六大注意
1
考生需自己粘贴答题卡的条形码
考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。
2
拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等
拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。
3
注意保持答题卡的平整
填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。
若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。
4
不能提前交卷离场
按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。
5
不要把文具带出考场
考试结束，停止答题，把试卷整理好。然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。
6
外语听力有试听环
外语考试14:40入场完毕，听力采用CD 播放。14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。听力部分结束后，考生可以开始做其他部分试题。
闵行区2019学年第一学期九年级质量监控考试
数 学 试 卷
（考试时间100分钟，满分150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
3．本次测试可使用科学计算器．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．如果把Rt △ABC 的各边长都扩大到原来的n 倍，那么锐角A 的四个三角比值 （A ）都缩小到原来的n 倍； （B ）都扩大到原来的n 倍； （C ）都没有变化； （D ）不同三角比的变化不一致． 2．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP > BP ，那么下列比例式能成立的是 （A ）
AB AP AP BP =； （B ）AB BP AP AB =； （C ）BP AB
AP BP
=
； （D
）AB AP = 3．k 为任意实数，抛物线2()0y a x k k a =--≠（）的顶点总在
（A ）直线y x =上； （B ）直线y x =-上； （C ）x 轴上； （D ）y 轴上． 4．如图在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且1
3
AD AC =，AE = BE ，那么有 （A ）△AED ∽△BED ； （B ）△BAD ∽△BCD ； （C ）△AED ∽△ABD ； （D ）△AED ∽△CBD ． 5．下列命题是真命题的是
（A ）经过平面内任意三点可作一个圆； （B ）相等的圆心角所对的弧一定相等；
（C ）相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线； （D ）内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和．
6．二次函数2(0)y a x bx c a =++≠
（第4题图）
①0a <；②0abc >；③0a b c -+<；④240b ac -<； 其中正确的结论有
（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．已知线段a = 4厘米，c = 9厘米，那么线段a 和c 的比例中项 ▲ 厘米． 8．在Rt △ABC 中，∠C=90o，AB =10，2
sin 5
A =
，那么BC = ▲ ． 9．抛物线22(1)3y x =--+在对称轴右侧的部分是 ▲ 的．（填“上升”或“下降”） 10．如果两个相似三角形的相似比为2︰3，两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为 ▲ cm ．
11．e r 为单位向量，a r 与e r 的方向相反，且长度为6，那么a r = ▲ e r ．
12
．某人从地面沿坡度i =100米，这时他离地面的高度是 ▲ 米． 13．已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 的
延长线上的点E 处，那么tan BAE ∠= ▲ ．
14．已知在Rt △ABC 中，∠C=90o，AC =3，BC =4，⊙C 与斜边AB 相切，那么⊙C 的
半径为 ▲ ．
15．设抛物线l ：2(0)y a x bx c a =++≠的顶点为D ，与y 轴的交点是C ，我们称以C
为顶点，且过点D 的抛物线为抛物线l 的“伴随抛物线”，请写出抛物线
241y x x =-+的伴随抛物线的解析式 ▲ ．
16．半径分别为3cm
的⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB
=，
那么圆心距O 1O 2的长为 ▲ cm ．
17．正五边形的边长与边心距的比值为 ▲ ．（用含三角比的代数式表示） 18．如图，在等腰△ABC 中，AB = AC = 4，BC = 6，
点D 在底边BC 上，且∠DAC =∠ACD ，将△ACD 沿着AD 所在直线翻折，使得点C 落到点E 处，联结BE ，那么BE 的长为 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
已知二次函数图像的最高点是A （1，4），且经过点B （0，3），与x 轴交于C 、D 两点（点C 在点D 的左侧）．求△BCD 的面积． 20．（本题共2小题，第（1）小题2分，第（2）小题8分，满分10分）
A
C
D
B
（第18题图）
已知：在平行四边形ABCD 中，AB
︰BC = 3︰2．
（1）根据条件画图：作∠BCD 的平分线，交边AB 于点取线段
BE 的中点F ，联结DF 交CE 于点G ． （2）设AB u u u r =a r ，AD
u u u r =b r ，那么向量CG u u u r
= ▲ ；
（用向量a r 、b r 表示），并在图中画出向量DG uuu r
在向量AB u u u r 和AD u u u r
方向上的分向量．
21．（本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，满分10分）
如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90o，AD= 2，BC= 4，tan 3B =．以AB 为直径作⊙O ，交边DC 于E 、F 两点． （1）求证：DE =CF ； （2）求：直径AB 的长．
22．（本题共2小题，第（1）小题3分，第（2）小题7分，满分10分）
2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B 岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上（A 点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B 岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．
“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30o的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7o方向，且距舟山市250千米．
（1）台风中心从生成点（A 点）到达B 岛的速度是每小时多少千米？
（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？
（结果保留整数，参考数据：sin 230.39≈o ，cos230.92≈o ，tan 230.42≈o ；
sin370.60≈o ，cos370.80≈o ，tan370.75≈o ．）
A
（第21题图）
23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）
如图，在△ABC 中，BD 是AC 边上的高，点E 在边AB 上，联结CE 交BD 于点O ，且AD OC AB OD ?=?，AF 是∠BAC 的平分线，交BC 于点F ，交DE 于点G ．
求证：（1）CE ⊥AB ；
（2）AF DE AG BC ?=?．
24．（本题共3题，每小题4分，满分12分）
已知：在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线x = -2的抛物线经过点C （0，2），
与x 轴交于A （-3，0）、B 两点（点A 在点B
（1）求这条抛物线的表达式； （2）联结BC ，求∠BCO 的余切值；
（3）如果过点C 的直线，交x 轴于点E 点P ，且∠CEO =∠BCO ，求点P
25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分） 已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，AC =BC ，∠ACB =90°，∠ADC =90°，CD =2，（点A 、B 分别在直线CD 的左右两侧），射线CD 交边AB 于点E ，点G 是Rt △ABC 的重心，射线CG 交边AB 于点F ，AD =x ，CE =y . （1）求证：∠DAB =∠DCF ；
（2）当点E 在边CD 上时，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）如果△CDG 是以CG 为腰的等腰三角形，试求AD 的长.
（第24题图）
A B
D
C
（第23题图）
E
F
G O
A
D
E
F
闵行区2019学年第一学期九年级质量监控试卷
答案要点及评分标准
一、选择题：
1．C ； 2．A ； 3．B ； 4．D ； 5．C ； 6．B ．
二、填空题：
7．6； 8．4； 9．下降； 10．40；
11．-6；
12．50；
13
；
14．125
； 15．21y x =-+； 16．2或4； 17．2tan36o
（2sin36cos36o o ）．；
18．1．
三、解答题：
19．解：设所求的二次函数解析式为2(1)4(0)y a x a =-+≠，………………………（2分）
把B （0，3）代入得23(01)4a =-+解得：1a =-．…………………………（2
分）
令0y =，那么2(1)4=0x --+，解得：123,1x x ==-．………………………（2
分）
∴CD=4．…………………………………………………………………………（2
分）
在△BCD 中，12BCD S ?=
·CD ·OB=1
43=62
??．………………………………（2分）
20．解：（1）角平分线………………………………（1分）
整体画对；……………………………（1分） （2）CG
=12a -r 34
b -r
．…………………（4分）
A
B
D
C
（第20题图）
E
F
G
画图及结论正确．……………………（4分）
21．解：（1）过点O 作OH ⊥DC ，垂足为H ．
∵AD ∥BC ，∠ADC=90o，OH ⊥DC ， ∴∠BCN =∠OHC =∠ADC =90o．……（1分） ∴AD ∥OH ∥BC ．……………………（1分） 又∵OA=OB ．……………………………（1分） ∴DH=HC ．……………………………（1分） ∵OH ⊥DC ，OH 过圆心，
∴EH = HF ．……………………………（1分） ∴DH -EH =HC -HF ．………………（1分） 即：DE =CF ．
（2）过点A 作AG ⊥BC ，垂足为点G ，∠AGB = 90°，
∵∠AGB =∠BCN = 90°，∴AG ∥DC ．
∵AD ∥BC ，∴AD=CG ．……………………………………………………（1
分）
∵AD= 2，BC= 4，∴BG= BC -CG =2．………………………………（1分） 在Rt △AGB 中，∵tan 3B =，
∴tan 236AG BG B =?=?=．……………………………………………（1
分）
在Rt △AGB 中，222AB AG BG =+
∴
AB=1
分）
22．解：（1）由题意得，AB=980千米，台风中心到达B 岛的时间是39.5小时．…（1分）
∴9802539.5v =≈（千米）
．…………………………………………………（1分）
答：台风中心从生成点（A 点）到达B 岛的速度是每小时25千米．…（1
分）
（2）过点S 作SH ⊥ZD ，垂足为点H ，∴∠SHZ = 90°，
∵∠NZD=30°，∠CZN=7°，
∴∠CZD=∠CZN +∠NZD=7° + 30°=37°．………………………………（1
分）
在Rt △SHZ 中，sin ∠CZD =
SH
SZ
．∵∠CZD=37°，SZ=250千米， ∴SH=SZ ·sin ∠CZD=250sin372500.60150?≈?≈o （千米）．………（2
A
（第21题图）
分）
∵150千米<170千米，
∴设台风中心移动到E 处时上海开始遭受台风影响 到F 处影响结束．即SE=SF=170（千米）． ∵在Rt △SEH 中，∠SHE = 90°，222SE SH HE =+，
∴80HE ．（2分） ∴EF=2EH ≈160（千米）．……………（1分） ∴上海遭受这次台风影响的时间为
160
82020
EF =≈（小时）
．…………（1分） 答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时．
23．证明：（1）∵AD OC AB OD ?=?，∴AD AB
OD OC
=
．………………………………（1分）
∵BD 是AC 边上的高，
∴∠BDC = 90°，△ADB 和△ODC 是直角三角形．…………………（1
分）
∴Rt △ADB ∽Rt △ODC ．………………………………………………（1
分）
∴∠ABD =∠OCD ．……………………………………………………（1
分）
又∵∠EOB =∠DOC ，∠DOC +∠OCD +∠ODC =180°，
∠EOB +∠ABD+∠OEB =180°．
∴∠OEB = 90°．…………………………………………………………（1
分）
∴CE ⊥AB ．………………………………………………………………（1
分）
（2）在△ADB 和△AEC 中，
∵∠BAD =∠CAE ，∠ABD =∠OCD ，
∴△ADB ∽△AEC ．………………………………………………………（2
分）
∴
AD AB AE AC =， 即AD AE
AB AC
=
．…………………………………………（1分）
在△DAE 和△BAC 中
∵∠DAE =∠BAC ，
AD AE
AB AC
=
． ∴△DAE ∽△BAC ．………………………………………………………（2
分）
∵AF 是∠BAC 的平分线， ∴AG DE AF BC
=， 即AF DE AG BC ?=?．…………………………………（1分）
24．解：（1）设抛物线的表达式为2(0)y ax bx c a =++≠．
由题意得：229302b
a a
b
c c ?-=-??
-+=??=??
………………………………………………（1
分）
解得：23
a =
，8
3b =．……………………………………………………（2
分）
∴这条抛物线的表达式为228
233
y x x =
++．……………………………（1分）
注：用对称性求解析式酌情给分．
（2）令y = 0，那么228
2033
x x ++=，
解得13x =-，21x =-．………………………………………………………（1
分）
∵点A 的坐标是（-3，0）∴点B 的坐标是（-1，0）．…………………（1
分）
∵C （0，2）∴1OB =，2OC =．…………………………………………（1
分）
在Rt △ OBC 中，∠BOC =90o，
∴cot 2OC
BCO OB
∠==．
………………………………………………………（1分）
（3）设点E 的坐标是（x ，0），得OE =x ．
∵CEO BCO ∠=∠， ∴cot cot CEO BCO ∠=∠．
在Rt △ EOC 中，∴cot 22
x
OE CEO OC ∠===．
∴x =4，∴点E 坐标是（4，0）或 （-4，0）．………………………（1
分）
∵点C 坐标是（0，2），
∴11
:2=222
CE l y x y x =
+-+或．
……………………………………………（1分）
∴2122282
33y x y x x ?=+????=++??
，或2122
28233y x y x x ?=-+????=++??
解得13438x y ?=-????=??和02x y =??=?（舍去），或194358x y ?=-????=??
和02x y =??=?（舍去）；
∴点P 坐标是（134-，38
）或（194-，35
8）．………………………（2分）
25．（1）证明：∵点G 是Rt △ABC 的重心，
∴CF 是Rt △ABC 的中线．…………………………………………（1分） 又∵在Rt △ABC ，AC =BC ，∠ACB =90°，
∴CF ⊥AB ，即∠AFC =90°．…………………………………………（1分） ∵∠DEF =∠ADE +∠DAE =∠EFC +∠ECF ，且∠ADE =∠EFC =90°， ∴∠DAB =∠DCF ．…………………………………………………（2分）
（2）解： 如右图，过点B 作BH ⊥CD 于点H ． 可证△CAD ≌△BCH . ………………………（1分）
∴BH = CD = 2，CH = AD = x ，DH = 2-x ．（1分）
可证AD ∥BH .∴EH DE BH AD =．………………（1EH DE x =2，EH
DH EH EH DE x =
+=+22，224+-=x x EH ．……………（1分） )20(2
4
2242≤++=+-+=+==x x x x x x HE CH CE y ＜．
…………（1+1分） （3）解： 当GC =GD 时，如图1，
取AC 的中点M ，联结MD .那么MD =MC ，
联结MG ，MG ⊥CD ，且直线MG 经过点B ．那么BH 与MG 共线．
又CH =AD ，那么AD =CH =1
12
CD =．………………………………（2分）
当CG =CD 时，如图2，即CG =2，点G 为△ABC 的重心， 3
32
CF CG ==，AB =2CF =6，2AC AB ==， AD =2
分）
综上所述，AD =1