第二章 圆锥曲线与方程(A)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值是( ) A.14 B.1
2
C .2
D .4 2.设椭圆x 2
m 2+y 2n 2=1 (m >0,n >0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同,离心率为1
2
,则
此椭圆的方程为( ) A.x 212+y 216=1 B.x 216+y 2
12=1 C.x 248+y 264=1 D.x 264+y 2
48
=1 3.已知双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一个焦点在抛物
线y 2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( ) A.x 236-y 2108=1 B.x 29-y 2
27=1 C.x 2108-y 236=1 D.x 227-y 2
9
=1 4.P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2+y
2b
2=1上的点,F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的
半焦距为c ,则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( ) A .1 B .a 2 C .b 2 D .c 2
5.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( ) A.x 24-y 24=1 B.y 24-x 2
4=1 C.y 24-x 28=1 D.x 28-y 2
4
=1 6.设a >1,则双曲线x 2a 2-y
2(a +1)2
=1的离心率e 的取值范围是( )
A .(2,2)
B .(2,5)
C .(2,5)
D .(2,5) 7.
如图所示,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 是侧面BB 1C 1C 内一动点,若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等,则动点P 的轨迹所在的曲线是( ) A .直线 B .圆 C .双曲线 D .抛物线
8.设F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A 、B 、C 为该抛物线上三点,若FA +FB +FC =
0,则|FA |+|FB |+|FC |等于( )
A .9
B .6
C .4
D .3
9.已知双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1 (a >0,b >0)的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线与
双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A .(1,2] B .(1,2)
C .[2,+∞)
D .(2,+∞)
10.若动圆圆心在抛物线y 2=8x 上,且动圆恒与直线x +2=0相切,则动圆必过定点( )
A .(4,0)
B .(2,0)
C .(0,2)
D .(0,-2)
11.抛物线y =x 2上到直线2x -y =4距离最近的点的坐标是( ) A.????32,54 B .(1,1) C.????32,94 D .(2,4)
12.已知椭圆x 2sin α-y 2cos α=1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上,则α的取值范围是( ) A.????34π,π B.????π4,34π C.???π2,π D.???π2,34π 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.椭圆的两个焦点为F 1、F 2,短轴的一个端点为A ,且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形,则此椭圆的离心率为________.
14.点P (8,1)平分双曲线x 2-4y 2=4的一条弦,则这条弦所在直线的方程是______________.
15.设椭圆x 2a 2+y 2
b
2=1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,线段F 1F 2被点????b 2,0分成3∶1的两段,则此椭圆的离心率为________.
16.对于曲线C :x 24-k +y 2
k -1
=1,给出下面四个命题:
①曲线C 不可能表示椭圆;
②当1 ③若曲线C 表示双曲线,则k <1或k >4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆,则1 2 . 其中所有正确命题的序号为________. 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)已知点M 在椭圆x 236+y 2 9 =1上,MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P ′, 并且M 为线段PP ′的中点,求P 点的轨迹方程. 18.(12分)双曲线C 与椭圆x 28+y 2 4 =1有相同的焦点,直线y =3x 为C 的一条渐近线.求 双曲线C 的方程. 19.(12分)直线y =kx -2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点,若线段AB 中点的横坐标等于2,求弦AB 的长. 20.(12分)已知点P(3,4)是椭圆x2 a2+y2 b2=1 (a>b>0)上的一点,F1、F2为椭圆的两焦点, 若PF1⊥PF2,试求: (1)椭圆的方程; (2)△PF1F2的面积. 21.(12分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点,且|AB|=5 2p, 求AB所在的直线方程. 22.(12分)在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-3)、(0,3)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于A、B两点. (1)写出C的方程; (2)若OA⊥OB,求k的值. 第二章 圆锥曲线与方程(A) 1.A [由题意可得2 1m =2×2,解得m =14 .] 2.B [∵y 2=8x 的焦点为(2,0), ∴x 2m 2+y 2 n 2=1的右焦点为(2,0),∴m >n 且c =2. 又e =12=2 m ,∴m =4. ∵c 2=m 2-n 2=4,∴n 2=12. ∴椭圆方程为x 216+y 2 12 =1.] 3.B [抛物线y 2=24x 的准线方程为x =-6,故双曲线中c =6.① 由双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的一条渐近线方程为y =3x ,知b a =3,② 且c 2=a 2+b 2.③ 由①②③解得a 2=9,b 2=27. 故双曲线的方程为x 29-y 2 27 =1,故选B.] 4.D [由椭圆的几何性质得|PF 1|∈[a -c ,a +c ], |PF 1|+|PF 2|=2a , 所以|PF 1|·|PF 2|≤? ?? ??|PF 1|+|PF 2|22=a 2 , 当且仅当|PF 1|=|PF 2|时取等号. |PF 1|·|PF 2|=|PF 1|(2a -|PF 1|) =-|PF 1|2+2a |PF 1|=-(|PF 1|-a )2+a 2 ≥-c 2+a 2=b 2, 所以|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差为a 2-b 2=c 2.] 5.B [由于双曲线的顶点坐标为(0,2),可知a =2, 且双曲线的标准方程为y 24-x 2 b 2=1. 根据题意2a +2b =2·2c ,即a +b =2c . 又a 2+b 2=c 2,且a =2, ∴解上述两个方程,得b 2=4. ∴符合题意的双曲线方程为y 24-x 2 4=1.] 6.B [∵双曲线方程为x 2a 2-y 2 (a +1)2=1, ∴c = 2a 2+2a +1. ∴e =c a = 2+1a 2+2a = ????1a +12+1. 又∵a >1,∴0<1a <1.∴1<1 a +1<2. ∴1???1+1 a 2<4.∴2 ∴D 1C 1⊥PC 1.∴PC 1为P 到直线D 1C 1的距离. ∵P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等, ∴PC 1等于P 到直线BC 的距离. 由圆锥曲线的定义知,动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线.] 8.B [设A 、B 、C 三点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),F (1,0), ∵FA +FB +FC =0,∴x 1+x 2+x 3=3. 又由抛物线定义知|FA |+|FB |+|FC | =x 1+1+x 2+1+x 3+1=6.] 9.C [ 如图所示,要使过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该 直线的斜率小于等于渐近线的斜率b a , ∴b a ≥3,离心率e 2=c 2a 2=a 2+b 2 a 2≥4, ∴e ≥2.] 10.B [根据抛物线的定义可得.] 11.B [设与直线2x -y =4平行且与抛物线相切的直线为2x -y +c =0 (c ≠-4),由 ??? ?? 2x -y +c =0 y =x 2 得x 2-2x -c =0.① 由Δ=4+4c =0得c =-1,代入①式得x =1. ∴y =1,∴所求点的坐标为(1,1).] 12.D [椭圆方程化为x 21sin α+y 2 -1 cos α =1. ∵椭圆焦点在y 轴上,∴-1cos α>1 sin α >0. 又∵0≤α<2π,∴π2<α<3π 4 .] 13.32 解析 由已知得∠AF 1F 2=30°,故cos 30°=c a ,从而e =3 2 . 14.2x -y -15=0 解析 设弦的两个端点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 21-4y 21=4,x 22-4y 2 2=4, 两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)-4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0. 因为线段AB 的中点为P (8,1), 所以x 1+x 2=16,y 1+y 2=2. 所以y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 24(y 1+y 2) =2. 所以直线AB 的方程为y -1=2(x -8), 代入x 2-4y 2=4满足Δ>0. 即2x -y -15=0. 15. 22 解析 由题意,得b 2+c c -b 2 =3?b 2+c =3c -3 2b ?b =c , 因此e =c a = c 2a 2= c 2b 2+c 2= 12=2 2. 16.③④ 解析 ①错误,当k =2时,方程表示椭圆;②错误,因为k =5 2时,方程表示圆;验证 可得③④正确. 17.解 设P 点的坐标为(x ,y ),M 点的坐标为(x 0,y 0).∵点M 在椭圆x 236+y 2 9 =1上, ∴x 2036+y 20 9 =1. ∵M 是线段PP ′的中点, ∴????? x 0=x ,y 0=y 2, 把????? x 0=x y 0=y 2 代入x 2036+y 209=1, 得x 236+y 2 36 =1,即x 2+y 2=36. ∴P 点的轨迹方程为x 2+y 2=36. 18.解 设双曲线方程为x 2a 2-y 2 b 2=1. 由椭圆x 28+y 24=1,求得两焦点为(-2,0),(2,0), ∴对于双曲线C :c =2. 又y =3x 为双曲线C 的一条渐近线, ∴b a =3,解得a 2=1,b 2=3, ∴双曲线C 的方程为x 2 -y 23 =1. 19.解 将y =kx -2代入y 2=8x 中变形整理得: k 2x 2-(4k +8)x +4=0, 由? ?? k ≠0(4k +8)2-16k 2>0,得k >-1且k ≠0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由题意得:x 1+x 2=4k +8 k 2=4?k 2=k +2?k 2-k -2=0. 解得:k =2或k =-1(舍去), 由弦长公式得: |AB |= 1+k 2· 64k +64k 2 =5×192 4 =215. 20.解 (1)令F 1(-c,0),F 2(c,0), 则b 2=a 2-c 2.因为PF 1⊥PF 2, 所以kPF 1·kPF 2=-1,即43+c ·4 3-c =-1, 解得c =5,所以设椭圆方程为x 2a 2+y 2 a 2-25=1. 因为点P (3,4)在椭圆上,所以9a 2+16 a 2-25=1. 解得a 2=45或a 2=5. 又因为a >c ,所以a 2=5舍去. 故所求椭圆方程为x 245+y 2 20=1. (2)由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=65,① 又|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=100,② ①2-②得2|PF 1|·|PF 2|=80, 所以S △PF 1F 2=1 2|PF 1|·|PF 2|=20. 21.解 焦点F (p 2 ,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 若AB ⊥Ox ,则|AB |=2p <5 2p ,不合题意. 所以直线AB 的斜率存在,设为k , 则直线AB 的方程为y =k (x -p 2 ),k ≠0. 由????? y =k (x -p 2 ),y 2=2px 消去x , 整理得ky 2-2py -kp 2=0. 由韦达定理得,y 1+y 2=2p k ,y 1y 2=-p 2. ∴|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2 = (1+1 k 2)·(y 1-y 2)2 = 1+1 k 2·(y 1+y 2)2-4y 1y 2 =2p (1+1k 2)=5 2 p . 解得k =±2.∴AB 所在的直线方程为y =2(x -p 2)或y =-2(x -p 2 ). 22.解 (1)设P (x ,y ),由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以(0,-3)、(0,3)为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴b = 22-(3)2=1, 故曲线C 的方程为x 2 +y 24=1. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 联立方程????? x 2+y 2 4=1, y =kx +1. 消去y 并整理得(k 2+4)x 2+2kx -3=0. 其中Δ=4k 2+12(k 2+4)>0恒成立. 故x 1+x 2=-2k k 2+4,x 1x 2=-3 k 2+4. 若OA →⊥OB → ,即x 1x 2+y 1y 2=0. 而y 1y 2=k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1, 于是x 1x 2+y 1y 2=-3k 2+4-3k 2k 2+4-2k 2 k 2+4 +1=0, 化简得-4k 2+1=0,所以k =±1 2 .