数学分析练习题
函数
函数概念
1． 证明下列不等式： (1) x y x y - ≥ - ； (2) 1212n n x x x x x x ++ ≤ +++ ；
(3) 1212(||||||n n x x x x x x x x |+++| ≥ ||- + ++）
. 2．求证 ||||||
1||1||1||a b a b a b a b + ≤ + ++ + +
.
3．求证
||max(,)22a b a b a b + -
=
+ ； ||min(,)22
a b a b a b + -
=
- . 4．已知三角形的两条边分别为a 和b ，它们之间的夹角为θ ，试求此三角形的面()s θ ，并求其定义域.
5．在半径为r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域.
6．某公共汽车路线全长为 20km ，票价规定如下：乘坐 5km 以下（包括5km ）者收费 1 元；超过 5km 但在15km 以下（包括 15km ）者收费 2 元；其余收费 2 元 5 角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形.
7．一脉冲发生器产生一个三角波. 若记它随时间t 的变化规律为()f t ，且三个角分别有对应关系(0)0f = ，(10)20f = ，(20)0f = ，求()20f t t (0≤≤) ，并作出函数的图形.
8．判别下列函数的奇偶性： (1) 4
2()12
x f x x = + - ；
(2) ()sin f x x x = + ；
(3) 2
2()x f x x e - = ；
(4) ()lg(f x x = .
9．判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期：
(1) 2()cos f x x = ； (2) ()cos sin 23
x x
f x = +2 ；
(3) ()cos f x x π
= 4
；
(4) ()f x . 10．证明 2()1x f x x
=
+
在 (,) -∞ +∞ 有界. 11．用肯定语气叙述函数无界，并证明21
()f x x =
在(0,1)
无界. 12．试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数.
13．设()f x 为定义在(,) -∞ +∞ 内的任何函数，证明()f x 可分解成奇函数和偶函数之和.
14．用肯定语气叙述：在(,) -∞ +∞ 上 (1) ()f x 不是奇函数；
(2) ()f x 不是单调上升函数； (3) ()f x 无零点； (4) ()f x 无上界.
复合函数与反函数
1． 设()1x f x x 1-
=
+
，求证 (())f f x x = . 2． 求下列函数的反函数及其定义域： (1) 11
2y x x x
= (+) , 1 < < +∞ ；
(2) 12
x x y e e x - = ( - ) , -∞ < < +∞ ；
(3) 2,1,,4,2,4.
x
x x y x x x -∞ < < ??
= 1≤ ≤?? < <+∞?
3．设()f x ，()g x 为实轴上单调函数，求证(())f g x 也是实轴上的单调函数.
4．设
2
,0,1,
0,()(),0.,0.x x x x f x g x x x x x ≤ - - ≤ ?? = = ?? > - > ??
求复合函数(())f g x ，()g f x ( ). 5．设
()f x ，求n f f
f x () () 次
.
6．设 ()|1|||f x x x + - 1 - ＝，试求n f f
f x () () 次
.
7．设 1
()f x x =
1-
，求(())f f x ，((()))f f f x ，1(
)()f f x .
初等函数
1．对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数的图形：
(1) ||y x = ； (2) []y x x = - ；
(3) tan ||y x = ；
(4) y (5) 2sin y x = ；
(6) sin cos y x x = | | + | |.
2．若已知函数()y f x = 的图形，作函数
1()y f x = ，2()y f x = - ，3()y f x = --
的图形，并说明123y y y , , 的图形与y 的图形的关系.
3．若已知函数(),()f x g x 的图形，试作函数
[()()()()y f x g x f x g x 1
=
+ ±- ] 2
的图形，并说明y 的图形与()f x 、()g x 图形的关系.
4． 作出下列函数的图形： (1) sin y x x = ； (2) 1sin y x =
. 5．符号函数
0,0,0,1,0,x y sgn x x x 1 , > ??
= = = ??- < ?
试分别作出sgn x ，sgn )x (2 ，sgn(2)x - 的图形.
6．作出下列函数的图形： (1) cos y sgn x = ；
(2) ]22x y x ??
= [ - ?? ??
.
数列的极限
1． 用定义证明下列数列的极限为零： (1) 21
lim 1n n n →∞+ +
；
(2) sin lim n n n →∞
；
(3) lim n n π
→∞
；
(4) 2(1)lim n
n n n →∞ + - - 1
；
(5) lim n →∞
；
(6) 10lim !n
n n →∞
；
(7) lim 1n n n
a a →∞ ( > ) ； (8) !
lim n n n n →∞
； (9) 2123lim n n
n →∞ + + + +
；
(10) 1
lim 1n n a a n -→∞
(
+ ) , >
. 2．用定义证明： (1) 223lim 21n n n n →∞
+3
= 2
- ；
(2) lim n →∞ 1 ；
(3) lim n n x →∞ = 1 ，其中 1,1,n n n n
x n n n
-
? ?? = ?
+ ? ??为偶数，为奇数；
(4) lim n n x →∞ = 3 ，其中 31,1(1,2,)22n n k n x n k k n n k ?
? 3 = ?
3 + ?
=
= 3 + = ??
? = 3 + ?
?
，，. 3．用定义证明：
(1) 若lim n n a a →∞
= ，则对任一正整数k ，有lim n k n a a +→∞
= ；
(2) 若lim n n a a →∞
= ，则lim |n n a a →∞
|| = | .反之是否成立？
(3) 若lim n n a a →∞
= ，且a b > ，则存在N ，当n N > 时，有n a b > ；
(4) 若lim n n a a →∞
= ，且0n a >
，则n .
4．极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“ ? ”是逻辑符号，表示“存在”.） (1) ε ? > 0 ，0N ? > ，当n N ≥ 时,有n x a ε |-|<； (2) ε ? > 0 ，0N ? > ，当n N > 时,有n x a ε ≤ |-|；
(2) ε ? > 0 ，0N ? > ，当n N > 时,有n x a M ε < |-|（M 为常数）. 5．若 {}n n x y 收敛，能否断定{}n x 、{}n y 也收敛？ 6．设 (1,)n n x a y n ≤ ≤ = 2, ，且lim ()0n n n y x →∞
- = ，求证：
lim n n x a →∞
= ，lim n n y a →∞
= .
7．利用极限的四则运算法则求极限： (1) 3232321lim 32
n n n n n n →∞ + - + 2 - +；
(2) 11
(2)3lim (2)3n n
n n n ++→∞- +
- + ； (3) 112
lim 1144
n
n n
→∞1 + + +
2 1
+ + + ； (4) lim )n n →∞
+ 10 .
8．求下列极限： (1) 111
lim ()12(1)n n n →∞ + + + 2 3 + ；
(2) 222
111
lim (
)(1)(2)n
n n n →∞
+ + + + ； (3) 2
lim n n →∞
+
+；
(4) 2132
1
lim ()2
2
2n
n n →∞
- + + +
； (5) lim (1cos n n →∞
；
(6) lim n →∞ ；
(7) lim n
n 2→∞
2 ) ；
(8) lim [(1)]n n n n n →∞
+ - ，01a < < ；
(9) lim 2n n n
→∞132-1
24；
(10) 1
1lim n n →∞
3
5 (2-)
；
(11) lim n →∞
； (12) n .
9．证明：若{}n a ，{}n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则{}n n a b ± 是发散数列；又问{}n n a b 和(0)n n n a b b ?? ≠ ????
是否也是发散数列？为什么？ 10．设(1)n n x = - ，证明{}n x 发散. 11．若
12,,,m a a a 为m 个正数，证明：
12lim max(,,,)m n a a a →∞
.
12．设lim n n a a →∞
= ，证明：
(1) []
lim n n n a
a n
→∞ = ；
(2) 若0,0n a a > > ，则1
n
.
13．利用单调有界原理，证明lim n n x →∞
存在，并求出它：
(1) 12
2,x x
n = 3, ； (2) 1,2,n x x n = 3, ；
(3) n
n c x n = （c>0）
！
； (4) 101
,1,1,1n n n x
x x n x -- = 1
= + = 2, + . 14．若11,0(),
x a y b a b = > 0 = > <
11,2
n n
n n x y x y ++ + =
证明：lim lim n n n n x y →∞
→∞
= .
15．证明：若0n a > ，且1
lim 1n
n n a l a →∞+ = > ，lim n n a →∞ = 0.
16．设lim n n a a →∞
= ，证明：
(1) 12lim n
n a a a a n
→∞ + + +
=
；
（又问，它的逆命题成立否？） (2) 若0n a > ，则n a . 17．应用上题的结果证明下列各题：
(1) 113
lim n n n
→∞1
1
+ ++ +
2 = 0 ； (2) 1(
0)n a > ；
(3)
1n ；
(4) 0n ；
(5) lim n n n →∞+ +
= 1 ；
(6) 若1lim ()n n
n n
b
a b b +→∞ = >0，则
n a .
18．用定义证明下列数列为无穷大量： (1) { ；
(2) {}n
！； (3) {}ln n ； (4) 113n
11
+ ++ + 2.
19．利用1lim 1n
n e n →∞
??
+ = ???，求下列极限：
(1) 1lim 1n
n n →∞
??
- ???；
(2) 1lim 11n n n →∞
?
? + ?+??； (3) 1lim 12n n n →∞
?
? + ???
；
数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列. 5.用δε-方法验证： 3) 23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6． 用M -ε方法验证： 2 11lim 2- =-+-∞ →x x x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0 ?，在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?，又.)(lim A t f a t =→证明 A x f x x =→))((lim 0 ?. 8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ， （1）)(0x U x n ?∈，0x x n →， （2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞ →)(lim ， 则A x f x x =→)(lim 0 . 9. 证明函数 ? ? ?=为无理数为有理数x ， x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续.
数学分析期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分， 共20分） 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（ ）
数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n n n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使2 lim (1)0x x x ax b →+∞ -+-=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --. 数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a a =, 1()n n a a a n N +=+ ∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.
数学分析题库（1-22章） 一．选择题 １．函数7 12arcsin 162 -+-= x x y 的定义域为（ ）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-. ２．函数)1ln(2 ++ =x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）. （A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. ３．点0=x 是函数x e y 1 =的（ ）. （A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点. ４．当0→x 时，x 2tan 是（ ）. （A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小. ５．x x x x 2) 1 ( lim -∞ →的值（ ）． （A ）e; (B) e 1; (C)2e ; (D)0. ６．函数f(x)在x=0x 处的导数)(0' x f 可定义 为（ ）． （A ） 0) ()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ?-?+→) ()(lim ; (C) ()()x f x f x ?-→?0lim ; (D)()() x x x f x x f x ??--?+→?2lim 000 . ７．若()() 2 102lim =-→x f x f x ，则()0f '等于（ ）. （A ）4; (B)2; (C) 2 1; (D)4 1, ８．过曲线x e x y +=的点()1,0处的切线方程为（ ）. （A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. ９．若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内 是（ ）. （A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的; (C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的. 10．函数()x x x x f 933 12 3 +-= 在区间[]4,0上的最大值点为（ ）. （A ）4; (B)0; (C)2; (D)3.
数学分析第一学期期末考试试卷（B 卷） 一、叙述题（每题5分，共10分） 1.上确界； 2.区间套的定义。 二、填空题（每题4分，共20分）1.函数|3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是. 2.定义在]1,0[区间上的黎曼函数的连续点为. 3.)1ln()(2 x x f +=,已知5 6)2()(lim 000=--→h h x f x f h ,=0x .4.正弦函数x y sin =在其定于内的拐点为.5.点集}1)1({n S n +-=的所有聚点为.三、计算题(每题4分，共28分)（1）求]1 21 11[lim 222n n n n n ++++++∞→ ；（2）求30sin tan lim x x x x -→；（3）求)1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→；（4）求2210)21(e lim x x x x +-→；（5）求)1ln(2x x y ++=的一阶导； （6）求3)(sin )(+=x x x f 的一阶导； （7）求???==; cos ,sin 22t t y t t x 的一阶导。四、讨论题（共12分）1.极限x x 1sin lim 0 →是否存在，说明原因。2.设000)()(=≠?????-=-x x x e x g x f x ,其中)(x g 具有二阶连续导数,且
1)0(,1)0(-='=g g .求)(x f '并讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 五、证明题（共30分）1.证明.x x f 2cos )(=在),0[+∞上一致连续. 2.设f 在],[b a 上连续,],[,,,21b a x x x n ∈ ，另一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ .证明：存在一点],[b a ∈ξ，使得 )()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++= . 3.设函数)(x f 在[]b a ，上连续,在),(b a 内可导,且0>?b a .证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(1 ξξξf f b f a f b a b a '-=-.
数学分析（1）复习题（一） 一、按要求写出下列定义的数学描述（4?/5=20/） 1、A x f x ≠+∞ →)(lim 的X -ε正面描述为 2、由Cauchy 收敛准则，若数列{}n x 收敛，则 3、η为非空数集S 的下确界即 4、a 为无限集合S 的聚点即 5、区间套[]{}n n b a ,的定义为 二、计算题（8?/6=48/） 1、求2 1 0)sin (lim x x x x →. 2、求)sin 2 sin 1(sin lim 2 2 2 n n n n n +???++++∞ →π π π . 3、确定x x x f sin )(=的间断点并判断其类型. 4、设x x x x f x x sin )(sin +=，求)(x f '. 5、x y 3sin =，求)(n y . 6、求x e x x f 2)(=带有Lagrange 余项的n 阶Maclaurin 展式. 7、设)7ln 12(4-=x x y ，试确定其凹凸区间及拐点. 8、确定,,b a 使函数???≥++<+=0,10,2)(2x bx x x a e x f x 在0=x 处连续. 三、证明题（4?/8=32/） 1、用δε-定义证明.10 3 1lim 2 3 =+→x x x 2、设)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明至少存在(),,b a ∈ξ使得下式成 立： .ln )()()(a b f a f b f ξξ'=- 3、证明：若f 在[]b a ,上连续，)(lim x f x +∞ →存在且有限，则f 在[)+∞,a 上一致连续.
4、设f 在()+∞,a 内可微并且,0)(lim ='+∞ →x f x 证明0) (lim =+∞ →x x f x . 数学分析（1）复习题（二） 一、单项选择题（5?/3=15/） 1、=∞→n n n 2lim （ ） A.0；B 、2 1；C 、1；D 、2. 2、设函数是n 次多项式，则=+)()1(x f n （ ） A 、n ；B 、n+1；C 、0；D 、1. 3、如果当0→x 时,)(x f 是x 的高价无穷小量,则=→x x f x sin ) (lim 0 ( ). A. 2 1 ； B 、0； C 、2； D 、1. 4、设f 在x 的某邻域内有有定义，则下列命题哪一个为假？（ ） A.f 在点x 可微，则f 在点x 连续； B 、f 在点x 不连续，则f 在点x 一定不可导； C 、f 在点x 连续，则f 在点x 可微； D 、f 在点x 可导当且仅当f 在点x 可微. 5、函数2)(x x f =与x x g =)(定义在[)∞,0上，它们在定义区间上是一致连续的 吗？（ ） A.两个都是一致连续的； B 、两个都不是一致连续的； C 、f 是一致连续的，g 不是一致连续的； D 、f 不是一致连续的，g 是一致连续的. 二、填空题（5?/3=15/） 1、如果要使函数x x x f 1 sin )(=在点0=x 连续，需重新定义=)0(f 2、设1)(0='x f ，则=--+→h h x f h x f h ) ()(lim 000 3、函数???≤>+=,1,, 1,)(2x x x b ax x f 在1=x 处可导，则=+2013b a 4、设)(x y y =由方程e xy e y =+确定，则=')0(y 5、设???-=-=t y t t x cos 1sin ，则 == 2 π t dx dy
数学分析专题研究试题及参考答案 一、填空题（每小题3分，共18分） 1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈?，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。 3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点 0x 可导。 4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。 5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。 6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈?α，有 成 立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1．设f ：Y X →，X A ??，则A （ ）))((1 A f f - A. = B. ≠ C. ? D. ? 2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈?，有1)(0<
2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ）
A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；
June21,2006 2002 1.(10) lim x→0( sin x1?cos x . 2.(10)a≥0x1=√2+x n n=1,2,... lim n→∞ x n 3.(10)f(x)[a,a+α]x∈[a,a+α]f(x+α)?f(x)= 1 1?x2+arcsin x f′(x). 5.(10)u(x,y)u ?2u ?x?y + ?2u x2+y2dx dy dz,?z=
x2+y2+z2=az(a>0) 8.(10) ∞ n=1ln cos1 ln(1+x2) 2 √ (2).{n . ?x (4). L(e y+x)dx+(xe y?2y)dy.L O(0,0),A(0,1),B(1,2) O B OAB. √ 2.(15)f(x)=3
4. 15 f (x )[0,1] sup 0 (5).e x=1+x+x2 n1 4≤e x+y?2. 5.(12)F(x)= Γf(xyz)dxdydy,f V={(x,y,z)|0≤x≤t,0≤y≤t,0≤z≤t}(t>0), F′(t)=3 a+n √ 2 n(a>0,b>0) (2).lim n→∞ 10x n√ 2 0dx 3 . (5).F(t)= x2+y2+z2=t2f(x,y,z)dS, f(x,y,z)= x2+y2,z≥ x2+y2 《数学分析》考试试题 一、叙述题 1叙述闭区间套定理； 2用肯定的形式叙述函数)(x f 在数集D 上无上阶； 3叙述Rolle 微分中值定理； 二、计算题 1 求极限x x x x )1 1(lim -+∞→ ； 2 求摆线???-=-=t y t t x cos 1sin π20≤≤t ， 在π=t 处的二阶导数22dx y d 的值； 3 设x e x f =)(2，求不定积分?dx x x f ) ( ； 4 求不定积分?-+dx e e x x 1arctan 2 ； 三、讨论题 1讨论函数=)(x f ?????≤0 , 00 , 1sin x x x x 在0=x 点处的左、右导数； 2设221)(x n nx x f n += ，[]A e x .∈ ，)0(+∞ A e 2 1 ）、、（ =n ，讨论)(x f n 在[]A e .上的单调性的最大值点； 四、证明题 1用定义证明21121lim =-+∞→x x x ； 2证明：方程033=+-c x x ，（其中c 为常数）在[]1,0上可能有两个不同的实根； 3若数列{}n x 收敛于a （有限数），它的任何子列{} k n x 也收敛于a 。 （十一） 一年级《数学分析》考试题 一（ 满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题： 1 设数列}{n a 递增且 （有限）. 则有}sup{n a a =. ( ) 2 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n ∈?,当 0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在点0x 连续. ( ) 3 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义. 若存在实数A ,使0→?x 时, ),()()(00x x A x f x x f ?=?--?+ 则)(0x f '存在且A x f =')(0. ( ) 4 若),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='='则有).()(21x f x f >( ) 大连理工大学2001年硕士生入学考试 数学分析试题 一. 从以下的1到8题中选答6题 1. 证明:2 ()f x x =在区间[0,]M 内一致连续(M 为任意正数),但是在[0,)+∞不一致 连续 2. 证明:若()f x 在[,]a b 内连续,那么()f x 在[,]a b 内Riemann 可积. 3. 证明:若1α>,那么广义积分1 sin x dx α+∞ ? 收敛 4. 证明:若()f x ,()g x 为区间(,)a b 上的连续函数,对任意的(,)(,)a b αβ?有: ()()f x dx g x dx β β α α =??,那么, ()()f x g x ≡于(,)a b 5. 证明:若1 n n a ∞ =∑收敛,那么 1 nx n n a e ∞ -=∑在[0,)+∞一致收敛 6. 已知：2 ,0 ()0,0 x e x f x x -?≠?=?=??，求"(0)f 7. 已知：()() 1(,)()2 2x at x at x at x at u x t d a φφψαα+-++-= + ?. 其中, ψ和φ分别是可以求导一次和求导两次的已知函数,计算 22 222 (,)(,)u x t u x t a t x ??-?? 8. 计算,半径为R 的球的表面积 二. 从9到14题中选取6题 9.已知: lim '()0x f x →∞ =,求证: () lim 0x f x x →∞ = 10.证明: ()a f x dx +∞ ? 收敛,且lim ()x f x λ→+∞ =,那么0λ= 11.计算曲面积分: 333 S I x dydz y dzdx z dxdy = ++??, 其中S 为旋转椭球面222 2221x y z a b c ++=的外侧 12.设()[0,1]f x C ∈,(0)0f =,(1)1f =,0()1f x ≤<. 求证: ()()n n S x f x =对于任意小于1的正数δ,在区间(0,1]δ-一致收敛,但是不在(0,1)一致收敛 13.设()[0,1]f x C ∈,(0)0f =,(1)1f =,0()1f x ≤<. 求证: 1 0lim ()0n n f x dx →∞ =? 14.证明:若()[,]n u x C a b ∈，1,2,...,...n =且1 ()n n u b ∞ =∑发散,那么1 ()n n u x ∞ =∑不在[,)a b 一致收 敛 数学分析1 期末考试试卷（A 卷） 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（ ）。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 数学分析 参考答案 一、1、设)(x f 在],[b a 连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立 )()()(a F b F dx x f b a -=? 2、,0.0>?>?N ε使得N n m >>?，成立ε<+++++m n n a a a 21 3、设2R D ?为开集，D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数，),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ??,无关的常数A 和B ，使得)(22y x o y B x A z ?+?+?+?=?则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的，并称y B x A ?+?为在点),(000y x P 处的全微分 二、1、分子和分母同时求导 316sin 2lim sin lim 54060202==→→?x x x x dt t x x x （8分） 2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分） 所求的面积为： 3 1)(102=-?dx x x （3分） 所求的体积为：103)(105ππ=-?dx x x （3分） 3、 解：设∑∞=+=1) 1()(n n n n x x f ，1) 1(1)2)(1(1 lim =+++∞→n n n n n ，收敛半径为1，收敛域 [-1，1]（2分） ),10(),1ln(11)1()(121'<<---=+=∑∞ =-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0'<<--+==?x x x x dt t f x f x (3分） x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1，级数为1-2ln2（3分） 4、解： y u ??=z x x z y ln （3分）=???y x u 2zx x x x z y z y 1ln 1+-(5分） 三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分） 11 )1 11(lim !)1()! 1(lim -∞→+∞→=+-=++e n n n n n n n n n n （4分）由D’Alembert 判别法知级数收敛（1分） 2、解： ???+∞----+∞--+=1110101dx e x dx e x dx e x x p x p x p （2分），对?--101dx e x x p ，由于)0(111+→→---x e x x x p p 故p >0时 ?--101dx e x x p 收敛（4分）；?+∞--11dx e x x p ，由于)(012+∞→→--x e x x x p （4分）故对一切的p ?+∞--11dx e x x p 收敛，综上所述p >0，积分收敛 数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 证 由（1）可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =，用反证法.若B A inf sup π，设 B y A x A B ∈∈?=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y . 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界，则S 也是无上界数集，于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立.若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S = （ⅰ）S x ∈?，无论A x ∈或B x ∈，有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε??∈->>于是,0S x ∈ 0sup .x A > 同理可证（2）. 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 证 3 5 23252 2---+n n n ) 23(34 32-+= n n ≤ 2234n n ? （n>4） n 32=， 取? ?? ???+??????=4,132max εN ，当n>N 时， 3 5 23252 2---+n n n <ε. 注 扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号（后两位）姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积； B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113 2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八. 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号（后两位）姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分 《数学分析Ⅱ》期中考试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、曲线2x 2 +3y 2 + z 2 =9, z 2 =3x 2 + y 2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ） A 、8x+10y+7z-12=0； B 、8x+10y+7z+12=0； C 、8x -10y+7z-12=0； D 、8x+10y+7z+12=0 2、L 为单位圆周，则 L y ds =? （ 4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、L 为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则 L zdx xdz +? = （ 3 ） A 、3 B 、5 C 、7 D 、9 4、 ()1 3x y x y dxdy +≤+?? =（ 2 ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 02 11(,)y dy f x y dx --? ? ，改变积分顺序得（ 1 ） A 、2 110 (,)x dx f x y dy -?? B 、2 111(,)x dx f x y dy --?? C 、 2 11 (,)x dx f x y dy +? ? D 、2 11 1 (,)x dx f x y dy +-?? 6、V=[-2, 5]?[-3, 3]?[0,1]，则 2()V xy z dv +??? =（ 3 ） A 、1 B 、7 C 、14 D 、21 7、密度为1的均匀单位圆盘对于它的直径的转动惯量为( 4 ) A 、π B 、 π/2 C 、π/3 D 、π/4 8、曲面S 为上半单位球面z =S yzdxdz ?? =（ 2 ） A 、π/2 B 、 π/4 C 、π/6 D 、π/8 9、函数2 3 u x y xz =++的梯度场在（1,1,1）的旋度为（ 2 ） A 、（1,1,1） B 、（0,0,0） C 、（1,0,1） D 、（0,1,1） 10、下面反常积分收敛的有（ 3 ）个。 0cos x e xdx -∞ ? ，10 ? ，3cos ln x dx x +∞?，20?，1+∞? A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 二、填空题（28分，每空4分） 1、区域Ω由1z =与22 z x y =+围成的有界闭区域，则 (,,)f x y z dv Ω ??? 在直角坐标下的三 次积分为 柱坐标下三次积分 2014 —--201５学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分,共２１分)（正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?( ） ． ２．若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[] ????= dx x g dx x f dx x g x f （ )． 3． 若()? +∞a dx x f 绝对收敛，()? +∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收敛（ )。 ４． 若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ) 5． 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间Ｉ上内闭一致收敛（ ）。 ６。 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发 散于正无穷大( ). 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ). 二. 单项选择题（每小题3分，共15分) 1．若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上( ) A.不连续 Ｂ． 连续 C ．可微 D 。不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不 相等,则（ ） Ａ． ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C 。 ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D 。 ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 Ｂ．绝对收敛 C.条件收敛 D ． 不确定 4。设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是( ） A ．若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B 。 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ,则级数∑n u 一定收敛; C ． 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D 。 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当,则级数∑n u 一定发散; 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是( ) A 。 ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B ． ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的; C ． ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； 中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷（A 卷） 姓名： 学号： 学院专业： 联系方式： 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（ ） 。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 北京大学2017年硕士研究生招生考试试题 (启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午 专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向) ————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效. 1.(10分)证明lim n !+1Z 2 sin n x p 2x dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ?在任何有限区间上一致收敛的充要条件是?>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X n =1a n n s =1X n =1a n . 4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外). 5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o ?1n n ?.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =?<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1 .证明:8 2(?;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1 .7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且 lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑 极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的?邻域记为U ?(?>0).如果 @2ij (X 0) á3 3是严格正定的,则当?充分小时,证明如下极限存在并求之: lim t !+1t 32? U ?e t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3: 9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数: f (x ) 4 1X n =112n 1 sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n á=2 Z 0sin t t dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页数学分析考题2
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