矩阵和指标符号
MA 02139，剑桥 麻省理工学院 材料科学与工程系 David Roylance
2000年9月18日
要描述一个矢量，可列出它在直角坐标系z y x 、、轴中的各个分量，例如位移矢量U
可以记作，用字母下标表示各个分量。也可用数字下标1、2、3分别表示z y x u u u 、、z y x 、、方向，因而位移矢量同样也可写成。
321u u u 、、 常见而实用的速记方法是把位移矢量简写成，这里的下标是假定在范围1、2、3内变化的指标（在二维问题中，i 就是1、2）。这称为指标符号的范围规则。应用这一规则，矢量式分别表示3个标量式：
i u i a u i
=
我们通常会发现：把矢量的各分量竖向排列在括号内较为方便，这种形式使我们更容易明了矩阵和矢量的乘法。于是我们有如下等价的矢量表示形式：
诸如应力、应变、惯性矩以及曲率等二阶量，都可以表示成3×3的矩阵。例如，应力可用数字指标写成
这里，第一个下标表示行、第二个下标表示列。这里的下标也有物理意义，例如23σ表示在2面（该平面的法线沿着方向2、或方向）上作用的沿方向3（或方向）的应力。为便于区别，二阶张量用方括弧、矢量用花括弧。
y z 应用指标符号的范围规则，应力也可写成j i σ，这里i 和j 的变化范围都是从1到3，这就给出了9个分量，清楚地如上所列。由于应力矩阵是对称的，即i j j i σσ=，9个分量中只有6个是独立的。
对某指定项重复的下标表示对该重复下标的取值范围求和，这就是指标符号的求和规则
。例如，为了表示应力矩阵中对角线上各元素之和，可写成：
矩阵的乘法规则正式的表述为：设A =是）（j i a ）（N M ×矩阵，B =是矩阵，仅当时，矩阵的乘积AB 是）（j i b ）（P R ×N R =）（P M ×的矩阵C =，由下式给出
）（j i
c
应用求和规则，上式可简写为
式中，求和是对重复的指标进行的。对3k ×3矩阵乘以3×1列矢量的情况，我们有
逗号规则用下标逗号表示对其后的变量求导数，所以y f f ??=2,，j i j i x u u ??=,。例如，表达式0,=j j i σ用到了前面定义的所有三个指标规则：对i 应用范围规则；对j 求和并求导数：
克罗内克-δ函数是很有用的，它定义为
这是单位矩阵 I 的指标形式：
于是，例如
式中，332211σσσσ++=k k 。