )…(20+x )的展开式中x 19的系数是 .
4. 式子3)2|
|1|(|-+x x 的展开式中的常数项是 （ ） A 、－15 B 、20 C 、－20 D 、15
5．已知二项式12)(n m bx ax +中，a ＞0，ｂ＞0,2ｍ＋ｎ＝0但ｍｎ≠0，若展开式中的最大系数项是常数项，求b
a 的取值范围. 6．用二项式定理证明：n n n a n x na x )1(1-+--能被2)(a x -整除 （ｎ∈*N ，ｎ≥2）.
§9.4 随机事件的概率及古典概型
一、知识导学
1.必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件.
不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件.
随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件.
2. 概率：实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件和随机事件.随机事件在现实世界中是广泛存在的.在一次试验中，事件A 是否发生虽然带有偶然性，但在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件A 发生的频率n
m 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数就叫做事件A 的概率.记着P （A ）.
0≤P （A ）≤1
3．若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．
4．具有以下两个特点：（１）所有的基本事件只有有限个；（２）每个基本事件的发生都是等可能的．我们将满足上述条件的 随 机 试 验 的 概 率 模 型 称 为 古 典 概 型
5．等可能事件的概率：如果一次试验中共有ｎ种等可能出现的结果，其中事件A 包含的结果有ｍ种，那么事件A 的概率P （A ）＝n
m ． 二、疑难知识
1．必然事件、不可能事件、随机事件的区别与联系：必然事件是指在一定条件下必然发生的事件；不可能事件是指在一定的条件下不可能发生的事件；随机事件是指在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件.要辨析清事件的条件和结果，理解事件的结果是相应于“一定条件”而言的，必须明确什么是事件发生的条件，什么是在此条件下产生的结果.上述三种事件都是在一定条件下的结果.
2．频率与概率：随机事件A 的频率指此事件发生的次数ｍ与试验总次数ｎ的比值，它是随着试验次数的改变而变化的，它具有一定的稳定性，即总在某个常数ｐ附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小，于是，我们给这个常数取个名字，叫随机事件的概率.因此，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小；而频率在大量重复试验的前提下，可近似地作为这个事件的概率.即概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.
3．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率：0＜P （A ）＜1，这里要辩证地理解它们的概率：必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端，它们虽是两类不同的事件，但在一定的情况下又可以统一起来，即任意事件A 的概率满足：
0≤P （A ）≤1
4．等可能事件的理解：一次试验中所有可能的ｎ个基本结果出现的可能性都相等，这ｎ个结果对应着ｎ个基本事件.对等可能事件的理解，其实质在于对等可能性的理解.“等可能性”指的是结果，而不是事件.例如抛掷两枚均匀的硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”“一反一正”这四种结果，每一种结果的可能性相等，都是0.25；而出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果就不是等可能的.
5．注意用集合的观点来看概率，运用图式法来弄清各事件之间的关系.对古典概率来说，一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合I ，其中各基本事件均为集合I 的含有一个元素的子集，包括ｍ个基本事件的子集A ，从而从集合的角度来看：事件A 的概率是子集A 的元素的个数与集合I 的元素个数的比值，即P （A ）＝n
m .因此，可以借助集合的表示法来研究事件，运用图示法弄清各事件的关系，从而做到较深刻的理解.
三、经典例题
[例1] 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问恰好第三次打开房门锁的概率是多少？
错解：有5把钥匙，每次打开房门的概率都是
51，不能打开房门的概率是54，因而恰好第三次打开房门的概率是54×54×51＝125
16. 错因:上述解法忽略了条件“逐把不重复地试开”.
正解：我们知道最多开5次门，且其中有且仅有一次可以打开房门，故每一次打开门的概率是相同的，都是5
1.开三次门的所有可能性有35A 种.第三次打开房门，则房门钥匙放在第3号位置上，前两次没能打开门，则前2个位置是用另4把钥匙安排的，故有24A 种可能.从而
恰好第三次打开房门锁的概率是P （A ）＝5
13524=A A . [例2] 某组有16名学生，其中男、女生各占一半，把全组学生分成人数相等的两小组，求每小组里男、女生人数相同的概率.
错解：把全组学生分成人数相等的两小组，有88
816C C 种分法，事件A 为组里男、女生各半的情形，它有2484
8)(C C 种，所以P （A ）＝816
24848)(C C C . 错因:这里没注意到均匀分成两组与分成A 、B 两组的区别.
正解：基本事件有8881621C C ，事件A 为组里男、女生各半的情形，它有24848)(2
1C C 种，所以 P （A ）＝12874902
1))(21(81648484848=C C C C C . [例3] 把一枚硬币向上连抛10次，则正、反两面交替出现的概率是 .
错解：抛掷一枚硬币出现正、反两面的可能性都相等，因而正、反两面交替出现的概率是21. 错因：没审清题意.事实上，把一枚硬币向上连抛10次，出现正面5次的概率同样也不等于2
1.
正解：连抛10次得正、反面的所有可能的情况共有102种，而题设中的正、反两面交替出现的情况只有2种，故所求的概率为51212
210=. [例4]某科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成，现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 （结果用分数表示）.
解：设“从20名成员中随机选出的2人来自不同国家”为事件A ，则A 所包含的基本事件
数为11915141511114111=++C C C C C C ，又基本事件数为220
C . 故P （A ）＝190119119220
=C . [例5] 将4个编号的球放入3个编号的盒中，对于每一个盒来说，所放的球数ｋ满足0≤ｋ≤4.在各种放法的可能性相等的条件下，求：
（1）第一个盒没有球的概率；
（2）第一个盒恰有1个球的概率；
（3）第一个盒恰有2个球的概率；
（4）第一个盒有1个球，第二个盒恰有2个球的概率.
解：4个不同的球放入3个不同的盒中的放法共有4
3种.
（1）第一个盒中没有球的放法有42种，所以第一个盒中没有球的概率为： P 1＝81163
244=. （2）第一个盒中恰有1个球的放法有3
142?C 种，所以第一个盒中恰有1个球的概率为：
P 2＝8132324314=?C . （3）第一个盒中恰有2个球的放法有2
242?C 种，所以第一个盒中恰有2个球的概率为：
P 3＝278324224=?C . （4）第一个盒中恰有1个球，第二个盒中恰有2个球的放法有2
314C C 种，所以所求的概率
为：P 4＝274342314=C C . [例6] 一个口袋内有7个白球和3个黑球，分别求下列事件的的概率：
（1）事件A ：从中摸出一个放回后再摸一个，两回摸出的球是一白一黑；
（2）事件B ：从袋中摸出一个黑球，放回后再摸出一个是白球；
（3）事件C ：从袋中摸出两个球，一个黑球，一个白球；
（4）事件D ：从从袋中摸出两个球，先摸出的是黑球，后摸出的是白球.
解：（1）基本事件总数是10×10.事件A 包括“先摸出黑球后摸出白球”及“先摸出白球
后摸出黑球”，摸出白球及黑球分别有7种和3种可能.所以A 发生共有2×7×3种可能. ∴P （A ）＝10
10372???＝0.42. 2）事件B 与事件A 不同，它确定了先摸黑球再摸白球的顺序. P （B ）＝
101037??＝0.21 （3）事件C 说明摸出两个球不放回，且不考虑次序，因此基本事件总数是210C ，事件C 包
含的基本事件个数是1317C C .
P （C ）＝157210
1317=C C C ≈0.47. （4）与事件A 相比，D 要考虑摸出两球的先后次序.
P （D ）＝30
7191101317=C C C C ≈0.23 评注：注意“放回抽样”与“不放回抽样”的区别.本例（1）（2）是放回抽样，（3）（4）是不放回抽样.
四、典型习题
1
（（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？
2．先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是 （ ）
A 、81
B 、83
C 、87
D 、8
5 3．停车场可把12辆车停放一排，当有8辆车已停放后，则所剩4个空位恰连在一起的概率为 （ ）
A 、8127C
B 、8128
C C 、8129C
D 、812
10C 4．有5条线段，其长度分别为1、3、5、7、9，现从中任取3条线段，求3条线段构成三角形的概率.
5．把10个运动队平均分成两组进行预赛，求最强的两队被分在（1）不同组内；（2）同一组内的概率.
6．甲、乙两人参加普法知识问答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题.
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少？
§9.5 几何概型及互斥事件的概率
一、知识导学
1. 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型.
一般地，在几何区域 Ｄ 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域ｄ内”为事件Ａ，则事件Ａ 发生的概率
Ｐ（Ａ）＝ 的测度
的测度D d ． 这里要求Ｄ 的测度不为０，其中“测度”的意义依Ｄ 确定，当Ｄ 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等
2．互斥事件：不可能同时发生的两个事件.
如果事件A 、B 、C ，其中任何两个都是互斥事件，则说事件A 、B 、C 彼此互斥. 当A ，B 是互斥事件时，那么事件A ＋B 发生（即A ，B 中有一个发生）的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和.
P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）.
如果事件A 1、A 2、…、A ｎ彼此互斥，那么事件A 1＋A 2＋…＋A ｎ发生（即A 1、A 2、…、A ｎ中有一个发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的和.
3．对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A 的对立事件通常记着A .
对立事件的概率和等于1.
P （A ）＝1－P （A ）
4．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.
当A ，B 是相互独立事件时，那么事件A ?B 发生（即A ，B 同时发生）的概率，，等于事件A ，B 分别发生的概率的积.
P （A ?B ）＝P （A ）?P （B ）.
如果事件A 1、A 2、…、A ｎ相互独立，那么事件A 1?A 2?…?A ｎ发生（即A 1、A 2、…、A ｎ同时发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的积.
5．独立重复试验
如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在ｎ次独立重复试验中这个试验恰好发生ｋ次的概率
k n k k n n k P C k P --=)1()(
二、疑难知识
1．对互斥事件、对立事件的理解：
从集合角度看，事件A 、B 互斥，就是它们相应集合的交集是空集（如图1）；事件A 、B 对立，就是事件A 包含的结果的集合是其对立事件B 包含的结果的补集（如图2）.
“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.
根据对立事件的意义，（A ＋A ）是一必然事件，那它发生的概率等于1，又由于A 与A 互斥，于是有P （A ）＋P （A ）＝P （A ＋A ）＝1，从而有P （A ）＝1－P （A ）.当某一事件的概率不易求出或求解比较麻烦，但其对立事件的概率较容易求出时，可用此公式，转而先求其对立事件的概率.
2．对相互独立事件的理解：
相互独立事件是针对两个事件而言的，只不过这两个事件间的关系具有一定的特殊性，即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.若A 、B 两事件相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的.
3．正确理解A ?B 与A ＋B 的关系：设A 、B 是两个事件，则A ?B 表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生；而A ＋B 表示这一事件是在A 或B 这两个事件中，至少有一个发生的前提下而发生的.公式P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）与P （A ?B ）＝P （A ）?P （B ）的使用都是有前提的.
一般情况下，P （A ＋B ）＝1－P （B A +）
＝P （A ）＋P （B ）－P （A ?B ）
它可用集合中的韦恩图来示意.
三、经典例题
［例1］ 从0,1，2,3这四位数字中任取3个进行排列，组成无重复数字的三位数，求排成的三位数是偶数的概率.
错解：记“排成的三位数是偶数”为事件A ，
P （A ）＝34
2312A A A ＝21. 错因:上述解法忽略了排成的三位数首位不能为零.
正解：记“排成的三位数的个位数字是0”为事件A ，“排成的三位数的个位数字是2”为事件B ，且A 与B 互斥，则“排成的三位数是偶数”为事件A ＋B ，于是
P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）＝231323A A A ＋23
132212A A A A ＝95. [例2] 从1,2，3，…,100这100个数中，随机取出两个数，求其积是3的倍数的概率. 错解：从1,2，3，…,100这100个数中，随机取出两个数，其积是3的倍数，则须所取两数至少有一个是3的倍数. 记事件A 为任取两整数相乘为3的倍数，则
P （A ）＝50332100
199133=C C C 错因: 这里相关的排列组合问题没有过关
.
正解：基本事件数有2100C 种.在由1到100这100个自然数中，3的倍数的数组成的集合M
中有33个元素，不是3的倍数组成的集合N 中有67个元素，事件A 为任取两整数相乘为3
的倍数，分两类：（1）取M 中2个元素相乘有233C 种；（2）从集合M 、N 中各取1个元素
相乘有167
133C C 种.因为这两类互斥，所以 P （A ）＝150832100
167133233=+C C C C . [例3] 在房间里有4个人，问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少？
解：由于事件A “至少有两个人的生日是同一个月”的对立事件A 是“任何两个人的生日都不同月”.因而 至少有两个人的生日是同一个月的概率为：
P （A ）＝1－P （A ）＝1－441212
A ＝1－96419655=. [例4] 某单位6名员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.求（1）至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
解：（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即
1－6065.0C －6165.0C －6265.0C ＝1－32
21641561=++. （2）6人同时上网的概率为64
15.0666=C ＜0.3； 至少5人同时上网的概率为6665.0C ＋64
75.0656=
C ＜0.3； 至少4人同时上网的概率为6665.0C ＋6565.0C ＋32115.0646=C ＞0.3. 故至少5人同时上网的概率小于0.3.
[例5]设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9、0.8，求：
（1）目标恰好被甲击中的概率；（2）目标被击中的概率.
解：设事件A 为“甲击中目标”，事件B 为“乙击中目标”.
由于甲、乙两射手独立射击，事件A 与B 是相互独立的，
故A 与B 、A 与B 也是相互独立的.
（1）目标恰好被甲击中，即事件A B 发生.
P （A ·B ）＝P （A ）×P （B ）＝0.9×（1－0.8）＝0.18.
∴目标恰好被甲击中的概率为0.18.
（2）目标被击中即甲、乙两人中至少有1人击中目标，即事件A ·B 、A ·B 、A ·B 发生.
由于事件A ·B 、A ·B 、A ·B 彼此互斥，
所以目标被击中的概率为
P （A ·B ＋A ·B ＋A ·B ）＝P （A ·B ）＋P （A ·B ）＋P （A ·B ）
＝P （A ）·P （B ）＋P （A ）·P （B ）＋P （A ·B ）
＝0.9×0.2＋0.1×0.8＋0.9×0.8＝0.98.
评注：运用概率公式求解时，首先要考虑公式的应用前提.本题（2）也可以这样考虑：排除甲、乙都没有击中目标.因为P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）＝0.1×0.2＝0.02.
所以目标被击中的概率为
1－P （A ·B ）＝1－0.02＝0.98.
[例6]某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格” ，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9，0.8，0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响.
（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（2）求这三人课程考核都合格的概率.（结果保留三位小数）
解： 记“甲理论考核合格”为事件A 1，“乙理论考核合格”为事件A 2，“丙理论考核合格”为事件A 3，“甲实验考核合格”为事件B 1，“乙实验考核合格”为事件B 2，“丙实验考核合格”为事件B 3.
（1）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C.
则P （C ）＝P （A 1 A 2 3A ＋A 1 2A A 3＋1A A 2 A 3＋A 1 A 2 A 3）
＝P （A 1 A 2 3A ）＋P （A 1 2A A 3）＋P （1A A 2 A 3）＋P （A 1 A 2 A 3）
＝0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.7
＝0.902
（2）记“三人该课程考核都合格”为事件D.
则P （D ）＝P ［（A 1·B 1）·（A 2·B 2）·（A 3·B 3）］
＝P （A 1·B 1）·P （A 2·B 2）·P （A 3·B 3）
＝P （A 1）·P （B 1）·P （A 2）·P （B 2）·P （A 3）·P （B 3）
＝0.9×0.8×0.8×0.8×0.7×0.9
≈0.254
所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902；
这三人该课程考核都合格的概率为0.254。
四、典型习题
1． 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A ．至少有1个黑球，都是黑球
B ．至少有1个黑球，至少有1个红球
C ．恰有1个黑球，恰有2个红球
D ．至少有1个黑球，都是红球
2． 取一个边长为２a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒
豆子，求豆子落入圆内的概率．
3．某小组有男生6人，女生4人，现从中选出2人去开会，求至少有1名女生的概率. 4．设有编号分别为1,2，3,4，5的五封信，另有同样编号的五个信封，现将五封信任意装入五个信封，每个信封装入一封信，试求至少有两封信配对的概率.
5．某班级有52个人，一年若按365天计算，问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？6．九个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3队）进行预赛，试求：（1）三个组各有一个亚洲国家队的概率；（2）至少有两个亚洲国家队分在同一组的概率.
计数原理 课表要求 1、会用两个计数原理分析解决简单的实际问题； 2、理解排列概念，会推导排列数公式并能简单应用； 3、理解组合概念，会推导组合数公式并能解决简单问题； 4、综合应用排列组合知识解决简单的实际问题； 5、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题； 6、会用二项式定理求某项的二项式系数或展开式系数，会用赋值法求系数之和。突破方法 1．加强对基础知识的复习，深刻理解分类计数原理、分步计数原理、排列组合等基本概念，牢固掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数的性质。2．加强对数学方法的掌握和应用，特别是解决排列组合应用性问题时，注重方法的选取。比如：直接法、间接法等；几何问题、涂色问题、数字问题、其他实际问题等；把握每种方法使用特点及使用范围等。 3．重视数学思维的训练，注重数学思想的应用，在解题过程中注重化归与转化思想的应用，将不同背景的问题归结为同一个数学模型求解；注重数形结合、分类讨论思想、整体思想等，使问题化难为易。 知识点 1、分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……在第n类办法中有m n种不同的方法。那么完成这件事共有：N=m1+m2+……+m n种不同的方法。 注意：（1）分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这时分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”。 （2）完成一件事的n类办法是相互独立的。从集合角度看，完成一件事分A、B两类办法，则A∩B=?,A∪B=I（I表示全集）。 （3）明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事。 2、分步乘法计数原理 完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1·m2·……·m n种不同的方法。 注意：（1）明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事。 （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成。 （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去
《计数原理》练习 一、选择题 1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各一本，则不同的取法种数有（ ） A 11 B 30 C 56 D 65 2.在平面直角坐标系中，若{}{}1,2,3,3,4,5,6x y ∈∈，则以(),x y 为坐标的点的个数为（ ） A 7 B 12 C 64 D 81 3.若()12n x +的展开式中，3x 的系数是x 系数的7倍，则n 的值为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 4.广州市某电信分局管辖范围的电话号码由8位数字组成，其中前3位是一样的，后5位数字都是0～9这10个数字中的一个，那么该电信分局管辖范围内不同的电话号码个数最多有（ ） A 50 B 30240 C 59049 D 100000 6.按血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，其子女的血型一定不是O 型，如果某人的血型为O 型，则该人的父母血型的所有可能情况种数有（ ） A 6 B 7 C 9 D 10 7.计算0121734520C C C C ++++L 的结果为（ ） A 421C B 321 C C 320C D 420C 8.一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，问从口袋中取出5个球，使总分不少于7分的取法种数有（ ） A 15 B 16 C 144 D 186 二、填空题 9.开车从甲地出发到丙地有两种选择，一种是从甲地出发经乙地到丙地，另一种是从甲地出发经丁地到丙地。其中从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通。则从甲地到丙地不同的走法共有 种。 10.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 种。 14.()()5 211x x +-的展开式中3x 的系数为
高中数学教案：计数原理 教学目标： 对差不多概念，差不多知识和差不多运算的把握 注重对分析咨询题和解决咨询题的能力的培养 对综合咨询题要注意数学思想的培养 教学重难点： 对两个差不多计数原理的把握和运用 排列组合以及二项式定理典型题解题技巧 教学设计： 知识网络： 一、两个差不多计数原理： 1、分类计数原理：完成一件事，有n 类方法,在第一类方法中有m1种不同的方法,在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第n 类方法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。〔加法原理〕 2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。〔乘法原理〕 二、排列 排列：一样地，从n 个不同的元素中取出m 〔m ﹤n 〕个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 注意：1、排列的定义中包含两个差不多内容：①〝取出元素〞；②〝按照一定顺序排列〞，〝一定顺序〞确实是与位置有关，这也是判定一个咨询题是不是排列咨询题的重要标志。 2、依照排列的定义，两个排列相同，是指当且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同 排列数公式： )!(!)1()2()1(m n n m n n n n A m n -=+-???-?-?= !12)2()1(n n n n A n n =????-?-?= 三、组合 组合：一样地，从n 个不同元素中取出m 个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个组合。 组合数公式： 〔组合数公式1—适用于运算〕 〔组合数公式2—适用于化简证明〕 组合数公式性质：性质1: m n n m n C C -= ! )1()2)(1(m m n n n n m m m n m n C +---=A =A ! )(! ! m n m n C m n -=
分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题 一.选择题 1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ） Ａ．8 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．30 2．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ） Ａ．5种 Ｂ．6种 Ｃ．7种 Ｄ．8种 3．如图所示为一电路图，从A 到B 共有（ ）条不同的线路可通电（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 4．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ） Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12 5．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（ ）种不同的选择方式 Ａ． 24 Ｂ．14 Ｃ． 10 Ｄ．9 6．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==， ，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（ ） Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16 二、填空题 7．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有 种不同的选法． 8．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 种行车路线． 9．已知{}{}0341278a b ∈∈， ，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 ． 10．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项． 11．如图，从A →C ，有 种不同走法． 12．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有 种． 三、解答题 13．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同． （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
选修2-3定理概念及公式总结 第一章基数原理 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理， 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 用于计算， 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, 用于证明。 n n A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 （1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示 （2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 用于计算， 或)! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。
第九章 计数原理与概率 §9.1 计数原理 一、知识导学 1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m 种不同的方法，在第2类办法中，有2m 种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法. 2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m 种不同的方法，做第2步，有2m 种不同的方法，……做第ｎ步，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法.注：分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理二、疑难知识导析 1．分类原理中分类的理解：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复. 2．分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成. 3．两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有ｎ类办法， 这ｎ类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成ｎ个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理. 4．在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一 种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线. 5．在有些问题中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地 到乙地 ，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多.三、经典例题导讲 [例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种
《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》 1.现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，例外选法的种数是() A. 81 C. 48B. 64 D. 24 4 解析：每个同学都有3种选择，所以例外选法共有3＝81(种)，故选A. 答案：A 2.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有() A. 8种 C. 10种B. 9种 D. 11种 解析：设四位监考教师分别为A、B、C、D，所教班分别为a、b、c、d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种例外方法，同理A监考c、d时，也分别有3种例外方法，由分类加法计数原理共有3＋3＋3＝9(种)． 答案：B 3.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个例外的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则例外的放法共有() A. 12种 C. 36种 1B. 18种
D. 54种 解析：先将1,2捆绑后放入信封中，有C 3种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C 4C 2种方法，所以共有C 3C 4C 2＝18(种)方法． 答案：B 4.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，则上述四位数中“渐降数”的个数为() A. 14 C. 16B. 15 D. 17 22122 解析：由已知可知，只需找出组成“渐降数”的四个数字即可，等价于六个数字中去掉两个例外的数字． 从前向后先取0有0与1,0与2,0与3,0与4,0与5，共5种情况； 再取1有1与2,1与3,1与4,1与5，共4种情况； 依次向后分别有3,2,1种情况． 因此，共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)“渐降数”．
【高中数学】计数原理总结 知识梳理： 1. 分类加法计数原理和分布乘法计数原理 (1)如果完成一件事有n 类不同的方案，在第一类中有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法，…，在第n 类中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。 (2)如果完成一件事需要n 个不同的步骤，在第一步中有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同的方法，…，在第n 步中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。 (3)分类和分布的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是___________；必须要连续若干步才能完成则是 _____________。分类要用分类计数原理将种数_________，分步要用分步计数原理将种数_________。 2. 排列与组合 (1)排列 (1)(2)(1)()(1)321(1)(2)(1)()(1)321 !()! m n n n n n m n m n m A n n n n m n m n m n n m ---+---??=---+= ---??=- (1)(2)(!()!m n A n n n n n n m =--=- (2)组合 ①组合数公式(1)(2)(1)!()(1)321()!! m n n n n n m n C n m n m n m m ---+==---??- ①组合数的两个性质_______ _ ____、 。 ③区别排列与组合 3. 常见的解题策略有以下几种： (1)特殊元素优先安排的策略 (2)合理分类和准确分布的策略 (3)排列、组合混合问题先选后排的策略 (4)正难则反、等价转化的策略 (5)相邻问题捆绑的策略 (6)不相邻问题插空处理的策略 (7)定序问题除法处理的策略 (8)分排问题直排处理的策略 (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略 (10)构造模型的策略。 4. 二项式定理 (1)二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n (2)通项：展开式的第1+r 项，即) ,,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+ (3)二项式系数的性质： ①对称性：在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等。即 ①增减性与最值：二项式系数先增后减且在中间取得最大值 当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n C 当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n n C =21+n n C ③二项式系数的和： 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和。即 m n n m n C C -=n n n k n n n n C C C C C 2 210 =+???++???+++∴ 0213n-1n n n n C +C +=C +C +=2
计数原理（讲义） ? 知识点睛 一、两个计数原理 1. 全排列：n 个不同元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的一个全排列， A (1)(2)21n n n n n n =?-?-???=L ！ 即正整数1到n 的连乘积叫做n 的阶乘，用n ！表示． A ()m n n n m =-！！，A !C !()!A m m n n m m n m n m ==-， 规定0!1=，0C 1n =． 2. 组合数的性质 C C m n m n n -=，11C C C m m m n n n -+=+． ? 精讲精练 1. 从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地 到B 地有4条路，则从A 地到B 地的不同走法共有（ ）种．
A ．3+2+4=9 B ．1 C ．3×2×4=24 D ．1+1+1=3 2. 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a 种，这4名学生在运动会上共同争 夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b 种，则(a ，b )为（ ） A ．(34，34) B ．(43，34) C ．(34，43) D ．3344(A A )， 3. 填空： （1）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有______种． （2）某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成，若要选出不同年级的两人参加市里组织的某项活动，则不同的选法共有______种． （3）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有_____种． （4）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的为_____种（结果用数值表示）． 4. 填空： （1）用0到9这10个数字，可组成________个没有重复数字的四位偶数． （2）6个人从左至右排成一行，若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种． （3）某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆且型号相同，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，则不同的抽调方法共有________种．
计数原理练习题 一、排列数与组合数计算 1、若n ∈N 且n<20,则（27—n ）（28—n ） （34—n ）= ( ) A 、827n A - B 、n n A --2734 C 、734n A - D 、834n A - 2、已知=++++2252423n C C C C 363，则n=______ 3、化简=+++-2132n n n n C C C _________ 二、站队相邻与不相邻问题 4、记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A 、1440种 B 、960种 C 、720种 D 、480种 5、把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种必须排在一起，而c ，d 两种不能排在一起，则不同排法共有（ ）A 、12种 B 、20种 C 、24种 D 、48种 6、三个女生和五个男生排成一排， （1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？ （5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？ 三、定序问题 7、A 、B 、C 、D 、E 五人并排站在一排，其中A 、B 、C 顺序一定，那么不同的排法种数是________。 四、错排问题 8、将数字1、2、3、4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 五、分组分配问题 9、有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4 人承担这三项任务，不同的选法种数是__________。 10、5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 11、有6名志愿者（其中4名男生，2名女生）义务参加某项宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有 ( ) A 、40种 B 、48种 C 、60种 D 、68种 12、有2红3黄4白共9个球，同色球不加以区分，将这九个球排成一排，共有____种方法。 六、名额分配问题 13、10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有_________不同分配方案。 14、方程60821=+++x x x 有多少组自然数解（用排列或组合表示）_____________。 七、限制条件的分配问题 15、某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
高中数学选修2-3计数原理练习 一、选择题： 1、某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有（ ） A.3种 B.6种 C.7种 D.9 2、某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（ ） A. 50种 B.105种 C. 510 种 D.以上都不对 3、某高校从8名优秀毕业生中选出5名支援西部建设，其中甲必须当选的种数是（ ） A 35 B 56 C 21 D 36 4、假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ） A ．3 19823C C 种 B ．(2 19733319723C C C C +)种 C ．)C -(C 4 1975200种 D ．)C C C (4197135200-种 5、4·５·6·7·…·(n-1)·ｎ等于（ ） A.4-n n A B.3 -n n A C.ｎ！－4！ D. ! 4! n 6、已知x ,y ∈N ，且x n C ＝y n C ，则x 、y 的关系是（ ） A.x =y B.y =n -x C.x =y 或x +y =n D.x ≥y 7、下面是高考第一批录取的一份志愿表： 现有4所重点院校，每所院校有3 个专业是你较为满意的选择，如果表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有不同的填写方法的种数是（ ） A ．32 33)(4A ? B ．32 33)(4C ? C ．32 33 4)(C A ? D ．32 33 4)(A A ? 8、从6位男学生和3位女学生中选出4名代表，代表中必须有女学生，则不同的选法有（ ） A ．168 B ．45 C ．60 D ．111 9、氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由7种不同的氨基酸构成， 若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法共有 （ ） A ．210种 B ．126种 C ．70种 D ．35种 10、电话号码盘上有10个号码，采用八位号码制比采用七位号码制可多装机的门数是（ ） A ．87 1010A A - B ． C 108-C 107 C ．781010- D ．88108 C A 11、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）， 要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共（ ）种 A ．210种 B ．420种 C ．630种 D ．840
高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题A卷 考试时间：100分钟，满分：150分 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分） 1．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是()． A．6 B．8 C10 D．12 2．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有( ) A．6种B．5种C．4种D．3种 3．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( ) A．3 B．4 C．6 D．8 4.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻 的矩形涂色不同，则不同的涂法有( ) A．72种B．48种 C．24种D．12种 5．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 6.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 ( ) A ．18 B ．24 C ．30 D ．36 7．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为( ) A ．C 27A 5 5 B ． C 27A 2 2 C ．C 27A 2 5 D ．C 27A 3 5 8.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3! B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9! 9．设a ∈Z ，且0≤a <13，若51 2012 ＋a 能被13整除，则a 的值为 ( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 10．在二项式(x ＋3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．18 二、填空题（每小题6分,共24分） 11．某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)． 12．用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的6位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________． 13.若? ?? ??x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数 为______． 14．1－90C 1 10＋902C 2 10－903C 3 10＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 10 10除以88的余数是________． 三、解答题（共计76分）． 15．（本题满分12分）高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人． (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？
2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理））在2 5 1(2)x x - 的二项展开式中,x 的系数为 （ ） A ．10 B ．10- C ．40 D ．40- 2 ．（2012年高考（新课标理））将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙 两地参加社会实践活动, 每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ） A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种 3 ．（2012年高考（浙江理））若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为 偶数,则不同的取法共有 （ ） A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 4 ．（2012年高考（重庆理））8 的展开式中常数项为 （ ） A ． 16 35 B ． 8 35 C ． 4 35 D ．105 5 ．（2012年高考（四川理））方程2 2 ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 （ ） A ．60条 B ．62条 C ．71条 D ．80条 6 ．（2012年高考（四川理））7 (1)x +的展开式中2 x 的系数是 （ ） A ．42 B ．35 C ．28 D ．21 7 ．（2012年高考（陕西理））两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所 有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 （ ） A ．10种 B ．15种 C ．20种 D ．30种 8 ．（2012年高考（山东理））现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片 各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （ ） A ．232 B ．252 C ．472 D ．484 9 ．（2012年高考（辽宁理））一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不 同的坐法种数为 （ ） A ．3×3! B ．3×(3!)3 C ．(3!)4 D ．9! 10．（2012年高考（湖北理））设a ∈Z ,且013a ≤<,若201251a +能被13整除,则a = （ ） A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 11．（2012年高考（大纲理））将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ． 24种 D ．36种 12．（2012年高考（北京理））从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复
回扣8计数原理 1．分类计数原理 完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法(也称加法原理)． 2．分步计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法(也称乘法原理)． 3．排列 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示． (3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)． (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n －2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！ (n－m)！ ，这里规定0！＝1. 4．组合 (1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示． (3)组合数的计算公式：C m n＝A m n A m m＝ n！ m！(n－m)！ ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) m！ ，由于0！＝1， 所以C0n＝1. (4)组合数的性质：①C m n＝C n－m n ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1 n . 5．二项式定理 (a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)． 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项，用T r＋1表示，即展
十四、计数原理 1.（重庆理4）(13)(6) n x n N n +∈ 其中且≥的展开式中56 x x 与的系数相等，则n= A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 2.（天津理5） 在 6 2 ?? - ?的二项展开式中，2x的系数为 A． 15 4 - B． 15 4C． 3 8 - D． 3 8 【答案】C 3.（四川理12）在集合{} 1,2,3,4,5 中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量 (,) a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记 所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m，则m n = A． 4 15B． 1 3C． 2 5D． 2 3 【答案】D 基本事件： 2 6 (2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3),3515 n C ==?= 由 其中面积为1的平 行四边形的个数 (2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)其中面积为3的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)其中面积为4的平行四边形的个数(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5)其中面积为5的平行四边形的个数 (2,3),(4,1);(2,5)(4,5)；其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3)其中面积为8的平行四边形的个数(4,1)(4,5)其中面积为9的平行四边形的个数(2,5),(4,1) 4.（陕西理4） 6 (42) x x - -（x∈R）展开式中的常数项是 A．-20 B．－15 C．15 D．20 【答案】C 5.（全国新课标理8） 5 1 ()(2) a x x x x +- 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项 为 （A）—40 （B）—20 （C）20 （D）40 【答案】D 6.（全国大纲理7）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位 朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A．4种B．10种C．18种D．20种 【答案】B 7.（福建理6）（1+2x）3的展开式中，x2的系数等于 A．80 B．40 C．20 D．10 【答案】B 8.（安徽理8）设集合 {} 1,2,3,4,5,6, A=}8,7,6,5,4{ = B则满足S A ?且S Bφ ≠ I的集合S 为 （A）57 （B）56 （C）49 （D）8
第一章 计数原理单元测试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种 2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ） A ．36种 B ．48种 C ．96种 D ．192种 3. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 4. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） Ａ．() 2 1 426 10C A 个 Ｂ．24 2610 A A 个 Ｃ．()2 142610C 个 Ｄ．2 42610A 个 5．（x －2y ）10 的展开式中x 6y 4 项的系数是( ) A. 840 B. －840 C. 210 D.－210 6. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ) A.72 B.60 C.48 D.52 7.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数. A.6 B.9 C.10 D.8 8.AB 和CD 为平面内两条相交直线，AB 上有m 个点，CD 上有n 个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是( ) A.2 121m n n m C C C C + B. 21121m n n m C C C C -+ C.21211m n n m C C C C +- D. 2111211---+m n n m C C C C 9.设 () 10 10221010 2x a x a x a a x +???+++=-,则()()2 92121020a a a a a a +???++-+???++的 值为( ) A.0 B.-1 C.1 D. 10．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有( ) A.8种 B.10种 C.12种 D.32种 11．从6个正方形拼成的12个顶点(如图)中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数 为 A ．208 B ．204 C ．200 D ．196 12. 从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为 （ ） A.120 B.240 C.360 D.72 二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列 有 种不同的方法（用数字作答）. 14. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）． 15. 若(2x 3 + x 1)n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n = . 16. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二 人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答） 三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．从4名男生,3名女生中选出三名代表 (1)不同的选法共有多少种? (2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种? (3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种? （第10题） （第11题）
高中数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）》导学案新人教A版选修 【学习目标】 1、通过实例总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理； 2、初步认识两个原理的差异、 【重点难点】 重点：总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理的特征、难点：初步认识两个原理的差异、模块一: 自主学习,明确目标 1、阅读第2页-3页探究：(1)你能说说思考中问题的特征吗？分类加法原理的内容（2）用一大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题中的“一件事”是指什么？举例说明问题中的“不同的号码”是什么？ （3）例1中的“一件事”是指什么？“不同的选择”是指什么？（4）阅读第3页探究，这类问题如何计数？ 2、阅读第3页思考-第5页探究：（1）分步乘法原理的内容（2）阅读第5页探究，这类问题如何计数？（3）完成第6页练习1模块二：问题探究问题
1、两个原理都有“完成一件事”，举例说明在具体问题中“一件事”是指什么, 什么情况下是“完成”？ 2、两个原理中都有所谓“不同的方法”，“不同的方法”在两个原理中的意义有什么不同？模块三：巩固训练，整理提高 3、阅读教材第5 页例3，“不同取法”在两个问题中有什么不同？ 4、阅读教材第5 页例4 ，并回答下列问题：(1)、指出其中一种挂法：(2)、“左甲右乙”与“左乙右甲”挂法是否相同？小结通过本节课的学习，你有哪些收获？ 1、知识上 2、思想方法上 3、反思变式训练1： 1、完成教材第6页练习2, 32、一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘有0到9共10数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码？ 3、设某班有男生30名，女生24名、现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 4、要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和夜班，有多少种不同的选法？ 5、（实验班）书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有3本不同的数学书，第3层放有2本不同的外语书，现取两本不同类型的书，有多少种不同的取法？
高二数学分类计数原理与分步计数原理教案 教学目标： 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题． 教具准备：投影胶片（两个原理）． 教学过程： ［设置情境］ 先看下面的问题： 2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？ 要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识．排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法． 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理． ［探索研究］ 引导学生看下面的问题．（出示投影） 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有 3＋2＝5 种不同的走法，如图所示． 一般地，有如下原理：（出示投影） 分类计数原理完成一件事，有类办法，在第1 类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…， 在第类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 再看下面的问题．（出示投影） 从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法（如图）？
这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地． 这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2＝6 种不同的走法．（让学生具体列出6种不同的走法） 于是得到如下原理：（出示投影） 分步计数原理完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第 种不同的方法． 教师提出问题：分类计数原理与分步计数原理有什么不同？ 学生回答后，教师出示投影：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． （出示投影） 例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ （解答略） 教师点评：注意区别“分类”与“分步”． 例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？ （解答略） 例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ （解答略） ［演练反馈］ 1．有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本．从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同的取法？ （由一名学生板演后，教师讲评） 2．集合，．从、中各取1个元素作为点的坐标． （1）可以得到多少个不同的点？ （2）这些点中，位于第一象限的有几个？ （由一名学生板演后，教师讲评） 3．某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？