一、等差数列选择题
1.设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ,已知10100S =,则47a a +=( ) A .12
B .20
C .40
D .100
2.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2
6780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且
77b a =,则3810b b b =( )
A .1
B .8
C .4
D .2
3.为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了
3600米,最后三天共跑了10800米,则这15天小李同学总共跑的路程为( ) A .34000米 B .36000米 C .38000米 D .40000米 4.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=4,则必有( ) A .a 5=4 B .a 6=4 C .a 5=2 D .a 6=2
5.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()
12n n n S +=,则数列11n n a a +??????
的前10项的和为
( ) A .
89
B .
910
C .10
11
D .
1112
6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921
a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21
B .20
C .19
D .19或20
7.已知等差数列{}n a 中,5470,0a a a >+<,则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为( ) A .4S
B .5S
C . 6S
D . 7S
8.已知数列{}n a ,{}n b 都是等差数列,记n S ,n T 分别为{}n a ,{}n b 的前n 项和,且
713n n S n T n -=,则5
5
a b =( ) A .
34
15
B .
2310
C .
317
D .
62
27
9.题目文件丢失!
10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11
2
a =
,2n ≥且*n ∈N ,满足120n n n a S S -+=,数列1n S ??
????
的前n 项和为n T ,则下列说法中错误的是( )
A .214
a =-
B .
648
211S S S =+ C .数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712
D .1121
n n n n n
T T T n n +-=
++ 11.已知正项数列{}n a 满足11a =,1111114n n n n a a a a ++????
+-=
???????
,数列{}n b 满足1111n n n
b a a +=+,记{}n b 的前n 项和为n T ,则20T 的值为( ) A .1
B .2
C .3
D .4
12.已知数列{}n a 满足25111,,25
a a a ==且
*121
2
1
0,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是( ) A .19
B .20
C .21
D .22
13.在等差数列{}n a 的中,若131,5a a ==,则5a 等于( ) A .25 B .11 C .10 D .9 14.若等差数列{a n }满足a 2=20,a 5=8,则a 1=( )
A .24
B .23
C .17
D .16
15.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若(
)*
111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )
A .0m S <且10m S +>
B .0m S >且10m S +>
C .0m S <且10m S +<
D .0m S >且10m S +<
16.在数列{}n a 中,11a =,且11n
n n
a a na +=+,则其通项公式为n a =( ) A .
2
1
1n n -+ B .2
1
2n n -+
C .22
1
n n -+
D .2
2
2
n n -+
17.在等差数列{}n a 中,25812a a a ++=,则{}n a 的前9项和9S =( ) A .36
B .48
C .56
D .72
18.已知数列{x n }满足x 1=1,x 2=23
,且
11112n n n x x x -++=(n ≥2),则x n 等于( ) A .(
23
)n -1
B .(
23)n C .
21
n + D .
1
2
n + 19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()1
1213n n n n S S a n +++=+-+,现有如下说法:
①541a a =;②222121n n a a n ++=-;③401220S =. 则正确的个数为( ) A .0
B .1
C .2
D .3
20.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( ) A .121
B .161
C .141
D .151
二、多选题
21.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-
B .180S =
C .当0d >时,6140a a +>
D .当0d <时,614a a >22.题目文件
丢失!
23.已知数列{}n a 的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为( )
A .0,2,n n a n ?=??
为奇数
为偶数
B .1(1)1n n a -=-+
C .2sin
2
n n a π
= D .cos(1)1n a n π=-+
24.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .2
3n S n n =- B .2392
-=n n n
S
C .36n a n =-
D .2n a n =
25.朱世杰是元代著名数学家,他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔,小明模仿“堆垛”问题,将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”,要求层数不小于2,且从最下面一层开始,每一层比上一层多1根,则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是( ) A .4
B .5
C .7
D .8
26.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:
1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列
数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是( ) A .1055a = B .2020a 是偶数
C .202020182022
3a a a =+
D .123a a a +++…20202022a a +=
27.无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,则下列结论正确的是( ) A .数列{}n a 单调递减 B .数列{}n a 有最大值 C .数列{}n S 单调递减
D .数列{}n S 有最大值
28.在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是( )
A .n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈);
B .2n n a a d +-=(d 为常数,
*n N ∈);
C .(
)
*
2120n n n a a a n ++-+=∈N ; D .{}n a 的前n 项和2
1
n S n n =++(*n N ∈).
29.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d .已知a 3=12,S 12>0,a 7<0,则( ) A .a 6>0 B .24
37
d -
<<- C .S n <0时,n 的最小值为13 D .数列n n S a ??
?
???
中最小项为第7项 30.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若90a <,100a >,则下列结论正确的是( ) A .109S S >
B .170S <
C .1819S S >
D .190S >
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一、等差数列选择题 1.B 【分析】
由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+,再由1011045100S a d =+=,从而可得结果. 【详解】 解:
1011045100S a d =+=,
12920a d ∴+=, 4712920a a a d ∴+=+=.
故选:B. 2.B 【分析】
根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】
因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2
6780a a a -+=,
所以2
7720a a -=,解得72a =或70a =(舍);
又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,
所以3
3810371178b b b b b b b ===.
故选:B. 3.B 【分析】
利用等差数列性质得到21200a =,143600a =,再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】
根据题意:小李同学每天跑步距离为等差数列,设为n a ,
则123233600a a a a ++==,故21200a =,13141514310800a a a a ++==,故
143600a =,
则()()1152141115153600022
n S a a a a =
+?=+?=. 故选:B. 4.C 【分析】
利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】
因为a 3+a 7=2a 5=4,所以a 5=2. 故选:C 5.C 【分析】
首先根据()12
n n n S +=得到n a n =,设11111n n n b a a n n +==-+,再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】
当1n =时,111a S ==, 当2n ≥时,()()11122
n n n n n n n a S S n -+-=-=
-=. 检验111a S ==,所以n a n =. 设()11111
11
n n n b a a n n n n +=
==-++,前n 项和为n T , 则10111111101122310111111T ??????=-+-++-=-= ? ? ???????
…. 故选:C 6.B 【分析】
由题得出1392
a d =-,则2202n d
S n dn =-,利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,
由
111019
21
a a =得11102119a a =,则()()112110199a d a d +=+, 解得1392
a d =-
,10a <,0d ∴>,
()211+
2022
n n n d
S na d n dn -∴==-,对称轴为20n =,开口向上, ∴当20n =时,n S 最小.
故选:B. 【点睛】
方法点睛:求等差数列前n 项和最值,由于等差数列
()2111+
222n n n d d S na d n a n -?
?==+- ??
?是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值. 7.B 【分析】
根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围,由此求得n S 的最大值. 【详解】
依题意556475600000
a a a a a a a d >?>??
?
?+=+?
,所以015n a n >?≤≤, 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 8.D 【分析】
利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】
由713n n S n T n
-=, ()()1955199195519992791622923927
2
a a a a a a S
b b b b b b T ++?-======++?.
故选:D
9.无
10.D 【分析】
当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ??
?
???
为等差数列,确定该数列的首项和公差,可求得数列1n S ??
?
???
的通项公式,由221a S S =-可判断A 选项的正误;利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误;求出n T ,可判断D 选项的正误. 【详解】
当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-, 由120n n n a S S -+=可得11111
2020n n n n n n
S S S S S S ----+=?
-+=, 整理得
1
112n n S S --=(2n ≥且n +∈N ). 则1n S ??
????
为以2为首项,以2为公差的等差数列
()12122n n n S ?=+-?=,12n S n ∴=. A 中,当2n =时,221111
424
a S S =-=
-=-,A 选项正确; B 中,1n S ??
????
为等差数列,显然有
648
211S S S =+,B 选项正确; C 中,记()()
1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=
+-++, ()()()
1123111
212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++,
()()()
1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=
--=-<++++,故{}n b 为递减数列, ()1123max 1117
24612
n b b S S S ∴==+-=
+-=,C 选项正确; D 中,
12n n S =,()()2212
n n n T n n +∴==+,()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=?++?++=+--+++++222
122212n n n n n n T =-++=+-≠,D 选项错误.
故选:D . 【点睛】
关键点点睛:利用n S 与n a 的关系求通项,一般利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?
-≥?来求解,在变形
过程中要注意1a 是否适用,当利用作差法求解不方便时,应利用1n n n a S S -=-将递推关系
转化为有关n S 的递推数列来求解. 11.B 【分析】 由题意可得
2
2
1114n n
a a +-
=,运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-
,求得1
4n b =,然后利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】
解:由11a =,1111114n n n n a a a a ++????
+-= ???????
,得22
1114n n
a a +-=, 所以数列21n a ??
????是以4为公差,以1为首项的等差数列,
所以21
14(1)43n
n n a =+-=-,
因为0n a >
,所以n a =,
所以
1111n n n
b a a +=+=
所以1
4
n b =
=,
所以201220T b b b =++???+
11
1339(91)244=++???+=?-=, 故选:B 【点睛】
关键点点睛:此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和,解题的关键是由已知条件得
2
2
1114n n a a +-
=,从而数列21n a ??????
是以4为公差,以1
为首项的等差数列,进而可求n a =
,1
4
n b =
=,然后利用裂项相消法可求得结果,考查计算能力和转化思想,属于中档题 12.B 【分析】
由等差数列的性质可得数列1n a ??
????
为等差数列,再由等差数列的通项公式可得
1n
n a ,进
而可得1
n a n
=,再结合基本不等式即可得解. 【详解】
因为*
121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,所以12
211n n n a a a ++=+, 所以数列1n a ??
?
???
为等差数列,设其公差为d , 由25111,25
a a a ==可得
25112,115a a a ==?, 所以11
11
2
1145d a d a a ?+=????+=???,解得1111
a d ?=???=?,
所以
()1111n n d n a a =+-=,所以1n a n
=,
所以不等式100n n a a +≥即100
n a n
+≥对任意的*n N ∈恒成立,
又10020n n +
≥=,当且仅当10n =时,等号成立, 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选:B. 【点睛】
关键点点睛:解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 13.D 【分析】
利用等差数列的性质直接求解. 【详解】 因为131,5a a ==,315529a a a a =+∴=,
故选:D . 14.A 【分析】 由题意可得52820
45252
a a d --===---,再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解:根据题意,52820
45252
a a d --===---,则1220(4)24a a d =-=--=, 故选:A. 15.D
【分析】
由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】
由题意,1110,0m m a a a a ++>+<, 所以1()02m m m a a S +=>,111(1)()
02
m m m a a S ++++=<. 故选:D. 16.D 【分析】
先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=,再由累加法计算出212
2
n n n a -+=,进而求出n a .
【详解】 解:
11n
n n
a a na +=
+, ()11n n n a na a ++=∴,
化简得:11n n n n a a a a n ++=+, 两边同时除以1n n a a +并整理得:
111
n n
n a a +-=, 即
21
11
1a a -=,32112a a -=,43113a a -=,…,1111(2,)n n n n n z a a --
=-≥∈, 将上述1n -个式子相加得:
213243111111+a a a a a a --+-+ (1)
11
123n n a a -+-=+++…1n +-, 即
111(1)
2
n n n a a --=, 2111(1)(1)2=1(2,)222
n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈, 又
1
1
1a =也满足上式, 212()2
n n n n z a -+∴=∈, 22
()2
n a n z n n ∴=
∈-+.
故选:D. 【点睛】
易错点点睛:利用累加法求数列通项时,如果出现1n -,要注意检验首项是否符合. 17.A 【分析】
根据等差数列的性质,由题中条件,得出54a =,再由等差数列前n 项和公式,即可得出结果. 【详解】
因为{}n a 为等差数列,25812a a a ++=, 所以5312a =,即54a =, 所以()199998
3622
a a S +?===. 故选:A . 【点睛】
熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 18.C 【分析】 由已知可得数列1n x ??????是等差数列,求出数列1n x ??
????
的通项公式,进而得出答案. 【详解】
由已知可得数列1n x ??
????是等差数列,且121131,2x x ==,故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-?=,故21
n x n =+
故选:C 19.D 【分析】
由()
1
1213n n n n S S a n +++=+-+得到()
1
1132n n n a a n ++=-+-,再分n 为奇数和偶数得
到21262k k a a k +=-+-,22165k k a a k -=+-,然后再联立递推逐项判断. 【详解】
因为()1
1213n n n n S S a n +++=+-+,
所以()
1
1132n n n a a n ++=-+-,
所以()212621k k a a k +=-+-,()221652k k a a k -=+-, 联立得:()212133k k a a +-+=, 所以()232134k k a a +++=, 故2321k k a a +-=,
从而15941a a a a ===???=,
22162k k a a k ++=-,222161k k a a k ++=++,
则222121k k a a k ++=-,故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++,
()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++,
()()20
1411820622
k k =+?=-=
=
∑1220,
故①②③正确. 故选:D 20.B 【分析】
由条件可得127a =,然后231223S a =,算出即可. 【详解】
因为31567a a a +=+,所以15637a a a =-+,所以1537a d =+,所以1537a d -=,即
127a =
所以231223161S a == 故选:B
二、多选题
21.ABC 【分析】
因为{}n a 是等差数列,由612S S =可得9100a a +=,利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ;利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质
961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ;由0d <可得6140a a d +=<且60a >,
140a <即可判断选项D ,进而得出正确选项.
【详解】
因为{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,由612S S =得:
1267891011120S S a a a a a a -=+++++=,即()91030a a +=,即9100a a +=,
对于选项A :由9100a a +=得12170a d +=,可得1:17:2a d =-,故选项A 正确; 对于选项B :()
()
11891018181802
2
a a a a S ++=
=
=,故选项B 正确;
对于选项C :911691014a a a a a a d d =+=++=+,若0d >,则6140a a d +=>,故选项C 正确;
对于选项D :当0d <时,6140a a d +=<,则614a a <-,因为0d <,所以60a >,140a <,
所以614a a <,故选项D 不正确, 故选:ABC 【点睛】
关键点点睛:本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=,熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可.
22.无
23.BD 【分析】
根据选项求出数列的前4项,逐一判断即可. 【详解】
解:因为数列{}n a 的前4项为2,0,2,0, 选项A :不符合题设;
选项B :0
1(1)12,a =-+=1
2(1)10,a =-+=
23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=,符合题设;
选项C :,12sin
2,2
a π
==22sin 0,a π==
332sin
22
a π
==-不符合题设; 选项D :1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=
3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=,符合题设.
故选:BD. 【点睛】
本题考查数列的通项公式的问题,考查了基本运算求解能力,属于基础题. 24.BC 【分析】
由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】
解:设等差数列{}n a 的公差为d , 因为30S =,46a =,
所以1
132302
36
a d a d ??+=???+=?,解得133a d =-??=?, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,
21(1)3(1)393222
n n n n n n n
S na d n ---=+=-+=
,
25.BD 【分析】
依据题意,根数从上至下构成等差数列,设首项即第一层的根数为1a ,公差即每一层比上一层多的根数为1d =,设一共放()2n n ≥层,利用等差数列求和公式,分析即可得解. 【详解】
依据题意,根数从上至下构成等差数列,设首项即第一层的根数为1a ,公差为1d =,设一共放()2n n ≥层,则总得根数为:
()()
111110022n n n d n n S na na --=+
=+= 整理得1200
21a n n
=
+-, 因为1a *
∈N ,所以n 为200的因数,()200
12n n
+-≥且为偶数, 验证可知5,8n =满足题意. 故选:BD. 【点睛】
关键点睛:本题考查等差数列的求和公式,解题的关键是分析题意,把题目信息转化为等差数列,考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力,属于基础题. 26.AC 【分析】
由该数列的性质,逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ,821a =,9211334a =+=,10213455a =+=,故A 正确; 对于B ,由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数,故B 错误;
对于C ,20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=,故C 正确; 对于D ,202220212020a a a =+,202120202019a a a =+,202020192018a a a =+,
32121,a a a a a ???=+=,
各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++???+=+++???++, 所以202220202019201811a a a a a a =++???+++,故D 错误. 故选:AC. 【点睛】
关键点点睛:解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 27.ABD 【分析】
由10n n a a d +-=<可判断AB ,再由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,可
【详解】
根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<,所以数列{}n a 单调递减,A 正确; 由数列{}n a 单调递减,可知数列{}n a 有最大值a 1,故B 正确;
由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,所以数列{}n S 先增再减,有最大值,C 不正确,D 正确. 故选:ABD. 28.AC 【分析】
直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列. 【详解】
A 选项中n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈),数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式,所以是等差数列,故正确,
B 选项中2n n a a d +-=(d 为常数,*n N ∈),不符合从第二项起,相邻项的差为同一个常数,故错误;
C 选项中()
*
2120n n n a a a n ++-+=∈N ,对于数列{}n a 符合等差中项的形式,所以是等差
数列,故正确;
D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++(*n N ∈),不符合2
n S An Bn =+,所以{}n a 不
为等差数列.故错误. 故选:AC 【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义的应用,如何去判断数列为等差数列,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型. 29.ABCD 【分析】
S 12>0,a 7<0,利用等差数列的求和公式及其性质可得:a 6+a 7>0,a 6>0.再利用a 3=a 1+2d =12,可得24
7
-
<d <﹣3.a 1>0.利用S 13=13a 7<0.可得S n <0时,n 的最小值为13.数列n n S a ??
????
中,n ≤6时,n n S a >0.7≤n ≤12时,n n S a <0.n ≥13时,n n S a >0.进而判断
出D 是否正确. 【详解】
∵S 12>0,a 7<0,∴
()
67122
a a +>0,a 1+6d <0.
∴a 6+a 7>0,a 6>0.∴2a 1+11d >0,a 1+5d >0,
又∵a 3=a 1+2d =12,∴24
7
-<d <﹣3.a 1>0. S 13=
()
113132
a a +=13a 7<0.
∴S n <0时,n 的最小值为13.
数列n n S a ??
????
中,n ≤6时,n n S a >0,7≤n ≤12时,n n S a <0,n ≥13时,n n S a >0.
对于:7≤n ≤12时,
n
n
S a <0.S n >0,但是随着n 的增大而减小;a n <0, 但是随着n 的增大而减小,可得:n
n
S a <0,但是随着n 的增大而增大.
∴n =7时,n
n
S a 取得最小值.
综上可得:ABCD 都正确. 故选:ABCD . 【点评】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 30.ABD 【分析】
先根据题意可知前9项的和最小,判断出A 正确;根据题意可知数列为递减数列,则
190a >,又181919S S a =-,进而可知1516S S >,判断出C 不正确;利用等差中项的性质
和求和公式可知()0117917917
217
172
2
a a a S a <+??=
=
=,()11910191019
219
1902
2
a a a S a +??=
=
=>,故BD 正确. 【详解】
根据题意可知数列为递增数列,90a <,100a >,
∴前9项的和最小,故A 正确;
()117917917
217
1702
2a a a S a +??===<,故B 正确; ()11910191019
219
1902
2
a a a S a +??=
=
=>,故D 正确; 190a >, 181919S S a ∴=-, 1819S S ∴<,故C 不正确.
故选:ABD .
【点睛】
本题考查等差数列的综合应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.