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概率论与数理统计
课程论文
课程名称：概率论与数理统计
院系：
指导教师：周永春
2016 年 12 月 4 日
摘要
【摘要】概率论是研究随机现象规律性的一个数学分支，它来源于实际生活，也解决了实际生活中的许多问题。小概率事件是概率论中的一个具有实用意义的原理，在我们的日常生活中已经有广泛的应用。本文就小概率事件的含义、小概率原理以及小概率事件在日常生活中的实际应用进行了讨论与分析。
【关键词】小概率事件
1、引言
近日，随着手游市场的火爆，一款游戏开始在年轻人群体中流行起来，这就是当下大红大紫《阴阳师》。而这款游戏中一个重要的玩法就是画符召唤式神。其中的式神分为四个档次，分别是N，R，SR与SSR，而SSR档次的式神也是其中最难以抽出的。在概率论中，由于抽出一个SSR式神的概率极小，其便成了一件小概率事件。在这样的背景下对于“小概率事件”的研究是大有意义的。
、小概率事件的含义
概率学是专门研究随机事件规律的科学，是统计学存在、发展的基础。概率是刻画随机事件发生的可能性大小的数量指标，事件A的概率以P(A)表示。对于概率值很接
近于1的事件，其对立事件的概率也就很接近于0。概率很接近于0的事件即为小概率事件。然而对于小概率事件，并没有一个绝对的标准来衡量，需要根据具体情况来确定。对于某些特别重要的事件，当他的发生会产生严重的后果时（比如雪崩、山洪、沉船等等），我们把概率值为，甚至更小一些的数值算作小概率。一般情况下，我们把事件发生的概率在或以下的事件称为小概率事件。
小概率事件理论上认为其有发生的可能性，但不一定肯定发生。小概率事件具有三个特点：一、不管其概率值有多小，其值总是一个不确定的正数；二、概率很小的事件在一次试验中不大可能发生，如果发生了，绝不能认为是必然现象，而应该认为是有着某些偶然因素；三、一个事件发生的概率很小，在一次试验中就可以把它看成是不可能事件。而其中第三个特点也就是最重要的一条原理——实际推断原理。
随着社会的发展，小概率事件问题在我们的日常生活中有着越来越广泛的应用，它不仅在经济、统计学中发挥着重要作用，而且它常常就发生在我们身边并对我们的生活产生影响。
、小概率事件假设推断方法
根据大数定律，在大量重复实验中事件出现的频率接近与它们的概率。如果事件A 出现的概率很小，则它在大量重复试验中出现的频率也应该很小。例如若P(A)=,则大致上在1000次试验中事件A才出现一次。因此概率很小的事件在一次试验中实际上不大可能出现。这样的事件被称为实际不可能事件。实际不可能事件是统计假设检验决定推翻还是接受假设的依据，也是人们在实践中总结出来而被广泛应用的一个原理。
小概率原理的推断方法是概率性质的反证法，指的是人们首先提出假设，继而根据一次试验的结果来进行计算，最后按照一定的概率标准做出鉴别。若导致不合理的现象
出现，即小概率事件发生，则拒绝假设；若未导致不合理的现象出现，即小概率事件未发生，则不拒绝假设。
例如用抽样样本的质量水平来判别产品整体的质量水平时，存在抽样风险。假设某批次产品共有100000瓶，当不合格品率低于3％时方可出厂。而实际上里面只有40瓶不合格品，不合格品率远低于3％的标准。随机抽样50瓶，如果在50瓶中抽到了2瓶甚至更多的不合格品，并且简单地用抽到的不合格品除以50来作为整批产品的不合格品率来判断的话，就会对整批产品质量水平造成错误判断。而假设检验的基本方法就是从抽样的样本值出发，通过观察一个“小概率事件”在一次抽样中是否发生来判断原来对总体X的某种“看法”（原假设H0是否正确。具体做法是：为了检验某个假设H0是否成立，首先假设H0成立，如果由此导出了一个小概率事件发生，则认为是矛盾，从而应否定H0，否则接受H0）。
、小概率事件和不可能事件
小概率事件因其概率小而常常会与不可能事件混淆。但两者从本质上来讲，是有区别的。所谓小概率事件是指发生的可能性小，但有发生机会的事件，而不可能事件是指完全不可能发生，概率为零的事件。不管小概率事件A的概率如何小，如果将试验不断独立的重复下去，那么事件A迟早必然会出现一次，继续重复下去，于是也必然会出现任意多次；而不可能事件是指无论将试验做多少次，事件A都不会发生，这就表明了小概率事件与不可能事件之间的差别。但是随着社会的发展和科学技术的进步，某些被认为是不可能事件可能成为小概率事件，而某些被认为是小概率事件也可能成为不可能事件。
、小概率事件的应用
小概率原理不经意地在指导人们的实际生活。尽管在一次试验中小概率事件可以看成是不可能事件，但是有的时候人们更愿意承认小概率事件的发生。例如，在《阴阳师》中，尽管人们知道抽到SSR式神的概率微乎其微，但人们仍然愿意不断地画符召唤，甚至花费成千上万的钱去赌SSR的极小的概率，这里就有人们期望概率很小的事件在一次试验中出现的侥幸心理。
在彩票行业中也是如此。对于彩民来说，最具吸引力的是高等奖奖金额，因此用泊松分布对中头等奖的概率进行讨论。
例如设事件A={至少有一次中头等奖}，并且单注中奖概率为p，购买的期数为a （a>1），每期购买的注数为x，则单期购买x注的中奖概率为px。而我们重点讨论的是中奖概率f(x)与单期购买注数x的关系。购买a期，每期购买x注，就总共购买了ax注，则在ax次伯努利实验中，中了的k次奖。则当 k等于0时，就是没有中奖。所以，购买a期，每期购买x注时，中头奖的概率：
f(x)=1P(k=0)=1e apx
对f(x)进行求导，得出f(x)的变化率：
f′(x)=ape apx
再对f′(x)进行求导，得出f′(x)的变化率：
f′′(x)=a2p2e apx
当f′′(x)<0时，f′′(x)是减函数，即f(x)的变化率递减。显然，中奖概率f(x)的变化率递减，会导致虽然购买注数x的增加了，中奖概率f(x)的递增量却减少了。由此可以得出，购买彩票的性价比在f′′(x)<0时，呈递减趋势。
3、总结
小概率事件占据生活中的方方面面，虽然不是解决所有问题的万能钥匙，但根据应用问题的实践，确实是解决很多棘手实际问题的有益思路和指导思想，可以把复杂的问
题简单化，有助于抓住问题的关键，具有很强的操作性。通过对小概率事件的分析可知，小概率事件是一个简单但是很有实用价值的原理，日常生活中常常不经意间指导着人们的实际生活，它是概率论的精髓，是统计学发展的基础，未统计推断和决策提供了严格的数学依据。