第十六章 含参量积分
关于积分理论，我们已经学过一元函数的积分理论：包括常义积分（积分限有限、被积函数有界）和广义积分，其积分变量和被积函数的变量一样，都是一个。但在各技术领域，经常会遇到这样的积分：对一个变量的积分还与一个参数有关，如天体力学中常遇到的椭圆积分：dt t k ?
-2/0
22sin 1π，从形式可以看出，
积分变量为t ，积分过程结果依赖于k ，此时k 称为积分过程中的参量。显然，若将k 视为一个变元，记t k k t f 22sin 1),(-=为一个二元函数，则上述积分只涉及其中的一个变量，将另一个变量视为参量，像这种积分形式在工程技术领域还有很多。因此，为解决相应的技术问题，必须先在数学上进行研究，这就是本章的内容：含参变量的积分，包括：常义积分和广义积分两部分，由于这种积分形式的被积函数是多元函数，因此，多元函数理论为参变量积分的研究提供了理论基础。
§1含参变量的常义积分
只考虑一个参量的含参量积分，因此，被积函数是二元函数。设),(y x f 在],[],[d c b a D ?=，此时),(0y x f 是为关于x 的一元连续函数，因而可积。考虑其积分dx y x f b
a ?),(0，显然其与0y 有关，
记为dx y x f y I b
a
?=),()(00，更一般，引入
dx y x f y I b
a
?=),()(，
称其为含参变量y 的积分。
注：由此可看出：含参量的积分结果是一个关于参变量的函数，由此就决定了含参量积分的研究内容：不仅在于计算，还要研究其分析性质。更进一步的，将其分析性质应用于含参量的计算，由此带来了积分计算的新方法：通过引入参变量，将一个一般积分转化为含参量的积分，通过含参量积分的性质进行计算含参量的积分，最后取特定的参量值计算出原积分。为此，先研究含参量积分的分析性质。
定理1：（连续性）设)(),(D C y x f ∈，则],[)(d c C y I ∈。 分析：在不能利用连续函数的性质得到连续性的情况下，需利用定义证明函数的连续性，这是处理这类问题的一般方法。
证明：任取],[0d c y ∈，取y ?，使],[0d c y y ∈?+，只须证：
)()(lim 000
y I y y I y =?+→?。
事实上，由于：
dx y x f y y x f y I y y I b
a |),(),(|)()(0000-?+≤-?+?
（要使0)()(00→-?+y I y y I ，只须),(),(00y x f y y x f -?+充分小，形式上看：只须利用),(y x f 在0y 点的连续性，但实际不仅如此，更要用到一致连续性。因为，仅仅利用),(y x f 在0y 点或（x,
0y ）的连续性，对任意的ε，得到的0(,,)x y δδε=不仅与0,y ε有
关，还与[,]x a b ∈有关，因而，不能保证在整个积分区间[a,b]上都有),(),(00y x f y y x f -?+ε<；同时，在证明0()I y y 在点的连
续性时，只允许0,)y δδε＝（。）
由于)(),(D C y x f ∈，因而，f (x,y )在D 上一致连续，故，对任
意
的
ε>0，存在()δδε=，使得当
(,)(,)x y x y D ''''''∈、且||,||x x y y δδ''''-<-<时，成立
|(,)(,)|f x y f x y b a
ε
'''''-<-，
因而，当||y δ?<时，成立
),(),(00y x f y y x f -?+b a
ε<
-，
故，
dx y x f y y x f y I y y I b
a |),(),(|)()(0000-?+≤-?+?ε<
所以，()I y 在0y 点的连续性，由0y 的任意性得，],[)(d c C y I ∈。
注：结论表明：极限和积分运算可以换序：
dx y x f dx y x f dx y x f b
a y y b
a
b
a
y y ???→→==),(lim ),(),(lim
00。
定理2：（可微性）设)(),(D C y x f ∈，(,)()y f x y C D ∈，则
],[)(d c C y I '∈且
?=b a y dx y x f dy
y dI ),()
(， 即微分与积分运算可以换序。
分析：证明思想和定理1相同，利用可微性的局部性和定义验证即可。
证明：任取],[0d c y ∈，及y ?，使],[0d c y y ∈?+，由中值定理，
0000()()
(,)(,)
b
a
I y y I y f x y y f x y dx y
y
+D -+D -=
D D ò
0(,)b
y a
f x y y dx q =
+D ò
，
其中，[0,1]θ∈。由定理1，则
00000()()
lim
lim (,)b y a y y I y y I y f x y y dx y
θ?→?→+?-=+???
00
lim (,)b y a y f x y y dx θ?→=+???=b
a y dx y x f ),(0。
更进一步讨论变限的含参量积分，记?
=)
()
(),()(y b y a dx y x f y F 。
定理3：若)(),(D C y x f ∈，],[)(),(d c C y b y a ∈，且
(),()a a y b a b y b ≤≤≤≤，则],[)(d c C y F ∈。
证明：任取],[0d c y ∈，取y ?，使],[0d c y y ∈?+，由于
00()
000()()()(,)a y a y y F y y F y f x y y dx +?+?-=+??
00()
00()
[(,)(,)]b y a y f x y y f x y dx ++?-?
00()
0()
(,)b y y b y f x y y dx +?++??
。
由于)(),(D C y x f ∈，因而有界，不妨设 |(,)f x y M ≤，又
],[)(),(d c C y b y a ∈且类似定理1 的证明得，对任意0ε>，存在
0(,)y δε，当||y δ?<时成立 00()000()
|(,)||()()|3
a y a y y f x y y dx M a y y a y ε
+?+?≤+?-<
?
，
00()
00()
|[(,)(,)]|b y a y f x y y f x y dx +?-?
00|(,)(,)|3
b
a f x y y f x y dx ε
≤+?-<
?，
00()
000()
|(,)||()()|3
b y y b y f x y y dx M b y y b y ε
+?+?≤+?-<
?，
因而，
00|()()|F y y F y ε+?-<。
故，],[)(d c C y F ∈。
定理4：设)(,D C f f y ∈，且1(),()[,]a y b y C c d ∈，则
1()[,]F y C c d ∈，且：
?
'-'+=')
()
()()),(()()),((),()(y b y a y y a y y a f y b y y b f dx y x f y F 。
证明：],[],,[00d c y y d c y ∈?+∈?，利用中值定理，存在
[0,1]i θ∈(1,2,3.i =)使得
00()
000()
()()1(,)a y a y y F y y F y f x y y dx
y y +?+?-=+????
00()
00()1[(,)(,)]b y a y f x y y f x y dx y
+
+?-??dx y y x f y y y b y b ??+?+?+
)
()
(000),(1。
()0010100()()
(()1(),)
a y a y y f a y a y y y y y
θθ-+?=+-+?+??
00()
02()
(,)b y y a y f x y y dx θ++??
()0030300()()
(()1(),)
b y y b y f b y y b y y y y
θθ+?-++?+-+??
00()
0000000()0(,)((),)()((),)()b y y a y y f x y dx f b y y b y f a y y a y ''?→+-?u u u u u u u r . 定理得证。
上面讨论了含参量积分的连续性和可微性，从运算角度看，这些性质给出了两种运算间的可换序性，在相关的运算中有非常重要的作用（见后面的例子）。
下面的结论表明了含参量积分的积分运算的可换序性。由此给出积分计算的一种新方法，为此，考虑由一个二元函数给出的两个含参量积分的形式，事实上，设D y x f ∈),(，则可引入两个含参量积分：
?=d
c dy y x f x J ),()(，?=b
a
dx y x f y I ),()(
显然：],[)(],,[)(d c C y I b a C x J =∈，因而可积，考虑二者的积分。
?????==b a
d
c
b a
d c
b
a dy y x f dx dx dy y x f dx x J ),(]),([)(
?????
==d c
b
a
d c
b a
b
a
dx y x f dy dy dx y x f dy y I ),(]),([)(
分析这两个积分：被积函数都是),(y x f ，积分顺序不同，因而是函数),(y x f 在区域D 上的两个不同顺序的积分，也是后面多重积分理论中的累次积分。自然要考虑这样的问题：二者是否相等，即：累次积分是否可换序。
定理5：（积分换序性），设)(),(D C y x f ∈，则
???
?=d c
b
a
b
a
d c
dx y x f dy dy y x f dx ),(),(。
即两个累次积分可以换序。 分析：采用一种特殊的方法：将其转化为证明两个函数相等，这是一个新的思想，要求掌握。
证明：记??=u
c
b
a
dx y x f dy u I ),()(1，??=b
a
u
c
dy y x f dx u I ),()(2，
下证：)()(21u I u I =，特别有)()(21d I d I =，为此，先证：
)()(21
u I u I '='。 由于???==u
c
u
c
b
a
dy y I dx y x f dy u I )(),()(1，故：
1()()(,)b
a
I u I u f x u dx '==?。
同样，对)(2u I ，记?=u
c
dy y x f u x F ),(),(，则
?=b
a
dx u x F u I ),()(2，
故：??=='b
a
b a
u dx u x f dx u x F u I ),(),()(2
， 因而 )()(21
u I u I '='。所以， d u c u I u I ≤≤?+=,)()(21α。
令c u =，得0=α。因此：)()(21u I u I =，d u c ≤≤?，特别：
)()(21d I d I =。
应用：重点讨论在积分计算中的应用。
例1：设?=2sin )(y y dx x
yx
y F ，计算)(y F '
解：由公式：
)(y F 'y y y y y y y
y xydx y y
2
322
3sin 2sin 3sin 2sin cos 2-=-+=?
。 例2：计算?+→1
020cos 1lim x
x dx
αα
分析：两种运算是否可换序：含参量积分的连续性定理。
解：记x
x x f ααcos 11),(2+=，则])21
,21[]1,0([),(-?∈C x f α，
因而：[]2/1,2/1cos 1)(102-∈+=?C x
x dx
I αα，故，
4
1)0()(lim 1020π
αα=
+==?→x dx I I 。 注：这类题目通常要求确定参量的活动区间，技巧是，在极限点附近取充分小的区间，满足定理要求的条件即可。
例3：计算?
+++→1
0/10
)1(1lim y
y xy dx
。
解：令???????
=≤≤+≤<≤≤++=0,10,1110,10,)1(11),(/1y x e y x xy y x f x y
，则
[][]()1,01,0),(?∈C y x f ，因而：
1
1
1/1/000
lim lim 1(1)
1(1)
y y
y
y
dx
dx
xy xy +
+
=++++蝌
()
1
100
11x
x
x x
dx
de e
e e ==++蝌 e
e
t t dt e
+=+=?
12ln )1(1
。 例4：计算1,)cos 1ln()(0
<+=?θθθπdx x I 分析：通过例子熟悉含参量积分在积分计算中的运用。 解：取10:<
[][]0,,b b π?-上连续。 故：
00
cos 1
1
()(1)1cos 1cos x I dx dx x x
p
p q q q
q ￠=
=-
++蝌
011cos dx
x
p p q q q =-+ò
利用万能公式，
/222200022
111cos (1)(1)11t tgx dx dt t dt t x t
t πππθθθθ
=+==-+++-++???
)2
x
= 因而，
1()(I πθπθθ'=
=- 求积分得
()(ln ln
ln(1I c θπθπ=+=+，
又(0)0I =，则ln 2c π=-，故()I θπ=
注：利用含参量积分的求导理论计算定积分，从计算思想上看和分部积分法相同，即通过求导，改变被积函数的结构，使之简单化，便于计算；但是，与分部积分的求导对象不同，因而，是采用了不同的求导方式来改变积分结果，因此，这两种方法在处理复杂类型的定积分时都是有效的方法。如本例用分部积分法将积分转变为下述积分计算，
?+++=ππθθθ00cos 1sin )cos 1ln()(dx x x
x x x I ，而后者可以利用定积分公式0
(sin )(sin )2xf x dx f x dx π
π
π
=
??
来计算。但对有些例子来说，
能用含参量积分的求导理论来计算的，不一定能用定积分理论的分部积分法来计算。
例4：计算?++=102
1)
1ln(dx x x I
分析：此类题目较难：难在其一：看似是一个正常的定积分，但利用定积分的计算技术（常规）无法解决；其二：由于其一，必须引入新的计算方法：含参量积分法，但问题是：如何引入参量，参量的位置如何确定？一旦选择了合适的参量位置，具体的计算过程就很简单了。通过例子具体说明。
解：考虑含参量积分：?++=1021)
1ln()(dx x x I αα，则I I =)1(。 因此，只须计算)(αI ：)(αI 与I 相比，虽然积分结构相同，但由于含有参量，因而处理的方法更多，比如求导： ?
++='1
02)
1)(1()(dx x x x
I αα （转化为有理式的积分）
?
--+++=1
022]11[11dx x x x αα
αα
)]1ln(2ln 21
4[112ααπα+-++=
， 两边积分，则 )1(2ln 8
2
2ln 8)()0()1(1
I d I I I -+=
'=-?π
αα。
由于(0)0I =，故(1)ln 28
I π
=
。 注：处理思路：分析被积函数结构，在较难处理的因子中引入参量，通过求导法将其简化，便于计算。
还有一类积分的计算，须利用含参量积分的换序定理，通过换序达到简化计算的目的。
例5：计算1
(0).ln b a
x x I dx b a x
-=>>?
解：法一、积分法，即利用积分换序定理计算。 由于x
x x dy x a
b b
a
y
ln -=?
，故，利用含参量积分的换序定理，
a
b dy y dx x dy dy x dx I b
a b a
y b a
y ++=+===?
????11ln 111
10
。 法二、求导法，即利用含参量积分的求导定理计算。 记1
() ln y a
x x I y dx x
-=?
，[,]y a b ∈。定义 , 01,(,)ln 0, 0,y a
x x x a y b f x y x x a y b ?-<≤≤≤?
=??=≤≤?
则，(,)f x y 、(,)y f x y 在[0,1][,]a b ?上连续，故 1
01
() =
1y I y x dx y
'=+? 因而，()ln(1)I y y c =++，注意到()0I a =，故ln(1)c a =-+，所以，
1()ln
1b
I I b a
+==+。 注：用含参量积分的积分换序定理计算定积分，需要对被积函数仔细分析，将其转化为对另一个变量的积分，这是较困难的一步。总之：利用含参量积分换序定理计算定积分是一种高级的
计算方法，难度较高，须通过多练才能掌握。
注：上述两个方法比较可以发现，能用积分换序定理计算的定积分也可以用含参量积分的求导方法，从计算过程看，两个方法难度没有区别，大家可以在课后的练习中对这两种方法进行进一步的比较。
§2 含参量的广义积分
和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。从形式上讲，含参量的广义积分也应有两种形式：无穷限形式的广义积分和无界函数的广义积分，由于二者之间可以相互转化，我们仅以无穷限广义积分为例讨论其性质。
一、基本概念
1、无穷限广义积分的定义
定义1：设),(y x f 为定义在[)I a D ?+∞=,（I 为某区间，有界或无界）的二元函数，形如dx y x f a
?
+∞),(的积分称为含参变量y
的广义积分。
注：从定义形式决定研究内容： 1）、广义积分是否存在-----收敛性问题； 2）、在存在条件下，函数（含参量积分）的分析性质。 先看第一个问题：收敛性问题。
与一元函数广义积分相区别的是：由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值，而是一个函数，这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中，不仅要有收敛性而且还必须讨论收敛性与参量之关系，由此形成一致收敛性。
2：含参量广义积分的收敛和一致收敛。
定义2：设),(y x f 定义在[)I a D ?+∞=,，若对某个I y ∈0，广义积分
dx y x f a
?
+∞
),(0在0y 点收敛，则称含参量广义积分
dx y x f c
?
+∞
),(在0y 点收敛；若dx y x f c
?
+∞),(在I 中每一点都收敛，
称含参量广义积分dx y x f a
?
+∞),(在I 上收敛。
注：“δε-”定义：
dx y x f a
?
+∞
),(在I 上收敛是指：对每个I y ∈，
a y A >?>?),(,00εε，使当
0,A A A >'时，
ε
'
A A
dx y x f ),(，
（或者
ε
+∞
A
dx y x f ),(）
。 注意：y A ,~0ε 由收敛性定义，若dx y x f c
?+∞),(在I 上收敛，则可定义I 上的
函数
)(y I =dx y x f a
?
+∞),(。
自然提出：此时)(y I 的性质如何?能否保证)(y I 具有较好的性质。事实上，
研究发现：正是由于定义中),(0y A ε与y 的依赖关系，使得)(y I 不能具有较好的性质。换句话说：为保证)(y I 具有可供利用的分析性质，必须改进收敛性，这就形成关于参量y 的一致收敛性。
定义3：若a A >?>?)(,00εε，使当0,A A A >'时，
ε
'
A A
dx y x f ),(，
对一切I y ∈成立，称dx y x f a
?+∞
),(在I 上关于y
一致收敛。
注：含参量广义积分的一致收敛性和一致连续性、函数列或函数项级数的一致收敛性具有同样的含义，应仔细体会定义，注意定义中各个量给出的顺序和相互关系。
注：在一致收敛性理论中，非一致收敛性的证明也是经常遇到的，我们给出关于非一致收敛性的一个定义和一个充要条件。
定义4：若存在00>ε，使对a A >?0，都存在0,A A A ≥'，及
y I ?∈，使
00),(ε>?
'
A A
dx y x f ，则称?
+∞
a
dx y x f ),(关于y I ∈非一
致收敛。
定理1：若存在00>ε，和数列a A A n
n >'>，且
+∞→'+∞→n
n A A ,及n y I ∈，使0),(ε>?
'n
n
A A n dx y x f ，则
?
+∞
a
dx y x f ),(在I 内非一致收敛。
类似以前学过的相似内容，我们先给出一致收敛性的判断定
理，然后分析性质的研究。
二：一致收敛性的判别法。
借助于一元函数广义积分收敛性的判别法，我们有一系列相应的含参量广义积分一致收敛性的判别法。
定理2、（Weistrass 判别法）设存在定义于[)+∞,a 上的函数
)(x F ，使(,)(),(,)[,)f x y F x x y D a I ≤?∈=+∞?，且dx x F a ?+∞
)(收
敛，则dx y x f a
?
+∞
),(在J 上一致收敛。
定理3、（Abel 判别法）设),(),,(y x g y x f 定义在D 上且满足： 1）dx y x f a
?
+∞
),(在I 上关于y 一致收敛。
2）),(y x g 关于x 单调，即对每个固定y ,(,)I g x y ∈为x 的单调函数。
3）),(y x g 在
D
上一致有界，即L ?，使
(,), (,)g x y L x y D ≤?∈。 则?
+∞a
dx y x g y x f ),(),(关于y 一致收敛。
定理4、（Dirichlet 判别法）设),(),,(y x g y x f 定义在D 上且满足：
1）?>?A
a
dx y x f a A ),(,关于y 一致有界，即0>?K ，使
(,),,A
a
f x y dx K A a y I ≤?≥∈?
都成立。
2）对固定的y I ∈，),(y x g 关于x 单调。
3）0),(lim =+∞
→y x g x 关于y I ∈一致成立：即a A ≥?>?0,0ε，
当0A x ≥时，ε<),(y x g 关于y I ∈一致成立。
则?
+∞a
dx y x g y x f ),(),(关于y I ∈一致收敛。
注：上述两个定理的证明和广义积分的收敛性的证明类似， 其出发点都是积分第二中值定理：
?
?
?
'
'
'+=A y y A
A A
dx y x f y A g dx y x f y A g dx y x g y x f )
()
(),(),(),(),(),(),(ξξ
定理5、（Dini--Th ）设),(y x f 在[)[]d c a ,,?+∞上连续且保号， 如果?
+∞a
dx y x f ),(在[]d c ,上收敛，且?
+∞
=a
dx y x f y I ),()(在[]d c ,上
连续，则?
+∞a
dx y x f ),(关于[]d c y ,∈一致收敛。
证明：反证法：设0)(≥x f ，若不一致收敛，则
],[,,00d c y a n n ∈?>?>?ε，使0),(ε≥?
+∞
n
n dx y x f ，{}],[d c y n ?有
收敛子列。
不妨设{}n y 收敛于],[0d c y ∈，而?+∞
a
dx y x f ),(收敛，则A ?，
使
2/),(00ε
+∞
A
dx y x f
故，n A >时，0),(),(ε>≥?
?
+∞+∞n
n A
n dx y x f dx y x f 。又，
???
-=+∞+∞
A a
a
A
dx y x f dx y x f dx y x f ),(),(),(
由定理条件和含参量积分的连续性定理，(,)A
f x y dx +∞?
关于y 连
续，因而
lim
n →∞
2/),(),(00ε<=?
?
+∞
+∞
A
A
n dx y x f dx y x f ，
而这与0),(ε≥?
+∞
A
n dx y x f 矛盾。
三、一致收敛性判别举例。
根据一致收敛判别定理，在讨论一致收敛性问题时，通常按如下顺序进行：首先考虑能否用Werstrass 判别法，其次，考虑用Abel 和Dirichlet 判别法，再次，考虑用Dini 判别法，最后，考虑非一致收敛性。但是，上述只是解决此类问题的一般规律。事实上，各类判别法所适用的对象都有相应的结构特点，因此，在熟练掌握了各判别法的实质后，可根据题目结构特点，选用相应的判别法。特别，当所给题目是讨论同一积分在不同参数区间上的一致收敛性时，通常在小区间上是一致收敛，在大区间上非一致收敛。
例1：讨论?+∞
-0sin xdx e x α在i)00[,)(0)ααα∈+∞>ii) ()+∞,0内
一致收敛性。
解、i)当0[,)αα∈+∞时，由于 x x e x e 0sin αα--≤，故，利用
Werstrass 判别法可得 ，?
+∞
-0sin xdx e x
α关于0[,)αα∈+∞一致收敛。 ii)、当(0,)α∈+∞时，可以考虑非一致收敛性。事实上：取
2,4
n A n π
π=+
1
,2
n
n n n
A A A π
α'=+=
'，则，],[,22sin n n A A x x '∈≥
，因而
1
sin ()224
n
n n n n A A A x x n n A A e xdx e dx e A A e ααα'''----'≥
≥-=?
? 故，?+∞
-0
sin xdx e x α关于(0,)α∈+∞非一致收敛。
例2、证明?+∞
-0
sin dx x
x
e x
α在[)+∞,0上一致收敛。 证明：典型的Abel 判别法所处理对象。由于
?
+∞
sin dx x
x
收敛（广义积分的Dirichlet 判别法：即2sin ,01
≤↓?'A A xdx x
）
，因此，关于α一致收敛。又：x e α-是关于x 的单调函数且一致有界，故，由Abel 判别法可知该积分关于
[0,)α∈+∞一致收敛。
例3：证明：
?
+∞
sin dx x
xy
关于y 在],[b a 上一致收敛，（+∞<<
证明：首先注意到，这只是一个无穷限广义积分，x =0不是奇点。
当y ∈],[b a 时，由于对任意的A>0,
()0
1cos 22
sin A
Ay xydx y y a
-=
≤≤?
， 且1
x
单调且一致有界（x >1时），由Dirichlet 判别法，?+∞0sin dx x xy 一致收敛。
y ∈()+∞,0时，此时，0
sin A
xydx ?不再一致有界，可能造成非
一致收敛。
事实上，取n
y n A n A n n
n 1,2/3,=='=ππ， π
π
ππ
ππ
ππ
32
sin 32sin
sin 232323
=>=?
?
?
n n n n n n n
dx n x n dx x n x
dx x
xy 故，?
+∞
sin dx x
xy
关于y ∈()+∞,0非一致收敛。
注：此时，不能象例1那样通过先提出sin x 的界，再计算剩下的积分。因为，此时剩下的积分为'1
ln 0n n
n n
y A n y A n
A dt t A '=→?
。不能保证Cauchy 片段有正的下界。
四、一致收敛积分的性质
下面讨论一致收敛积分的分析性质。
1、广义积分与函数项级数：
设
?
+∞
a
dx y x f ),(对每一个],[d c y ∈收敛，记
],[,),()(d c y dx y x f y I a
∈=?
+∞
，
任取严格单调递增数列{}n a ，满足+∞→=n a a a ,0，记
Λ2,1,),()(1
==?
-n dx y x f y u n
n a a n ，则∑?∞
=+∞
=1
)(),(n n a y u dx y x f 。
引理1：若?
+∞
a
dx y x f ),(关于],[d c y ∈一致收敛，则∑∞
=1
)(n n y u 关
于],[d c y ∈一致收敛。
此引理可以用Cauchy 收敛准则证明，此处略去。 2、分析性质：
定理5、（连续性定理）设(,)[,;,]f x y C a c d ∈∞，若?+∞
a
dx
y x f ),(关于],[d c y ∈一致收敛，则],[),()(d c C dx y x f y I a
∈=?
+∞
。
证明：∑∞
=1
)(n n y u 一致收敛且),(y x u n 连续，由函数项级数的连
续性定理，()()n I y u y =∑连续。
注：从运算角度仍是换序定理。
注：定理5不是Dini 定理的逆，没有要求f 保号。
定理6、（可积）设],,,[),(d c a C y x f ∞∈，若?+∞
a dx y x f ),(关
于],[d c y ∈一致收敛，则???
?+∞
+∞
=d
c
a
a
d c
dy y x f dx dx y x f dy ),(),(。
证明：利用函数项级数的积分换序定理，则
1
(,)[()]d
d
n c
a
c
n dy
f x y dx u y dy ￥
+?==?蝌?
()d
n c u y dy =?ò
1
(
(,))n n d
a c
a f x y dx dy -=
?蝌
??∑??+∞
==-d
c
a
d
c
a a fdy dx fdy dx n
n 1
。
注：这仍然是一个积分换序定理。 当+∞=d 时，有下述结论。 定理7设[)[)+∞?+∞∈,,c a C f ，?+∞
a
dx y x f ),(关于],[C c y ∈一
致收敛)(c C >?，(,)c
f x y dy +∞?关于x ∈)](,[a A A a >?一致收敛，
且
??
∞
+∞
c a
dy y x f dx ),(和
??
∞
+∞
a
c
dx y x f dy ),(中有一个存在，则
?
???
+∞
+∞+∞+∞
=c
a
a
c
fdy dx fdx dy 。
此定理的证明较复杂，此处略去。
定理8、（可微性）设[)],[,,d c a C f f y ?+∞∈，且?+∞
a
dx
y x f ),(关于],[d c y ∈一致收敛，(,)y a
f x y dx +∞?关于],[d c y ∈一致收敛，
则?
+∞=a
dx y x f y I ),()(在],[d c 可微，且?
+∞='a
y dx y x f y I ),()(。
证明：利用函数项级数的可微性证明思路。记
?
+∞
=a
y dx y x f y ),()(φ，由?
+∞
a
y dx y x f ),(一致收敛，则()[,],
y C c d φ∈由积分换序定理，[,]y c d ?∈，则
()(,)(,)y
y y
t t c
c
a
a
c
t dt dt f x t dx dx f x t dt φ+∞
+∞==?
??
??
)()()],(),([c I y I dx c x f y x f a
-=-=?+∞
又：?y c
dt t )(φ可微，两边微分：?
+∞
=='a
y dx y x f y y I ),()()(φ。
3、应用
应用上述的分析性质，处理一些积分问题。 例1：计算)0(,2cos )(0
2
2>=?+∞
-a yxdy e
y I x a
解：记yx e f x a 2cos 2
2-=，则[)],[,0d c C f ?+∞'∈，
yx xe f x a y 2sin 22
2--=， 且2
2x a y xe
f -≤，而?+∞
-a
x a dx xe
2
2收敛，故dx f a
y ?
+∞
一致收敛，由可
微性定理， 0
()y I y f dx +∞
'=?
?+∞-∞+--=02022cos 2|2sin 12222yxdx e a y yx e a x a x a )(22y I a
y
-=
解之，22
/()y a I y ce -=。其中a
dx e I c x a 2)0(0
2
2π
=
==?∞
+-。
第十九章 含参量正常积分 §19.1 含参量正常积分 教学要求： (1) 了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明 (2) 熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式． (3) 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用 教学重点:含参量正常积分定义及其性质；掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用 教学难点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性； 一、含参量正常积分的概念 定义定义 设二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上有定义，且对],[b a 内每一点 x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间],[d c 上可积，则定义了x 的 函数 ?=d c dy y x f x I ),()(，],[b a x ∈ （1） 设二元函数),(y x f 在区域 }),()(|),{(b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=上有定义， 函数)(x c ，)(x d 为],[b a 上的连续函数，且对],[b a 内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间)](),([x d x c 上可积，则定义了x 的函数 ? =) () (),()(x d x c dy y x f x F ，],[b a x ∈ （2） 称()(,)d c I x f x y dy =?和() () ()(,)d x c x F x f x y dy =?为含参量x 的正常积分，x 称为参变量。 类似可定义含参量y 的正常积分． 含参量积分在形式上是积分， 但积分值随参量的取值不同而变化， 因此实质上是一个函数。即含参量正常积分是以积分形式表达的函数，含参积分提供了表达函数的又一手段 . 二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性
第十九章含参量积分 一.填空题 1.若在矩形区域上_________,则 2.含参量反常积分 在____________上一致收敛. 3.设在上连续,若含参量反常积分 在上___________,则在上连续. 4. 5.在中如令, 则 6. 对于任何正实数函数与B函数之间的关系为 7. 在上不一致收敛是指______________. 8. 9. 设, 则 10. 利用函数定义, 二.证明题 1. 证明在上一致收敛. 2. 证明在上一致收敛. 3.证明若函数在连续, 则, 有
4.证明在上非一致收敛. 5.证明 6.证明在上一致收敛. 7. 证明在上不一致收敛. 8. 证明 9. 证明 10. 证明在R上连续. 计算题1. 求 2. 求 3.设. 求 4. 求 5.用函数与B函数求积分 6.用函数与B函数求积分 7.求积分 8.从等式出发, 计算积分 9.设. 求
10.求 填空题答案 1. 连续. 2. R 3. 一致收敛. 4. 5.. 6. . 7. , 有 8. 1 9. . 10. . 证明题答案: 1. 证明: , 有 , 而收敛, 则 在上一致收敛. 2. 证: , 有, 而, 则 在上一致收敛. 3证: 已知在连续, 使. 设, 有 于是,
4.证: , 有 . 即在上非一致收敛. 5.证: 设有 . 6.证: 由于反常积分收敛,函数对每个单调, 且对任何, 都有. 故由阿贝耳判别法可知 在上一致收敛. 7. 证: 因在处不连续, 而在 内连续, 由连续性定理知, 在上不一致收敛. 8. 证: 令, 则. 9. 证: 令则, . 10. 证：
含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε-
第十九章含参量积分 教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。 教学时数：12学时 §1含参量正常积分 一. 含参积分:以实例和引入. 定义含参积分和. 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. 1. 含参积分的连续性: Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数 在上连续 . ( 证) P172 Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和 在上连续, 则函数在上连续. ( 证) P173
2. 含参积分的可微性及其应用: Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数在上可导, 且 . ( 即积分和求导次序可换) . ( 证) P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在, 值域在上, 且可微, 则含参积分 在上可微, 且 . ( 证)P174 例1 计算积分. P176. 例2设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数 的阶导数存在, 且. P177. §2 含参反常积分 一. 含参无穷积分:
1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是 无穷区间) . 以为例介绍含参无穷积分表示的函 数. 2. 含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛( 或称点态收敛) 的定义: , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义(一致收敛性) 设函数定义在上 . 若对 , 使对成立, 则称含参无穷积分在( 关于)一致收敛. Th 19.5 ( Cauchy收敛准则) 积分在上一致收敛, 对成立 . 例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛, 其中. 但在区间内非一致收敛 . P180 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系:
含参量反常积分与欧拉积分 姓名：于赛楠(114942059) 司秀秀(114942004) 胡月月(114942011) 郑素丹(114942026) 田玉方(114942054) 冯娜娜(114942028) 任亚南(114942034) 班级： 11级数学与应用数学一班 成绩： 日期： 2012.11.4
i含参量反常积分与欧拉积分 1.含参量反常积分 1.1含参量积分的定义 定义1设函数定义在无界区域R=｜上，其中为一区间，若对每一个固定的反常积分 (1) 都收敛，则它的值是x在上取值的函数，当记这个函数为 称(1)式为定义在上的含参量的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 定义2 设在区域R=上有定义，若对的某些值,为函数的暇点，则称为含参量的无界函数反常积分，或简称为 含参量反常积分. 1.2含参量反常积分一致收敛的定义及判定 1.2.1一致收敛的定义 定义3 设含参量反常积分与函数（）对任给的正数，总存在某一实数N，使得当时，对一切，都有｜｜，即｜｜，则称含参量反常积分在一致收敛于，或简单的 说含参量积分在上的一致收敛. 定义4 对任给正数，总存在某正数d-c,使得当0时，对一切 ,都有｜｜则称含参量反常积分在上一 致收敛. 1.2.2一致收敛的柯西准则 定理1 含参量反常积分在I上一致收敛的充要条件是：对于任给的正数，总存在某一实数M c，使得当M 时，对一切x I，都有 ｜｜< . 证明必要性 若在上一致收敛，则任意存在存在 及有,因此，任意N,
充分性若任意，存在任意 ｜｜ 则令，得,这就证明了在上 一致收敛. 例 1 假设在[,=内成立不等式 , 若, 在上一致收敛, 证明在上一 致收敛且绝对收敛. 证明因为在上一致收敛,根据一致收敛的柯准则可 知对总存在某一实数使得当对一切有， ｜｜= 而｜｜｜｜, 在上收敛，即在上绝对收敛 在上一致收敛. 综上在上一致收敛，且绝对收敛. 1.2.3一致收敛的充要条件 定理1含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任意趋于的 递增数列{}(其中=c),函数项级数 在上一致收敛. 例2 设为上连续非负函数在
第十九章含参量积分 目的与要求：1.掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则；2.掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法.3. 了解r函数与B函数的定义与有关性质 重点与难点：本章重点是含参量正常积分的连续性，可微性和可积性，含参量反常积分的一致收敛性概念，性质；难点则是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明 第一节含参量正常积分 ?含参量正常积分的概念 1定义 设二元函数/(x,y)在矩形区域R = [m]x[c,d]上有定义，且对[。,用内每一点们函数f (x, y)关于)，在闭区间]上可积，则定义了尤的函数 /⑴=y)d y, xe[a,h] (i) c 设二元函数/(、,)，)在区域 G = {(%, y)\ c(x) < y < d(x\ a 间[c(x),J(x)]±可积，则定义了尤的函数 d(；) F(x)= \f(x.y)dy , A* e [a.b] (2) c由 称(1)和(2)为含参量]的正常积分.类似可定义含参量)，的正常积分. 二含参量正常积分的连续性、可微性与可积性 1连续性 定理19. 1(连续性)若二元函数/(x,y)在矩形区域R = [a,h]x\c^d]±连续，则函数d Z(x)= 在[。㈤上连续. C 证设x 6 [a.h],对充分小的Ar, ^*x4-ZLr e [a,h](若工为区间端点则考虑Ar〉0或 k<0),于是 d Z(x + Ax)- /(x)= j[/(x + Ax,y)-/(x,y)]Jy (3) c 由于f^y)在有界闭区域R上连续，从而一致连续，即对任给的正数总存在某个正数 S ,对/?内任意两点(X], )与(尤2，光)，只要 X,-X2\<3,_光|<$ 就有F3，)"-/(尤2,光』<￡⑷所以由(3) (4)可得：当|4xj < 8 , 第十九章 含参量积分 一. 填空题 1. 若(,)f x y 在矩形区域[,][,]R a b c d =?上_________,则 (,)(,)b d d b a c c a dx f x y dy dy f x y dx =? ??? 2. 含参量反常积分 2 cos 1xy dx x +∞+? 在____________上一致收敛. 3. 设(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续,若含参量反常积分 ()(,)c I x f x y dy +∞= ? 在[,]a b 上___________,则()I x 在[,]a b 上连续. 4. (1)_______.n Γ+= 5. 在1110 (,)(1),0,0p q B p q x x dx p q --= ->>? 中如令 2cos x ?=, 则 (,)_______B p q = 6. 对于任何正实数,,p q Γ函数与B 函数之间的关系为(,)________.B p q = 7. (,)c f x y dy +∞ ? 在[,]a b 上不一致收敛是指______________. 8. 1 0lim _________.y -→=? 9. 设 2(), (1,1)(1sin )dx F y y y x π π-=∈-+?, 则 ()__________.F y '= 10. 利用Γ函数定义,4 ________.x e dx +∞ --∞ =? 二.证明题 1. 证明 22 222 1 () y x dx x y +∞ -+? 在(,)-∞+∞上一致收敛. 2. 证明 2 x y e dy +∞ -? 在[,](0)a b a >上一致收敛. 3. 证明若函数()f x 在[,]a A 连续, 则[,)x a A ?∈, 有 01lim [()()]()()x a h f t h f t dt f x f a h →+-=-? 第十九章 含参量积分 总练习题 1、在区间1≤x ≤3内用线性函数a+bx 近似代替f(x)=x 2，试求a,b 使得积分?-+3 122)(dx x bx a 取最小值. 解：设f(a,b)=?-+3 122)(dx x bx a ， 由f a (a,b)=2?-+3 12)(dx x bx a =4a+8b-3 52=0, f b (a,b)=2?-+3 12)(dx x bx a x =8a+ 352b-40=0, 得驻点a=3 11 -,b=4. 又f aa =2?31dx =4, f bb =2?312 dx x =3 52, f ab =f ba =2?31xdx =8, 即f aa ·f bb -f ab 2=316>0， ∴(311-,4)是f 唯一的极小值点，即a=3 11 -,b=4时，积分取最小值. 2、设u(x)=?1 0)(),(dy y v y x k ，其中k(x,y)=???>-≤-y x x y y x y x ),1(),1(与v(y)为[0,1]上 的连续函数，证明：u ”(x)=-v(x). 证：当0≤x ≤1时，u(x)=?10)(),(dy y v y x k =?-x dy y v x y 0)()1(+?-1 )()1(x dy y v y x . 由各项被积函数及其对x 偏导函数都连续知， u ’(x)=?-x dy y yv 0 )(+x(1-x)v(x)+?-1 )()1(x dy y v y -x(1-x)v(x) = -?x dy y yv 0)(+?-1 )()1(x dy y v y . u ”(x)=-xv(x)-(1-x)v(x)=-v(x). 3、求函数F(a)=?∞ +- 2)1sin(dx x x a 的不连续点， 并作函数F(a)的图像. 解：由?+∞ sin dx x ax =2 π sgna ， 含参量积分的分析性质及其应用 班级：11数学与应用数学一班 成绩： 日期：2012年11月5日 含参量积分的分析性质及其应用 1. 含参量正常积分的分析性质及应用 1.1含参量正常积分的连续性 定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上连续,则函数 ()x ?=?d c dy y x f ),(在[a,b]上连续. 例1 设 )sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积 分?=10 ),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续. 解 因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1. -1,x ),(+∞-∞上连续. 例2 求下列极限：（1）dx a x ? -→+1 1 220lim α; (2)?→2 20cos lim xdx x αα. 解 （1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]?[-1.1]上连续,则由连续性定理得dx a x ? -+11 22在[-1,1]上连续.则 ??? --→-→==+=+1 1 22110 1 1 2201lim lim dx x dx a x dx a x αα. （2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2 ,2[]2,0[π π- ?=R 上连续,由连续 性定理得,函数?202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.3 8cos lim 202022 0==??→dx x axdx x α 例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ? +1 2 2) (的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是正 的连续函数. 解 对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数 2 2) (y x x yf +在],[]1,0[00δδ+-?=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在 区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因 dx y x x yf dx y x x yf y F ?? +-=+-=-10221 22)() ()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0. y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(10221 22=+-≥+=?? ,从而04 )(lim 0>≥+→πm y F y ,但 F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞Y 上连续,在y=0处不连续. 定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ? ) () (),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续. 例4 求? +→++α α αα 12201lim x dx . 第十九章含参量积分 【教学目的】 1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法； 2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法； 3.掌握欧拉积分的形式及有关计算 【教学重点】含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定 【教学难点】一致收敛性的判定 【教学时数】12学时 §1含参量正常积分 一、含参量积分的定义 以实例和引入. 定义含参量积分和. 含参量积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参量积分表达的函数为含参量积分. 二、含参量积分的解析性质 1. 含参量积分的连续性 Th19.5 若函数在矩形域上连续 , 则函数 在上连续 . ( 证 ) P172 Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和在 上连续 , 则函数在上连续. ( 证 ) P173 2. 含参量积分的可微性及其应用 Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数 在上可导 , 且 . ( 即积分和求导次序可换 ) . ( 证 ) P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和 定义在, 值域在上 , 且可微 , 则含参量积分在 上可微 , 且 . ( 证 )P174 例1 计算积分. P176. 例2 设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时 , 函数 的阶导数存在 , 且. P177. 三、作业 §2 含参量反常积分 一、含参量无穷积分: 1. 含参量无穷积分 函数定义在上 ( 可以是无穷区间 ) . 以 为例介绍含参量无穷积分表示的函数. 2. 含参量无穷积分的一致收敛性 逐点收敛( 或称点态收敛 ) 的定义: , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义 (一致收敛性 ) 设函数定义在上 . 若对, 使对成立, 则称含参量无穷积分在( 关于)一致收敛. Th 19.5 ( Cauchy收敛准则 ) 积分在上一致收敛, 对成立 . 例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛 , 其中. 但在区间 内非一致收敛 3. 含参量无穷积分与函数项级数的关系: 第十九章 含参量积分 1. 若f(x,y)在矩形域R =[a ,b]×[c,d]上 ，则????=d c b a b a d c dx y x f dy dy y x f dx ),(),(。 2. 含参量反常积分dy xy x ?+∞+021cos 在 上一致收敛。 3. 设f(x,y)在[a ,b]×[c,+∞]上连续，若含参量反常积分I （x ）=dy y x f c ? +∞),(在 [a ,b]上 ，则I （x ）在[a ,b]上连续。 4. =+Γ)1(n 。 5. 对于任何正实数p,q,Γ函数与B 函数之间的关系为B （p,q ）= 。 6. =+?-→dx y x y 112 20lim 。 一、 证明题。 7. 证明含参量反常积分dx x e y ? +∞ -12在),[+∞a 一致收敛（a 〉0）； 8. )0(,)1(ln )(110>=Γ-?a dx x a a 二、 计算题。 9. )2 1(n +Γ； 10. )25(-Γ 答案 一、 填空题。 1. 连续； 2. R ； 3. 一致连续； 4. n!； 5. B （p,q ）= )()()(q p q p +ΓΓΓ（p>0，q ﹥0）；6. 1； 二、 证明题。 7. 证明：),[+∞∈?a y ，e e e x x x a y y 2221--≤=； ?+∞-12dx x e a 收敛，由优函数判别法知：dx x e y ?+∞-12 在),[+∞a 一致收敛。 8. 证明：令e t x t x -=?=1ln ，dt dx e t --=，010∞t x ， ??∞--=01110)1(l n t a a dx x ·（-e t -）=dt ?∞-01t a ·)(a dt e t Γ=- 三、 计算题。 9. 解：π4 3)21(2123)121(23)23(23)123()25(=Γ?=+Γ=Γ=+Γ=Γ 10．解： π π222 !)!12(1 3)52)(32)(12()21(13)52)(32)(12()212()212()25)(23)(21()2 5()25)(23)(21(]1)25[()23)(21()23()23)(21(]1)23[()21()21()21(121)21(n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -=?---=Γ?---=--Γ-----==-Γ---=+-Γ--=-Γ--=+-Γ-=-Γ-=??????+??? ? ?-Γ=+Γ 第十八章 含参量积分 第一节 含参量正常积分 从本章开始我们讨论多元函数的各种积分问题，首先研究含参量积分.设()y x f ,是定义在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上的二元函数.当x 取[]b a ,上某定值时，函数()y x f ,则是定义在[]d c ,上以y 为自变量的一元函数.倘若这时()y x f ,在[]d c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记它为()x I ，就有 ()()[].,,,?=d c b a x dy y x f x I （1） 一般地，设()y x f ,为定义在区域()()(){}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=,|,上的二元函数，其中()x c ，()x d 为定义在[]b a ,上的连续函数（图18-1），若对于[]b a ,上每一固定的 x 值，()y x f ,作为y 的函数在闭区间()[()]x d x c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值 的函数，记作)(x F 时，就有 )(x F ()()() [].,,, b a x dy y x f x d x c ∈=? （2） 图18-1 用积分形式所定义的这两个函数（1）与（2），通常为定义在[]b a ,上的含参量x 的（正常）积分，或简称含参量积分. 下面讨论含参量积分的连续性、可微性与可积性. 定理18-1(连续性) 若二元函数()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上连续，则函数 ()()dy y x f d c ?=,x I 在[]b a ,上连续. 证 设[]b a x ,∈，对充分小的x ?，有[]b a x x ,∈?+（若x 为区间的端点，则仅考虑（0>?x 或0 第十九章含参量积分 教案目地：1.掌握含参量正常积分地概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分地概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分地形式及有关计算. 教案重点难点：本章地重点是含参量积分地性质及含参量反常积分地一致收敛性地判定；难点是一致收敛性地判定.b5E2RGbCAP 教案时数：12学时 §1含参量正常积分 和引入含参积分:. 以实例一. . 定义含参积分和含参积分提供了表达函数地又一手段 .我们称由含参积分表达地函数为含参积分. 1. 含参积分地连续性: Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数 > P172 证上连续 . ( 在Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和 则函数上连续. ( 在在, 上连续证> P173p1EanqFDPw 2. 含参积分地可微性及其应用: Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连 上可导, , 则函数且在续 . ( 即积分和求导次序可换> . ( 证> P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连 上, 且可微, 和续,函数定义在则含参积分值域在, 上可微, 在且DXDiTa9E3d . ( 证>P174 计算积分. P176. 例1 例2设函数在点地某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数 地阶导数存在, 且. P177. §2 含参反常积分 : 含参无穷积分. 一． 1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是 为例介绍含参无穷积分表示地函数无穷区间> . 以.RTCrpUDGiT 2. 含参无穷积分地一致收敛性:, , 使地定义: 逐点收敛( 或称点态收敛> . 引出一致收敛问题 . 定义(一致收敛性> 设函数定义在上 . 若对 成立对, 则称含参无穷积分, 使 ( 关于在>一致收敛.5PCzVD7HxA Cauchy积分> 收敛准则Th 19.5 在上一致收( 敛, 对成立 . 证明含参量非正常积分在上一致收敛, 例1 其中. 内非一致收敛 . P180但在区间jLBHrnAILg : 含参无穷积分与函数项级数地关系 3. 积分在上一致收敛Th 19.6 , 对任一数列在函数项级数, ↗, 上一致收敛. ( 证略>xHAQX74J0X 二. 含参无穷积分一致收敛判别法: Weierstrass M 判别法: 设有函数, 1. 使在上有 第十讲含参变量的积分 10 . 1 含参变量积分的基本概念 含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义 设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,?=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈． ()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数 ()()[]b a x dy y x f x I d c ,,,∈=? 为含参量二的正常积分． 一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称 ()()() () []b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=? 为含参量x 的正常积分． 同样可定义含参量 y 的积分为 ()()[]d c y dx y x f y J b a ,,,∈=?或()()() () []d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=? 2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述） ( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈?，()()( ) () ?= →000 ,lim 0x d x c x x dy y x f x I ( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有 ()()()? ????==b a b a d c b a d c dx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， · ( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()() ()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d x c x ' ' ' ,,,-+= ?· 以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略， 例10. l 求积分?>>-? ?? ??1 0,ln 1ln sin a b dx x x x x a b 解法 1 （用对参量的微分法）：设()?>>-? ? ? ??=1 00,ln 1ln sin a b dx x x x x b I a b ， 第十九章 含参量积分 2含参量反常积分 一、一致收敛性及其判别法 概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分?+∞ c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=?+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称?+∞ c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分. 定义1： 若含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f M c Φ-?<ε, 即?+∞ M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛. 定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有?2 1 ),(A A dy y x f <ε. 定理19.8：含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是： +∞ →A lim F(A)=0, 其中F(A)=? +∞ ∈A I x dy y x f ),(sup . 例1：证明含参量反常积分?+∞ 0sin dy y xy 在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛. 《含参量积分的分析性质及其应用》 含参量积分的分析性质及其应用 班级：11数学与应用数学一班成绩：日期：xx年11月5日 含参量积分的分析性质及其应用 1.含参量正常积分的分析性质及应用 1.1含参量正常积分的连续性 定理1若二元函数f（x，y）在矩形区域r。[a，b]。[c，d]上连续，则函数 。。x。=。f（x，y）dy在[a，b]上连续. cd例1设f（x，y）。sgn（x。y）（这个函数在x=y时不连续），试证由含量积分f（y）。。10f（x，y）dx所确定的函数在（。。，。。）上连续. 解因为0。x。1，所以当y0，则sgn（x-y）=1，即f（x，y）=1.-1，xy 则f（y）。。（。1）dx。。dx。1。2y. 0yy11，y1时，f（x，y）=-1，则f（y）。。（。1）dx。。1，即f（x）=1-2y，0。y1又因lim。1。f（0），limf（y）。。1。f（1）.f（y）在y=0与y=1处均连续，因而f（y） y。0y。1在（。。，。。）上连续. 例2求下列极限。（1）lim。。0。1。1x。adx;（2）lim。x2cos。xdx. 。。00222解（1）因为二元函数x2。。2在矩形域r=[-1，1]。[-1.1] 上连续，则由 连续性定理得。1。1x2。a2dx在[-1，1]上连续.则 1。。0。1lim。x2。a2dx。。limx2。a2dx。。xdx。 。1。。0。111，]上连续，由连续22222。。822性定理得，函数。xcosaxdx在[。，]上连续.则lim。xcosaxdx。。x2dx。. 00。。00223（2）因为二元函数x2cosax在矩形域r。[0，2]。[。。。例3研究函数f（x）。。正的连续函数. 10yf（x）dx的连续性，其中f（x）在闭区间[0，1]上是 x2。y2解对任意y0。0，取。。0，使y0。。。0，于是被积函数 yf（x）在22x。yr。[0，1]。[y0。。，y0。。]上连续，根据含参量正常积分的连续性定理，则f（y）在区间[y0。。，y0。。]上连续，由y0的任意性知，f（y）在（0，。。）上连续.又因 f（。y）。。1yf（x）。yf（x）dx。。。0x2。y2dx，则f（y）在（。。，0）上连续.当y=0处0x2。y21f（y0）。0.由于f（x）为[0，1]上的正值连续函数，则存在最小值m>0. f（y）。。11myf（x）my1limf（y）。。。0，但，从而dx。。dx。marctan2222。。0y。04yx。yx。y0f（y）在y=0处不连续，所以f（y）在（。。，。。）。（0，。。）上连续，在y=0处不连续. 定理2设二元函数f（x，y）在区域g={（x，y）|c（x）。y。d（x），a。x。b}上连续，其中c（x），d（x）为[a，b]上的连续函数，则函数f（x，y）=。上连续. 1。。d（x）c（x）f（x，y）dy在[a，b] 第十九章 含参量积分 1含参量正常积分 概念：1、设f(x,y)是定义在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上的二元函数. 当x 取[a,b]上某定值时，函数f(x,y)则是定义在[c,d]上以y 为自变量的一元函数. 若这时f(x,y)在[c,d]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记作φ(x)=?d c dy y x f ),(, x ∈[a,b]. 2、设f(x,y)是定义在区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}上的二元函数, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数，若对于[a,b]上每一固定的x 值，f(x,y)作为y 的函数在闭区间[c(x),d(x)]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记为F(x)=?) ()(),(x d x c dy y x f , x ∈[a,b]. 3、上面两个函数通称为定义在[a,b]上含参量x 的(正常)积分，或简称含参量积分. 定理19.1：(连续性)若二元函数f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则函数φ(x)=?d c dy y x f ),(在[a,b]上连续. 证：设x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 于是 φ(x+△x)-φ(x)=?-?+d c dy y x f y x x f )],(),([. ∵f(x,y)在有界闭域R 上连续，从而一致连续，即?ε>0, ?δ>0, 对R 内任意两点(x 1,y 1)与(x 2,y 2), 只要|x 1-x 2|<δ, |y 1-y 2|<δ, 就有|f(x 1,y 1)-f(x 2,y 2)|<ε. ∴当|△x |<δ时, |φ(x+△x)-φ(x)|≤?-?+d c dy y x f y x x f |),(),(| 含参变量无穷积分的一致收敛性 论文摘要：本文通过含参变量无穷积分与函数级数之间的关系，归纳总结了含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法(柯西一致收敛准则、魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法等)及其性质. 关键词：含参变量无穷积分一致收敛判别法 无穷积分?+∞ a dx x f) (与级数∑∞ =1 n n u的敛散概念、敛散判别法及其性质基本上 是平行的，不难想到，含参变量无穷积分?+∞ a dx y x f) , (与函数级数() ∑∞ =1 n n x u之间 亦应如此，为了讨论函数项级数的和函数的分析性质,我们在收敛区域I上提出了更高的要求,引进了一致收敛的概念,同样,在讨论含参变量无穷积分所确定的函数的分析性质时,一致收敛同样也起着重要的作用.因此,含参变量无穷积分的一致收敛性是《数学分析》中非常重要的知识点，也是学生不容易掌握的难点，从而,我试着类比、总结得出含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法及其性质，以便使学生对此有一个更为系统和深刻的了解. 1.含参变量无穷积分一致收敛的判别法 我们很自然的可以想到运用定义来证明. 定义 设?∈y 区间I ,无穷积分 ()?+∞ a dx y x f ,收敛,若?ε >0,0A ?(通 用)>0,?0A>A ,有| (,)(,)A a a f x y dx f x y +∞ -? ?dx |=| (,)A f x y dx +∞ ? |ε<,则称无穷积分 ()?+∞ a dx y x f ,在区间I 一致收敛. 用定义证明一致收敛的关键在于寻找只与ε有关的共同的0A ，方法常常是采取适当放大的方法. 例 1[] 1证明：无穷积分dx ye xy ?+∞ -0 在区间[a ，+∞]（a >0）一致收敛，而 在（0，+∞）上非一致收敛. 证明 Ay Ay t A xy e dt e xy t dx y y -+∞ -+∞ -==+∞∈???令ε ), ,0(， 对,0>?ε解不等式ε<-Ay e ，有y A ε1 ln > ,取y A ε1 ln = ，则0 A A >?，有 ε?A 取),0(21 ,2' ' +∞∈=>=A y A A A ，则01''''ε>==---?e e dx e y y A xy ，但dx ye A xy ?+∞ -在),[+∞a 一致收敛（其中0>a ），由不等式： y a ≥,有Ay Aa e e --≤,解不等式 第十九章 含参量积分 (一) 教学目的： 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则． (二) 教学内容： 含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明；含参量正常积分的导数的计算． 基本要求： (1)了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式． (2) 较高要求：掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明． (三) 教学建议： (1) 要求学生必须理解含参量正常积分的定义． (2) 要求较好学生掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明 ———————————————— 一. 含参积分: 以实例?1 2xydy 和 ?2 22x x xydy 引入. 定义含参积分 ? = d c dy y x f x I ),()( 和 ? =) () (21),()(x y x y dy y x f x G . 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. 1. 含参积分的连续性: 定理 19.1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续 , 则函数 ?=d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 . 同样 ? = b a dx y x f y J ),()(在] d c, [上连续 定理 19.2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函数)(1x y 和)(2x y 在 ] , [b a 上连续 , 则函数? =) () (21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续. 定理 19.3（可微性） 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 则函数?=d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且 ??=d c d c x dy y x f dy y x f dx d ),(),(. ( 即积分和求导次序可换 ) . 证 对于],[b a 内任何一点x ，设],[b a x x ∈?+（若x 取为区间端点，则讨论单侧导数），则 dy x x f x x f x x I x x I d c ??-?+=?-?+)()()()(。 于是 dy y x f x x f x x f dy y x f x I d c x d c x ??-?-?+≤-??),()()(),( 由微分中值定理及x f 的连续性，对任给的正数ε，存在正数δ，只要δ
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